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第25 讲 动量守恒定律及其应用
目录
01 课标达标练.....................................................................................................................1
题型01 动量守恒条件的判断........................................................................................................1
题型02 动量守恒定律的理解及简单应用...................................................................................3
题型03 碰撞......................................................................................................................................6
题型04 爆炸、反冲.........................................................................................................................7
题型05 人船模型及拓展..............................................................................................................12
02 核心突破练..................................................................................................................15
03 真题溯源练..................................................................................................................23
01 动量守恒条件的判断
1．（2025·陕西宝鸡·三模）一名航天科技爱好者设计了一个命名为御剑的飞行器，御剑通过喷气获得动力，
御剑飞行速度可达250km/h，下列说法正确的是（ ）
A．250km/h 指的是御剑飞行时的最大速度
B．御剑飞行过程中，御剑与喷出的气体组成的系统动量守恒
C．御剑向上飞行时处于超重状态
D．御剑在空中水平方向匀速飞行时，不需要对外喷气
【答案】A
【详解】A．250km/h 指的是御剑飞行时的最大速度，故A 正确；
B．御剑与喷出气体组成的系统受重力、空气阻力等外力，动量不守恒，故B 错误；
C．题干未明确御剑的飞行状态，加速度方向未知，无法判断御剑是否处于超重状态，故C 错误；
D．御剑在空中水平匀速飞行时，需喷气产生推力平衡空气阻力，故D 错误。
故选A。
2．（2024·江苏镇江·模拟预测）如图，A、B 两物体的质量之比为
，它们原来静止在平板车C
上，A、B 两物体间有一根被压缩了的水平轻质弹簧，A、B 两物体与平板车上表面间的动摩擦因数相同，
1
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水平地面光滑。当弹簧突然释放后，A、B 两物体被弹开（A、B 两物体始终不滑出平板车），则有
（ ）
A．A、B 系统动量守恒
B．A、B、C 及弹簧整个系统机械能守恒
C．A、B 在小车C 上滑动过程中小车一直处于静止
D．A、B、C 组成的系统动量守恒
【答案】D
【详解】A．在弹簧释放的过程中，因
，由摩擦力公式
可知A、B 两物体所受的摩擦力大小不相等，故A、B 两物体组成的系统合外力不为零，A、B 两物体组
成的系统动量不守恒，故A 错误；
BC．A 物体对小车向左的滑动摩擦力小于B 对小车向右的滑动摩擦力，在A、B 两物体相对小车停止运
动之前，小车所受的合外力向右，小车将向右运动，因存在摩擦力做负功，最终整个系统将静止，则系
统的机械能减为零，不守恒，故BC 错误；
D．A、B、C 组成的系统所受合外力为零，系统的动量守恒，故D 正确。
故选D。
3．（多选）如图所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球拉开到一定的角度，然后同时放开小
球和小车，那么在以后的过程中（ ）
A．小球向左摆动时，小车也向左运动，系统水平方向动量不守恒
B．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统水平方向动量守恒
C．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车的速度不为零
D．在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反
2
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【答案】BD
【详解】以小球和小车组成的系统为研究对象，在水平方向上不受力的作用，所以系统在水平方向上动
量守恒，由于初始状态小车与小球均静止，所以小球与小车在水平方向上的动量要么都为零，要么大小
相等、方向相反，故AC 错误，BD 正确。
故选BD。
02 动量守恒定律的理解及简单应用
4．（2025·海南海口·模拟预测）在动画电影《哪吒》中，哪吒与敖丙在冰封的海面上对决，哪吒脚踩风火
轮（总质量
），以速度
水平向右疾行，敖丙手持冰锤（总质量
）以速度
水平向左冲来，两人迎面相撞后紧紧抓住对方共同运动。假设冰面光滑，忽略空气阻力，则相撞
后两人的共同速度为（ ）
A．7.5m/s，水平向右
B．1m/s，水平向右
