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第08 讲 函数模型及其应用
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 二次函数模型
用
应
型
题
02
勾函数模型
用
对
应
型
题
03 分段函数模型
用
应
型
题
04 指数函数模型
用
应
型
题
05
数函数模型
用
对
应
型
题
06
函数模型
用
幂
应
型
题
07 构造函数模型解决实际问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 二次函数模型应用
1．经过市场调查分析，某地区一年的前n 个月，对某种商品的需求累计
万件，近似地满足下列关系：
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，
．
(1)求这一年内，哪几个月需求量超过1.3 万件？
(2)若在全年销售，将该产品都在每月初等量投放市场，则为保证该产品全年不脱销，每月初最少投放多少
万件？
【答案】(1)5，6 月份需求量超过1.3 万件
(2)
【分析】（1）分别计算一月份的需求量
，第2 到12 月份的需求量
，即可得解；
（2）设每月初最少投放
万件,需满足
恒成立，分参后利用均值不等式求最值即可得解.
【详解】（1）当
时，一月份产量为
，
当
时，
第
月的产量为
，
令
，即
，
解得
，由
，可知
，
即这年的5，6 月份需求量超过1.3 万件.
（2）设每月初最少投放
万件，
要使产品全年不脱销，对第
个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，
还有前几个月未销售完的商品，所以
恒成立，
恒成立，
又
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
.
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故为保证该产品全年不脱销，每月初最少投放
万件.
2．某公司投资5 万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15 万元进行批量生
产．已知生产每件产品的成本为4 元，在销售过程中发现：当销售单价定为10 元时，年销售量为2 万件；
销售单价每增加1 元，年销售量将减少
万件．设销售单价为x 元．第一年获利y 万元．（年获利=年销
售额-生产成本-投资）
(1)试写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于
万元．请问第二年
的销售单价应定在什么范围内？
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系.
（2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得.
【详解】（1）依题意，年销量为
（万件），
所以
.
（2）由（1）知，
，当
时，
，
即当销售单价定为17 元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差
万元就可收回全部投资，
因此第二年的销售单价应定
元，年获利
万元，
，而
，
即
，整理得
，解得
，
所以第二年的销售单价的范围是
.
3．中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全
球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98 万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，
第一年维修、保养费用12 万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4 万元，该设备使
用后，每年的总收入为50 万元，设使用
年后该设备的盈利额为y 万元.
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(1)写出y 与x 之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）；
(2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30 万元价格处理该设备；
②当盈利额达到最大值时，以12 万元价格处理该设备.
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为
，
）
【答案】(1)
，
，从第3 年开始盈利；
(2)答案见详解
【分析】（1）根据题意得到函数关系化简，列出不等关系，解不等式得到结果，向上取整即可.
（2）①先表示出年平均盈利额，利用基本不等式求出去年平均盈利额最大年份，求出总获利；②由二次
函数的性质求出盈利额最大年份，求出总获利；比较获利金额，金额相同比较时间，即可得到合理方案.
【详解】（1）由题意可得，
，（
）
令
，解得
，
因为
，所以
，故从第3 年开始盈利.
（2）
,
当且仅当
，即
时等号成立，
故第7 年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利
万元；
由
，当
时，
，
故第10 年，盈利额达到最大值，工厂获利
万元，
盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，故方案①比较合理.
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02 对勾函数模型应用
4．为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4 米，底面积为32 平
方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报
价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200 元，屋顶和地面报价共计7200 元，设应急室的左右两侧的
长度均为
米
，公司整体报价为
元.
(1)试求
关于
的函数解析式；
(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.
【答案】(1)
(2)正面长度为8 米,两侧长度为4 米,建造费用最低,最低20000 元.
【分析】（1）首先得到正面长度为
米，根据题意写出总价
即可.
（2）
，利用基本不定式即可求出最值.
【详解】（1）因应急室的左右两侧的长度均为
米,则应急室正面的长度为
米,于是得
（2）
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时在
内，
，
故正面长度为8 米，两侧长度为4 米，建造费用最低，最低20000 元.
