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第1 讲 解析几何初步
微点一 圆锥曲线的定义与焦点三角形
例1 (1)(2023·全国甲卷)设O 为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x
2
9 + y
2
6 =1 的两个焦点，点P 在C 上，
cos∠F1PF2=3
5，则|OP|等于( )
A.13
5
B.√30
2
C.14
5
D.√35
2
答案 B
解析 方法一 设∠F1PF2=2θ，0<θ<π
2 ，
所以S△P F1F2=b2tan∠F1 P F2
2
=b2tan θ，
由cos∠F1PF2=cos 2θ=co s
2θ−sin
2θ
co s
2θ+ sin
2θ
=1−tan
2θ
1+tan
2θ
=3
5，
解得tan θ=1
2(负值舍去)，
由椭圆方程可知，a2=9，b2=6，c2=a2-b2=3，
所以S△P F1F2=1
2×|F1F2|×|yP|
=1
2×2√3×|yP|=6×1
2，
解得y P
2=3.
代入椭圆方程得xP
2=9×(1−3
6)=9
2，
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因此|OP|=√xP
2 + y P
2=√
9
2 +3=√30
2 .
方法二 因为|PF1|+|PF2|=2a=6，
①
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2-6
5|PF1||PF2|=12，
②
联立①②，解得|PF1||PF2|=15
2 ，
设P(x0，y0)，由焦半径公式得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，
所以|PF1||PF2|=a2-(ex0)2，
解得x0
2=9
2，则y0
2=6×(1−
9
2
9)=3，
因此|OP|=√x0
2+ y0
2=√
9
2 +3=√30
2 .
方法三 因为|PF1|+|PF2|=2a=6，
①
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2-6
5|PF1||PF2|=12，
②
联立①②，解得|PF1||PF2|=15
2 ，|PF1|2+|PF2|2=21，
而⃗PO=1
2 (⃗P F1+⃗P F2)，
所以|OP|=|⃗PO|=1
2|⃗P F1+⃗P F2|
=1
2 √|⃗P F1|
2+|⃗P F2|
2+2|⃗P F1||⃗P F2|cos∠F1 P F2
=1
2√21+2× 15
2 × 3
5
=√30
2 .
方法四 因为|PF1|+|PF2|=2a=6，
①
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2-6
5|PF1||PF2|=12，
②
联立①②，解得|PF1|2+|PF2|2=21，
由中线定理可知，2|OP|2+1
2|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，
解得|OP|=√30
2 .
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(2)(多选)(2025·石家庄模拟)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|
=4，虚轴长为2√3，过F2且斜率为k 的直线l 交双曲线C 的右支于M，N 两点(其中点M 在第一象限内)，
则( )
A.双曲线C 的方程为x
2
3 -y2=1
B.当MF1⊥MN 时，|MF1|=1+√7
C.若cos∠F1MF2=1
2，则△MF1F2的面积为3√3
D.当k=-√15时，△MF1F2的内切圆半径为√15
5
答案 BCD
解析 对于A，由|F1F2|=4，虚轴长为2√3，得c=2，b=√3，
所以a=1，故双曲线C 的方程为x2- y
2
3 =1，故A 错误；
对于B，由MF1⊥MN，则|M F1|
2+|M F2|
2=| F1 F2|
2=16，
故(|MF1|-|MF2|)2+2|MF1||MF2|=16，而|MF1|-|MF2|=2，所以|MF1||MF2|=6，
故(|MF1|+|MF2|)2=16+2×6=28，
所以|MF1|+|MF2|=2√7，所以|MF1|=1+√7，故B 正确；
对于C，在△MF1F2中，由cos∠F1MF2=1
2得∠F1MF2=π
3 ，
方法一 根据双曲线定义得|MF1|-|MF2|=2，
由余弦定理可得cos∠F1MF2=|M F1|
2+|M F2|
2−| F1 F2|
2
2|M F1|| M F2|
，即1
2=
(|M F1|−|M F2|)
2+2|M F1|| M F2|−16
2|M F1|| M F2|
，
可得|MF1||MF2|=12，所以△MF1F2的面积为1
2|MF1||MF2|sinπ
3 =1
2×12×√3
2 =3√3.
