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专题3.5 函数的应用（一）
教学目标
① 理解与掌握具体函数的应用的意义，掌握常见函数的模型，并能解决与常见函数
相关的问题。
②能根据实际意义，建立函数模型，并能解决实际问题.。
教学重难点
教学重点：建立函数模型解决实际问题．
教学难点：选择适当的方案和函数模型解决实际问题．
知识点01 常见几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
(
，
为常数，
)
二次函数模型
(
，
，
为常数，
)
分段函数模型
幂函数模型
(
，
，
为常数，
)
【即学即练】某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪
元，每工作小时获取
元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为
小时，获取的税前月工资为
元，则
与
之间的关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 对勾函数
1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函
数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：
（
，
）的函数；
①定义域：
；
②
是奇函数，图象关于原点对称；
③
在
，
上单调递减；在
，
上单调递增；
④当
时，
；当
时，
；
2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：
（
）其图象如图：
①定义域：
；
②
（
）是 ，图象关于 对称；
③
在
，
上单调递减；在
，
上单调递
增；
④当
时，
；当
时，
；
【即学即练】为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造
一间墙高为3 米，底面为24 平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，
无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左右两面新建墙体
报价为每平方米300 元，屋顶和地面以及其他报价共计14400 元.设屋子的左右两面墙的长度均为
米
.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为
元
，若无论左右
两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求
的取值范围.
题型01 二次函数模型的应用
【典例1】已知某零件原来的售价为15 元，可售出50 万件，据市场调查，该零件的单价每提高1 元，销
售量就减少2 万件，现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，设提价后的零件售价为
元．
(1)求提价后该零件的销售总收入（单位：万元）的最大值；
(2)若提价后该零件的销售总收入（单位：万元）不低于原来的销售总收入，求
的取值集合．
【变式1】某商店销售
两款商品，利润（单位：元）分别为
和
，其中
为
销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20 袋，则能获得的最大利润为 元.
【变式2】为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024 年年初用98 万元购进一台生产设备，并立
即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50 万元，使用x 年后
，其x 年来所需维修
保养费用的总和为
万元，设该设备产生的盈利总额为y 万元（盈利总额=总收入—总支出）．
(1)写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；
(3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30 万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；
②当盈利总额达到最大值时，以12 万元价格处理该设备．
试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
【变式3】某公司生产某种仪器的固定成本为4000 元，每生产一台仪器需增加投入500 元，已知总收入
（单位：元）关于月产量
（单位：台，
，
）满足函数：
，利润是总
收入与总成本之差．
(1)将利润（单位：元）表示为月产量
的函数
；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
【变式4】某公司投资5 万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15 万元进行
批量生产．已知生产每件产品的成本为4 元，在销售过程中发现：当销售单价定为10 元时，年销售量为2
万件；销售单价每增加1 元，年销售量将减少
万件．设销售单价为x 元．第一年获利y 万元．（年获利
=年销售额-生产成本-投资）
(1)试写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于
万元．请问第二年
的销售单价应定在什么范围内？
题型02 分段函数模型的应用
【典例1】2025 年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥
运会项目为主.2025 年世界运动会将于2025 年8 月7 日至8 月17 日在中国四川成都举行，是中国大陆第一
次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025 年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300 万元
费用.假设购进该款产品全部售出，若以80 元的单价出售，可售出15 万件，且每降价1 元，销量增加五千
件.若购进该产品数量不超过30 万件，则经销商按照每件30 元成本收费；若购进30 万件以上，则直接与
玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润
（万元）与销量
（万件）的关系为
.
(1)当购进产品数量为10 万件时，利润是多少？（利润
销售收入
成本）
(2)写出利润
（万元）关于购进产品数量
（万件）的函数解析式；
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【变式1】随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款
新能源汽车每年需要固定投人100 万元，此外每生产
辆该汽车另需增加投资
万元，当该款汽车年产
量低于400 辆时，
，当年产量不低于400 辆时，
，若该款汽车
售价为每辆15 万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为
万元．
【变式2】
年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击.为了控
制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒
剂，空气中释放的浓度
（单位：毫克/立方米）随着时间
（单位：小时）变化的关系如下：当
时，
；当
时，
.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的
消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于
毫克立方米时，它才
能起到杀灭空气中的病毒的作用.
(1)一次喷洒
个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒
个单位的消毒剂，
小时后再喷洒
个单位的消毒剂，要使接下来的
小时中
能够持续有效消毒，试求
的最小值．（精确到
，参考数据：
取
）
【变式3】闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由
许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几
乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪
存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300 万元，每封装
万片，还需要
万元的
变动成本，通过调研得知，当
不超过120 万片时，
；当
超过120 万片时，
，封装好后的闪存颗粒售价为200 元/片，且能全部售完.
(1)求公司获得的利润
的函数解析式；
(2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？
【变式4】“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽
车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配
件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000 万元，每生产
万件，需另投入成本
万元，且
时，
；当
时，
，由市场调研知，该产品每件的售价为2000 元，且全年内生产的该产品当年
能全部销售完．
(1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
分段函数模型的应用
(1)分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是
建模的关键．
(2)若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数
的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．
题型03 对钩函数模型
【典例1】某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发
现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4
小时内，药物在白鼠血液内的浓度
（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式
；若
使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度
（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式
现对小白鼠时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干
扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
(1)写出4 小时内，该小白鼠血液中药物浓度
与时间满足的函数关系式；
(2)求4 小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值．
【变式1】2020 年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面脱贫后，通过调整产业结构，
以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游. 2021 年上半年接待游客逾5 万人次，使该村成为当地旅游打
卡网红景点. 该村原有
户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为
万元. 调整产业结构后，动员部
分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员
户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的
平均每户的年收入有望提高
，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为
万元. 在动员
户从事乡村旅游后，还要确保剩下的
户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先
户从事种植
的所有农户年总收入.