C．7.5m/s，水平向左
D．1m/s，水平向左
【答案】B
【详解】取向右为正方向，根据动量守恒定律有
代入数据解得
方向水平向右。
故选B。
5．（2025·山东烟台·三模）如图，质量均为
的木块A 和B 并排放在光滑水平面上，A 上固定一竖直轻
杆，轻杆上端系一长为
的细线，细线另一端系一质量为
的球C，现将球C 拉起使细线水平，并
由静止释放，当球C 摆到最低点时（小球与轻杆没有发生碰撞），木块A 恰好与木块B 相撞并粘在一起，
不计空气阻力，则此后C 摆动过程中能上升的最大高度为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】C 摆到最低点的过程，对于A 与C 组成的系统，根据水平方向动量守恒和机械能守恒有
，
联立解得
，
A 与B 碰撞瞬间，由动量守恒和能量守恒有
，
求得
对于A、B、C 三者组成的系统，根据水平方向动量守恒可知，C 摆到左侧最高点时，A、B、C 三者的速
度均为零，C 由右侧最高点摆到左侧最高点的过程，根据能量守恒有
解得
故选C。
6．（2025·云南·模拟预测）（多选）我国女子短道速滑队曾多次在国际大赛上为祖国赢得荣誉。某次短道
速滑接力赛中，在水平冰面上“交棒”的运动员乙用力猛推前方“接棒”的运动员甲，使运动员甲以速度
向前冲出。已知甲、乙运动员的质量均为
，交接前，甲的速度大小
，乙的速度大
小
，不计一切阻力。下列说法正确的是（ ）
4
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A．乙推甲后瞬间乙的速度大小为
B．乙推甲的过程，乙对甲的冲量为
C．乙推甲的过程，甲的动量一直增加
D．乙推甲的过程，甲的动量变化量比乙的大
【答案】AC
【详解】A．规定运动员前进的方向为正，根据动量守恒定律可得
解得乙推甲后瞬间乙的速度为
故A 正确；
B．乙推甲的过程，乙对甲的冲量等于甲动量的变化量，则有
故B 错误；
C．乙推甲的过程，运动员甲的速度一直增加，故动量一直增加，故C 正确；
D．乙推甲的过程，运动员甲动量的变化量大小等于乙的动量的变化量大小，故D 错误。
故选AC。
7．
（2025·江苏泰州·模拟预测）如图为一种使用摩擦传动的变速箱的内部结构简图，薄壁圆筒
1 和薄壁圆筒2 均可绕自身的光滑平行转轴转动。起初圆筒1 与圆筒2 均静止，现给圆筒1 一个瞬时作用，
让圆筒1 以角速度
转动，由于摩擦，一段时间后两圆筒接触面间无相对滑动。已知圆筒1 质量为m、半
径为R，圆筒2 质量为
、半径为
，两圆筒相互作用过程中无其它驱动力，不计空气阻力。求：
(1)两圆筒无相对滑动时圆筒2 的角速度
；
(2)从圆筒2 开始转动到无相对滑动过程中圆筒1 对圆筒2 摩擦力冲量I 的大小。
5
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【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意可知，圆筒1 的初速度为
一段时间后两圆筒接触面间无相对滑动，转动的速度为
从开始到无相对滑动，由动量守恒定律有
联立解得
（2）根据题意，对圆筒2，由动量定理有
代入数据解得
03 碰撞
8．
（2024·云南昆明·模拟预测）老师在物理课上用网球和篮球演示了一个实验，如图甲所示，
同时由静止释放紧靠在一起、球心在同一竖直线上的网球和篮球，发现篮球与地面碰撞以后，网球弹起的
高度大于释放时的高度。为了定量研究这一现象，将图甲简化为图乙所示模型，篮球下沿距地面高度为h
= 1.25 m，篮球与地面的碰撞无机械能损失，篮球和网球的碰撞时间极短，碰后网球从碰撞位置上升的最
大高度为4h，已知网球质量为m = 60 g，篮球质量为网球质量的9 倍，不计空气阻力，重力加速度为g =
10 m/s2。（结果保留2 位有效数字）求：
(1)网球与篮球碰撞时的速度。
(2)篮球与网球碰撞后瞬间的速度。
6
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【答案】(1)5.0 m/s，方向竖直向下
(2)3.3 m/s，方向竖直向上
【详解】（1）落地时根据机械能守恒
解得两球落地时的速度大小均为
故网球与篮球碰撞时的速度大小为5.0 m/s，方向竖直向下。
（2）取向上为正方向，设碰撞后瞬间，篮球的速度为v1，网球的速度为v2，因为碰后网球从碰撞位置
上升的最大高度为4h，则
解得
篮球与地面碰撞后速度方向向上，由动量守恒可得
解得
方向竖直向上。
9．（2025·北京通州·一模）如图所示，轻绳下端吊着一个质量
的沙袋。一个质量
的
子弹以
的速度水平射入沙袋，经过极短的时间与沙袋达到共同速度，然后随沙袋一起摆动。
已知重力加速度大小
，不计空气阻力。求：
(1)子弹射入沙袋后，子弹与沙袋共同速度的大小；
(2)子弹随沙袋一起摆动上升的最大高度；
(3)子弹射入沙袋过程中系统损失的机械能
。
7
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【答案】(1)0.6m/s
(2)0.018m
(3)898.2J
【详解】（1）规定子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒得
解得
（2）子弹随沙袋一起摆动上升到最大高度的过程，根据动能定理得
解得
（3）根据能量守恒得，子弹射入沙袋过程中系统损失的机械能
04 爆炸、反冲
10．（2025·江西鹰潭·二模）静止在O 点的
原子核发生衰变的同时，空间中出现如图所示的匀强电场。
之后衰变产物A、B 两粒子的运动轨迹OA、OB 如图虚线所示，不计重力和两粒子间的相互作用，下列说法
正确的是（ ）
A．A 粒子为N 原子核
B．
原子核发生的是
衰变
C．两粒子初动能相同
D．两粒子初速度大小相同
【答案】A
【详解】B．根据题意，结合两粒子的运动轨迹可知，A 粒子所受电场力与电场方向相同，带正电，B
粒子所受电场力与电场方向相反，带负电，可知
原子核发生的是
衰变，故 B 错误；
8