方法二 S△M F1 F2=
b
2
tan ∠F1 M F2
2
=3√3，故C 正确；
对于D，F2(2，0)，当k=-√15时，直线MN 的方程为y=-√15(x-2)，
联立{
y =−√15( x−2),
x
2−y
2
3 =1,
消去y 整理得4x2-20x+21=(2x-3)(2x-7)=0，
解得x1=3
2，x2=7
2，
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由题意得M(
3
2 ，√15
2 )，
所以S△M F1 F2=1
2|F1F2|·√15
2 =√15，又F1(-2，0)，F2(2，0)，
所以△MF1F2的周长为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=√(
3
2 +2)
2
+(
√15
2 )
2
+√(
3
2 −2)
2
+(
√15
2 )
2
+4=4+2+4=10，
设△MF1F2的内切圆半径为r，则S△M F1F2=1
2×10r=5r=√15，解得r=√15
5 ，故D 正确.
[规律方法] 焦点三角形的面积公式：
P 为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则在椭圆中，
S△P F1F2=b2tanθ
2；在双曲线中，S△P F1F2=
b
2
tan θ
2
.
跟踪演练1 (1)(多选)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
6 =1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=8√2x 的焦
点与双曲线C 的右焦点重合，点P 是这两条曲线的一个公共点，则( )
A.双曲线C 的渐近线方程为y=±√2x
B.|PF2|=5√2
C.△F1PF2的面积为8√6
D.cos∠F1PF2=6
7
答案 BC
解析 由已知，抛物线的焦点坐标为(2√2，0)，所以双曲线C 的右焦点为F2(2√2，0)，即c=2√2.
又b2=6，所以a2=c2-b2=2，所以双曲线的方程为x
2
2 - y
2
6 =1.
对于A 项，双曲线C 的渐近线方程为y=±b
ax=±√3x，故A 项错误；
对于B 项，联立双曲线与抛物线的方程{
x
2
2 −y
2
6 =1,
y
2=8√2 x ,
整理可得，3x2-8√2x-6=0，
解得x=3√2或x=-√2
3 (舍去)，所以x=3√2，代入y2=8√2x 可得，y=±4√3.
不妨设P(3√2，4√3)，又F2(2√2，0)，所以|PF2|=√(2√2−3√2)
2+(0−4√3)
2=5√2，故B 项正确；
对于C 项，易知S△F1 P F2=1
2×|F1F2|×4√3=1
2×4√2×4√3=8√6，故C 项正确；
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对于D 项，因为|PF1|=|PF2|+2a=7√2，所以由余弦定理可得，cos∠F1PF2=(7√2)
2+(5√2)
2−(4√2)
2
2×7√2×5√2
=29
35≠
6
7 ，故D 项错误.
(2)(多选)已知椭圆C：x
2
4 + y
2
2 =1 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆C 上一点，则( )
A.若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为2√3
B.存在点P，使得∠F1PF2=90°
C.若直线PF1交椭圆于另一点Q，则
1
|P F1|+
1
|Q F1|=2
D.使得△F1PF2为等腰三角形的点P 共有4 个
答案 BC
解析 由题意知，a=2，b=√2，c=√2，
对于A，由焦点三角形面积公式得S△F1 P F2=b2tan∠F1 P F2
2
=2×tan 30°=2√3
3
，A 错误；
对于B，当点P 位于椭圆的上顶点或下顶点时，∠OPF2=∠OPF1=45°(O 为坐标原点)，则∠F1PF2=90°，B
正确；
对于C，由焦半径性质可得，
1
|P F1|+
1
|Q F1|=2a
b
2 =2，C 正确；
对于D，焦半径范围为a-c≤|PF1|≤a+c，即2-√2≤|PF1|≤2+√2.
若△F1PF2是以P 为顶角顶点的等腰三角形，则点P 位于椭圆的上顶点或下顶点，所以满足条件的点P 有2
个；
若△F1PF2是以F1为顶角顶点的等腰三角形，则|PF1|=|F1F2|=2√2，则满足条件的点P 有2 个；
同理，若△F1PF2是以F2为顶角顶点的等腰三角形，满足条件的点P 有2 个；
故使得△F1PF2为等腰三角形的点P 共有6 个，D 错误.
微点二 圆锥曲线的第二定义与焦半径公式
例2 (1)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ 的直线
l 交双曲线C 的右支于A，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ=1
4 .若|AB|=|AF1|，则双曲线C 的离心
率为( )
A.4
B.√15
C.3
2
D.2
答案 D
解析 |AF2|=
b
2
a−c cosθ，|BF2|=
b
2
a+c cosθ ，
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|AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2|⇒|BF2|=2a⇒
b
2
a+ 1
4 c =2a⇒2e2-e-6=(2e+3)(e-2)=0⇒e=2(负值舍去).
