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专题3.4 二项式定理与杨辉三角
教学目标
（1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
教学重难点
1.重点
（1）二项式定理；
（2）二项展开式的通项；
（3）二项式系数。
2.难点
（1）系数最大项与二项式系数的最大项；
（2）二项展开式中的对称性、增减性与最值问题。
知识点01 二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数n ，都有：
，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做
n
b
a
)
(
的二项展开式．
式中的
做二项展开式的通项，用
表示，即通项为展开式的第
项：
，
其中的系数
（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）二项式
的展开式的特点：
①项数：共有
项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第
项的二项式系数为
，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数
．字母
降幂排列，次数由
到
；字母
升幂排列，次
数从
到
，每一项中，
，
次数和均为
；
④项的系数：二项式系数依次是
，项的系数是
与
的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①
0
1
1
(
)
( 1)
( 1)
n
n
n
r
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
（
*
N
n
）
②
1
2
2
(1
)
1
n
r
r
n
n
n
n
x
C x
C x
C x
x
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第
项，该项的二项式系数是
r
n
C ；
②字母
的次数和组合数的上标相同；
③
与
的次数之和为
．
注意：①二项式
的二项展开式的第r+1 项
r
n r
r
n
C a
b
和
的二项展开式的第r+1 项
r
n r
r
n
C b
a
是有区别的，应用二项式定理时，其中的
和
是不能随便交换位置的．
②通项是针对在
这个标准形式下而言的，如
的二项展开式的通项是
1
( 1)r
r
n r
r
r
n
T
C a
b
（只需把
看成
代入二项式定理）．
知识点02 二项式展开式的最值问题
（1）二项式系数的性质
①每一行两端都是，即
；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即
．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
．
③二项式系数和令
，则二项式系数的和为
，变形式
．
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令
，
则
，
从而得到：
．
⑤最大值：
如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
（2）系数的最大项
求
展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为
，设
第
项系数最大，应有
，从而解出
来．
知识点03 二项式展开式中的系数和有关问题
（1）设
0
1
1
2
2
2
n
n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C a
b
C b
，
二项式定理是一个恒等式，即对
，
的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取
，
的值．
①令
1
a
b
，可得：
0
1
2n
n
n
n
n
C
C
C
②令
，可得：
0
1
2
3
0
1
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
，即：
0
2
1
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
（假设n 为偶数），再结合①可得：
0
2
1
3
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
．
（2）若
，则
①常数项：令
，得
．
②各项系数和：令
，得
．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当
为偶数时，奇数项的系数和为
；
偶数项的系数和为
．
（可简记为：
为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当
为奇数时，奇数项的系数和为
；
偶数项的系数和为
．
（可简记为：
为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若
，同理可得．
注意：常见的赋值为令
，
或
，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
题型一：求二项展开式
【典例1】.（24-25 高三上·北京通州·期末）在二项式
的展开式中，常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k 项
【分析】求出通项，找到常数项即可.
【详解】
的通项公式为
，
常数项时
，则
，
所以常数项为
，
故选：D.
【变式1】.已知二项式
的展开式中
的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、二项展开式的应用
【分析】应用二项展开式的通项求解可得.
【详解】
的展开式的通项公式
.
令
，解得
，
可得
，
即
的系数为
.
故选：A.
【变式2】.（24-25 高三·上海·随堂练习）
的二项展开式是 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求二项展开式
【分析】根据二项式定理可得答案.
【详解】
．
故答案为：
．
【变式3】.在二项式
的展开式中，常数项是第 项．
【答案】11
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式、求二项展开式的第k 项
【分析】求出通项，找到常数项，然后确定第几项即可.
【详解】
的通项公式为
，
常数项时
，则
，
所以常数项是第11 项，
故答案为：11
题型二：求含有参数的二项展开式
【典例2】.（24-25 高二下·上海·期中）若
的展开式中含
项的系数为
，则实数
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】由项的系数确定参数
【分析】求出
的展开式的通项，令
的次数等于
，求出对应的值，再代入系数结合题意即
可求得实数
的值.
【详解】二项式
的展开式的通项为
,
令
，解得
，
所以
，解得
故选：D.