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A．根据以上分析得该衰变的核反应方程为
，故 A 正确；
D．衰变过程动量守恒，两衰变产物粒子的动量大小相等，即有
由于
，所以
，故 D 错误；
C．粒子动能
由于
，所以
，故 C 错误；
故选A 。
11．（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）如图所示为某型号双响爆竹的结构简化图，其内部结构分上、
下两层，分别装载火药。某次燃放测试中，点燃引线，下层火药被引燃后，爆竹获得了竖直升空的初始速
度。当爆竹上升到最大高度处时，上层火药恰好被引燃，爆竹瞬间分裂成质量之比为
的
、
两部分。
若
、
均沿水平方向飞出，落地点间的水平距离为
，不计空气阻力及爆竹爆炸前后的质量变化，重力
加速度为
。则（ ）
A．爆竹分裂后
获得的速度大小为
B．爆竹分裂后
获得的速度大小为
C．上、下两层火药分别被引燃时，爆竹增加的机械能之比为
D．上、下两层火药分别被引燃时，爆竹增加的机械能之比为
【答案】AC
9
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【详解】AB．设P、Q 质量分别为m 和2m，在最高点爆炸过程根据动量守恒
可得
爆炸后P、Q 均做平抛运动，落地时间
二者水平方向均为匀速直线运动，则有
，
又
联立解得P 部分获得的速度
Q 部分获得的速度
故A 正确；B 错误。
CD．上层火药燃爆时爆竹增加的机械能
下层火药燃爆时爆竹增加的机械能
则上、下两层火药燃爆时爆竹增加的机械能的比值为
故C 正确；D 错误。
故选AC。
12．（2025·福建厦门·模拟预测）已知某花炮发射器能在
内将花炮竖直向上发射出去，花炮的质量
为
、射出的最大高度
，且花炮刚好在最高点爆炸为两块物块。假设爆炸前后花炮的总质
量不变，爆炸后两物块的速度均沿水平方向，且两物块落地的水平位移比为1：4，忽略一切阻力及发射器
大小，重力加速度
。求：
(1)求花炮发射器发射花炮时，对花炮产生的平均作用力F 的大小；
(2)爆炸后两物块的质量
、
的大小。
【答案】(1)
(2)
，
10
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【详解】（1）花炮发射后做竖直上抛运动，设发射时的初速度为
，则有
，解得
以向上的方向为正方向，对花炮，由动量定理可得
解得
（2）花炮爆炸时，动量守恒，由动量守恒定律可得
爆炸后两物块做平抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动，两物块运动时间相同，则
有
又
，联立解得
，
13．（2025·新疆·二模）2024 年5 月3 日，长征五号遥八运载火箭成功将嫦娥六号月球探测器送入地月转
移轨道，它将开展人类首次月球背面采样返回，火箭是利用发动机向后喷气获得向上的速度。现有某型火
箭和燃料的总质量为M=5×105kg，火箭在地面上由静止竖直飞起，火箭每次向后喷出气体的质量为
m=50kg，气体每次喷出时相对地面的速度为v0=3000m/s，已知火箭每秒喷气20 次，火箭与喷出气体间的
作用力远大于火箭的重力，忽略空气阻力的影响。求：（结果均保留两位有效数字）
(1)火箭向后喷气一次后，火箭的速度大小v；
(2)火箭速度达到v1=125m/s 需要的时间t。
【答案】(1)0.3m/s
(2)20s
【详解】（1）火箭向后喷气一次，由动量守恒知
11
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解得
（2）设喷气n 次，则
解得
，
14．（2025·广东·模拟预测）如图所示，某实验小组为研究火箭单级推进与多级推进的区别，设计了如下
简单模型：以轻质压缩弹簧代替推进剂的作用，研究单级推进与二级推进上升高度的不同。
方案一：将两根相同的轻弹簧并排连接在火箭下方，模拟火箭的单级推进，将两根弹簧进行同样的压缩，
释放后火箭上升的最大高度为H。
方案二：将火箭整体分为质量相等的两级，将方案一中的两根轻弹簧分别连接在两级火箭的底部，将两级
火箭上下叠放，并使两根轻弹簧发生与方案一中同样的形变，以此模拟火箭的二级推进过程。实验时，先
释放一级火箭底部的弹簧进行一级推进，一级推进完成瞬间立即自动释放两级之间的压缩弹簧进行二级推
进。假设火箭的总质量为m，弹簧的劲度系数很大，可瞬间弹开，弹簧和火箭的高度不计，忽略空气阻力
的影响，火箭始终在同一竖直线上运动，重力加速度为g。求：
(1)方案一中单根压缩弹簧储存的弹性势能
；
(2)方案二中二级推进完成瞬间，一级火箭和二级火箭的速度大小
，
；
(3)方案二中二级推进完成后，二级火箭继续上升的最大高度h。
【答案】(1)
(2)
，
(3)
12
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【详解】（1）根据机械能守恒定律可得
解得
（2）设一级推进完成瞬间，火箭的速度大小为
，根据机械能守恒定律可得
解得
二级推进过程，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得
联立解得
，
（3）二级推进完成后，对二级火箭，则有
解得
05 人船模型及拓展
15．（2025·上海·一模）质量为M 的滑板在水平地面上以速度v0 做匀速运动，突然有一只质量为m 的青蛙
从树上竖直跳下，落到滑板上与滑板一起向前运动，如图所示，则青蛙与滑板一起运动的速度v=
。
【答案】
【详解】根据水平方向的动量守恒定律有
13
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解得
16．如图所示，一质量为
的人站在质量为m 的小船甲上，以速度v0在水面上向右运动，另一完全相同小
船乙以速率v0从右方向左方驶来，两船在一条直线上运动，为避免两船相撞，人从甲船以一定的速率水平
向右跃到乙船上。
(1)若人从甲船中水平跃出时相对地面的速率为
，计算人跃到乙船后乙船的速度；
(2)为能避免两船相撞，人水平跳出时相对于地面的速率至少多大?
