文档文本内容
专题3.2 函数的单调性
教学目标
1、了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性
2、会借助图像和定义求函数的单调区间
3、理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图像求函数的最大(小)值
4、会借助函数的单调性求最值
5、会根据函数的单调性求参数或解参数不等式
教学重难点
教学重点：①定义法证明函数的单调性②函数最值的求法
教学难点：定义法证明函数的单调性
知识点01 函数单调性
1、增函数与减函数
1.1 增函数
一般地，设函数
的定义域为
，区间
，如果
，当
时，都有
，
那么就称函数
在区间
上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数
在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
1.2 减函数
一般地，设函数
的定义域为
，区间
，如果
，当
时，都有
，
那么就称函数
在区间
上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数
在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数
在区间
上单调递增或单调递减，那么就说函数
在这一区间具有(严格
的)单调性，区间
叫做
的单调区间．
3、常见函数的单调性
函数
单调性
一次函数
（
）
当
时，
在
上单调递增
当
时，
在
上单调递减
当
时，
在
和
上单调递减
反比例函数
（
）
当
时，
在
和
上单调递增
二次函数
（
）
对称轴为
当
时，
在
上单调递减；
在
上单调递增
当
时，
在
上单调递增；
在
上单调递减
【即学即练】函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
写成分段函数判断即可.
【详解】
，故单调增区间是
.
故选：C
知识点02 函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数
，证明的单调区间为
①取值：任取
，
，且
；
②作差：计算
；
③变形：对
进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必
要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断
或（
），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数
在给定区间
上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数
在给定区间
上的单调性与
在给定区间
上的单调性相反；
（2）函数
在给定区间
上的单调性与
的单调性相同；
（3）
和
的公共定义区间
，有如下结论；
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
【即学即练】判断函数
在
上的单调性，并用函数单调性的定义来证明.
【答案】
在
上是增函数，证明见解析
【分析】先利用特殊值法猜想
的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证.
【详解】对于
，
令
，得
，
故猜想
在
上是增函数，证明如下：
任取
，且
，
则
，
因为
，所以
，
，
，
所以
，即
，
因此
在
上是增函数.
知识点03 函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数
，其定义域为
，如果存在实数
满足：
①
，都有
②
，使得
那么称
是函数
的最大值；
2、最小值：对于函数
，其定义域为
，如果存在实数
满足：
①
，都有
②
，使得
那么称
是函数
的最小值；
【即学即练】函数
，
的最大值为 .
【答案】12
【分析】换元法将函数转化为二次函数，再根据二次函数的图像与性质求最小值.
【详解】令
，因为
，所以
.
则
，函数单调递增，
当
，即
时，
有最大值12，
即函数
，
的最大值为12.
故答案为：12
知识点04 复合函数单调性（同增异减）
一般地，对于复合函数
，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层
函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函
数：
：令：
和
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
【即学即练】函数
的单调减区间是 ．
【答案】
【分析】首先求函数的定义域，再求函数
的单调递减区间，最后求交集，即可求解.
【详解】由
，得：
或
，
所以函数的定义域为
，
函数
的单调递减区间是
，
再和定义域求交集得
.
故答案为：
题型01 定义法判断或证明函数单调性
【典例1】已知函数
，且满足
，
.
(1)求
和
的值；
(2)判断
在
上的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)
(2)
在
上单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据已知列方程组求解；
（2）先判断单调性，再应用单调性定义证明.
【详解】（1）函数
满足
，
，
可得
，解之
.
（2）
，在
上单调递增，
设任意
，且
，
则
，
由
，可得
，
又
，
，
，
则
，则
，
则
在
上单调递增.
【变式1】判断函数
在
上的单调性，并用函数单调性的定义来证明.
【答案】
在
上是增函数，证明见解析
【分析】先利用特殊值法猜想
的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证.
【详解】对于
，
令
，得
，
故猜想
在
上是增函数，证明如下：
任取
，且
，
则
，
因为
，所以
，
，
，
所以
，即
，
因此
在
上是增函数.
【变式2】根据定义，研究函数
在区间
上的单调性．
【答案】单调递增
【分析】根据题意结合单调性的定义分析证明即可.
【详解】任取
，则
，
，
，所以
.
故
在区间
上恒成立，即
.