(2)(多选)(2025·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2=6x 的焦点为F，过F 的一条直线交C 于A，B 两点，过A 作
直线l：x=-3
2的垂线，垂足为D，过F 且与直线AB 垂直的直线交l 于点E，则( )
A.|AD|=|AF|
B.|AE|=|AB|
C.|AB|≥6
D.|AE|·|BE|≥18
答案 ACD
解析 方法一 易知l 为抛物线的准线，点A 在抛物线C 上，由抛物线的定义可知A 选项正确；
设∠AFx=θ，易证△ADE≌△AFE，则∠DAE=∠EAF=θ
2，
因为|AF|=|AD|=|AF|·cos θ+p，
所以|AF|=
p
1−cosθ ，同理|BF|=
p
1+cosθ ，
所以|AE|=
| AF |
cos θ
2
=
p
(1−cosθ)cos θ
2
，
则|AB|=|AF|+|BF|=
p
1−cosθ +
p
1+cosθ = 2 p
sin
2θ ≠|AE|，选项B 错误；
|AB|= 2 p
sin
2θ ≥2p=6，选项C 正确；
由∠DAE=∠EAF=θ
2，则AE 为抛物线C 的切线，同理BE 也为抛物线C 的切线，
由阿基米德三角形可知AE⊥BE，
|AE||BE|=|AB|·|EF|= 2 p
sin
2θ
·
p
sinθ = 18
sin
3θ ≥18，选项D 正确.
方法二 对于A，抛物线C：y2=6x，
则p=3，其准线为l：x=-3
2，焦点F(
3
2 ，0)，
则|AD|为抛物线上的点A 到准线的距离，|AF|为抛物线上的点A 到焦点的距离，
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由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A 正确；
对于B，过点B 作准线l 的垂线，垂足为P，
由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB 为Rt△ABE 的斜边，则|AE|<|AB|，故B 错误；
对于C，当直线AB 的斜率不存在时，|AB|=2p=6；
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=k(x−3
2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立{
y =k(x−3
2),
y
2=6 x ,
消去y，得k2x2-(3k2+6)x+9
4 k2=0，
易知Δ>0，则x1+x2=3+ 6
k
2，x1x2=9
4 ，
所以|AB|=√1+ k
2|x1-x2|=√1+ k
2×√( x1+ x2)
2−4 x1 x2
=√1+k
2×√(3+ 6
k
2)
2
−9=6(1+ 1
k
2)>6，
综上，|AB|≥6，故C 正确；
对于D，在Rt△ABE 与Rt△AEF 中，∠BAE=∠EAF，
所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则| AE|
| AB| =| AF |
| AE| ，即|AE|2=|AF|·|AB|，
同理|BE|2=|BF|·|AB|，
当直线AB 的斜率不存在时，|AB|=6，|AF|=|BF|=1
2|AB|=3，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=3×3×62，即|AE|·|BE|=18；
当直线AB 的斜率存在时，|AB|=6(1+ 1
k
2)，
|AF|·|BF|=(x1+ 3
2)(x2+ 3
2)=x1x2+3
2(x1+x2)+9
4
=9
4 +3
2(3+ 6
k
2)+9
4 =9(1+ 1
k
2)，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=9(1+ 1
k
2)×36(1+ 1
k
2)
2
，
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则|AE|·|BE|=3(1+ 1
k
2)
1
2×6(1+ 1
k
2)=18(1+ 1
k
2)
3
2>18，
综上，|AE|·|BE|≥18，故D 正确.
方法三 对于A，抛物线C：y2=6x，
则p=3，其准线为l：x=-3
2，焦点F(
3
2 ，0)，
因为点A 在抛物线C 上，
由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A 正确；
对于B，过点B 作准线l 的垂线，垂足为P，如图，
由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB 为Rt△ABE 的斜边，则|AE|<|AB|，故B 错误；
对于C，易知直线AB 的斜率不为0，
设直线AB 的方程为x=my+3
2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立{
x =my + 3
2 ,
y
2=6 x ,
消去x，得y2-6my-9=0，
易知Δ>0，则y1+y2=6m，y1y2=-9，
又x1=my1+3
2，x2=my2+3
2，
所以|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+3+3=6m2+6≥6，
当且仅当m=0 时取等号，故C 正确；
对于D，在Rt△ABE 与Rt△AEF 中，∠BAE=∠EAF，
所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则| AE|
| AB| =| AF |
| AE| ，即|AE|2=|AF|·|AB|，
同理|BE|2=|BF|·|AB|，
又|AF|·|BF|=(x1+ 3
2)(x2+ 3
2)=(my1+3)(my2+3)
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=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-9m2+18m2+9=9(m2+1)，
|AB|=6m2+6=6(m2+1)，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=9(m2+1)×36(m
2+1)
2，
则|AE|·|BE|=3(m
2+1)
1
2×6(m2+1)=18(m
2+1)
3
2≥18，当且仅当m=0 时取等号，故D 正确.