【变式1】.（25-26 高三上·云南昭通·阶段练习）
展开式中的常数项为160，则实数
．
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】由项的系数确定参数、求二项展开式的第k 项
【分析】根据二项式的通项公式结合常数项计算求参数.
【详解】由题意知
，
则
，即
，
故
即
．
故答案为：1.
【变式2】.（24-25 高二下·河北保定·阶段练习）在
展开式中
的系数为20，则实数
的值为
．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】由项的系数确定参数
【分析】写出二项式的展开式通项，结合指定项系数求参数值即可.
【详解】由题设，二项式展开式通项为
，
，
令
，得
，故
，可得
.
故答案为：4.
【变式3】.（2025·北京东城·一模）在
的展开式中，
的系数为10，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由项的系数确定参数
【分析】写出二项式通项，令字母因数部分指数为3 即可求解.
【详解】因为
的通项为
，
令
，解得
，
则
，解方程得：
.
故选：D.
题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
【典例3】.（25-26 高三上·山东聊城·开学考试）
的展开式中
项的系数为（ ）
A．120
B．90
C．60
D．45
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】将
变形成
，利用二项式定理，可得
项的系数.
【详解】因为
，
所以
的展开式中
项的系数为
.
故选：C.
【变式1】.（24-25 高二下·广东广州·期末）
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．14
C．
D．9
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】先确定二项式
展开式的通项，再根据分配律运算得
的系数即可.
【详解】因为
中二项式
展开式的通项为
，
所以
的展开式中，
的系数是
．
故选：A．
【变式2】.（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）
展开式中含
项的系数为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】三项展开式的系数问题
【分析】确定展开式中
对应的各项指数组合，即可列出该项得解.
【详解】
展开式中含
项的为
，则其系数为
.
故答案为：
.
【变式3】.（2025·浙江丽水·一模）
展开式中的常数项是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】根据题意，先求得二项式
的展开式的通项公式为
，进而求得展开式的常数
项，得到答案.
【详解】由二项式
的展开式的通项公式为
，
所以
，
所以当
时有常数项
，当
时有常数项
，
所以所求展开式的常数项为
.
故答案为：
.
题型四：求二项式系数与项的系数的最值
【典例1】.（2025·江苏宿迁·三模）（多选题）
的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共8 项
B．含
项的系数为480
C．无常数项
D．所有项的二项式系数之和为128
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、二项式的系数和
【分析】利用二项式定理可判断A 正确，根据展开式通项可判断B 错误、C 正确，根据所有项的二项式系
数之和为
可得D 正确.
【详解】对于A，易知
的展开式中共有8 项，即A 正确；
对于B，设展开式中的第
项为
,
令
，解得
；
因此含
项的系数为
，所以B 错误；
对于C，令
，此时
不是正整数，因此展开式中不存在常数项，即C 正确；
对于D，易知所有项的二项式系数之和为
，可得D 正确.
故选：ACD
【变式1】.（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知
的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，
则展开式中的常数项为 .
【答案】54
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k 项、求指定项的二项式系数
【分析】根据展开式中第二项与第四项的二项式系数相等求出
，再根据二项式的展开式通项公式求出
常数项.
【详解】
的展开式中第二项和第四项的二项式系数分别为
和
，
所以
，根据组合数的性质可得
.
对于
，易得展开式的通项为
，
，
令
，得
，
所以常数项为
.
故答案为：54.
【变式2】.（24-25 高二下·上海奉贤·期末）在
的二项展开式中系数最大的项的系数是
（结果用数字表示）
【答案】20412
【难度】0.85
【知识点】求系数最大（小）的项
【分析】根据二项展开式得到第
项系数为
，再利用二项式系数最大项的求法得出
的值即可求最大项的系数.
【详解】
的展开式通项为
，则系数为
，
设第
项系数最大，则
即
，解得
，又
，所以
，
所以最大项系数为第7 项，最大系数为
.
故答案为：20412.
【变式3】.（2025·甘肃白银·三模）已知
展开式的所有二项式系数之和为32，则
展开式
的各项中系数的最大值为（ ）
A．252
B．210
C．120
D．10
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可.