5．如图，公园想建一块面积为144 平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44 米长
的铁丝网可供使用（铁丝网可以剩余），若利用x 米墙，求最少需要多少米铁丝网．
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【答案】
【分析】由题意知矩形长
米，则宽为
米，可求得周长为
，利用基本不等式求周长
的最
小值，即可得最少需要铁丝网的长度.
【详解】解：由题意，知矩形草地长
米，则宽为
米，
∴矩形草地周长为
，
∵
且
，
∴解得：
，
由基本不等式知
，
当且仅当
，即
米时等号成立，
则
米.
∴最少需要
米铁丝网.
6．已知一矩形纸片
的周长为
，如图，将
沿
向
折叠，
折过去后
交
于点
．
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(1)证明：
．
(2)若改变
的长度（矩形的周长保持不变），则
的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；
若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）设
折叠后点
变成
，根据已知证明
即可；
（2）设
，进而得到
，利用三角形面积公式及基本不等式求
的最值.
【详解】（1）设
折叠后点
变成
，
在
与
中，
，
因为
，又
，
所以
，则
．
（2）由题意，矩形
的周长为
．
设
，则
．
因为
为直角三角形，所以
，解得
，从而
，
所以
当且仅当
，即
时等号成立，
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此时
，满足
，
故
时，
的面积取得最大值，为
．
03 分段函数模型应用
7.随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械
市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产
品．已知生产该产品的年固定成本为300 万元，最大产能为100 台，每生产
台，需另投入成本
万元，
且
，由市场调研知，该产品每台的售价为200 万元，且全年内生产
的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润
万元关于年产量
台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
；
(2)年产量为60 台时，公司所获利润最大，最大利润是1680 万元
【分析】（1）分
和
两种情况，进行求解利润；
（2）
时，可利用二次函数的特点求最大利润值，
时，利用基本不等式求最值，最后
要对两个最值比较，得出最大利润．
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
，
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．
（2）若
，当
时，
万元；
若
，
，
当且仅当
时，即
时，
万元，
由于
，故该产品的年产量为60 台时，公司所获利润最大，
最大利润是1680 万元．
8.已知某企业生产某种设备的最大产能为70 台，每台设备的售价为80 万元．记该企业生产
台设
备需要投入的总成本为
（单位：万元），且
假设生产的设备全
部都能售完．
(1)求利润
（单位：万元）关于生产台数
的函数解析式，并求该企业生产20 台设备时的利润（利润
销售额-成本）；
(2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)
，400 万元．
(2)生产60 台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820 万元．
【分析】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润
销售额-成本，易得利润
的解析式，代值
计算即得生产20 台设备时的利润；
（2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润.
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【详解】（1）当
时，
；
当
时，
；
综上，
当
台时，
万元，
所以该企业生产20 台该设备时，所获利润为400 万元．
（2）当
时，
，
故当
台时，
取得最大值，最大值为500 万元；
当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故当
台时，
取得最大值，最大值为820 万元；
因为
，所以当生产60 台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820 万元．
9.春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024 年12 月4 日，“春节——中国人庆祝
传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全
统计，如今有近20 个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200 个国家和地区，成为
全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形
成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如
舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了
促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500 万元，
若该项目在2025 年接待x 万名游客，则需追加管理及维修成本
万元，且
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，该游玩项目的每张门票售价为80 元．
(1)求2025 年该项目的利润
（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当2025 年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
；
(2)当游客量为60 万台时，该项目年利润最大，最大利润为350 万元.
【分析】（1）分
和
两种情况，得到函数解析式；
（2）当
时，由函数单调性求出最大值，当
时，由基本不等式求出
最大值，比较后得到结论.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
故
；
（2）当
时，
，故当
万人时，
取得最大值，最大值为
万元，
当
时，
（万元），
当且仅当
，即
时，等号成立，
由于
，故当游客量为60 万人时，该项目年利润最大，最大利润为350 万元.