[规律方法] (1)椭圆
①通径：2b
2
a .
②椭圆上点到焦点的距离：[a-c，a+c].
③焦半径
(ⅰ)坐标式：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；
(ⅱ)角度式：长焦半径|AF1|=
b
2
a−c cosα =
ep
1−ecosα ，短焦半径|BF1|=
b
2
a+c cosα =
ep
1+ecosα ，
1
|A F1|+
1
|B F1|= 2
ep.
(其中α 为焦半径所在直线与焦点所在轴所成的较小的角，p 为焦点到对应准线的距离b
2
c ).
④焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1|=
2ep
1−e
2co s
2α .
(2)双曲线
①通径：2b
2
a .
②双曲线上点到焦点的距离：[c-a，+∞).
③焦半径
(ⅰ)坐标式：|PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|；
(ⅱ)角度式：若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|=
ep
1+ecosα ，|BF1|=
ep
1−ecosα ，
1
|A F1|+
1
|B F1|=
2
ep.
若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|=
ep
ecosα +1，|BF1|=
ep
ecosα −1 ，|
1
|A F1| −
1
|B F1||= 2
ep.
图1 图2
④焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF1|+|BF1|=
2ep
1−e
2co s
2α .
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若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF1|-|BF1||=
2ep
e
2co s
2α −1.
(3)抛物线
①通径：2p.
②焦半径
(ⅰ)坐标式：|AF|=x0+ p
2 ；
(ⅱ)角度式：|AF|=
ep
1−ecosα =
p
1−cosα ，|BF|=
ep
1+ecosα =
p
1+cosα ，
1
| AF | +
1
|BF | = 2
ep= 2
p.
③抛物线焦点弦弦长公式：
|AB|=|AF|+|BF|=
2ep
1−e
2co s
2α = 2 p
sin
2α .
(4)焦点弦定理
已知焦点在 x 轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F 的直线交曲线于 A，B 两点，直线AB 的倾斜
角为α，⃗AF=λ⃗FB，则曲线的离心率e 满足等式|ecos α|=|
λ−1
λ+1|.
跟踪演练2 已知椭圆C：x
2
4 + y
2
2 =1 的左焦点为F，过F 的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，若|AF|=3，则|
AB|= .
答案 18
5
解析 设|AF|>|BF|，∠AFO=α，则由焦半径公式，|AF|=
b
2
a−c cosα =
2
2−√2cosα =3，
解得cos α=2√2
3 ，
由焦点弦公式|AB|=
2ab
2
a
2−c
2co s
2α
=18
5 .
微点三 垂径定理
例3 (多选)已知A，B 是椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)上任意两点，且弦AB 不平行于x 轴和y 轴，弦AB 不过
坐标原点O，M 为线段AB 的中点，则有kAB·kOM等于( )
A.b
2
a
2
B.-b
2
a
2
C.-1
D.e2-1
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答案 BD
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则M(
x1+ x2
2
，y1+ y2
2 )，
kOM= y1+ y2
x1+ x2
，kAB= y1−y2
x1−x2
，kAB·kOM= y1
2−y2
2
x1
2−x2
2 ，
∵A，B 在椭圆上，代入A，B 坐标得
x1
2
a
2+ y1
2
b
2 =1，x2
2
a
2+ y2
2
b
2 =1，
两式相减得x1
2−x2
2
a
2
+ y1
2−y2
2
b
2
=0，
整理得
y1
2−y2
2
x1
2−x2
2 =-b
2
a
2，
∴kAB·kOM=-b
2
a
2=e2-1.
[规律方法] 双曲线中的垂径定理：已知A，B 是双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)上任意两点，且弦AB 不平行
于x 轴和y 轴，弦AB 不过坐标原点O，M 为线段AB 的中点，则有kAB·kOM=b
2
a
2=e2-1.