【答案】(1)
，方向水平向左
(2)
【详解】（1）以向右为正方向，设人跃到乙船后乙船的速度为，对人和乙船根据动量守恒
解得
所以人跃到乙船后乙船的速度大小为
，方向水平向左。
（2）以向右为正方向，两船恰好不相撞，最后具有共同速度
，由动量守恒定律
解得
设人跳出甲船的速度为
，人从甲船跃出的过程满足动量守恒定律
解得
14
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17．
（2025·河南开封·三模）如图，质量为m、长为L 的长木板静止在光滑的水平地面上，质量
为3m 的智能机器人（忽略大小）从长木板的左端起跳，恰好落在长木板的右端，重力加速度为g。
(1)机器人从起跳到落在长木板右端的过程中，求机器人的位移大小；
(2)若机器人与水平方向成
角度起跳（
），求起跳过程机器人对长木板做的功。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）机器人与长木板构成的系统在水平方向动量守恒，则有
等号左右同时乘以运动时间，则有
其中
，
则有
由题意有
解得
（2）设机器人以大小为的速度起跳，机器人，长木板在水平方向动量守恒，则有
机器人在空中竖直方向做竖直上抛运动，则有
机器人在水平方向做匀速直线运动，则有
结合上述有
根据动能定理可知，机器人对长木板做的功
15
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18．（2025·黑龙江·模拟预测）大型工厂的车间中有一种设备叫做天车如图甲所示，是运输材料的一种常
用工具。此装置可以简化为如图乙所示的模型，足够长的光滑水平杆上套有一个质量为3m 的滑块，滑块
正下方用长为L 不可伸长的轻绳悬挂一个质量为m 的小球。开始两者均静止，现给小球一个水平初速度
（未知），小球恰好能达到与滑块等高的位置，此时滑块水平向右移动s，重力加速度为g，求：
(1)初速度
大小；
(2)小球第1 次返回最低点时绳的拉力大小；
(3)从给小球初速度开始到第1 次摆到最高点的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）小球第一次到最高点时，小球和滑块达到相同速度，由水平方向的动量守恒
由系统机械能守恒
联立得
（2）小球第1 次返回最低点时，设小球速度
，滑块的速度为
，对系统由动量守恒定律和机械能守
恒定律
，
16
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解得
，
由牛顿第二定律
联立解得
（3）从开始到第1 次摆到最高点的过程中二者组成系统水平方向动量守恒，取极短时间
内
累加可得
又
，
则
解得
1．
（2025·重庆·三模）中国某新型连续旋转爆震发动机(CRDE)测试中，飞行器总质量(含燃料)为
，设每次爆震瞬间喷出气体质量均为
，喷气速度均为(相对地面)，喷气方向始终与飞行器运动方向
相反。假设飞行器最初在空中静止，相继进行
次爆震(喷气时间极短,忽略重力与阻力)。下列说法正确的
是（ ）
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A．每次喷气过程中，飞行器动量变化量方向与喷气方向相同
B．每次喷气后，飞行器(含剩余燃料)速度增量大小相同
C．经过
次喷气后，飞行器速度为
D．由于在太空中没有空气提供反作用力，所以该飞行器无法在太空环境中爆震加速
【答案】C
【详解】A．由题意可知，每次喷气过程中，系统（包括飞行器和喷出的气体）总动量守恒。喷出气体
的动量方向与喷气方向相同，由于系统总动量守恒，那么飞行器动量变化量方向与喷出气体动量变化量
方向相反，所以飞行器动量变化量方向与喷气方向相反，故A 错误；
B．根据动量守恒定律，系统初始总动量为0，第一次喷气后，喷出气体质量为
，速度为，飞行器
质量变为
，速度为
，则有
解得
所以第一次喷气后速度增量
在第二次喷气之前，此时系统总动量为
，喷气后，喷出气体质量仍为
，速度为，飞行
器质量变为
，速度为
，则有
将
代入可得
所以第二次喷气后速度增量
以此类推，可以看出每次喷气后飞行器速度增量大小不相同，故B 错误；
C．设经过
次喷气后飞行器的速度为
。系统初始总动量为0，
次喷气后，喷出气体总质量为
，
速度为，飞行器质量变为
，速度为
。根据动量守恒定律可得
解得
故C 正确；
18
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D．虽然在太空没有空气，但飞行器喷气时，飞行器与喷出的气体之间存在相互作用力，根据牛顿第三
定律，喷出气体对飞行器有反作用力，所以飞行器可以在太空环境中通过爆震加速，故D 错误。
故选C。
2．
（2025·山东济南·模拟预测）（多选）如图所示，按压式圆珠笔可以简化为外壳、内芯和劲
度系数为
的轻质弹簧三部分。假设内芯质量为
，外壳质量也为
，用力
下压外壳至最低点（图
），
此时内芯对桌面有压力，外壳与桌面有接触但没有挤压，弹簧的弹性势能为
，撤去外力后弹簧推动外壳
竖直上升，当弹簧恢复原长时（图
），外壳与内芯发生完全非弹性碰撞，此后圆珠笔上升到最大高度处
（图）。不计摩擦与空气阻力，重力加速度为
，则撤去外力后（ ）
A．外壳的最大动能为
B．内芯的最大动能为
C．外壳上升的最大速度为
D．外壳上升的最大高度为
【答案】BD
【详解】AC．由题意可知当外壳受力平衡时速度最大，即弹簧弹力大小等于外壳重力大小，此时弹簧
处于压缩状态，所以外壳的最大动能小于E。外壳速度最大时，根据平衡条件，有
弹簧的最大压缩量为
根据能量守恒，有