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04 指数函数模型应用
10.某地区在
年底森林覆盖面积为
，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该
市大力发展植树造林活动，计划到
年底森林覆盖面积为
，要求每一年森林覆盖面积的年平均
增长率均相同，试问到
年底需要植树多少面积？（参考数据：
）
【答案】
【分析】设每年平均增长率为
，由条件可得方程
，解方程求
，由此可得结论.
【详解】设每年平均增长率为
，
则以2020 年底为基础，到2030 年底的森林覆盖面积为
，
故
，所以
，
解得
，
所以到2021 年底需要植树的面积为
．
11.某企业于2024 年在其基地投入150 万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10 年内在此基础上，
每年投入的研发资金比上一年增长20%．
(1)写出第
年（2024 年为第1 年）该企业投入的研发资金
（单位：万元）与
的函数关系式，并指出函
数的定义域；
(2)该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600 万元？
（参考数据：
，
，
，
，
）
【答案】(1)
，定义域为
；
(2)第9 年
【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，确定函数解析式及定义域；
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（2）由（1）得
，然后利用对数运算求解即可.
【详解】（1）第
年（2024 年为第1 年）该企业投入的研发资金
（万元），
则
，其定义域为
；
（2）由（1）得
，即
，
所以
，即
，
所以
，又
，
故该企业从第9 年开始投入的研发资金将超过600 万元.
12.西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有
1200 多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在
室温下，龙井用
的水泡制，再等
到茶水温度降至
时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从
开始，经过
分
钟后的温度为
且满足
.
(1)求常数
的值；
(2)经过测试可知
，求在
室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口
感？结果精确到分钟(参考数据：
，
)
【答案】(1)
(2)7 分钟
【分析】（1）由题意当
时，
即可求解；
（2）由（1）得到
，令
，求解即可.
【详解】（1）茶水温度从
开始，
即当
时，
，解得
；
（2）当
时，
，
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当
时，
，即
，
，
故刚泡好的茶水大约需要放置7 分钟才能达到最佳饮用口感．
05 对数函数模型应用
13.科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数
，单位是
，其中
表示
候鸟每分钟耗氧量的单位数，
表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（
）
(1)若
，候鸟每分钟的耗氧量为8100 个单位时，它的飞行速度是多少
？
(2)若雄性候鸟的飞行速度为
，雌性候鸟的飞行速度为
，那么此时雄性候鸟每分钟的
耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
【答案】(1)
．
(2)9 倍．
【分析】（1）将所给数据代入题干所给解析式中，由对数的运算性质计算可得；
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为
，雌鸟每分钟的耗氧量为
，代入解析式，两式作差得到
，
即可求出
.
【详解】（1）将
代入函数式可得：
，
故此时候鸟飞行速度为
．
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（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为
，雌鸟每分钟的耗氧量为
，
依题意可得：
，两式相减可得：
，于是
．
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9 倍；
14.天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮
度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6 光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如
果两颗恒星的亮度分别为
，视星等分别为
，那么
(1)已知太阳的视星等是
，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是
，求太阳与天狼星的亮度之比；
（保留两位有效数字，
）
(2)如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是
，距地球的距离是
光年，那么
．已
知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表：
星体
视星等
绝对星等
天狼
星
1.44
织女
星
0.00
0.55
牛郎
星
0.75
2.19
把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序；（直接写出结果）
(3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？
【答案】(1)
(2)天狼星、牛郎星、织女星
(3)该恒星距地球的距离大于
光年（答案不唯一，符合题意即可）
【分析】（1）由题意可得：
，结合题意圆求解即可；
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（2）整理可得
，结合题意分析求解即可；
（3）根据题意可得
，进而分析
即可.
【详解】（1）设太阳、天狼星的视星等是
，亮度分别为
，
由题意可知：
，可得
，
所以太阳与天狼星的亮度之比为
.
（2）因为
，可得
，
则
随着
增大而增大，
星体
视星等
绝对星
等
天狼
星
1.44
织女
星
0.00
0.55
牛郎
星
0.75
2.19
由表可知：
由小到大依次为：天狼星、牛郎星、织女星，
所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为：天狼星、牛郎星、织女星.
（3）若一颗恒星的视星等大于绝对星等，则
，
可知
，
所以该恒星距地球的距离大于
光年.
