专题7.2.1 三角函数的定义~7.2.3 同角三角函数的基本关系式
教学目标
1．掌握任意角三角函数的定义，能准确判断不同象限内三角函数值的符号；
2．理解单位圆与三角函数线的关联，会运用三角函数线表示三角函数；
3．熟记同角三角函数的基本关系式，能进行简单的化简、求值运算
教学重难点
重点：任意角三角函数的定义及三角函数值符号的判断方法；三角函数线的含义及同
角三角函数基本关系式的应用
难点：三角函数线的几何意义及在解题中的灵活运用；同角三角函数基本关系式的变
形与综合求值
知识点01 三角函数的概念
1．任意角的三角函数的定义
前
提
如图,设
是一个任意角,
,它的终边
与单位圆交于点
定
义
正弦
点
的______叫做
的正弦,记作
,即
余弦
点
的______叫做
的正弦,记作
,即
正切
把点
的纵坐标与横坐标的______叫做
的正切,记作
,即
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值
的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为______,记为
正弦函数
；余弦函数
正切函数
温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确
是一个任意角．
（2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和
所在终边上的位置无关,而由角
的______
位置决定．
2．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：______象限正,______象限负；
余弦：______象限正,______象限负；
正切：______象限正,______象限负．
简记口诀：______
【即学即练】
1．在平面直角坐标系中，角
的顶点为原点，始边为
轴的非负半轴，终边过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
知识点02 单位圆与三角函数线
1．单位圆与三角函数
在平面直角坐标系中,坐标满足______的点构成的集合,角α 的终边与单位圆相交于点
,如图,则
,则角α 的终边与单位圆的交点为
______ ．
2．三角函数线
三角函数线：如图,设单位圆与x 轴的正半轴交于点A,与角α 的终边交于点P.过点P 作x 轴的垂线PM,
垂足为
过点
作单位圆的切线交
的延长线( 或反向延长线) 于点
. 单位圆中的有向线段
别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线．记作
【即学即练】
1．作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线.
(1)
；
(2)
.
2．已知
，在单位圆中角θ 的正弦线、余弦线、正切线分别是
，则它们的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系:______.
（2）商数关系:______
.
这就是说,同一个角
的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角
的正切
.
温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有
意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如
成立,但是
就不一
定成立.
（3）
是
的简写,读作“
的平方”,不能将
写成
,前者是
的正弦的平方,后
者是
的正弦.
（4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,
对一切
______恒成立,而
仅对______成立.
【即学即练】
1．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
为第三象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 由终边上的点求三角函数值
【例1】角
的终边过点
，
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【例2】若点
在角
的终边上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】在平面直角坐标系
中，角
以
为始边，终边经过点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】已知角
的顶点与坐标原点重合，始边落在
轴的正半轴上，终边上有一点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（多选）已知角
的终边与单位圆（圆心为原点
）的交点为
，角
的终
边与角
的终边分别关于原点、
轴、
轴、直线
对称，则（ ）
A．
B．
C．
D．
求任意角的三角函数值的2 种方法：
方法一：根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点
的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值.
方法二:①取点:在角
的终边上任取一点
,(
与原点不重合);
②计算
;③求值:由
求值.
题型02 由三角函数值求终边上点的参数
【例3】已知
，
，则
的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】已知角
的终边经过点
，若
，且
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】已知角
的终边经过点
，且
，则
.