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联立解得外壳上升的最大速度为
故AC 错误；
BD．设弹簧恢复到原长时外壳的速度为v，弹簧恢复原长瞬间外壳、内芯共同速度为v1，外壳、内芯共
同上升的最大高度为h，外壳上升最大高度为H，弹簧恢复到原长的过程中根据能量守恒得
弹簧恢复原长瞬间根据动量守恒定律得 mv=2mv1
外壳、内芯共同上升的过程中据能量守恒可得
其中
内芯的最大动能为
外壳上升的最大高度为
故BD 正确。
故选BD。
3．
（2025·山东淄博·一模）（多选）质量为M 的光滑半圆形凹槽静止在光滑水平地面上，在凹
槽左侧与圆心等高处由静止释放一质量为m、可视为质点的小球，小球相对地面运动的轨迹为半个椭圆，
如图甲中虚线所示。运动过程中小球的动能随时间变化图像如图乙所示，已知椭圆半长轴与半短轴之比为
。下列说法正确的是（ ）
A．半圆形凹槽与小球组成的系统动量不守恒
B．小球质量与凹槽质量之比
C．
时刻，小球受到凹槽的支持力方向与速度垂直
20
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D．
时刻，小球受到凹槽的支持力大于小球的重力
【答案】AD
【详解】A．小球向下运动过程中，在竖直方向的分加速度方向先向下后向上，小球先处于失重后处于
超重状态，可知，半圆形凹槽与小球组成的系统所受外力的合力不为0，即半圆形凹槽与小球组成的系
统动量不守恒，故A 正确；
B．令凹槽半径为R，根据图中所示半个椭圆可知，半长轴为R，则半短轴为
，短轴为
，即小球在
水平方向的分位移
半圆形凹槽与小球组成的系统在水平方向动量守恒，则有
其中
解得
故B 错误；
C．根据图乙的对称性可知，
时刻小球位于凹槽最低点，则
时刻小球位于释放点与凹槽最低点之间
的某一位置，小球相对地面运动的轨迹为半个椭圆，轨迹的最低点即为凹槽的最低点，
时刻小球受到
凹槽的支持力方向指向凹槽圆心，速度方向沿半椭圆轨迹切线方向，可知，
时刻，小球受到凹槽的支
持力方向与速度方向不垂直，故C 错误；
D．结合上述可知，
时刻小球位于凹槽最低点，小球相对于凹槽做圆周运动，小球在最低点相对于凹
槽的速度方向水平向右，由于小球小球相对于凹槽做圆周运动，则小球在最低点沿半径方向的合力提供
向心力，此时加速度方向竖直向上，则
时刻，小球受到凹槽的支持力大于小球的重力，故D 正确。
故选AD。
4．（2025·湖南邵阳·三模）经典力学认为：一个初始条件和受力情况确定的多体力学系统的运行情况是一
定的，理论上也是可以计算的。如下是极简版理想化三体力学系统，如图所示的光滑水平支持面内建立直
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角坐标系
，质量分别为2m 和m、m 的3 个刚性小球A 和B、C 置于光滑水平支持面上，初始坐标分别
为
，A 和B、C 之间分别用两条长均为
的理想轻绳连接，某瞬间分别给A、B、C 球
一瞬时冲量，使它们获得垂直于连线等大的初速度
，A 球初速度方向为
轴方向，B、C 球初速度方向为
轴负向，之后小球A、B、C 在运动过程中通过连绳相互作用。忽略一切摩擦和空气阻力，后续B、C 两球
之间的碰撞视为弹性碰撞。
(1)当A 球的速度大小为
方向沿
轴正方向时，求B 球沿
方向的分速度
；
(2)求A 球离开O 点的最大位移
；
(3)当A 球相对O 点的位移为
时，求B 球速度大小
。
【答案】(1)
(2)
(3)
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【详解】（1）对三球组成的系统在
方向动量守恒有
解得
（2）对三球组成的系统在
方向动量守恒
解得
由微元法可知
又A 球与B、C 两球
方向最大相对位移有
解得
（3）设当A 球的位移为
时，A、B 连线与
轴夹角为
，设A 球速度为
；B、C 球
方向速度为
，
方向速度为
，如图所示
对三球组成的系统
方向动量守恒有
由系统机械能守恒
由A、B 速度关联
又
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联立可得
5．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，质量均为M=9kg，厚度相同、长度均为L=0.6m 的木板A、B（上表
面粗糙）并排静止在光滑水平面上。质量m=18kg 大小可忽略的机器猫静止于A 板左端，机器描从A 板左
端斜向上跳出后，恰好落到A 木板的右端，并立即与A 板达到共速。随即以与第一次相同的速度起跳并落
到B 板上，机器猫落到B 板上时碰撞时间极短可忽略，且不反弹。空气阻力可忽略，重力加速度为
g=10m/s2。
(1)求从机器猫起跳至落在A 板右端过程中A 板运动的距离；
(2)求起跳速度与水平方向夹角为多少？可使机器猫起跳消耗的能量最少；
(3)新型材料制成的机器猫其质量仅为m′=7kg 其他条件保持不变，机器猫总是以（2）问中的方式起跳，机
器猫与B 木板间的动摩擦因数为
，求机器猫在B 木板上的运动时间（结果保留两位小数）。
【答案】(1)0.4m
(2)60°
(3)0.23s
【详解】（1）机器猫在A 板跳跃过程，系统水平动量守恒，得
解得A 板运动的距离
猫运动的距离为
（2）设机器猫起跳速度为
，A 板获得的速度大小为
机器猫与A 板水平方向动量守恒，有
机器猫的斜抛过程有
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能量关系
联立可得
由数学关系可知当
即夹角为60°时W 有最小值