15.声强级
（单位：dB）由公式
给出，其中I 为声强（单位：
），k，b 为常数.研究
发现正常人听觉能忍受的最高声强为
，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为
，此时声强级为60dB．
(1)求k，b 的值；
(2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB 至115dB 时，视网膜中的视杆
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细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为
，
若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？
【答案】(1)
(2)司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性.
【分析】（1）由题意建立方程组，解之即可求解；
（2）由（1），将
代入
即可下结论.
【详解】（1）由题意知
，解得
，
所以
.
（2）因为
，将
代入，
得
，
所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性.
06 幂函数模型应用
16.为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020 年初在该水域投放一种微生物，投放量为1 个单位数量．
这种微生物在开始的4 年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放
年后这种微生物的数量为
个单位．已知
与
的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①
；②
；③
.
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(1)请从中选择并求合适的两个确定
关于
的函数解析式，并说明理由；
(2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在
个单位之间生态环境最佳）
【答案】(1)解析式为①
和②
(2)时长为
【分析】（1）根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择①②，再代入点的坐标求得参
数值即可得出解析式；
（2）由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式，即可得出结论.
【详解】（1）易知模型③
在
上单调递减，因此可排除；
因为这种微生物在开始的
年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①
符合题意；
又随后越来越慢，由幂函数性质可得②
符合题意；
因此在
时，
，
当
时，
；
结合图象可知
经过点
、
；
即
，解得
，即
；
函数
经过点
、
，
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即
，解得
，即
；
因此符合题意的两函数解析式为①
和②
.
（2）因为微生物的数量在
个单位之间生态环境最佳，
当
时，令
，解得
；
当
时，令
，解得
；
综上可得，当
时，满足题意；
因此该水域生态环境最佳的时长为
.
17.昆明某环保组织自2024 年元旦开始监测滇池某水域中水葫芦生长的面积变化情况，并测得最初水葫芦
的生长面积为
（单位：
），此后每月月底测量一次.通过近一年的观察发现：自2024 年元旦起，水葫
芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.记2024 年元旦最初测量时间
的值为0，部分测量数据统计
如表：
第
月月底
2
3
水葫芦生长面积
（
）
2
4
64
(1)水葫芦生长的面积
（单位：
）与时间
（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：①
；②
，请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函
数模型的解析式；
(2)根据第（1）问选择的函数模型，求该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积
的240 倍以上？（参考数据：
）.
【答案】(1)选择模型
，理由见解析，
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(2)7 月份
【分析】（1）由随着
的增大，
的函数值增加得越来越快，而
的函数值增加得越来越慢即可选择；
（2）根据题意，由
运算求解.
【详解】（1）选择模型
，
因两个函数模型
在
上都是增函数，
随着
的增大，
的函数值增加得越来越快，而
的函数值增加得越
来越慢，
由题意和表格数据，可以发现随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，
故第一个函数模型
满足要求.
由题意知，
，解得
，所以
.
（2）由
，解得
，
又
故
，
即该水域中水葫芦生长的面积在7 月份起是元旦开始研究时其生长面积的240 倍以上.
18.银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方
法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性向银行贷款10 万元，技术改造后第一年可获得利润1 万元，以后每年比上年增加30%的利
润；
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乙方案：每年向银行贷款1 万元，技术改造后第一年可获得利润1 万元，以后每年比前一年多获利5000 元．
(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润为
（万元），乙方案第n 年的利润为
（万元），请写出
、
的表达式；
(2)假设两种方案的贷款期限都是10 年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，
试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参
考数据
，
【答案】(1)
，
,
(2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多
【分析】（1）根据已知条件，分别求解1 年，2 年后，….，进而归纳
后的利润，即可求解．
（2）分别求出两种方案的净收益，再通过比较，即可求解．
【详解】（1）对于甲方案，
1 年后，利润为1（万元）．
2 年后，利润为
，
3 年后，利润为
（万元），
……
故
年后，利润为
（万元），
因此
，
对于乙方案，
1 年后，利润为1（万元）．
2 年后，利润为
，
3 年后，利润为
（万元），
……
故
年后，利润为
（万元），
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因此
，
（2）甲方案十年共获利
（万元），
10 年后，到期时银行贷款本息为
（万元），
故甲方案的净收益为
（万元），
乙方案十年共获利
（万元），
贷款本息为
（万元），
故乙方案的净收益为
（万元），
由
，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多
07 构造函数模型解决实际问题
19.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200 万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人
后前
年的维护成本为
万元，每年电池销售收入为7600 万元，设使用该批智能机器
人后前x 年的总盈利额为y 万元
(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000 万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200 万元的价格处理
问哪种方案更合理？并说明理由.
