专题7.2.1 三角函数的定义~7.2.3 同角三角函数的基本关系式
教学目标
1．掌握任意角三角函数的定义，能准确判断不同象限内三角函数值的符号；
2．理解单位圆与三角函数线的关联，会运用三角函数线表示三角函数；
3．熟记同角三角函数的基本关系式，能进行简单的化简、求值运算
教学重难点
重点：任意角三角函数的定义及三角函数值符号的判断方法；三角函数线的含义及同
角三角函数基本关系式的应用
难点：三角函数线的几何意义及在解题中的灵活运用；同角三角函数基本关系式的变
形与综合求值
知识点01 三角函数的概念
1．任意角的三角函数的定义
前
提
如图,设
是一个任意角,
,它的终边
与单位圆交于点
定
义
正弦
点
的纵坐标
叫做
的正弦,记作
,即
余弦
点
的横坐标
叫做
的正弦,记作
,即
正切
把点
的纵坐标与横坐标的比值
叫做
的正切,记作
,即
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值
的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数,记为
正弦函数
；余弦函数
正切函数
温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确
是一个任意角．
（2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和
所在终边上的位置无关,而由角
的终边位
置决定．
2．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正,三四象限负；
余弦：一四象限正,二三象限负；
正切：一三象限正,二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦
【即学即练】
1．在平面直角坐标系中，角
的顶点为原点，始边为
轴的非负半轴，终边过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
到原点的距离为
，
则
．
故选：A．
2．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为
，所以
，即“
”是“
”的充分条件，
因为
，所以
，即“
”不是“
”的必要条件，
故选：A
知识点02 单位圆与三角函数线
1．单位圆与三角函数
在平面直角坐标系中,坐标满足
的点构成的集合,角α 的终边与单位圆相交于点
,如图,
则
,则角α 的终边与单位圆的交点为
．
2．三角函数线
三角函数线：如图,设单位圆与x 轴的正半轴交于点A,与角α 的终边交于点P.过点P 作x 轴的垂线PM,
垂足为
过点
作单位圆的切线交
的延长线( 或反向延长线) 于点
. 单位圆中的有向线段
别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线．记作
【即学即练】
1．作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线.
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）如图，有向线段DP，OD，AT 分别表示
的正弦线、余弦线、正切线.
（2）如图，有向线段DP，OD，AT 分别表示
的正弦线、余弦线、正切线.
2．已知
，在单位圆中角θ 的正弦线、余弦线、正切线分别是
，则它们的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】画出图象如下图所示，由图可知，
.
故选：D.
知识点03 同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系:
.
（2）商数关系:
.
这就是说,同一个角
的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角
的正切
.
温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有
意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如
成立,但是
就不一
定成立.
（3）
是
的简写,读作“
的平方”,不能将
写成
,前者是
的正弦的平方,后
者是
的正弦.
（4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,
对一切
恒成立,而
仅对
成立.
【即学即练】
1．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
.
故选：B
2．已知
为第三象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
为第三象限角，且
，
所以
，且
.
所以
.
故选：B.
题型01 由终边上的点求三角函数值
【例1】角
的终边过点
，
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为角
的终边经过点
，所以
.
故选：D
【例2】若点
在角
的终边上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，点
在角
的终边上，即
，
则
，
由三角函数的定义，可得
．
故选：A
【变式1-1】在平面直角坐标系
中，角
以
为始边，终边经过点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得，
.
故选：A.
【变式1-2】已知角
的顶点与坐标原点重合，始边落在
轴的正半轴上，终边上有一点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为终边上一点
，
所以由三角函数点定义得
，即
，
所以
，
故选：C.
【变式1-3】（多选）已知角
的终边与单位圆（圆心为原点
）的交点为
，角
的终
边与角
的终边分别关于原点、
轴、
轴、直线
对称，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】对于选项A:结合题意可得：
关于原点对称的点为
，
所以角
的终边与单位圆的交点坐标为
，则
，故选项A 错误；
对于选项B:结合题意可得：
关于
轴对称的点为
，
所以角
的终边与单位圆的交点坐标为
，则
，故选项B 正确；
对于选项C:结合题意可得：
关于
轴对称的点为
，
所以角
的终边与单位圆的交点坐标为
，则
，故选项C 正确；
对于选项D:结合题意可得：
关于直线
对称的点为
，
所以角
的终边与单位圆的交点坐标为
，则
，故选项D 错误．
故选：BC.
求任意角的三角函数值的2 种方法：
方法一：根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点
的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值.
方法二:①取点:在角
的终边上任取一点
,(
与原点不重合);
②计算
;③求值:由
求值.
题型02 由三角函数值求终边上点的参数
【例3】已知
，
，则
的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设交点为
，则
，解得
，
所以交点坐标为
.