跟踪演练3 (多选)(2025·泸州模拟)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，
其中|F1 F2|=2c，过右焦点F2的直线l 与双曲线的右支交于A，B 两点，则下列说法中正确的是( )
A.弦AB 的最小值为2b
2
a
B.若|AB|=m，则△F1AB 的周长为2m+4a
C.若AB 的中点为M，且AB 的斜率为k，则kOM·k=b
2
a
2
D.若直线AB 的斜率为√3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)
答案 ABC
解析 对于A，弦AB 的最小值为通径2b
2
a ，故A 正确；
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对于B，由双曲线的定义得|A F1|-|A F2|=2a，
|B F1|-|B F2|=2a，
所以|A F1|=|A F2|+2a，|B F1|=|B F2|+2a，
|A F1|+|B F1|=|A F2|+2a+|B F2|+2a=|AB|+4a，
则△F1AB 的周长=|A F1|+|B F1|+|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B 正确；
对于C，根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=b
2
a
2，故C 正确；
对于D，
若直线AB 的斜率为√3，所以b
a<√3，
所以b2<3a2，所以c2<4a2，
所以e=c
a∈(1，2)，故D 错误.
微点四 离心率
例4 (1)已知P 为椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆离
心率的取值范围是( )
A.(0，1
3]
B.[
1
3 ，1)
C.(0，1
2]
D.[
1
2 ，1)
答案 D
解析 由P 为椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)上一点，得|PF1|+|PF2|=2a.
又|PF1|=3|PF2|，所以|PF2|=a
2，
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又{
a−c≤|P F2|,
3|P F2|≤a+c ,即{
a−c≤a
2 ,
3a
2 ≤a+c ,
得a
2≤c，即1
2≤e<1.
(2)已知F1，F2分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且∠F1PF2=π
3 ，设∠PF1F2=θ，当双
曲线C 的离心率取值范围为(
√6
2 ，√3)时，θ 的取值范围为( )
A.(0，π
12)
B.(
π
12 ，π
6)
C.(
π
6 ，π
3)
D.(
π
12 ，π
3)
答案 B
解析 在△F1PF2中，e=c
a=2c
2a=
| F1 F2|
|P F1|−|P F2|=
sin ∠F1 P F2
sin ∠P F2 F1−sin ∠P F1 F2
=
√3
2
sin(
π
3 +θ)−sinθ
=
√3
2 ·
1
cos(
π
6 +θ)
.
因为√6
2 <e<√3，
所以1
2<cos(
π
6 +θ)<√2
2 ，
所以π
4 <π
6 +θ<π
3 ，
所以θ 的取值范围为(
π
12 ，π
6).
[规律方法] 关于圆锥曲线离心率(范围)问题处理的主体思想是：建立一个关于a，b，c 的方程(或不等式).
一般建立方程(或不等式)有两种方法：
(1)利用圆锥曲线的定义解决；
(2)利用题中的几何关系来解决问题.另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件.
跟踪演练4 (1)已知直线l：y=x+2，若椭圆C：x
2
a
2+y2=1(a>1)上的点到直线l 的距离的最大值与最小值
之和为2√2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )
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A.(0，√6
3 ]
B.(
√6
3 ，1)
C.(0，√2
2 ]
D.[
√2
2 ，1)
答案 A
解析 将l：y=x+2 代入椭圆C：x
2
a
2+y2=1(a>1)，消去y，可得(1+a2)x2+4a2x+3a2=0，
由已知直线与椭圆相离或相切，即Δ=16a4-4(1+a2)·3a2≤0，解得a2≤3，即1<a≤√3，
设椭圆上任意一点P(acos θ，sin θ)，
则点P 到直线l 的距离d=|a cosθ−sinθ+2|
√2
=|√a
2+1cos(θ+φ)+2|
√2
，
∵1<a≤√3，
∴√a
2+1+2+2−√a
2+1
√2
=2√2，符合题意，
则椭圆C 的离心率e=c
a=√
a
2−1
a
2
=√
1−1
a
2，
∵1<a≤√3，∴1
3≤1
a
2<1，
∴e 的取值范围为(0，√6
3 ].
(2)已知双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使sin∠P F1 F2
sin∠P F2 F1
=
a
c ，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A.(1，1+√2)
B.(1，1+√3)
C.(1，1+√2]
D.(1，1+√3]
答案 A
解析 由题意得点P 不是双曲线的顶点，在△PF1F2中，由正弦定理得
|P F1|
sin∠P F2 F1
=
|P F2|
sin∠P F1 F2
，
又
a
sin ∠P F1 F2
=
c
sin ∠P F2 F1
，∴
|P F1|
|P F2|=c
a，
即|PF1|=c
a·|PF2|，∴点P 在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，得|PF1|-|PF2|=2a，
∴c
a|PF2|-|PF2|=2a，即|PF2|= 2a
2
c−a，
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由双曲线的几何性质，知|PF2|>c-a，
∴2a
2
c−a>c-a，即c2-2ac-a2<0，
∴e2-2e-1<0，解得-√2+1<e<√2+1，
又e>1，
∴双曲线离心率的取值范围是(1，1+√2).
