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专题3.2 函数的单调性
教学目标
1、了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性
2、会借助图像和定义求函数的单调区间
3、理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图像求函数的最大(小)值
4、会借助函数的单调性求最值
5、会根据函数的单调性求参数或解参数不等式
教学重难点
教学重点：①定义法证明函数的单调性②函数最值的求法
教学难点：定义法证明函数的单调性
知识点01 函数单调性
1、增函数与减函数
1.1 增函数
一般地，设函数
的定义域为
，区间
，如果
，当 时，
都有
，
那么就称函数
在区间
上 （如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数
在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
1.2 减函数
一般地，设函数
的定义域为
，区间
，如果
，当 时，
都有
，
那么就称函数
在区间
上是 .（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数
在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数
在区间
上单调递增或单调递减，那么就说函数
在这一区间具有(严格
的)单调性，区间
叫做
的 ．
3、常见函数的单调性
函数
单调性
一次函数
（
）
当
时，
在
上单调递增
当
时，
在
上单调递减
当
时，
在
和
上单调递减
反比例函数
（
）
当
时，
在
和
上单调递增
二次函数
（
）
对称轴为
当
时，
在
上单调递减；
在
上单调递增
当
时，
在
上单调递增；
在
上单调递减
【即学即练】函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数
，证明的单调区间为
①取值：任取
，
，且
；
②作差：计算
；
③变形：对
进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必
要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断
或（
），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数
在给定区间
上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数
在给定区间
上的单调性与
在给定区间
上的单调性相反；
（2）函数
在给定区间
上的单调性与
的单调性相同；
（3）
和
的公共定义区间
，有如下结论；
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
【即学即练】判断函数
在
上的单调性，并用函数单调性的定义来证明.
知识点03 函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数
，其定义域为
，如果存在实数
满足：
①
，都有
②
，使得
那么称
是函数
的最大值；
2、最小值：对于函数
，其定义域为
，如果存在实数
满足：
①
，都有
②
，使得
那么称
是函数
的最小值；
【即学即练】函数
，
的最大值为 .
知识点04 复合函数单调性（同增异减）
一般地，对于复合函数
，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层
函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函
数：
：令：
和
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
【即学即练】函数
的单调减区间是 ．
题型01 定义法判断或证明函数单调性
【典例1】已知函数
，且满足
，
.
(1)求
和
的值；
(2)判断
在
上的单调性，并用定义证明.
【变式1】判断函数
在
上的单调性，并用函数单调性的定义来证明.
【变式2】根据定义，研究函数
在区间
上的单调性．
【变式3】已知定义在
上的函数
，满足
．
(1)求
的解析式；
(2)求证：
在
上是增函数．
【变式4】已知函数
在区间
上的最小值为1，最大值为10.
(1)求
，
的值；
(2)设
，利用定义证明：函数
在
上是增函数.
1.利用定义证明函数单调性的步骤
注：作差变形是解题关键
2.利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧：
（1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；
（2）当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；
（3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；
（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。
题型02 求函数单调区间
【典例1】已知函数
，
，根据图象写出它的单调区间．．
【变式1】已知函数
，则函数
（ ）
A．在
上单调递增
B．在
上单调递减
C．在
上单调递增
D．在
上单调递减
【变式2】函数
的单调递增区间为 .
【变式3】画出函数
的图象，并指出函数的单调区间
【变式4】画出下列函数的图象，并写出它的单调区间．
(1)
；
(2)
．
图像法求函数单调区间的步骤
(1)作图：作出函数的图像．
(2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间
题型03 根据函数的单调性求参数
【典例1】已知
在区间
上是单调减函数，则实数
的取值范围为 ．
【变式1】若函数
在区间
上不具有单调性，则实数
的取值范围是 .
【变式2】已知函数
在区间
上为增函数，则实数a 的取值范围是 ．
【变式3】已知函数
，是
上的严格增函数，则实数
的取值范围是 ．
【变式4】若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 .
题型04 复合函数单调区间
【典例1】已知函数
的单调递增区间为 .
【变式1】函数
的单调递减区间为 ．
【变式2】若函数
在
上单调递减，则
的取值范围是 ．
【变式3】函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围为 .
【变式4】函数
的单调递增区间为 ．
题型05 根据函数的单调性解不等式
【典例1】已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知函数
是定义在R 上的增函数，且
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
在定义域
上是减函数，且
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】函数
是定义域为
的增函数，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知函数
若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 根据单调性（图象）求最值或值域
【典例1】函数
的最大值为 .
【变式1】函数
在区间
上的值域为 ．
【变式2】函数
的最小值为 ．
【变式3】函数
的最小值为 ．
【变式4】函数
在
的值域是 .
性质法
（1）函数
在给定区间
上的单调性与
在给定区间
上的单调性相反；
（2）函数
在给定区间
上的单调性与
的单调性相同；
（3）
和
的公共定义区间
，有如下结论；
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
题型07 根据函数的最值（值域）求参数
【典例1】已知
，关于
的函数
在区间
上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为
负，则实数
.
【变式1】已知函数
在区间
上的最大值为5，则
（ ）
A．2
B．3
C．15
D．3 或15
【变式2】设函数
，其中
表示
中的最大者，若
在区间
上的最大值为7，最小值为4，则区间长度
的最大值和最小值分别为（ ）
A．3，1
B．4，1
C．5，2
D．7，2
【变式3】函数
在
上的最大值为
，则
.
【变式4】已知函数
存在最小值，则
的取值范围是 .
题型08 函数不等式恒成立、能成立问题
【典例1】已知函数
，当
时，恒有
，求k 的取值范围．
【变式1】下列选项中是“
，
”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
【变式3】已知关于
的不等式
在
上有解，则
的取值范围为 ．
【变式4】4．已知二次函数
．
(1)若
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
(2)解关于
的不等式
（其中
）．
1．函数
的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（ ）
A．定义域为
；单调递增区间为
B．定义域为
；单调递增区间为
，
C．定义域为
；单调递增区间为
D．定义域为
；单调递增区间为
2．已知函数
，
的最小值是：（ ）
A．
B．0
C．4
D．8
3．已知函数
是
上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
为
上的减函数，则满足
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数
在区间
上的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．
D．4
7．已知函数
的值域为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）下列函数最小值为2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）已知函数
是
上的函数，且满足对于任意的
，都有
成立，则
可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．已知函数
满足
，则
在区间
内的最小值是 ．
12．已知函数
，若
恒成立，则实数
的取
值范围为 ．
13．已知函数
，且
，设
．
(1)求函数
的解析式；
(2)用定义法判断
的单调性．
14．已知函数
对任意的实数m，n，都有
，且当
时，有
．
(1)求
的值；
(2)求证：
在R 上为增函数；
15．已知函数
，且
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在
上的最值．