【答案】(1)解析式为
，该企业从第2 年开始盈利；理由见解析
(2)方案二更合理；理由见解析
【分析】（1）先写出相应的解析式，再解不等式，求出该企业从第2 年开始盈利；
（2）方案一：配方得到
时y 取到最大值12800，进而得到总利润为
万元；方案二：
年平均盈利额为
，由基本不等式求出最大值，此时处理掉智能机器人，总利润为
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万元，得到结论.
【详解】（1）由题意可得
，
由
得
且
，
该企业从第2 年开始盈利；
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：
，
当
时y 取到最大值12800，
若此时处理掉智能机器人，总利润为
万元，
方案二：年平均盈利额
万元，
当且仅当
时，年平均盈利额最大，
若此时处理掉智能机器人，总利润为
万元，
综上，两种方案总利润都是14800 万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理.
20.某高校为了方便冬季体育活动，计划建造一间室内面积为900
的体育馆，在馆内划出三块相同的矩形
区域供三个班级同时使用，相邻区域之间间隔3 米，其余部分离墙1 米（如图）．设体育馆室内长为x 米，
三块区域的总面积为S 平方米．
(1)求S 关于x 的函数关系式；
(2)当体育馆室内长为多少米时，三块区域的总面积最大？并求其最大值．
【答案】(1)
，
(2)当矩形温室的室内长为60m 时，S 最大，最大为676
【分析】（1）由长方形面积公式即可求解；
（2）由基本不等式即可求解；
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【详解】（1）由题设，得
，
由已知得
故
．
所以
，
．
（2）因为
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，从而
．
故当矩形温室的室内长为60m 时，S 最大，最大为676
．
21.舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来
自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题
的关注程度.对于舆论事件出现起的前
天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于
，则认为
本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3 天的舆
论场指数整理成如下表格：
天数
1
2
3
舆论场指数
12
48
156
为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①
；②
；
③
其中含
的项的系数均不为0.
(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；
(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4 天时的舆论场指数；
(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.
【答案】(1)③
(2)
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(3)
【分析】（1）根据表格中数据以及指数爆炸模型可得结论；
（2）利用待定系数法求得函数解析式，即可做出预测；
（3）将问题转化为不等式恒成立再利用二次函数性质可求得结果.
【详解】（1）③；
根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③；
（2）将表格数据代入
，得
，
，
解得
，
故函数为
，
则第4 天时的舆论场指数为
.
（3）若本次舆情不是严重的，则
恒成立，
原式等于
，故两边同时除以
，得到
，
不妨设
，故原式等于
，整理得
，
由于
在
上单调递减，故只需要当
时，
成立即可，
代入得
，解得
，
故的最小值为
.
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1．
为了节能减排，某企业决定安装一个可使用
年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安
装这种供电设备的费用
（单位：万元）与太阳能电池板的面积
（单位：平方米）成正比，比例系数为
.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗
的电费
（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积
（单位：平方米）之间的函数关系是
（
为常数）.已知太阳能电池板面积为
平方米时，每年消耗的电费为
万元，
记
（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业
年所消耗的电费之和.
(1)求常数
的值；
(2)写出
的解析式；
(3)当
为多少平方米时，
取得最小值?最小值是多少万元?
【答案】(1)
(2)
(3)当
为
平方米时，
取得最小值，最小值是
万元
【分析】（1）由
可得出关于
的等式，即可解得
的值；
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（2）分
、
两种情况讨论，根据
可得出函数
的解析式；
（3）求出函数
在
、
时的最小值，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）依题意得，
，所以
，解得
，故
的值为
.