所以函数
在区间
上单调递增．
【变式3】已知定义在
上的函数
，满足
．
(1)求
的解析式；
(2)求证：
在
上是增函数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）代入
计算出
，由此可求
的解析式；
（2）先取值，然后对
进行因式分解并根据条件判断出其正负，由此可证明出单调性.
【详解】（1）因为
，所以
，所以
，
所以
的解析式为
.
（2）
且
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
在
上是增函数.
【变式4】已知函数
在区间
上的最小值为1，最大值为10.
(1)求
，
的值；
(2)设
，利用定义证明：函数
在
上是增函数.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)先求出函数
的对称轴，结合开口方向，得到函数
在区间
的最大值和最小值，
从而求出
，
的值；
(2)由(1)得
，再由函数单调性的定义证明即可.
【详解】（1）因为
，二次函数
对称轴为
，
所以
在
上为减函数，在
上为增函数，
从而得
，解得
；
（2）由(1)得
，则
，
设任意的
，
且
，则
，
，
因为
，
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
在
上的增函数.
1.利用定义证明函数单调性的步骤
注：作差变形是解题关键
2.利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧：
（1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；
（2）当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；
（3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；
（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。
题型02 求函数单调区间
【典例1】已知函数
，
，根据图象写出它的单调区间．．
【答案】单调递增区间为
，单调递减区间为
．
【分析】根据二次函数的性质作出函数图象，即可根据图象求解单调区间.
【详解】
，
函数图象如图所示．
由图象可知，函数的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
【变式1】已知函数
，则函数
（ ）
A．在
上单调递增
B．在
上单调递减
C．在
上单调递增
D．在
上单调递减
【答案】D
【分析】先将
分离常数得
，再根据反比例函数的性质进行求解即可.
【详解】
，
所以函数
的图象可由反比例函数
的图象向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位得到.
因为
在
和
上单调递减，
所以
在
和
上单调递减.
故选：D
【变式2】函数
的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】利用分离常数法，得
，结合
的范围可得答案.
【详解】
，
由
，得
，
当
时，
单调递减，
单调递增；
当
时，
单调递减，
单调递增，
所以
的单调增区间为
．
故答案为：
．
【变式3】画出函数
的图象，并指出函数的单调区间
【答案】图形见解析，单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，再根据图象可求出函数的单调区间.
【详解】
，
函数的图象如图实线部分所示．
由函数的图象知，函数的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
．
【变式4】画出下列函数的图象，并写出它的单调区间．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)作图见解析，单调递增区间为
，单调递减区间为
．
(2)作图见解析，单调递增区间为
和
，单调递减区间为
和
．
【分析】（1）先画出
的图象，再将
轴下方的图象沿
轴翻折即可得到
的图象；
（2）先画出
的图象，再将
轴下方的图象沿
轴翻折即可得到
的图象.
【详解】（1）先画出
的图象，再将
轴下方的图象沿
轴翻折即可得到
的图象，
函数
的图象如图所示，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）先画出
的图象，再将
轴下方的图象沿
轴翻折即可得到
的图象，
函数
图象如图所示，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
和
．
图像法求函数单调区间的步骤
(1)作图：作出函数的图像．
(2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间
题型03 根据函数的单调性求参数
【典例1】已知
在区间
上是单调减函数，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据给定的分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解.
【详解】依题意，
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
【变式1】若函数
在区间
上不具有单调性，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】讨论两种情况，其中，
时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间
上不具有单调
性，可判断对称轴在区间
上，进而得到答案.
【详解】
时，
，
，
在
上单调递减，具有单调性，不符合题意；
时，
的图象为抛物线，对称轴为
，
根据题意，
在
上不具有单调性，
所以
，解得
.
故答案为：
【变式2】已知函数
在区间
上为增函数，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数化成
，根据反比例函数的单调性列出不等式组求解即得.
【详解】由
可知当
时，均不符合题意，
当
时，函数的单调递增区间为
和
，
依题意，需使
，解得
，即实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式3】已知函数
，是
上的严格增函数，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为函数
是
上的严格增函数，
则满足
，解得
，故实数
的取值范围是
.
故答案为：
．
【变式4】若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的对称性和单调性可得答案.
【详解】函数
图象的对称轴为
，
函数
在区间
上单调递增，
，解得
.所以
的取值范围是
.
故答案为：
题型04 复合函数单调区间
【典例1】已知函数
的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案.
【详解】令
，解得
，故函数定义域为
，
其中
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
其中
在
上单调递增，
由复合函数单调性可知，
的单调递增区间为
.