故选：D
【例4】已知角
的终边经过点
，若
，且
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由三角函数定义可得
在第四象限，
，解得
，
故
的取值范围是
.
故选：B
【变式2-1】已知角
的终边经过点
，且
，则
.
【答案】
【详解】因为已知角α 的终边经过点
，且
，
所以
，显然
，
解得
，
（舍去），
故答案为：
【变式2-2】在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于原点对称，点
在角
的终边上．若
，则
．
【答案】
【详解】由题意知角
与角
的终边关于原点对称，点
在角
的终边上，
则点
在角
的终边上，
由
以及
，可得
；
由点
在角
的终边上且
，
可知
，
故答案为：
【变式2-3】已知角
终边经过点
，且
．求
的值．
【答案】
或
【详解】∵
，∴点P 到原点的距离
．
又
，∴
．
∵
，∴
，∴
．
当
时，P 点坐标为
，
由三角函数的定义，有
，
，
∴
；
当
时，同理可求得
．
题型03 三角函数值的符号
【例5】“
是第四象限角”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当
是第四象限角时，
，则
一定成立，即充分性成立；
当
时，
与
异号，此时
为第三或第四象限，即必要性不成立，
所以“
是第四象限角”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
【例6】“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】易知“
”可以推出“
”，即充分性成立；
而当
时，
，此时推不出“
”，即必要性不成立，
因此“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：B
【变式3-1】若
是第四象限角，则点
在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【详解】由于
是第四象限角，故
，
故
在第三象限，
故选：C
【变式3-2】已知角
是第四象限角，且
，则角
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】D
【详解】因为角
是第四象限角，所以
，
所以
，所以角
是第二象限角或第四象限角．
又因为
，即
，所以角
是第四象限角．
故选：D．
【变式3-3】（多选）下列选项中，结果为正数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】由
，可得
，所以
，所以A 正确
由
，可得
且
，所以
，
，
所以B 正确，C 错误；
由
，可得
，所以
，所以D 错误.
故选：AB.
题型04 圆上的动点与旋转点
【例7】角
终边上一点
，把角
按逆时针方向旋转
得到角为
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】角
终边上一点
，逆时针方向旋转 180°后，坐标为(-1,-2),
则
，
故选：D.
【例8】点
从
出发，沿着单位圆的边界顺时针运动
弧长到达点
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，以
轴的非负半轴为始边，
以
所在的射线
为终边的最小正角为
，
由任意角的三角函数的定义可得，
的坐标为
，即
，
故选：D.
【变式4-1】点
从点
出发，沿着单位圆周顺时针运动
弧长到
点，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用弧长公式出
角的大小，然后利用三角函数的定义求出
点的坐标.
【详解】点
从
出发，沿单位圆顺时针方向运动
弧长到达
点，
，
，
故选：C.
【变式4-2】质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1 的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P
的角速度为3rad/s，起点为射线
与圆的交点；Q 的角速度为5rad/s，起点为圆与x 轴正半轴
交点，则当质点Q 与P 第二次相遇时，Q 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设当质点Q 与P 第二次相遇时，用了时间
，依题意有
，
解得
，此时质点Q 转过角度为
，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q 转在
角的终边
上，圆的半径为1，Q 的坐标为
.
故选：C
【变式4-3】角
的终边与单位圆的交点
位于第一象限，其横坐标为
，则
，若点
沿单
位圆顺时针运动到点
，所经过的弧长为
，则
的纵坐标为 ．
【答案】
【详解】由三角函数的定义可得
，
由已知可知
为第一象限角，则
，
将点
沿单位圆顺时针运动到点
，所经过的弧长为
，
则点
的横坐标为
．
故答案为：
；
．
题型05 三角函数线的应用
【例9】如图，
、
，设角
的终边与单位圆交于点
，与直线
交于点
，其终边的
反向延长线与直线
交于点
，过点
作
轴的垂线，垂足为
，则角
的（ ）
A．正弦线是
，正切线是
B．正弦线是
，正切线是
C．正弦线是
，正切线是
D．正弦线是
，正切线是
【答案】B
【详解】由三角函数线的几何意义可知，角
的正弦线为
，正切线为
，
故选：B.
