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专题3.4 函数与方程、不等式之间的关系
教学目标
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程的关系
2.会根据函数零点的情况求参数
3.结合二次函数的图像，会判断一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法
4.了解二分法是求定理近似解的方法，会用二分法求一个函数在给定区间内零点近似
值
教学重难点
教学重点
1、了解函数（结合二次函数）零点的概念；
2、理解函数零点与方程的根以及函数图象与x 轴交点的关系；
3、掌握零点存在性定理的运用.
教学难点
1、掌握零点存在性定理的运用，是指会利用零点存在性定理判定在哪个区间存在零
知识点01 函数的零点
（1）函数零点的概念
一般地，如果函数
在实数
处的函数值等于零，即 ，则称
为函数
的
（2）函数零点的意义
不难看出，
是函数
零点的充分必要条件是，
是函数图像与
轴的公共点．因此，由函
数的图像可以方便地看出函数值等于0 的方程的解集，以及函数值与0 比较相对大小的不等式的解集．因
此我们有：
方程
有实数根
函数
⇔
的图像与
函数
⇔
．
注：(1) 函数
的零点就是方程
的根，也就是函数
与
的图像交点的横坐标．
(2)如果方程
有两个相等的实数根
，那么
称为函数
的二阶零点(二重零点).如
就是函数
的二阶零点．
【即学即练】函数
有 个零点
知识点02 一元二次不等式与对应函数、方程
一元二次方程ax 2+bx +c=0（a≠0）的实数根也称为函数y=ax 2+bx +c（a≠0）的零点.
当a>0 时，一元二次方程ax 2+bx +c=0 的实数根、二次函数y=ax 2+bx +c 的零点之间的关系如下表
所示：
Δ=b2−4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
ax 2+bx +c=0
的实数根
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
（其中x1<x2）
x1=x2=−b
2a
方程无实数根
y=ax 2+bx +c
的图象
y=ax 2+bx +c
的零点
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
x1=x2=−b
2a
函数无零点
ax 2+bx +c>0
的解集
{x|x≠−b
2a }
ax 2+bx +c<0
的解集
【即学即练】已知不等式
的解集非空，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
知识点03 函数零点存在性定理
1、函数零点存在定理
如果函数y=f ( x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么函数
y=f ( x)在区间(a,b)内 ，即存在 ，使得f ( x0)=0 ，这个
也就是方程
f ( x)=0 的解.
说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的;②f (a)f (b)<0 .两个条件缺一
不可.
2、函数零点的求法
①代数法：根据零点定义，求出方程f ( x)=0 的实数解;
②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解
【即学即练】函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 二分法
1、二分法的概念
对于在区间
上图象连续不断且
的函数
，通过不断的把它的零点所在区间一
分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection )
2、用二分法求零点的近似值
给定精确度
，用二分法求函数
零点
的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点
的初始区间
，验证
；
（2）求区间
的中点
（3）计算
;
①若
（此时
)，则
就是函数的零点；
②若
（此时
)，则令
；
③若
（此时
)，则令
；
（4）判断是否达到精确度
，若
，则得到零点近似值
(或
)，否则重复2--4
【即学即练】方程
的一个近似解（精确度小于0.1）为 ．
题型01 解二次（可化为二次）函数不等式
【典例1】求下列不等式的解集
(1)
；
(2)
.
【变式1】不等式
的解集为 ．
【变式2】不等式
的解集是 ．
【变式3】解下列不等式：
(1)
；
(2)
．
【变式4】解下列不等式.
(1)
；
(2)
.
题型02 求函数零点
【典例1】函数
的零点为 .
【变式1】函数
的零点是（ ）
A．1
B．
C．
D．
或1
【变式2】（多选）函数
的零点为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【变式3】函数
的零点是 ．
【变式4】函数
的零点的集合为
函数零点的求法
(1)代数法：求出方程
的实数根，即为函数
的零点．
(2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图像联系起来，利用
函数的性质求零点．
题型03 求函数零点个数
【典例1】定义在R 上的奇函数
满足
，则函数
的零点有 个.
【变式1】函数
的零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2】函数
的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式3】函数
在定义域
上的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式4】函数
在区间
内 零点.
判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法：若方程
的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点
或判定零点的个数．
(2)图像法：由
，得
，在同一坐标系内作出
和
的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数
的图像在区间
上是一条连续不断的曲线，由
即可判断
函数
在区间(a,b)内至少有一个零点．若函数
在区间(a,b)上是单调函数，则函数
在区间(a,b)内只有一个零点．
题型04 判断函数零点所在区间
【典例1】对于函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知函数
，则函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知函数
的图象是连续不断的，有如下的
对应值表，那么函数
在区间
上
的零点至少有（ ）
x
1
2
3
4
5
6
7
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式4】函数
的零点所在的一个区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
函数零点存在定理
如果函数y=f ( x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么函数
y=f ( x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在x0∈(a,b)，使得f ( x0)=0 ，这个
也就是方程
f ( x)=0 的解.
题型05 根据函数零点（零点个数）求参数
【典例1】已知函数
若函数
有
个零点，函数
有
个零点，且
，则非零实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】若函数
有4 个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【变式2】已知函数
，若函数
的图象与函数
的图象有3 个交点，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】方程
有四个不同的实数根，求
的取值范围 .
【变式4】若方程
有三个实根，求
的取值范围．
题型06 用二分法求零点近似值
【典例1】用二分法求方程的近似解，求得
的部分函数值数据如表所示：
x
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.812 5
f（x）
－6
3
－2.625
－1.459
－0.14
1.341 8
0.579 3
则当精确度为0.1 时，方程
的近似解可取为（ ）
A．1.6
B．1.7
C．1.8
D．1.9
【变式1】若函数
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:
那么方程
的一个近似解（误差不超过0.025）可以是（ ）
A．1.25
B．1.39
C．1.42
D．1.5
【变式2】若函数
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程
的一个近似根(精确度为
)可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】函数
有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需
要进行（ ）次函数值的计算．
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式4】已知函数
在区间
内有且仅有1 个零点，在利用二分法求函数零点的近似值
时，经过3 次二分法后确定的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
给定精确度
，用二分法求函数
零点
的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点
的初始区间
，验证
；
（2）求区间
的中点
（3）计算
;
①若
（此时
)，则
就是函数的零点；
②若
（此时
)，则令
；
③若
（此时
)，则令
；
（4）判断是否达到精确度
，若
，则得到零点近似值
(或
)，否则重复2--4
1．用二分法求方程的近似解时，求得
的部分函数值数据如表所示：
x
1
2
1.5
1.75
1.875
1.8125
3
1.342
0.5793
则当精确度为0.1 时，方程
的近似解可取（ ）
A．1.6
B．1.7
C．1.8
D．1.9
2．已知函数
有唯一零点，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
3．已知函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设函数
，
，若曲线
与
恰有3 个交点，则
（ ）．
A．
B．1
C．
或1
D．2
6．已知函数
，在下列区间中，一定包含
零点的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
若存在实数
，使得函数
有4 个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知偶函数
，当
时，
，若关于
的方程
有8
个不同的实根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）已知函数
则（ ）
A．
B．
C．
有唯一零点
10．若方程
存在三个不相等的实数根，则实数
的取值范围是 ．
11．已知函数
(1)求关于
的不等式
的解集；
(2)若函数
在
时存在零点，求实数
的取值范围．
12．已知函数
，
的定义域均为
．
(1)请在所给的图中画出
的图像；
(2)若不等式
的解集为
，求a 的取值范围；
(3)讨论函数
的零点个数．
