文档文本内容
专题7.2.4 诱导公式
教学目标
1．掌握四组三角函数诱导公式，牢记公式内容与适用条件
2．理解“奇变偶不变，符号看象限”口诀，会用其判断函数符号
3．能运用诱导公式完成三角函数的求值、化简等基础运算
教学重难点
重点：四组诱导公式的记忆与精准应用；“奇变偶不变，符号看象限” 口诀的理解
与使用
难点：依据“符号看象限”准确判断诱导公式的函数符号；结合诱导公式灵活进行三
角函数的化简与求值
三角函数的诱导公式
诱导公式一：
，
，
，其中
诱导公式二：
，
，
，其中
诱导公式三：
，
，
，其中
诱导公式四：
，
．
，
，其中
知识点诠释：（1）要化的角的形式为
（
为常整数）；
（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
（4）
；
．
【即学即练】
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，
故选：D.
2．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
题型01 利用诱导公式给角求值
【例1】
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【详解】
.
故选：A.
【例2】化简
得（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
.
又因为2 为第二象限角，所以
，
.
所以
.
故选：C
【变式1-1】
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
故选：A
【变式1-2】
.
【答案】
/0.5
【详解】由诱导公式
，
故原式
故答案为：
.
【变式1-3】下面四个数中，与
最接近的是（）
A．
B．
C．
D．0
【答案】C
【详解】
，
因为
非常接近
，所以
最接近
.
故选：C
题型02 利用诱导公式给值求值
【例3】已知角
的始边为
轴的非负半轴，角
的终边与单位圆的交点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意，角
的终边与单位圆的交点为
，
由三角函数的定义得
，
，则
.
对于A，由上可知显然错误；对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误.
故选：C.
【例4】已知
，则
（ ）
A．50 或
B．
或
C．
或
D．
或50
【答案】C
【详解】因为
，
所以可设
，
由
，可得
，
所以
，
所以
，
当
时，原式
，
当
时，原式
，
故选：C
【变式2-1】已知角
的终边过点
，则
.
【答案】
/0.5
【详解】因为角
的终边过点
，
根据任意角三角函数的定义，
.
由诱导公式可得：
.
故答案为：
.
【变式2-2】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，所以
，
所以
，所以
，所以
.
故选：C.
【变式2-3】在平面直角坐标系中，若角
的终边经过点
，则
．
【答案】
/
【详解】因为角
的终边经过点
，
，
所以
.
故答案为：
题型03 利用诱导公式化简求值
【例5】已知
，
．
(1)求
的值；
(2)已知
，先化简
再求值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，又
，所以
，
所以
，
则
.
（2）
，
联立
，解得
，
所以
.
【例6】（多选）已知函数
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】对于B，由题意，得函数
，又
，
，
解得
，故B 正确，
对于A，
，故A 错误，
对于C，
，故C 正确，
对于D，
又
，
，故D 错误.
故选：BC.
【变式3-1】已知
是第三象限角，且
．
(1)化简
；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
，
，
，
所以
．
（2）
，得
，
因为
是第三象限角，所以
，
所以
，
所以
．
【变式3-2】已知
．
(1)求
的值；
(2)若
为第三象限角，
，求
的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】
【详解】（1）
.
（2）
，
∵
，且
为第三象限角，
∴
，则
，即
，
∴
，即
【变式3-3】角
的终边经过点
，则
.
【答案】
【详解】由于角
的终边经过点
，故
故
，
故答案为：
题型04 利用诱导公式进行证明
【例7】证明：
．
【答案】见解析
【详解】证明：左边
=右边
故原等式成立．
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简与真命题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合
理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
【例8】求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】证明：①当
,
时，
等式左边=
，
等式右边=
，
即左边=右边；
②当
,
时，
等式左边=
，
等式右边=
，
即左边=右边；
综上可得
，
故命题得证.
【点睛】本题考查了诱导公式，主要考查了分
为奇数、偶数讨论，重点考查了分类讨论的数学思想方法，
属中档题.
【变式4-1】证明：
，
．
【答案】证明见解析
【详解】证明：当n 为偶数时，令
，
，
左边
．
右边
，∴左边=右边．
当n 为奇数时，令
，
，
左边
．
右边
，∴左边=右边．
综上所述，
，
成立．
【变式4-2】求证
【答案】证明见解析
【详解】
【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系，意在考查学生的推断能力.
【变式4-3】求证：
＝
．
【答案】证明见解析
【详解】左边
.
右边
.