【例10】作出下列角
的正弦线､余弦线和正切线，并求出角
的正弦、余弦、正切值．
【答案】正弦线､余弦线和正切线见解析，
，
，
【详解】作出单位圆，交角
的终边于
，过
作
轴于点
，
过点
作
轴，交角
的终边于点
，如下图所示，
则角
的正弦线为
，余弦线为
，正切线为
；
在
中，
，
由此可得
，
，所以
，
，
于是
，
，
．
【变式5-1】已知角
的正切线是单位长度的有向线段，那么角
的终边（ ）
A．在
轴上
B．在直线
上
C．在
轴上
D．在直线
或
上
【答案】D
【详解】如图，角
的正切线是有向线段
，则
，
由题意知，
为等腰直角三角形，
故角
的终边在
上或
上．
故选：D．
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，
，
，
，
分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标
轴的交点），点
在其中一段上，角
以
为始边，
为终边，若
，则
所在的圆
弧是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，设点
的坐标为
，
所以由三角函数的定义可得
，
因为
，即
，
对于A，
在第一象限，且
，不满足题意，故A 错误；
对于B、C，
、
在第三象限，且
，则
，不满足题意，故B、C 错误；
对于D，
在第四象限，且
，则
，所以
，满足题意，故D 正
确.
故选：D.
【变式5-3】应用单位圆证明：若
，则
.
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，由三角函数线得：
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，即
.
题型06 同角三角函数知一求二
【例11】已知
是第三象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
是第三象限角，
，
，
．
故选：A．
【例12】若
是第三象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由已知可得：
，
代入
可得
，
解得
或
是第三象限角，
，
，
，
故选：B
【变式6-1】设
，则“
”是“
”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】判断充分性：
若
，由
得，
，所以
.
因此“
”能推出“
”，充分性成立；
判断必要性：
若
，由
得，
，所以
.
因此“
”不能推出“
”，必要性不成立.
综上，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式6-2】已知
，
，则
．
【答案】
或
【详解】由
，可得
或
，
当
时，
，
，故
；
当
时，
，
，故
.
故答案为：
或
【变式6-3】已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，且
，
所以
.
故选：A
（1）已知正弦（余弦），利用
先求得余弦（正弦），然后利用
求正切；
（2）已知正切，联立公式
，可直接求得正余弦
题型07 正余弦齐次式的运算
【例13】若角
终边在直线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
角
终边在直线
上，
，
，
，
，故A 正确．
故选：A．
【例14】已知
，则
．
【答案】
【详解】
.
故答案为：
【变式7-1】设
，则
【答案】
/
【详解】因为
，
.
故答案为：
.
【变式7-2】已知
，则
．
【答案】
/
【详解】
，
故答案为：
【变式7-3】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】原式
，
因为
，
所以
.
故选：D
（1 ）对于
或
的求值, 将分子分母同除以
或
,化成关于
的式子,从而达到求值的目的.
（2）对于
的求值,可看成分母是1,利用
进行代替后分
子分母同时除以
,得到关于
的式子,从而可以求值.
题型08 正余弦和差与积关系的应用
【例15】（多选）已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】因为
，左右同时平方得，
，
由
，得
，故
正确.
同时可知
异号，且题中
，所以可知
，故
错误.
对于
选项，
，
因为
，
，故
，
所以
，故
正确.
对于
选项，计算
，需要联立
，解得
，
所以
，故
错误.
故选：
【例16】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
又
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
，
所以
，
故
．
故选：B
【变式8-1】若
，
，则
.
【答案】
【详解】由题意，
，①
所以
，即
，
则
．
因为
，且
，所以
，
，
所以
，②
由①②变形得
，
所以
．
故答案为：
.
【变式8-2】设
，已知
，且关于
的一元二次方程
的两实根分别为
和
．
(1)求
的值；
(2)分别求
和
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
为一元二次方程
的两个实根，
所以
.
.
（2）由（1）知，
，
则
，
即
，解得
；
所以
，由
，知
，
所以
，
由
，所以
，
所以
.
【变式8-3】已知
，
是关于
的方程
的两个根，求
的值．
【答案】
【详解】由题意有
，所以
或
，
又
，
则
，从而
或
（舍去），
因此
．
所以
，
所以
.
三角函数求值中常见的变形公式
（1）
，
，
三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求
二”，它们的关系是：
；
.
（2）求
或
的值，要根据
的范围注意判断它们的符号．
题型09 利用同角三角函数关系化简、证明
【例17】已知
是钝角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
为钝角，则
，
，
所以
，
故
，
由题意可得
，解得
，
故选：D.
【例18】求证：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】
【详解】（1）
.
故
成立.
（2）
故
成立.
（3）
.
故
成立.
【变式9-1】已知
，且
是方程
的两根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】在区间
内，
，
.
已知
和
是方程的两根，
根据韦达定理有
，
.
因为
，所以
.
又因为
，所以
.则
.
所以
，
又
，即
，解得
.
故选：C.
【变式9-2】
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】若
取得最小值，则
，
（当且仅当
，即
时取等号），
的最小值为
.
故选：C.
【变式9-3】求证:
.
【答案】证明见解析
【分析】
【详解】方法一:左边=
=
=
=
=
=右边.
方法二:左边
=
=
=
=
=
=右边.
一、单选题
1．已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意有
，
所以
.