故答案为：
【变式1】函数
的单调递减区间为 ．
【答案】
【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性以及单调性的性质分析判断函数单调性.
【详解】因为
，
令
，解得
或
，
可知
的定义域为
，
又因为
在定义域内单调递增，
在
内单调递增，在
内单调递减，
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，
且
在定义域内单调递增，
可知
在
内单调递增，
在
内单调递增，
则
在
内单调递减，
所以函数
的单调递减区间为
．
故答案为：
.
【变式2】若函数
在
上单调递减，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由对称轴
，且当
时，
恒成立，可求
的取值范围.
【详解】由题可得函数
在
上单调递减，所以对称轴
，
又当
时，
恒成立，所以
，解得
.
综上：
.
故答案为：
【变式3】函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性同增异减求得
的取值范围.
【详解】依题意，
在区间
上单调递减，
所以
，即
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
【变式4】函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
和
【分析】先求出函数的定义域，再根据复数函数的单调性“同增异减”，即可得到答案
【详解】要使
有意义，则
，解得
且
设
，
且
则
在
和
单调递减，在
和
单调递增，
所以
的单调增区间为
和
，
故答案为：
和
题型05 根据函数的单调性解不等式
【典例1】已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用已知函数的单调性可知这个分段函数是单调递减的，从而可求解集.
【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数
在
上是减函数，
所以
，解得
.
故选：B.
【变式1】已知函数
是定义在R 上的增函数，且
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数单调性解不等式即可.
【详解】因为函数
是定义在R 上的增函数，且
，
所以
，
故选：A
【变式2】已知
在定义域
上是减函数，且
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
解得
．
【变式3】函数
是定义域为
的增函数，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性解不等式即可.
【详解】因为函数
是定义域为
的增函数，
所以由
，得
，
解得
，即
的取值范围为
.
故选：C.
【变式4】已知函数
若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】判断函数
的单调性，再利用单调性求解不等式.
【详解】当
时，函数
在
上单调递增，
，
当
时，
在
上单调递增，
，
因此函数
在R 上单调递增，
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：D
题型06 根据单调性（图象）求最值或值域
【典例1】函数
的最大值为 .
【答案】
/
【分析】首先将函数化简，利用对勾函数的单调性，即可求函数的最值.
【详解】
，
设
，而
在
上单调递增，
所以
，当且仅当
时等号成立，
则
.
所以函数的最大值为
.
故答案为：
【变式1】函数
在区间
上的值域为 ．
【答案】
【分析】根据函数在
上的单调性求解即可.
【详解】因为函数
在
上恒正且单调递增，则
在
上单调递减，
所以
，故
的值域为
．
故答案为：
.
【变式2】函数
的最小值为 ．
【答案】
【分析】先确定定义域，再分别分析定义域内不同区间函数的单调性，进而求出最小值．
【详解】函数
的定义域为
．
①当
时，因为
与
在
上均是增函数，
所以
在
上是增函数，故
；
②当
时，
，
因为
与
在
上均是增函数，
所以
在
上是增函数，且最大值为
，
故
在
上是减函数，
所以
在
上是减函数，
故
．
综上，函数
的最小值为
．
故答案为：
．
【变式3】函数
的最小值为 ．
【答案】
【分析】将函数化为
，令
，则
，由双勾函数的性质即
可求出答案.
【详解】因为
，
，
令
，所以
，
由双勾函数的性质知：
在
上单调递增，
所以当
时，
，
所以函数
的最小值为.
故答案为：.
【变式4】函数
在
的值域是 .
【答案】
【分析】先分离变形，然后结合函数的单调性即可求解.
【详解】因为
在
上单调递增，故
，且
，
所以函数
的值域为
；
故答案为：
性质法
（1）函数
在给定区间
上的单调性与
在给定区间
上的单调性相反；
（2）函数
在给定区间
上的单调性与
的单调性相同；
（3）
和
的公共定义区间
，有如下结论；
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
题型07 根据函数的最值（值域）求参数
【典例1】已知
，关于
的函数
在区间
上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为
负，则实数
.
【答案】
或0
【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解.
【详解】由已知
，
，
又函数在区间
上是严格减函数，且函数值不恒为负，
所以
，解得
，又因为
，所以
或0.
故答案为：
或0.