专题强化练
[分值：73 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·温州模拟)双曲线y
2
a
2 -x2=1(a>0)的一个焦点为(0，2)，则a 等于( )
A.√3
B.√3
3
C.3
D.1
3
答案 A
解析 由题意得c2=a2+1=4，所以a=√3.
2.(2025·江苏七市调研)已知椭圆C：x
2
a
2+y2=1(a>0)的右顶点与抛物线y2=8x 的焦点重合，则C 的离心率为(
)
A.1
2
B.3
4
C.√3
4
D.√3
2
答案 D
解析 由题意得y2=8x 的焦点为(2，0)，
则a=2，而b=1，得到c=√3，离心率为√3
2 .
3.设直线y=kx 与双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)相交于A，B 两点，P 为C 上不同于A，B 的一点，直线
PA，PB 的斜率分别为k1，k2，若C 的离心率为√2，则k1·k2等于( )
A.3
B.1
C.2
D.√3
答案 B
解析 由题意可知点A，B 关于原点对称，根据双曲线的第三定义可知k1·k2=e2-1，
又由e=√2，则k1·k2=1.
4.设O 为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x
2
4 + y
2
3 =1 的两个焦点，点P 在C 上，cos∠F1PF2=3
5，则⃗P F1·⃗P F2
等于( )
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A.9
4
B.7
4
C.2
D.7
2
答案 A
解析 记∠F1PF2=θ，由焦点三角形公式变形得
|PF1||PF2|=
2b
2
1+cosθ ，
即|PF1||PF2|=15
4 ，
则⃗P F1·⃗P F2=|⃗P F1||⃗P F2|cos∠F1PF2=15
4 ×3
5=9
4 .
5.(2025·沈阳模拟)过椭圆C：x
2
5 + y
2
4 =1 的左焦点F 作倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，则
1
| AF | +
1
|BF | 等于( )
A.5
4
B.4
5
C.√5
2
D.2√5
5
答案 C
解析 方法一 由焦点弦的性质
1
| AF | +
1
|BF | = 2
ep=√5
2 .
方法二 由x
2
5 + y
2
4 =1，
得a2=5，b2=4，c2=a2-b2=1，左焦点为(-1，0).
则过左焦点F，倾斜角为45°的直线l 的方程为y=x+1.
代入x
2
5 + y
2
4 =1，
得9x2+10x-15=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2=-5
3，x1+x2=-10
9 ，
又y1y2=(x1+1)·(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-16
9 ，
根据弦长公式得
|AB|=√1+1×√(−10
9 )
2
−4×(−5
3)=16√5
9
，
且|AF||BF|=√( x1+1)
2+ y1
2·√( x2+1)
2+ y2
2=√y1
2+ y1
2·√y2
2+ y2
2=2|y1y2|=32
9 ，
所以
1
| AF | +
1
|BF | =| AB|
| AF ||BF | =√5
2 .
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6.已知平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)，且AB，AD 斜率之积的取值范围为
(−3
4 ，−2
3)，则椭圆Ω 离心率的取值范围是( )
A.(
1
2 ，√3
3 )
B.(
√3
3 ，√2
2 )
C.(
1
4 ，√3
3 )
D.(
1
4 ，1
3)
答案 A
解析 由题意，D，B 关于原点对称，
设D(x0，y0)，B(-x0，-y0)，A(x，y)，
∴kAD·kAB= y −y0
x−x0
· y + y0
x + x0
= y
2−y0
2
x
2−x0
2 =b
2(1−x
2
a
2)−b
2(1−x0
2
a
2)
x
2−x0
2
=-b
2
a
2，
∴-b
2
a
2=c
2
a
2-1∈(−3
4 ，−2
3)，
∴1
4 <c
2
a
2<1
3，
∴e 的取值范围为(
1
2 ，√3
3 ).
7.已知直线l 经过抛物线y2=4x 的焦点F，且与抛物线交于A，B 两点(点A 在第一象限)，若⃗BA=4⃗BF，则
△AOB 的面积为( )
A.8√3
3
B.4√3
3
C.8√2
3
D.4√2
3
答案 B
解析 设直线l 的倾斜角为θ(0<θ<π)，
由题意知| AF |
|BF | =3，|AF|=
p
1−cosθ ，
|BF|=
p
1+cosθ ，
∴1+cosθ
1−cosθ =3，解得cos θ=1
2，则sin θ=√3
2 ，
又抛物线焦点弦弦长|AB|= 2 p
sin
2θ ，
∴S=1
2|OF|·|AB|·sin θ=
p
2
2sinθ= 4
√3=4√3
3
.