【详解】因为
展开式的所有二项式系数之和为32，
所以
，
所以
的通项公式为
，
当
或6 时，
展开式的系数最大，其系数最大值为
，
故选：B
题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
【典例5】.（25-26 高三上·河北·开学考试）（多选题）设
，则下列说
法正确的有（ ）
A．
的展开式中所有项的二项式系数的和为
B．
C．
D．
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、二项式的系数和
【分析】A 选项，由结论直接可得二项式系数的和为
，A 正确；B 选项，令
得
；C 选项，赋
值得到
，相加可得C 正确；D 选项，令
得
，D 错误.
【详解】A 选项，
的展开式中所有项的二项式系数的和为
，A 正确；
B 选项，
中，令
得
，B 正确；
C 选项，
中，令
得
①，
令
得
②，
两式①+②得
，
即
，C 正确；
D 选项，
，
由二项式定理得
，
故
，
，
令
得
，D 错误.
故选：ABC
【变式1】.（25-26 高三上·江苏南京·阶段练习）若二项式
的展开式中二项式系数和为 64 ，那么
该展开式中的常数项为（ ）
A．
B．
C．15
D．20
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和
【分析】由二项式系数和求得
，再由二项式展开式的通项得
，令
，解出，
代入即可求解.
【详解】由题意得，
，所以展开式的通项为
令
，所以展开式中的常数项为
．
故选：A.
【变式2】.（25-26 高三上·北京昌平·期中）已知
的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为
【答案】20
【难度】0.85
【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数和为
可得
，再结合二项式系数的性质即可求解.
【详解】因为
的二项式系数和为64，则
，解得
，
所以二项式系数最大值为
.
故答案为：20.
【变式3】.（25-26 高三上·四川南充·阶段练习）已知
的展开式中各项系数之和为64，则该展开式
中
的系数为 ．
【答案】135
【难度】0.85
【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式的系数和
【分析】根据给定条件，利用赋值法求得指数
，再利用二项式展开式的通项计算求解.
【详解】依题意，
，解得
，
故二项式
的展开式的通项为：
，
当
时，可得该展开式中
的系数为
.
故答案为：
.
题型六：杨辉三角
【典例6】.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13 世纪）所著的
《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和
的展开式的各项系数，此三角形称为“杨
辉三角”，若“杨辉三角”中第
行的各数之和比上一行各数之和大64，则
的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】杨辉三角、二项式的系数和
【分析】合理归纳，得到规律，建立方程求解即可.
【详解】易知第一行的各数和为
，第二行为
，第三行为
，
第四行为
，第五行为
，归纳得第
行的各数之和为
，
第
行的各数之和为
，而第
行的各数之和比上一行各数之和大64，
故有
，解得
，故B 正确.
故选：B
【变式1】.（2024 高二下·全国·专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算
法》一书中，画了一个由二项式
展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本
源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2 行开始，除1 以外，其他每一个数值都是
它上面的两个数值之和，每一行第
个数组成的数列称为第
斜列．该三角形数阵前5 行如
图所示，则该三角形数阵前2022 行第
斜列与第
斜列各项之和最大时，
的值为（ ）
A．1009
B．1010
C．1011
D．1012
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】杨辉三角
【分析】根据题意可得第
斜列各项之和为
，第
斜列各项之和为
，则可求出.
【详解】当
时，第
斜列各项之和为
，
同理，第
斜列各项之和为
，所以
，
所以第
斜列与第
斜列各项之和最大时，
，则
.
故选：C．
【变式2】.（2025 高二·全国·专题练习）南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史
上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9 行第8 个数是
．
【答案】36
【难度】0.85
【知识点】杨辉三角
【分析】根据题意，结合杨辉三角，找出规律，即可得出结果.
【详解】由图分析，第0 行的数为1，第1 行的数为
，
第2 行的数为
，
第3 行的数为
……
因此，第n 行第m 个数为
，所以第9 行第8 个数是
.