【变式1】已知函数
在区间
上的最大值为5，则
（ ）
A．2
B．3
C．15
D．3 或15
【答案】B
【分析】先将函数
进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给
定区间上的最大值列出关于
的方程，进而求解
的值.
【详解】
．因为
，所以函数
在
上单调递减，所
以函数
在区间
上的最大值为
，解得
．
故选：B.
【变式2】设函数
，其中
表示
中的最大者，若
在区间
上的最大值为7，最小值为4，则区间长度
的最大值和最小值分别为（ ）
A．3，1
B．4，1
C．5，2
D．7，2
【答案】B
【分析】根据函数定义求得其解析式，画出函数图象根据最值即可得出区间长度的取值范围.
【详解】由题意得
其图象如下图所示：
令
得
；
令
得
或1.
当
，
时，
取得最大值4；
当
，
时，
取得最小值1.
所以
的最大值和最小值分别为4，1.
故选：B
【变式3】函数
在
上的最大值为
，则
.
【答案】
【分析】按照
和
分类判断出函数
在
上的单调性，即可得出函数的最值，利用最
值列式求解即可.
【详解】易知
，
是由
向左平移1 个单位得到，
当
时，即
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，
所以
，解得
，与
矛盾；
当
时，即
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，所以
，解得
.
故答案为：
.
【变式4】已知函数
存在最小值，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】分
、
、
三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】当
时，
在
上单调递增，
且当
时
，显然
不存在最小值，故舍去；
当
时，
，则当
时
，
所以
的最小值为
，符合题意；
当
时，当
时
，所以
在
上单调递减，在
上单调递
增，
，
当
时
，则
在
上单调递减，
要使函数存在最小值，则
，解得
，此时
；
综上可得
的取值范围是
.
故答案为：
题型08 函数不等式恒成立、能成立问题
【典例1】已知函数
，当
时，恒有
，求k 的取值范围．
【答案】
【分析】将问题化为
在
上恒成立，应用换元法及对勾函数的单调性求最值，即可得参数范
围.
【详解】由题意，在
时
恒成立，则
，
令
，得
，
令
，因为
在
上单调递增，故
，
从而
.
【变式1】下列选项中是“
，
”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】变形得到
，根据函数单调性得到
，故
，由于
是
的真子集，故A 正确，其他选项不合要求.
【详解】
，
，
即
，
，
∴
，其中
在
上单调递减，
在
上单调递增，
其中
时，
，当
时，
，
故
，即
，
由于
是
的真子集，故“
”的必要不充分条件为“
”，
其他选项均不合要求.
故选：A
【变式2】若对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
.
【分析】对任意
，
恒成立，等价于
，求二次函数求最大值
代入即得解．
【详解】设
，则
．
因为
，
所以
解得
，
所以实数
的取值范围为
．
故答案为：
.
【变式3】已知关于
的不等式
在
上有解，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由参变量分离法可知，
在
有解，则
，利用双勾函数的单调性求出函数
在
上的最大值，即可得出实数
的取值范围.
【详解】原不等式等价于
在
有解，则
，
又因为函数
在
上单调递增，则
，所以
．
故答案为：
.
【变式4】4．已知二次函数
．
(1)若
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
(2)解关于
的不等式
（其中
）．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）等价变形给定不等式，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可.
（2）分类讨论求解含参数的不等式.
【详解】（1）不等式
，
当
时，
恒成立，而
，
当且仅当
时取等号，则
，
所以实数a 的取值范围是
.
（2）不等式
，
当
时，不等式为
，解得
；
当
时，不等式为
，解得
或
；
所以当
时，原不等式解集为
；
当
时，原不等式解集为
.
1．函数
的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（ ）
A．定义域为
；单调递增区间为
B．定义域为
；单调递增区间为
，
C．定义域为
；单调递增区间为
D．定义域为
；单调递增区间为
【答案】D
【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断.
【详解】由图象可知定义域为
，函数的单调递增区间有2 个，即
，
.
故选：D.
2．已知函数
，
的最小值是：（ ）
A．
B．0
C．4
D．8
【答案】B
【分析】利用二次函数的单调性即可.
【详解】由题意可知，
在
上单调递增，则最小值为
.
故选：B
3．已知函数
是
上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数是
上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函
数值求解.
【详解】由题意，
，
在
中，函数在
上是增函数，
，
解得
.
故选：A.
4．下列函数为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合基本函数的单调性，进行判断即可.