（3）由
可得
，
机器猫跳上B 板，瞬间减速的过程中由动量定理
竖直方向上
水平方向上
联立可得 猫和B 板瞬间碰撞后的速度分别为
，
则
猫将在B 板上匀减速滑行，B 板将匀加速运动直至猫与B 板共速（此时猫未滑下B 板）
则有
可解得
联立可得
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1．（2024·安徽·高考真题）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的
绝缘轻质细线，连接成边长为d 的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为
，可视为点电荷。
初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1 和球2 间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速
度大小分别为
、
、
，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了
，k 为静电力常
量，不计空气阻力。则（ ）
A．该过程中小球3 受到的合力大小始终不变B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒
C．在图乙位置，
，
D．在图乙位置，
【答案】D
【详解】AB．该过程中系统动能和电势能相互转化，能量守恒，对整个系统分析可知系统受到的合外
力为0，故动量守恒；当三个小球运动到同一条直线上时，根据对称性可知细线中的拉力相等，此时
球3 受到1 和2 的电场力大小相等，方向相反，故可知此时球3 受到的合力为0，球3 从静止状态开始
运动，瞬间受到的合力不为0，故该过程中小球3 受到的合力在改变，故AB 错误；
CD．对系统根据动量守恒
根据球1 和2 运动的对称性可知
，解得
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根据能量守恒
解得
故C 错误，D 正确。
故选D。
2．（2025·广东·高考真题）如图所示，光滑水平面上，小球M、N 分别在水平恒力
和
作用下，由静止
开始沿同一直线相向运动在
时刻发生正碰后各自反向运动。已知
和
始终大小相等，方向相反。从开
始运动到碰撞后第1 次速度减为0 的过程中，两小球速度v 随时间t 变化的图像，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据牛顿第二定律
两物体受外力F 大小相等，由图像的斜率等于加速度可知M、N 的
加速度大小之比为4:6=2:3，可知M、N 的质量之比为6:4=3:2；设分别为3m 和2m；由图像可设MN
碰前的速度分别为4v 和6v，则因MN 系统受合外力为零，向右为正方向，则系统动量守恒，则由动
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量守恒定律
若系统为弹性碰撞在，则能量关系可知
解得
、
因M、N 的加速度大小之比仍为2：3，则停止运动的时间之比为1:1，即两物体一起停止，则BD 是错
误的；
若不是弹性碰撞，则
可知碰后速度大小之比为
若假设v1=2v，则v2=3v，此时满足
则假设成立，因M、N 的加速度大小之比仍为2：3，则停止运动的时间之比为1:1，对M 来说碰撞前
后的速度之比为4v:2v=2:1
可知碰撞前后运动时间之比为2:1，可知A 正确，C 错误。
故选A。
3．（2024·广东·高考真题）（多选）如图所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、乙两个相同滑块，分别从
、
高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O 处平滑相接，滑块与水平面间的动摩擦因数为
，
乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．甲在斜坡上运动时与乙相对静止
B．碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度
C．乙的运动时间与
无关
D．甲最终停止位置与O 处相距
【答案】ABD
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【详解】A．两滑块在光滑斜坡上加速度相同，同时由静止开始下滑，则相对速度为0，故A 正确；
B．两滑块滑到水平面后均做匀减速运动，由于两滑块质量相同，且发生弹性碰撞，可知碰后两滑块交
换速度，即碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度，故B 正确；
C．设斜面倾角为θ，乙下滑过程有
在水平面运动一段时间t2后与甲相碰，碰后以甲碰前速度做匀减速运动t3，乙运动的时间为
由于t1与
有关，则总时间与
有关，故C 错误；
D．乙下滑过程有
由于甲和乙发生弹性碰撞，交换速度，则可知甲最终停止位置与不发生碰撞时乙最终停止的位置相同；
则如果不发生碰撞，乙在水平面运动到停止有
联立可得
即发生碰撞后甲最终停止位置与O 处相距
，故D 正确。
故选ABD。
4．（2023·上海·高考真题）如图，将小球
拴于
的轻绳上，
，向左拉开一段距离释放，
水平地面上有一物块
，
。小球
于最低点
与物块
碰撞，
与
碰撞前瞬间向心加速度为
，碰撞前后
的速度之比为
，碰撞前后
、
总动能不变。（重力加速度
取
，水平地
面动摩擦因数