∴左边＝右边，故原等式成立．
题型05 诱导公式的综合
【例9】已知
、
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若
，则
，
所以
，
则
，
所以“
”
“
”，
另一方面，若
，则
或
，
即
或
，
所以“
”
“
”，
故“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
【例10】如图所示，在平面直角坐标系
中，角
与角
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴的非负半
轴重合，终边分别是射线
和射线
，若射线
与单位圆的交点为
，射线
与单位圆的交
点为
，且
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可知：
，则
，解得
，
即
，且
；
易得
，则
，
则
.
故选：A.
【变式5-1】在平面直角坐标系xOy 中，角
以Ox 为始边，终边与单位圆
交于点P（点P 位于第三象
限），且
，点P 在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q，若经过的圆弧PQ 的长为
，
则点Q 的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设角
是以
为始边，终边为
，
点P 在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q，经过的圆弧
的长为
，
，
，
，
，
，
，
点P 位于第三象限，
，
，
，
设
的横坐标为
，
则
，故
.
故选：B.
【变式5-2】已知函数
，其中
.
(1)化简
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求
的值.
【答案】(1)
且
；
(2)
；
(3)
【分析】
【详解】（1）由
且
，
所以
且
.
（2）由题设及（1）知
， 且
因为
，所以
，
所以
；
（3）由题知
，得
所以代入原式得：
，
即
，
又
，
整理得
，
所以
，
可得
，
所以
，
因为
，所以
，
等式两边同时除以
得：
所以
，
即
.
【变式5-3】在单位圆中，已知锐角
的终边与单位圆交于点
，将角
的终边绕原点
按照逆时针
方向旋转
，交单位圆于点
，点
关于
轴的对称点为
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】
【详解】（1）由三角函数定义得，
．
为锐角，
，
，
，
；
（2）解法一：由题意得，
，
，
为锐角，
，即
，
，即
，
，故
，
，即
，
解得
或
解法二：由题意得，
，
，
为锐角，
，即
，
，解得
或
，
或
．
题型06 利用互补互余关系求值
【例11】已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，则
，
又因为
，则
，且
，
所以
.
故选：D.
【例12】已知
，则
.
【答案】
【详解】
.
故答案为：
.
【变式6-1】已知θ 是第一象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，
则
，
因为θ 是第一象限角，所以
，且
，
所以
.
故选：A.
【变式6-2】若
，则
．
【答案】
【详解】因为
，
则
．
故答案为：
【变式6-3】已知
且
，则
【答案】
/
【详解】因为
，
所以
，
由
，得
，所以
，
．
故答案为：
．
一、单选题
1．在
中，下列关系式：①
；②
；③
，恒成立
的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】B
【详解】在
中，
，
，
对于①，
，故①错误；
对于②，
，故②正确；
对于③，
，故③正确．
综上所述，②③正确，
故选：B．
2．已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
.
故选：A.
3．若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故选：A
4．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
.
故选：B.
5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以原点O 为顶点，
轴正半轴为始边，
为终边的角为
，且终边不在坐标轴上.若将
绕
点顺时针旋转
至
，则点
的坐标为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可得
为终边的角为
，
又
，
所以
.
故选：C
6．若
，
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．1 或
【答案】D
【详解】因为
，
，
所以
，
，
相减得
，
当
为偶数时，设
，则
；
当
为奇数时，设
，则
，
故选：D
二、多选题
7．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】由条件
可知，
，
，
所以
，A 错误；
，B 正确；
，C 正确；
，D 正确.
故选：BCD
8．已知
，则下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】由于
，故
，A 错误，B 正确；
，C 正确，D 错误，
故选：BC
三、填空题
9．已知
，则
.
【答案】
【详解】
.
故答案为：
10．已知角
、
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原
点）于
、
两点，点
坐标为
，则
；若点
在第一象限，且
，则
.
【答案】
/
/
【详解】由三角函数的定义可得
，
，
由题意可知
，又因为
，所以
，
所以
，
因为角
为第四象限角，角
为第一象限角，故
，
所以
.
故答案为：
；
.
11．
，则
．
【答案】
【详解】因为
，
所以
，
故答案为：
四、解答题
12．在平面直角坐标系：
中，角
以
为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点
.
(1)求
；
(2)求
的值；
【答案】(1)
，
，
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意得
，
，
所以
，
.
（2）由（1）知
，
所以
.
13．已知
．
(1)化简
；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
即
.
（2）因为
，所以
，
所以
.
14．已知
.
(1)若
的始边为
轴的非负半轴，终边过点
，求
的值；
(2)若
，且
，求
的值；
(3)若
，
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）
的终边过点
，
，
，
；
（2）因为
，所以
，即
，
从而
，
因为
，
，
，所以
，因此
，
从而
，故
（3）
.