（2）依题意可知
，又由（1）得，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
.
（3）当
时，
，
因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
；
当
时，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
；
又
，故
.
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答：当
为
平方米时，
取得最小值，最小值是
万元.
2．
春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人
数与时刻t 有关，时刻t 满足
，
．经观察，当
时，候车人数达到满厅人数5000 人，
当
时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与
成正比．已知
时，候车人数为3800
人，记候车厅候车人数为
．
(1)求
的表达式；
(2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为
，求t 为何值时，需要提供的免费面包数量最少．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）依题意设得
的解析式，代入
，确定参数，即得
的表达式；
（2）根据分段函数解析式，分别利用基本不等式和函数的单调性求其最值并比较即得.
【详解】（1）依题意，当
时，设
，
因
，解得
，
，
（2）当
，
，
当且仅当
时等号成立；
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当
时，
在
上为减函数，故得
.
又
，所以当
时，需要提供的面包数量最少．
3．近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021 年初建立开始，得到了很多网民
的关注，会员人数逐年增加．已知从2021 到2024 年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：
第4 年数据为截止至2024 年10 月底的数据）
建立平台第
年
1
2
3
4
会员人数
（千
人）
16
28
5
2
86
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台
年后平台会员
人数
（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024 年年末会员人数：
①
，②
且
，③
且
；
(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过
千人，请根据（1）中你选择的函
数模型求
的最小值．
【答案】(1)选择模型③，
，100 千人．
(2)4．
【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的
值，即可得出函数模型解析式，再将
代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出
，令
，则
，令
，求出函数在区间上的最大值，即可得
实数k 的最小值.
【详解】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合
适，
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由表格中的数据可得
，解得
所以，函数模型的解析式为
，
令
，预测2024 年年末的会员人数为100 千人．
（2）由题意可得
，
令
，则
，
令
，
，则函数
的定义域上单调递增，
又
关于
在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，
，
即
．所以
的最小值为4．
4.某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6 米，底面积为24 平方米，且背面靠墙的长方体形状的
仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400
元，左右两面新建墙体每平方米300 元，屋顶和地面以及其他共计28800 元．
(1)设仓库前面墙体的长为x 米（
），试将甲工程队的整体报价y 表示为x 的函数；
(2)当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？
(3)现有乙工程队也参与此仓库改造竞标，其给出的整体报价为
元，其中
，不考虑其他
因素，若乙队要确保竞标成功，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)当仓库前面墙体的长度为
米时，甲工程队的整体报价最低，是
元.
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(3)
【分析】（1）根据甲的报价方案，利用墙体面积，转化为关于
的函数关系，即可求解；
（2）根据基本不等式计算即可；
（3）根据（1）的结果，转化为不等式，参变分离后，转化为求函数最值问题，即可求解.
【详解】（1）由题意可得：甲队的报价为
元，
；
（2）甲队的报价为
.
当且仅当
，即
，解得
（满足
）时等号成立.
所以当仓库前面墙体的长度为
米时，甲工程队的整体报价最低，是
元.
（3）乙队给出的整体报价为
元，若乙队要确保竞标成功，
则
恒成立，
，
，设
，
则
，又
在
为增函数，
则
，则
，即
，又
，则
，
即实数
的取值范围是
．
5.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点
的距离是
，某城镇位于
的正东方向，且与
的距离
为
．甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点
处（其中
，
之间的距离为
），
再从
出发步行到达该城镇．已知小船的平均速度为
，甲的步行速度为
．
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(1)当
，
时，求甲从小岛到城镇所用时间；
(2)若
，求甲从小岛到城镇所需的最短时间与相应的
，
．
【答案】(1)
(2)3 小时，
，
【分析】（1）分别计算小岛开往上岸点时间和上岸点到城镇所需的时间，相加即可；
（2）由题意得到
，结合基本不等式求解即可；
【详解】（1）
由题意知，小岛距离上岸点的距离
，
小岛开往上岸点所需的时间
，
上岸点到城镇的距离
，
上岸点到城镇所需的时间
，
故甲从小岛到城镇所需的时间为
．
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（2）小岛开往上岸点所需的时间
，
上岸点到城镇所需的时间
，
记甲从小岛到城镇所需的时间
，其中
，
所以
，
整理得，
，
当且仅当
，此时，
，
．
答：当
，
时，小岛到城镇所需时间最短，为3 小时．
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1．（山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染
者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模
型：
描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R0，T 近似满足R0
=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1
倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2 天
B．1.8 天
C．2.5 天
D．3.5 天
【答案】B
【分析】根据题意可得
，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时
间为
天，根据
，解得
即可得结果.