【变式2-2】在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于原点对称，点
在角
的终边上．若
，则
．
【变式2-3】已知角
终边经过点
，且
．求
的值．
题型03 三角函数值的符号
【例5】“
是第四象限角”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例6】“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】若
是第四象限角，则点
在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式3-2】已知角
是第四象限角，且
，则角
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【变式3-3】（多选）下列选项中，结果为正数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 圆上的动点与旋转点
【例7】角
终边上一点
，把角
按逆时针方向旋转
得到角为
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】点
从
出发，沿着单位圆的边界顺时针运动
弧长到达点
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】点
从点
出发，沿着单位圆周顺时针运动
弧长到
点，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1 的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P
的角速度为3rad/s，起点为射线
与圆的交点；Q 的角速度为5rad/s，起点为圆与x 轴正半轴
交点，则当质点Q 与P 第二次相遇时，Q 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】角
的终边与单位圆的交点
位于第一象限，其横坐标为
，则
，若点
沿单
位圆顺时针运动到点
，所经过的弧长为
，则
的纵坐标为 ．
题型05 三角函数线的应用
【例9】如图，
、
，设角
的终边与单位圆交于点
，与直线
交于点
，其终边的
反向延长线与直线
交于点
，过点
作
轴的垂线，垂足为
，则角
的（ ）
A．正弦线是
，正切线是
B．正弦线是
，正切线是
C．正弦线是
，正切线是
D．正弦线是
，正切线是
【例10】作出下列角
的正弦线､余弦线和正切线，并求出角
的正弦、余弦、正切值．
【变式5-1】已知角
的正切线是单位长度的有向线段，那么角
的终边（ ）
A．在
轴上
B．在直线
上
C．在
轴上
D．在直线
或
上
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，
，
，
，
分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标
轴的交点），点
在其中一段上，角
以
为始边，
为终边，若
，则
所在的圆
弧是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】应用单位圆证明：若
，则
.
题型06 同角三角函数知一求二
【例11】已知
是第三象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】若
是第三象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】设
，则“
”是“
”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式6-2】已知
，
，则
．
【变式6-3】已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
（1）已知正弦（余弦），利用
先求得余弦（正弦），然后利用
求正切；
（2）已知正切，联立公式
，可直接求得正余弦
题型07 正余弦齐次式的运算
【例13】若角
终边在直线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例14】已知
，则
．
【变式7-1】设
，则
【变式7-2】已知
，则
．
【变式7-3】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（1 ）对于
或
的求值, 将分子分母同除以
或
,化成关于
的式子,从而达到求值的目的.
（2）对于
的求值,可看成分母是1,利用
进行代替后分
子分母同时除以
,得到关于
的式子,从而可以求值.
题型08 正余弦和差与积关系的应用
【例15】（多选）已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例16】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】若
，
，则
.
【变式8-2】设
，已知
，且关于
的一元二次方程
的两实根分别为
和
．
(1)求
的值；
(2)分别求
和
的值．
【变式8-3】已知
，
是关于
的方程
的两个根，求
的值．
三角函数求值中常见的变形公式
（1）
，
，
三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求
二”，它们的关系是：
；
.
（2）求
或
的值，要根据
的范围注意判断它们的符号．
题型09 利用同角三角函数关系化简、证明
【例17】已知
是钝角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例18】求证：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【变式9-1】已知
，且
是方程
的两根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】求证:
.
一、单选题
1．已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在平面直角坐标系中，
，
，
，
分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），
点P 在其中一段上，角
以
为始边，
为终边，若
，则P 所在的圆弧是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
是第四象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
的值域的真子集的个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．7
5．在同一平面中的角
和角
满足“
”是“
，
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．在平面直角坐标系
中，角
均以
为始边，它们的终边关于直线
对称且
，
若角
的终边与单位圆交于点
，且
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，在平面直角坐标系
中，动点
、
从点
出发在单位圆上运动，点
按逆时针方向
每秒钟转
弧度，点
按顺时针方向每秒钟转
弧度，则
、
两点在第
次相遇时，点
的坐标是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．已知角
的终边过
，则（ ）
A．角
为第二象限角
B．
C．
D．
的值与
的正负无关
9．
的值可能为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
三、填空题
10．在平面直角坐标系
中，角
与角
均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线
对称．
若
，则
11．已知角
，
的终边关于直线
对称，且
，则
，
的一组取值可以是 ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角
，
，它们的终边分别与单
位圆相交于A，B 两点，已知点A，B 的横坐标分别为
，
，则
，
的值
为 .
四、解答题
13．已知
．
(1)求角
的集合；
(2)判断
的符号．
14．（1）已知在平面内，角α 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴，终边上有一个点
，求
α 角的正弦、余弦和正切值；
（2）已知
，求
；
（3）已知
，求
．
15．（1）已知角
的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
，求
的值；
（2）化简
.