故选：A.
2．如图，在平面直角坐标系中，
，
，
，
分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），
点P 在其中一段上，角
以
为始边，
为终边，若
，则P 所在的圆弧是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设点
的坐标为
，所以由三角函数的定义可得
，
因为
，即
，
由图知，对于A，
在第一象限，且
，不满足题意，故A 错；
对于B，
在第三象限，且
，不满足题意，故B 错；
对于C，
在第三象限，且
，满足题意，故C 正确；
对于D，
在第四象限，且
，不满足题意，故D 错.
故选：C.
3．已知
是第四象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
是第四象限角，
，所以
，所以
.
故选：D.
4．函数
的值域的真子集的个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．7
【答案】D
【详解】当
的终边在第一象限时，
；
当
的终边在第二象限时，
；
当
的终边在第三象限时，
；
当
的终边在第四象限时，
；
当
的终边在坐标轴上时，函数无意义．
综上，函数的值域为
，所以有
个真子集．
故选：D
5．在同一平面中的角
和角
满足“
”是“
，
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】判断充分性：若
，
根据同角基本关系式
，所以
，
当
时，
或
，
当
时，
或
，
故充分性不成立；
判断必要性：若
，则
，
所以
，故必要性成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
6．在平面直角坐标系
中，角
均以
为始边，它们的终边关于直线
对称且
，
若角
的终边与单位圆交于点
，且
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】若角
的终边与角
的终边关于直线
对称，则角
的终边与单位圆交于点
，
则
；
因为点
在单位圆上，所以
；
由
，代入解得
或
（舍）；
因此
.
故选：C.
7．如图所示，在平面直角坐标系
中，动点
、
从点
出发在单位圆上运动，点
按逆时针方向
每秒钟转
弧度，点
按顺时针方向每秒钟转
弧度，则
、
两点在第
次相遇时，点
的坐标是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】相遇时间为
秒，
故
转过的角度为
，
故对应坐标为
，即
.
故选：C
二、多选题
8．已知角
的终边过
，则（ ）
A．角
为第二象限角
B．
C．
D．
的值与
的正负无关
【答案】BD
【详解】对于A：当
时，
，此时角
位于第四象限，故A 错误；
对于B：
，故B 正确；
对于C：
，
若
，则
；
若
，则
，故C 错误；
对于D：
，故D 正确.
故选：BD.
9．
的值可能为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】BD
【详解】因为
，
所以
且
，
若
在第一象限，则
，故原式
，
若
在第二象限，则
，原式
，
若
在第三象限，则
，原式
，
若
在第四象限，则
，原式
故选：BD
三、填空题
10．在平面直角坐标系
中，角
与角
均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线
对称．
若
，则
【答案】
/-0.6
【详解】若角
的终边在第一象限，设终边上一点
，则
关于
对称点
在
终边上，
此时
；
若角
的终边在第二象限，设终边上一点
，则
关于
对称点
在
终边上，
此时
.
故答案为：
11．已知角
，
的终边关于直线
对称，且
，则
，
的一组取值可以是 ．
【答案】
，
（答案不唯一，符合
，
，
或
，
，
即可）
【详解】因为角
，
的终边关于直线
对称，所以
，
，
又
，所以
或
，
，
所以
，
，
或
，
，
取
，
时，可得
，
或
，
所以
，
的一组取值可以是
，
.
故答案为：
，
.
12．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角
，
，它们的终边分别与单
位圆相交于A，B 两点，已知点A，B 的横坐标分别为
，
，则
，
的值
为 .
【答案】 7
【详解】因为
的横坐标分别为
，
，
所以
，
.
因为
为锐角，
，
所以
，
因为
为锐角，所以
,
;
因为
,
,所以
，
所以
.
故答案为: 7;
四、解答题
13．已知
．
(1)求角
的集合；
(2)判断
的符号．
【答案】(1)
(2)正号
【分析】
【详解】（1）由
，知
在第三、四象限或
轴的非正半轴上；
由
，知
在第一、三象限，
故角
在第三象限，其集合为
．
（2）由
，得
，
故
的终边在第二、四象限．
当
在第二象限时，
，所以
取正号；
当
在第四象限时，
，所以
也取正号．
综上，
取正号．
14．（1）已知在平面内，角α 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴，终边上有一个点
，求
α 角的正弦、余弦和正切值；
（2）已知
，求
；
（3）已知
，求
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【分析】
【详解】（1）由题意可知，
.
（2）因为
，所以
；
（3）因为
，所以
，
得
，
则
，得
，得
，
15．（1）已知角
的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
，求
的值；
（2）化简
.
【答案】（1）
；（2）
【分析】
【详解】（1）由题意得，
，
，
则
；
（2）由
，
由于
，则
，
则原式
.