(1)求
的取值范围；
(2)要使从事乡村旅游的这
户的年总收入始终不高于
户从事种植业的所有农户年总收入，求
的最
大值.
（参考数据：
，
，
）
【变式2】从2008 年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络，“八纵八横”
格局正在构建.到2018 年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”.京津
城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120 千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万元）由可变部分和
固定部分组成；可变部分与平均速度
（千米/时）（
）的平方成正比，比例系数为0.0005；
固定部分为
万元（
）.设高速列车在该线路上单程运行一次的总费用为
.
(1)把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用
表示成速度
（千米/时）的函数，并指出这个函数
的定义域；
(2)当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？
【变式3】
两地相距520km，货车从A 地匀速行驶到B 地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运
输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400 元，可变成本与车速
的平方成正比，
比例系数为
．
(1)把货车的全程运输成本
（单位：元）表示为车速
（km/h）的函数；
(2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
【变式4】某甜品店今年年初花费21 万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12 万元的
总收入，已知使用
年
所需的总维护费用为
万元．
(1)该甜品店第几年开始盈利？
(2)若干年后，该甜品店计划以2 万的价格卖出设备，有以下两种方案：
①当年平均盈利最大时卖出；
②当盈利总额达到最大时卖出；
试问哪一方案较为划算？说明理由．
对钩函数的简易形式：
（
）其图象如图：
①定义域：
；
②
（
）是奇函数，图象关于原点对称；
③
在
，
上单调递减；在
，
上单调递增；
④当
时，
；当
时，
；
1．如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B 地，甲到达B 地后立即以原速沿原路返回，乙到达B 地
后停止运动，已知运动过程中两人到B 地的距离y(km)与出发时间x(h)的关系如图所示，则甲、乙两人在出
发后多少小时第2 次相遇？（ ）
A．2
B．4.5
C．
D．
2．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线
的一部分（如图所示），若命中篮环中心，
则他与篮底的距离t 是（ ）
A．3.5m
B．4m
C．4.5m
D．4.6m
3．某企业员工小李的住处与他的办公室相距
，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是
他从住处出发，先匀速跑步3min 来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min 返回住处．在这个过程
中，小李行进的速度
和行走的路程
都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面
四个图象中的（ ）
A．①④
B．②③
C．④①
D．③②
4．某市出租车收费标准：路程不超过
千米，收费为元；路程超过
千米但不超过千米的部分，每千
米车费为
元；路程超过千米的部分，每千米车费为
元，若该乘客所付车费为
元，求出租车行
驶的路程是（ ）千米.
A．
B．
C．
D．
5．数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．
小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，
那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度
单位：
千米/小时是车流密度
单位：辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此
时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60 千米/小时．研究表明，当
时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点
的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大？（ ）
A．60
B．100
C．140
D．180
6．对于函数
，若存在
，使得
，则称点
与点
是函数
的一对“隐对称点”，若函数
的图象存在“隐对称点”，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪
水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄
水，用蓄满指数（蓄满指数
）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如
下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间
；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.
记
为调度前该水库的蓄满指数，
为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个
关于
的函数解析式：
①
；②
；③
；④
.
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（ ）
A．②④
B．①④
C．②③
D．③④
8．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运
行的时间（单位：年，
）满足
，当新设备生产的产品可获得的年平均利润
最大时，新设备运行的时间
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的第
个月的需求量
（万件 ）近似地满
足
，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是（ ）
A．8 月
B．9 月
C．10 月
D．11 月
10．某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了
，
两种计件工资核算方案，员工的计件工资
（单位：千元）与其生产的产品件数
（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．当某员工生产的产品件数为800 时，该员工采用
，
方案核算的计件工资相同
B．当某员工生产的产品件数为500 时，该员工采用
方案核算的计件工资更多
C．当某员工生产的产品件数为200 时，该员工采用
方案核算的计件工资更多
D．当某员工生产的产品件数为1000 时，该员工的计件工资最多为14200 元
11．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆
个单词；第一
天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加
个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量
与记忆天数
的函数关系式为 ．
12．某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中
每个月的盈利情况，得到月利润（单位：万元）与销售月份之间的关系为
．
（1）一年中最高月利润对应的月份为 ；
（2）一年中该饮料月利润超过3 万元的有 个月．
13．为了保护学生的视力，学校的课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置
的一批课桌和椅子高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人
的身高调节课桌和椅子的高度，且课桌高度
（cm）与对应的椅子高度（不含靠背）
（cm）符合一次函
数关系，他们测量了一套符合条件的课桌和椅子对应的四档高度，数据如下表：
档次
第一档
第二档
第三档
第四档
椅子高度
/cm
37.0
40.0
42.0
45.0
课桌高度
/cm
68.0
74.0
78.0
84.0
(1)求课桌高度
与椅子高度
之间的函数关系式；
(2)小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为
，椅子的高度为
，请你判断它们是否配套？
如果配套，请说明理由；如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅子的高度使得它们配套．
14．某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200 万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人
后前
年的维护成本为
万元，每年电池销售收入为7600 万元，设使用该批智能机器
人后前x 年的总盈利额为y 万元
(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000 万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200 万元的价格处理
问哪种方案更合理？并说明理由.
15．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的
成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中
（
）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤
时间为
（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受
影响，恒为
分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当
在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间
的表达式，讨论
的单调性，并说明其实际意义.