故答案为：
【变式3】.（24-25 高二下·上海·期中）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三
角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列
为2，3，3，4，6，4，5，
10，…，若
，
，则
的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】杨辉三角
【分析】根据“杨辉三角”确定
的位置，再分析出去掉所有的之后的位置，从而得到
的最大值.
【详解】依据“杨辉三角”的分布规律及
可知最后一个
出现在第
行的第
个数，
去掉所有之后是第行第个数，所以
的最大值为
，
故答案为：
.
题型七：二项式定理与数列求和
【典例7】.已知数列
是等比数列，
，公比是
的展开式的第二项（按
的降幂排列）.
（1）求数列
的通项
；
（2）求数列
前
项和
；
（3）若
，求
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【难度】0.65
【知识点】二项式定理与数列求和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n 项和、求二项展开式的第
k 项
【分析】（1）利用二项式定理求得
的展开式的第二项，可求得数列
的公比，利用等比数列
的通项公式可求得
；
（2）分
和
两种情况讨论，利用等比数列的求和公式可求得
；
（3）分
和
两种情况讨论，利用二项式定理可求得
的表达式.
【详解】（1）
的展开式的第二项为
，
所以，数列
的公比为
，则
；
（2）当
时，则
，
；
当
时，
.
综上所述，
；
（3）当
时，
，
，
此时，
；
当
时，
，
此时，
.
综上所述，
.
【点睛】本题考查等比数列通项的求解、等比数列求和以及利用二项式定理求和，考查计算能力，属于中
等题.
【变式1】.已知函数
，其中
．
（1）若
，
，求
的值；
（2）若
，
，求
(
，1，2，3，…，8)的最大值；
（3）若
，求证：
．
【答案】（1）
（2）1792（3）见解析
【难度】0.4
【知识点】求系数最大（小）的项、二项式定理与数列求和、二项展开式各项的系数和
【分析】（1）令
和
，两式相加即得解；
（2）先求出
，设
为
中的最大值，则
解不等式组即得解；
（3）先得到
，再利用二项式定理证明.
【详解】（1）
，
时，
，
令
得
，
令
得
，
两式相加可得
．
（2）
，
．
不妨设
为
中的最大值，则
或6，
中最大值为
．
（3）若
，
，
．
因为
，
所以
．
．
故得证.
【点睛】本题主要考查二项式定理求展开式的系数和差，求展开式系数的最大值，考查组合数的计算，意
在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
题型八：排列组合综合
【典例8】.（25-26 高三上·辽宁丹东·阶段练习）三个家庭的3 位妈妈带着2 名女宝和2 名男宝共7 人踏春，
在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；2 名女宝相邻且不排最
前面也不排最后面；为了防止2 名男宝打闹，2 人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数
共有（ ）
A．192 种
B．288 种
C．144 种
D．96 种
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用
【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．
【详解】第一步：先将3 名母亲全排，共有
种排法；
第二步：将2 名女宝“捆绑”在一起，共有
种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的2 名女宝作为一个元素，在第一步形成的2 个空中选择1 个插入，有
种排
法；
第四步：首先将2 名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝
与妈妈形成的2 个空中的其中1 个，共有
种排法．
∴不同的排法种数有：
种．
故选：D
【变式1】.雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022 到2023 赛季中国高中篮球联
赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12 人（其
中1 人为队长），教练组3 人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，
总共有多少种站法（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的
排列问题
【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解.
【详解】选择左右两边其中一边将教练组3 人捆绑看作一个整体安排共有
种排法，
将剩余的11 名队员全排列共有
，
由分步乘法计数原理可得总的站法有
，
故选:B.
【变式2】.现有
个小球和
个小盒子，下面的结论正确的是 .
①若
个不同的小球放入编号为、
、、
的盒子中（允许有空盒），则共有
种放法；
②若
个相同的小球放入编号为、
、、
的盒子中，且恰有两个空盒的放法共有
种；
③若
个不同的小球放入编号为、
、、
的盒子中，且恰有一个空盒的放法共有
种；
④若编号为、
、、
的小球放入编号为、
、、
的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的
编号全不相同的放法共有种.