【详解】因为
，
，
，所以
，所以
，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间为
天，
则
，所以
，所以
，
所以
天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
2．（全国II 卷·高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单
的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超
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市某日积压500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600 份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成
50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（
）
A．10 名
B．18 名
C．24 名
D．32 名
【答案】B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为
，
，故至少需要志愿者
名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
3．（北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，
价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买
水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为
．
【答案】 130. 15.
【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得
的
最大值.
【详解】(1)
,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付
元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为
元,
元时,李明得到的金额为
,符合要求.
元时,有
恒成立,即
,即
元.
所以
的最大值为
.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为
背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
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4．（湖北·高考真题）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内
每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，
与的函数关系式为
（
为常数）．根据图所提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为
；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到
毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，
至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
【答案】
/
【分析】（1）当
时，可设
，把点
代入直线方程求得
，得到直线方程；当
时，
把点
代入
求得
，曲线方程可得．最后综合可得答案．
（2）分析可知只有当药物释放完毕，室内药量减少到
毫克以下时学生方可进入教室，可出
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，解此不等式组即可得解.
【详解】解：（1）依题意，当
时，设
，则
，解得
，
将
代入
可得
，解得
.
综上所述，
.
（2）由题意可得
，因为药物释放过程中室内药量一直在增加，
即使药量小于
毫克，学生也不能进入教室，
所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到
毫克以下时学生方可进入教室，
即
，解得
，
由题意至少需要经过
小时后，学生才能回到教室．
故答案为：（1）
；（2）
.
5．（上海·高考真题）已知：
，
，且
，
（1）若
，求
的取值范围；
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（2）已知
时，
，求
为多少时，
可以取得最大值，并求出该最大值.
【答案】（1）
；（2）
时，
.
【分析】（1）当
时根据函数的解析表达式，利用指数函数的单调性得到
，进而解得；当
时，利用不等式的基本性质可得
,此时
无解.
（2）根据已知条件，结合函数的解析式，求得
的值，进而分段讨论，当
时可利用不等式的基
本性质得到
, 当
时利用二次函数的性质求得
>400，从而得到答案.
【详解】（1）当
时，
,即
,
；
当
时，
,此时
无解.
综上所述，
；
（2）当
时，
,解得
,
当
时，
当
时，
,
当
时
取得最大值
.
综上所述当
时
取得最大值，
.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的基本性质，函数的最大值，指数函数的单调性，指
数不等式和不等式的求解，属中档难度试题，关键在于分段讨论.难点在于（2）中的求最值部分，当
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时，
关于
的函数的单调性比较复杂，先探求范围，求出当
时的最值，这样可以避
免对复杂函数的单调性的分析.
6．（北京·高考真题）某地区上年度电价为0.8 元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55
元/kW•h 至0.75 元/kW•h 之间，而用户期望电价为0.4 元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际
电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3 元/kW•h．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；
(2)设
，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
（注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价））
【答案】(1)
(2)0.6 元/kw•h
【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为x 元/kw•h，依题意知用电量增至
，得出电力部门的
收益即可；
（2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x 的不等关
系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
【详解】（1）设下调后的电价为x 元/kw•h，
依题意知用电量增至
，电力部门的收益为
（2）依题意有
，
整理得
，
解此不等式得
，
答：当电价最低定为0.6 元/kw•h 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
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【点睛】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决
实际问题的能力．