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8.已知F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线l1与C 交于A，B 两点，直线
l2与C 交于 D，E 两点，则 |AB|+|DE|的最小值为( )
A.16
B.14
C.12
D.10
答案 A
解析 设 l1 的倾斜角为 θ，不妨设θ∈(0，π
2)，
那么|AB|= 2 p
sin
2θ =
4
sin
2θ ，
因为l1⊥l2，所以 l2 的倾斜角为θ+π
2 ，
则|DE|=
4
sin
2(θ+ π
2)
=
4
co s
2θ ，
求|AB|+|DE|的最小值，即求4(
1
sin
2θ
+
1
co s
2θ)在(0，π
2)上的最小值，
令f(θ)=4(
1
sin
2θ
+
1
co s
2θ)=
4
sin
2θ co s
2θ =
16
sin
22θ ，θ∈(0，π
2)，
当sin22θ=1，即θ=π
4 时，f(θ)取得最小值16，即|AB|+|DE|的最小值为16.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.下列与双曲线有关的结论，正确的是( )
A.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b
B.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数ab
c
C.双曲线上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积为定值
D.过双曲线x2-y2=2 上任意一点P(m，n)分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB 的面
积为2mn
答案 ABC
解析 对于A，B，由点到直线的距离公式知A，B 正确；对于C，设双曲线方程为x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)，
过点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，
设P(x0，y0)，则|PA|=|b x0+a y0|
c
，
|PB|=|b x0−a y0|
c
，
|PA|·|PB|=|b x0+a y0|
c
·|b x0−a y0|
c
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=|b
2 x0
2−a
2 y0
2|
c
2
，
又点P(x0，y0)在双曲线上，
所以x0
2
a
2- y0
2
b
2 =1，b2x0
2-a2y0
2=a2b2，
即|PA|·|PB|=a
2b
2
c
2 ，C 正确；
对于D，双曲线x2-y2=2 的渐近线方程为
x+y=0 和x-y=0，
直线x+y=0 与x-y=0 相互垂直，
又PA⊥OA，PB⊥OB，
所以四边形OAPB 为矩形，所以四边形OAPB 的面积为|PA|·|PB|=a
2b
2
c
2 =1，D 错误.
10.已知椭圆Γ1：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，将Γ1上所有点的横坐标与纵坐标分别伸长
到原来的k(k>0，k≠1)倍得到椭圆Γ2，则下列说法正确的是( )
A.若t>0，则b
a<b+t
a+t
B.若Γ1，Γ2的离心率分别为e1，e2，则e1=e2
C.若Γ1，Γ2的周长分别为C1，C2，则C2=C1
k
D.若Γ1的四个顶点构成的四边形的面积为| F1 F2|
2
4
，则Γ1的离心率为2(√2-1)
答案 AB
解析 因为a>b>0，t>0，所以b
a<b+t
a+t ，所以A 正确；
设点(x'，y')为椭圆Γ2上任意一点，则由题意知{
x' =kx ,
y ' =ky ,
即{
x
'
k = x ,
y
'
k = y ,
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代入椭圆Γ1的方程得x
' 2
k
2a
2+ y
' 2
k
2b
2=1，
所以椭圆Γ2的方程为x
' 2
k
2a
2+ y
' 2
k
2b
2=1(a>b>0)，
则e1=√a
2−b
2
a
，e2=k √a
2−b
2
ka
=e1，所以B 正确；
由已知得，Γ1∽Γ2，其相似比为1∶k，
所以
C1
C2
=1
k ，所以C2=kC1，
因为k>0，k≠1，所以C 错误；
设c=√a
2−b
2，因为Γ1的四个顶点构成的四边形的面积为| F1 F2|
2
4
，
所以1
2·2a·2b=(2c)
2
4
，所以2ab=c2，
所以2a√a
2−c
2=c2，所以e4+4e2-4=0，
所以e2=−4+√4
2−4×(−4)
2
=2(√2-1)(负值舍去)，所以D 错误.
11.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，若直线AB 过抛物线的焦点F 且倾斜角为θ，则
下列命题正确的是( )
A.x1x2= p
2
4
B.|AB|=x1+x2+p= 2 p
sin
2θ
C.