【答案】②③④
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的计数问题、排列组合综合、分组分配问题
【分析】由分步乘法计数原理可判断①的正误；由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断②的
正误；由分步乘法、排列、组合知识可判断③的正误；利用枚举法可判断④的正误.
【详解】对于①，若
个不同的小球放入编号为、
、、
的盒子中（允许有空盒），每个小球有
种
放法，共有
种不同的放法，①错误；
对于②，将
个相同的小球放入编号为、
、、
的盒子中，且恰有两个空盒，
则一个盒子放个小球、另一个盒子放个小球或两个盒子均放
个小球，
此时，共有
种不同的放法，②正确；
对于③，将
个不同的小球放入编号为、
、、
的盒子中，且恰有一个空盒，
则两个盒子各放个小球，另一个盒子放
个小球，此时，共有
种放法，③正确；
对于④，将编号为、
、、
的小球放入编号为、
、、
的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和
盒子的编号全不相同的放法为：
、
、
、
、
、
、
、
、
，共种，④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
【变式3】.冰墩墩（Bing Dwen Dwen）是2022 年北京冬季奥运会的吉祥物．将6 个不同的冰墩墩分配到甲
乙丙丁4 人，每人至少分配1 个冰墩墩，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
【答案】1560
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题
【分析】根据题意可知有两个人各分得2 个、两个人各分得1 个和有一个人分得3 个、其余三人各分得1
个两种情况，结合平均分配的思想方法与分步乘法计数原理即可求出结果.
【详解】根据题意，有两种情况：
一、有两个人各分得2 个，两个人各分得1 个，可以先从6 个冰墩墩中任选2 个，组成一个小组，有
种
选法，然后再从剩余4 个冰墩墩中任选2 个，组成一个小组，有
种选法；然后连同两个冰墩墩，看成四
个元素，四人看成四个不同的元素在四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有
种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案；
二、有一个人分得3 个，其余三人各分得1 个，可以先从6 个冰墩墩中任选3 个，组成一个小组，有
种
选法；然后连同其余三个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同
的位置的排列方法数有
种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案．
综上，不同的分配方案共有
种．
一、单选题
1．（24-25 高二上·江西·期末）二项式
的展开式中有理项的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】二项展开式的应用
【分析】由二项式展开式的通项公式求出通项，然后由指数为整数得到
的取值，得出结果.
【详解】二项式
展开式的通项为
．
其中当k 的值分别为0，2，4 时，
为有理项，共有3 项．
故选：B．
2．（24-25 高二下·广西河池·阶段练习）在
的展开式中，
的系数为40，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由项的系数确定参数
【分析】根据二项展开式通式得
，再令
，解出后即可得到方程，
解出即可.
【详解】
的展开式通项为
，
令
，可得
，所以
的系数为
，解得
．
故选：C.
3．（25-26 高三上·广东·阶段练习）
的展开式中的常数项为（ ）
A．120
B．88
C．24
D．18
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】三项展开式的系数问题、分类加法计数原理
【分析】利用多项式乘多项式的规则及分类计数原理即可求解.
【详解】因为
，
要想得到常数项，则有两种可能性：
（1）5 个括号都取常数项
，则得到的常数项为
；
（2）2 个括号取常数项
，2 个括号取
，1 个括号取
，则得到的常数项为
.
根据多项式乘多项式的规则可知
展开式的常数项为
.
故选：B
4．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．25
C．
D．50
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】利用
的二项展开式的通项公式
，可求
的系数.
【详解】易得
展开式通项公式为
，
令
可得
的系数为
，令
可得
的系数为
，
故原展开式中
的系数为
.
故选：A.
5．（24-25 高二下·安徽·期末）已知
的展开式中第3 项与第5 项的二项式系数之比为
，则展开
式中的有理项的项数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求有理项或其系数、求指定项的二项式系数
【分析】根据第
项的二项式系数为
，求出
，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项.
【详解】由题知
，又
，
所以
，
展开式通项为
，令
，
则
，所以展开式中有4 项的有理项.
故选：C
6．（24-25 高二下·江苏镇江·阶段练习）
的展开式的第二项的二项式式系数为（ ）
A．10
B．5
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求指定项的二项式系数
【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案.