【详解】
在
单调递减，故A 错误；
定义域为
，且在
上单调递增，故B 正确；
在
上单调递减，故C 错误；
在
上单调递减，故D 错误．
故选：B
5．已知
为
上的减函数，则满足
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
为
上的减函数，且
，所以
，即
，解得
或
．
6．函数
在区间
上的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．
D．4
【答案】A
【分析】分段去掉绝对值符号，利用单调性求解可得.
【详解】
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
．
故选：A
7．已知函数
的值域为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的单调性和对称性求解.
【详解】二次函数
的对称轴为
，且
，
当
时，解得
，由二次函数的图象与性质得
的取值范围是
.
故选：B.
8．若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，则
，
，利用
单调递增则
单调性相同
的性质，得出
在
上单调递增，且
，分情况讨论得出
的取值范围.
【详解】令
，则
，
.
已知
在
上单调递增，则
在
上单调递增，且
.
若
，则
，此时
在
单调递增，
且
，符合题意.
若
，则
须满足：
即
.
综上，
.
故选：C.
9．（多选）下列函数最小值为2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式，函数单调性逐一判断即可.
【详解】对A，由
，所以
，当且仅当
取等号，
错误；
对B，
在
单调递增，所以最小值为
，正确；
对C，由
，当
时，有最小值为
，正确；
对D，由
，当
时，
；当
时，
，错误.
故选：BC
10．（多选）已知函数
是
上的函数，且满足对于任意的
，都有
成立，则
可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】BC
【分析】根据题目条件得到函数在
上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，进而求得结论.
【详解】因为
，所以
在
上单调递减，
则要满足
，解得
，故
．
故选：BC．
11．已知函数
满足
，则
在区间
内的最小值是 ．
【答案】
【分析】解方程组法求出
的解析式，然后利用定义法判断其单调性，由单调性可得最值.
【详解】因为
①，所以
②，
由
得
，即
．
设
2，则
，故
在
内单调递
增，所以
．
故答案为：
12．已知函数
，若
恒成立，则实数
的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】先利用函数的单调性定义判断函数
在区间
上的单调性，求得
的值域，再将问题转
化为
在
上的最大值小于等于
在
上的最小值的问题，解不等式可得结论．
【详解】设
，则
，
因为
，所以
，
则
，即
，故
在区间
上单调递增，故当
时，
，
则问题转化为当
时，
，即
恒成立，
又函数
在
上单调递减，所以
所以
，解得
．
故答案为：
13．已知函数
，且
，设
．
(1)求函数
的解析式；
(2)用定义法判断
的单调性．
【答案】(1)
(2)
在区间
和
和
上分别单调递减
【分析】（1）直接根据题意代入求值即可；
（2）根据定义法判断函数
的单调性即可.
【详解】（1）因为
，所以
，则
，
故
．
（2）易得
的定义域为
，
，
则
，
①当
时，
，
则
，即
，
故
在区间
上单调递减；
②当
时，
，
则
，即
，
故
在区间
单调递减，
③当
时，
，
则
，即
，
故
在区间
单调递减，
综上，
在区间
和和
和
上分别单调递减．
14．已知函数
对任意的实数m，n，都有
，且当
时，有
．
(1)求
的值；
(2)求证：
在R 上为增函数；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法，
求
；
（2）设
，
是
上任意两个实数，且
，令
，
，通过函数的单调性的定义直接证
明
在R 上为增函数.
【详解】（1）由
，
故此令
，则
，
则
.
（2）设
，
是R 上任意两个实数，且
，令
，
，
则
，所以
，
由
得
，所以
，
故
，即
，
故此函数
为R 上增函数.
15．已知函数
，且
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在
上的最值．
【答案】(1)
(2)最小值为
，最大值为
【分析】（1）根据
求出
的值，利用换元法求
的解析式即可；
（2）利用函数单调性的定义求函数
在
上的单调性进而求最值即可.
【详解】（1）方法一：因为
，
，令
，即
，
所以
，则
，解得
，
所以
，
令
，
，则
，
则
，
，
所以函数
的解析式为
.
方法二：由题意
，所以
，
又
，所以
，解得
，
所以
，即函数
的解析式为
.
（2）由（1）知
，任取
，
，且
，
则
，
因为
，
，所以
，即
，
所以函数
在
上单调递增，
同理任取
，且
，则
，
因为
，
，所以
，即
，
所以函数
在
上单调递减，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
故
在
上的最小值为
，最大值为
.