1
| AF | +
1
|BF | = 2
p
D.y1y2=-2x1x2
答案 ABC
解析 对于选项A，D，设直线AB 的方程为x=my+ p
2 ，代入y2=2px，
可得y2-2pmy-p2=0，Δ>0，
所以y1y2=-p2，
x1x2= y1
2 y2
2
4 p
2 = p
2
4 ，选项A 正确，选项D 错误；
对于选项B，因为AB 是过抛物线y2=2px 的焦点的弦，
所以由抛物线定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+ p
2 +x2+ p
2 =x1+x2+p，
由选项A 知，y1y2=-p2，y1+y2=2pm，
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所以y1
2+y2
2=( y1+ y2)
2-2y1y2=4p2m2+2p2.
即y1
2+y2
2=2p(x1+x2)=4p2m2+2p2，
解得x1+x2=2pm2+p，
当θ=π
2 时，m=0，所以|AB|=2p，
当θ≠π
2 时，m=
1
tanθ ，
所以|AB|= 2 p
tan
2θ +2p=2p(
1
tan
2θ
+1)
=2p(
co s
2θ
sin
2θ
+1)= 2 p
sin
2θ ，
当θ=π
2 时，sin θ=1 也适合上式，所以|AB|=x1+x2+p= 2 p
sin
2θ ，选项B 正确；
对于选项C，不妨设θ∈(0，π
2)，点A 在x 轴上方，设A'，B'分别是A，B 在准线上的射影，C 是A 在x
轴上的射影，K 是准线与x 轴的交点，如图，
|AF|=|AA'|=|CK|=p+|CF|=p+|AF|cos θ，
所以|AF|=
p
1−cosθ ，同理可得|BF|=
p
1+cosθ ，
所以
1
| AF | +
1
|BF | = 2
p，
同理可证θ∈[
π
2 ，π)时，等式也成立，选项C 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.(2025·泰州调研)过抛物线y2=4x 的焦点作斜率为1 的直线l 交抛物线于A，B 两点，则以AB 为直径的圆
被y 轴截得的弦长为 .
答案 2√7
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l 的方程为y=x-1，
将其代入y2=4x 中并整理得x2-6x+1=0，
所以x1+x2=6，
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所以AB 的中点即以AB 为直径的圆的圆心，其横坐标为3，所以圆心到y 轴的距离为3，|AB|=p+x1+x2=8，
所以以AB 为直径的圆的半径为4，由已知及垂径定理得以AB 为直径的圆被y 轴截得的弦长为2√4
2−3
2=2
√7.
13.已知椭圆C：x
2
4 + y
2
2 =1 的左焦点为F，过F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，则|AB|=
；若|AF|>|BF|，则|AF|∶|BF|= .
答案 8
3 3∶1
解析 如图，设∠AFO=α，
则α=45°，由焦点弦公式，
|AB|=
2ab
2
a
2−c
2co s
2α
=
2×2×2
4−2×co s
245° =8
3.
由焦半径公式，
|AF|=
b
2
a−c cosα =
2
2−√2cos 45° =2，
|BF|=
2
2+√2cos 45° =2
3，所以|AF|∶|BF|=3∶1.
14.(2025·承德NT20 名校联合体调研)双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线
PF2⊥x 轴且与双曲线C 在第一象限交于点P.设△F1PF2内切圆的半径为r，若|PF2|≥4r，则双曲线C 的离心
率的取值范围为 .
答案 [3，+∞)
解析 设△F1PF2内切圆E 与△F1PF2的三边分别相切于点M，N，Q，如图，
则|EM|=|EN|=|EQ|=r，且|F1M|=|F1Q|，
|F2M|=|F2N|，|PQ|=|PN|，
所以Rt△EMF2≌Rt△ENF2，
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因为直线PF2的倾斜角为90°，
所以∠EF2M=45°，
所以|F2M|=|F2N|=
r
tan 45° =r.
因为|F1M|=2c-r=|QF1|，
|PQ|=|PN|=|PF2|-r，
由双曲线的定义可知，|PF1|-|PF2|=|QF1|-|F2N|=|F1M|-|F2M|=2a，即2c-r-r=2a，
所以r=c-a，又|PF2|=b
2
a ，所以b
2
a ≥4(c-a)，
则b2≥4ac-4a2，即c2-4ac+3a2≥0，
两边同时除以a2，则e2-4e+3≥0，
解得e≥3 或e≤1，又e>1，则e 的取值范围是[3，+∞)
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