【详解】
的展开式的第二项的二项式式系数为
.
故选：B.
7．（24-25 高二下·广东汕头·期中）在二项式
展开式中，下列说法不正确的是（ ）
A．第三项的二项式系数为15
B．所有项的二项式系数之和为64
C．有理项共有3 项
D．常数项为第五项
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、求有理项或其系数、二项式的系数和、求指定项的二项式系数
【分析】结合二项展开式的通项公式可判断ACD 的真假，利用二项式系数的性质可判断B 的真假.
【详解】设
展开式的第
项为
，
则：
.
所以
的二项式系数为
，故A 正确；
由
为整数，可得的值可以为
，故展开式中有理项为4 项，故C 错误；
由
，所以
为常数项，故D 正确；
对B：根据二项式系数的性质可得：所有项的二项式系数之和为
，故B 正确.
故选：C
8．（24-25 高二下·全国·课后作业）
的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为
（ ）
A．第1 项和第3 项
B．第2 项和第4 项
C．第3 项和第1 项
D．第4 项和第2 项
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的二项式系数
【分析】写出
的二项展开式的通项，进而可知项的系数为
，进而可知当
取奇数时，
系数为负值，因此分别求出
、
、
时的项的系数，进而可知最小值；因为
的展开式
有7 项，因此中间一项的二项式系数最大.
【详解】
的展开式的通项为
，
当
取奇数时，系数为负值，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以第2 项的系数最小；
因为
的展开式有7 项，所以中间一项的二项式系数最大，即第
项的二项式系数最大.
故选：B.
9．在
的二项展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第4 项
B．第5 项
C．第6 项
D．第5 项和第6 项
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】
的通项公式为
,
根据二项式系数的性质可知，第5 项和第6 项的二项式系数最大，
第6 项时，展开式的系数为负，因此第5 项，展开式系数最大
故选：B
10．（25-26 高三上·河北·开学考试）
的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常
数项为（ ）
A．60
B．
C．15
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k 项、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数和的性质，求出参数；根据二项式展开式，求出指定项即可.
【详解】由题可知
，解得
，
则二项式展开式通项公式为
，
令
，解得
，所以常数项为
.
故选：A.
11．（2025·湖南益阳·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、两个二项式乘积展开
式的系数问题
【分析】令
计算可判断A；利用
展开式的通项公式计算可判断B，令
计算可判断C；令
结合C 选项计算可判断D.
【详解】对于A，令
，得
，即
，故A 错误；
对于B，
展开式的通项公式为
，
所以
，故B 错误；
对于C，令
，得
，
即
，故C 正确；
对于D，令
，得
，
即
，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
不成立，故D 错误.
故选：C
12．（24-25 高二下·福建泉州·期末）已知
，则下列选项中错误的是
（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数
和
【分析】求出二项式展开式的通项公式，求出
分析判断AB；赋值计算判断CD.
【详解】
展开式的通项公式为
，
对于A，
，A 正确；
对于B，当
时，
，解得
，当
时，
即有
，因此
的最大值为
，B 正确；
对于C，当
分别取
时，
，则
，C 错误；
对于D，当
分别取
时，
，则
，
而
，因此
，D 正确.
故选：C
13．当
时，将三项式
展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
若在
的展开式中，
的系数为75，则实数a 的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、杨辉三角、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】阅读题意，结合广义杨辉三角形和二项式定理求解即可.
【详解】依题意， “广义杨辉三角形”构造方法为：第0 行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上
3 数(不足3 数的，缺少的数计为0)之和，
所以“广义杨辉三角形”的第5 行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，
在
的展开式中，
的系数为45，
的系数为30，
的展开式中，
的系数为
，解得
.
故选：A
14．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展
“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法总数
有（ ）
A．432 种
B．240 种
C．192 种
D．96 种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合、不相邻排列问题
【分析】利用排列组合知识进行求解即可
【详解】根据题意，在“射”与“数”之间间隔一艺，先将“射”与“数”进行全排列，
从剩余的4 艺中选择1 个放在“射”与“数”中间，再将这三艺看做一个整体和剩余的3 个元素进行全排
列，这样的排课方法数为：
有
种排课方法.