）
（1）求碰撞后瞬间物块
的速度
；
（2）
与
碰撞后再次回到
点的时间内，求物块
运动的距离。
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【答案】（1）1.67m/s，方向水平向右；（2）0.51m
【详解】（1）由题意可知当P 运动到A 点时有
代入数据可得P 碰撞前的速度为
又因为碰撞前后P 的速度之比为5：1，所以碰后P 的速度为
P 与Q 碰撞瞬间，P 与Q 组成的系统内力远大于外力，动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得
代入数据解得
方向水平向右；
（2）由于
远大于小球P 的大小，碰后P 的速度较小，上升的高度较小，故可知小球P 碰后做
简谐运动，由单摆的周期公式得
小球P 再次到平衡位置的时间为
联立解得
碰后Q 向右做匀减速直线运动，末速度减为零时的时间为
，由运动学公式得
对于Q，由牛顿第二定律得
联立解得
由于
，故在小球P 再次到平衡位置的时间内，小球Q 已停下；所以小球Q 向右运动的过程中由动
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能定理得
代入数据解得
5．（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于轨
道最低点的小球A 施加水平向左的瞬时冲量I，A 沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B 正碰
并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B 的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R = 0.5
m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)与B 碰前瞬间A 的速度大小；
(2)A、B 碰后瞬间轻绳的拉力大小。
【答案】(1)4 m/s
(2)11.2 N
【详解】（1）根据题意，设小球A 从最低点开始运动时的速度为v0，由动量定理有
设与B 碰前瞬间A 的速度大小v，从最低点到最高点，由动能定理有
联立代入数据解得
（2）A 与用轻绳悬挂的静止小球B 正碰并粘在一起，由动量守恒定律有
设A、B 碰后瞬间轻绳的拉力大小为F，由牛顿第二定律有
联立代入数据解得
6．（2024·重庆·高考真题）如图所示，M、N 两个钉子固定于相距a 的两点，M 的正下方有不可伸长的轻
质细绳，一端固定在M 上，另一端连接位于M 正下方放置于水平地面质量为m 的小木块B，绳长与M 到
地面的距离均为10a，质量为2m 的小木块A，沿水平方向于B 发生弹性碰撞，碰撞时间极短，A 与地面间
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摩擦因数为
，重力加速度为g，忽略空气阻力和钉子直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时的机械能损失。
(1)若碰后，B 在竖直面内做圆周运动，且能经过圆周运动最高点，求B 碰后瞬间速度的最小值；
(2)若改变A 碰前瞬间的速度，碰后A 运动到P 点停止，B 在竖直面圆周运动旋转2 圈，经过M 正下方时细
绳子断开，B 也来到P 点，求B 碰后瞬间的速度大小；
(3)若拉力达到12mg 细绳会断，上下移动N 的位置，保持N 在M 正上方，B 碰后瞬间的速度与（2）问中
的相同，使B 旋转n 圈。经过M 正下的时细绳断开，求MN 之间距离的范围，及在n 的所有取值中，B 落
在地面时水平位移的最小值和最大值。
【答案】(1)
(2)
(3)
（n = 1，2，3，…），
，
【详解】（1）碰后B 能在竖直面内做圆周运动，轨迹半径为10a，设碰后B 的最小速度大小为v0，最
高点速度大小为v，在最高点时由牛顿第二足定律有
B 从最低点到最高点由动能定理可得
解得
（2）A 和B 碰撞过程中动量守恒，设碰前A 的速度大小为v1碰后A 的速度大小为v2。碰后B 的速度大小
为v3，则有
2mv1 = 2mv2＋mv3
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碰后A 减速到0，有
碰后B 做两周圆周运动，绳子在MN 间缠绕2 圈，缩短4a，在M 点正下方时，离M 点6a，离地面4a，
此时速度大小为v4，由功能关系得
B 随后做平抛运动，有
L = v4t
解得
（3）设MN 间距离为h，B 转n 圈后到达M 正下方速度大小为v5，绳缩短2nh，绳断开时，以M 为圆心，
由牛顿第二定律得
（n = 1，2，3，…）
以N 为圆心，由牛顿第二定律得
（n = 1，2，3，…）
从碰后到B 转n 圈后到达M 正下方，由功能关系得
（n = 1，2，3，…）
解得
（n = 1，2，3，…）
绳断后，B 做平抛运动，有
（n = 1，2，3，…）
s = v5t
可得
（n = 1，2，3，…）
由于
（n = 1，2，3，…）
则由数学分析可得
当
时，
当n = 1 时，
，
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7．（2023·天津·高考真题）质量
的物体A 自距地面
高度自由落下，与此同时质量
的物体B 由地面竖直上抛，经过
与A 碰撞，碰后两物体粘在一起,碰撞时间极短,忽略空气
阻力。两物体均可视为质点，重力加速度
，求A、B：
（1）碰撞位置与地面的距离x；