故选：C.
15．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6 个广告，其中3 个不同的商业广告和3 个不同的公益广
告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3 个连续播放，则不同的播放方式有
（ ）
A．144 种
B．72 种
C．36 种
D．24 种
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合
【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3 个连续播放，将其排成一列，之
间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可.
【详解】先从3 个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有
种方法，
然后将3 个不同的商业广告排成一列有
种方法，
3 个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可，
所以总共有：
种方式.
故选:B
二、多选题
16．（24-25 高二下·贵州安顺·期末）（多选题）已知
的展开式中各项系数之和为
，则展开式
中（ ）
A．各项的二项式系数之和为
B．含
的项的系数为
C．奇数项的二项式系数之和为
D．二项式系数最大项为第项
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、二项式的系数和
【分析】令
，即可求得各项系数之和，由此解方程得到
的值.对于A，利用二项式系数之和的公式
求解即可；对于B，写出该二项式展开式的通项，令
的指数为
求解即可；对于C，利用奇数项的二项式
系数之和的公式
求解即可；对于D，当
为偶数时，二项式系数最大的项是中间项.
【详解】因为
的展开式中各项系数之和为
，所以令
，
，即
，解
得
.
对于A，各项的二项式系数之和为
，故选项A 正确；
对于B，
的展开式的通项为
，令
，解得
，
，故含
的项的系数为
，选项B 正确；
对于C，奇数项的二项式系数之和为
，故选项C 正确；
对于D，当
为偶数时，二项式系数最大的项是中间项，
时，中间项是第
项，故二项
式系数最大项为第
项，选项D 错误.
故选：ABC.
17．（24-25 高二下·内蒙古·期末）（多选题）已知
的展开式中，各项的二项式系数之和为64，
则（ ）
A．
B．各项系数之和为
C．第3 项的二项式系数最大
D．常数项为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式系数的增减性和最值、求二项展开式的第k 项、二项式的系
数和
【分析】根据二项式系数和的性质列式求得
，判断A，令
得各项系数之和判断B，根据二项式系
数的性质判断C，求出
展开式的通项，令
得
，代入即可求常数项判断D.
【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得
，解得
，A 正确．
令
，则各项系数之和为
，B 正确．
因为
，所以第4 项的二项式系数最大，C 错误．
的展开式的通式为
，
令
得
，故所求的常数项为
，D 正确．
故选：ABD
18．（24-25 高二下·河北保定·期末）（多选题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
的展开式的二项式系数之和为
D．
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、奇次项与偶次项的系数和、二项式的系数和
【分析】令
得
即可判断A，利用二项式定理的通项公式求
即可判断B，二项式系数之和为
即可
判断C，令
和
即可求
即可判断D.
【详解】由题意有：令
有
，故A 正确；
由
，故B 正确；
的展开式的二项式系数之和为
，故C 错误；
令
有
，
令
有
，
两式相加有
，故D 正确.
故选：ABD.
19．（24-25 高二下·山西·期末）（多选题）已知
，则（ ）
A．
B．在
中的最大值为
C．
D．
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、二项式的系数和
【分析】将二项式化为
并写出其展开式通项，进而根据各选项的分别求
、确定
中的最大值；用赋值法，令
可求
的值；将目标式去绝对值符号，应
用赋值法令
，即可求
的值.
【详解】由
，得展开式通项为
.
对于A，
，故A 错误；
对于B，
均为负数，
，
，
，
，所以在
中
最大，故B 正确；
对于C，令
，得
，又
，所以
.故C 正确；
对于D，因为
均为负数，其余的均为正数，
所以
，
令
，得
.
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
20．展开：
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式
【分析】根据二项式定理，求出二项展开式即可.
【详解】由二项展开式可得，
.
故答案为：
21．（24-25 高二下·天津和平·期末）已知二项式
的展开式中，
的系数为28，则
的系
数为 .
【答案】70
【难度】0.85
【知识点】由项的系数确定参数、求指定项的系数
【分析】根据二项式的展开式的通项公式先求出
，进而求解即可.
【详解】二项式
的展开式的通项公式为
，
，
，
令
，得
，
由于
的系数为28，则
，解得
，
则
，
，
令
，得
，
所以
的系数为
.
故答案为：70.
22．（25-26 高三上·全国·阶段练习）在
展开式中，
的系数为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三项展开式的系数问题
【分析】利用二项式定理的原理可求解.
【详解】
表示4 个
相乘，要想得到
，需要从4 个因式中，3 个选择
项，1 个选
择常数项，
所以
的系数为：
.
故答案为：
23．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）
的展开式中
项的系数是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】根据题意，先求得
展开式的通项，结合多项式的运算法则，求得
的展开式
中
项，进而得到答案.
【详解】由二项式
展开式的通项为
，
则
的展开式中
项为
所以
的展开式中
项的系数为.
故答案为：.
24．（24-25 高二下·贵州毕节·期末）
的展开式的第7 项的二项式系数是 .
【答案】7
【难度】0.94
【知识点】求指定项的二项式系数
【分析】根据二项式定理的性质计算.
【详解】由题可知：第7 项的二项式系数是
.
故答案为：7
25．（24-25 高二下·山西·阶段练习）在
的二项展开式中，第4 项的二项式系数是 ．
【答案】20
【难度】0.94
【知识点】求指定项的二项式系数
【分析】根据二项展开式的通项公式，写出二项式系数计算即得.
【详解】在
的二项展开式中，第4 项的二项式系数为
．
故答案为：20.
26．（24-25 高二下·北京·阶段练习）
的展开式有7 项，则
；二项式系数最大的项为
.
【答案】 6
【难度】0.85
【知识点】求系数最大（小）的项
【分析】由二项展开式的性质求解.
【详解】因为
的展开式有7 项，所以
；
则二项式系数最大的项为第四项，
所以
，
故答案为：6，
27．已知二项式
的展开式中第二项与第四项的系数相同.则展开式中系数最大的项是
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、由项的系数确定参数
【分析】先写出展开式的通项，利用展开式中第二项与第四项的系数相同求出
的值，再根据系数列不等
式组求解即可.
【详解】二项式
的展开式的第
项为
，
，
由题意可得
，结合
解得
，
所以展开式系数为
，
，
设第
项系数最大，则
，
即
，
即
，
解得
，
因为
，所以
，所以第项系数最大，该项为
.
故答案为：
28．（25-26 高三上·北京顺义·期中）已知
，则
；
.
【答案】 1 15
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和
【分析】根据二项式定理求解.
【详解】由题意令
，
令
，则
，
所以
，在此式中令
得
，
所以
，
故答案为：1；15.
29．（25-26 高三上·山东潍坊·期中）已知
，则
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】二项展开式各项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】借助赋值法，分别令
及
计算即可得.
【详解】令
，则
，即
，
令
，则
，即
，
故
.
故答案为：.
30．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261 年所著的《详解九
章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则
“杨辉三角”中第30 行中第12 个数与第13 个数之比为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】杨辉三角、求指定项的二项式系数
【分析】利用二项式系数表示第30 行第12 和第13 个数，再根据组合数公式，即可求解.
【详解】第30 行中第12 个数与第13 个数之比为
.
故答案为：
四、解答题
31．已知
，函数
.
（1）当
时，求函数展开式中含
的一次项系数之和；
（2）当
时，
①求函数
展开式中的常数项；
②证明：
.
【答案】（1）
；（2）①
；②证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】二项式定理与数列求和、二项展开式各项的系数和、证明组合恒等式
【分析】（1）先写出
的表达式，结合二项式定理进行求解；
（2）①把
代入，写出
的表达式，求出常数项即可；
②先利用错位相减法求解数列的和，结合同一项的系数相等可得等式成立.
【详解】（1）当
时，
；
所以展开式中含
的一次项系数之和为
.
（2）①当
时，
；
所以
展开式中的常数项为
.
②因为
分别是二项式
的展开式中含
的系数，
所以原恒等式左边就是多项式
中含
的系数，
设
，
则
两式相减得
且
时，
整理得
；
上式中含有
的系数为
；
比较系数可得
.