（2）碰撞后瞬时的速度大小v；
（3）碰撞中损失的机械能
。
【答案】（1）1m；（2）0；（3）12J
【详解】（1）对物体A，根据运动学公式可得
（2）设B 物体从地面竖直上抛的初速度为
，根据运动学公式可知
即
解得
可得碰撞前A 物体的速度
方向竖直向下；
碰撞前B 物体的速度
方向竖直向上；
选向下为正方向，由动量守恒可得
解得碰后速度
（3）根据能量守恒可知碰撞损失的机械能
8．（2023·北京·高考真题）如图所示，质量为m 的小球A 用一不可伸长的轻绳悬挂在O 点，在O 点正下方
的光滑桌面上有一个与A 完全相同的静止小球B，B 距O 点的距离等于绳长L。现将A 拉至某一高度，由静
止释放，A 以速度v 在水平方向和B 发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：
（1）A 释放时距桌面的高度H；
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（2）碰撞前瞬间绳子的拉力大小F；
（3）碰撞过程中系统损失的机械能
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）A 释放到与B 碰撞前，根据动能定理得
解得
（2）碰前瞬间，对A 由牛顿第二定律得
解得
（3）A、B 碰撞过程中，根据动量守恒定律得
解得
则碰撞过程中损失的机械能为
9．（2024·河北·高考真题）如图，三块厚度相同、质量相等的木板A、B、C（上表面均粗糙）并排静止在
光滑水平面上，尺寸不计的智能机器人静止于A 木板左端。已知三块木板质量均为
A 木板长度为
，机器人质量为
，重力加速度g 取
，忽略空气阻力。
（1）机器人从A 木板左端走到A 木板右端时，求A、B 木板间的水平距离。
（2）机器人走到A 木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从A 木板右端跳到B 木板左端，求起跳
过程机器人做的功，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值。
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（3）若机器人以做功最少的方式跳到B 木板左端后立刻与B 木板相对静止，随即相对B 木板连续不停地3
次等间距跳到B 木板右端，此时B 木板恰好追上A 木板。求该时刻A、C 两木板间距与B 木板长度的关系。
【答案】（1）
；（2）90J，2；（3）
【详解】（1）机器人从A 木板左端走到A 木板右端，机器人与A 木板组成的系统动量守恒，设机器人
质量为M，三个木板质量为m，取向右为正方向，则
机器人从A 木板左端走到A 木板右端时，机器人、木板A 运动位移分别为为
、
,则有
同时有
解得A、B 木板间的水平距离
（2）设机器人起跳的速度大小为，方向与水平方向的夹角为
，从A 木板右端跳到B 木板左端时间为
t，根据斜抛运动规律得
联立解得
机器人跳离A 的过程，系统水平方向动量守恒
根据能量守恒可得机器人做的功为
联立得
根据数学知识可得当
时，即
时，W 取最小值，代入数值得此时
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（3）根据
可得
，根据
得
分析可知A 木板以该速度向左匀速运动，机器人跳离A 木板到与B 木板相对静止的过程中，机器人与
BC 木板组成的系统在水平方向动量守恒，得
解得
该过程A 木板向左运动的距离为
机器人连续3 次等间距跳到B 木板右端，整个过程机器人和B 木板组成的系统水平方向动量守恒，设每
次起跳机器人的水平速度大小为
，B 木板的速度大小为
，机器人每次跳跃的时间为
，取向右为
正方向，得
①
每次跳跃时机器人和B 木板的相对位移为
，可得
②
机器人到B 木板右端时，B 木板恰好追上A 木板，从机器人跳到B 左端到跳到B 右端的过程中，AB 木板
的位移差为
可得
③
联立①②③解得
故A、C 两木板间距为
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解得
10．（2023·湖南·高考真题）如图，质量为
的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的
光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为
和
，长轴水平，短轴竖直．质量为
的小球，初始时刻从椭
圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于
地面的直角坐标系
，椭圆长轴位于
轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为
。
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
（2）在平面直角坐标系
中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若
，求小球下降
高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用
及
表示）。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球运动到最低点的时候小球和凹槽水平方向系统动量守恒，取向左为正，
小球运动到最低点的过程中系统机械能守恒
联立解得
因水平方向在任何时候都动量守恒即
两边同时乘t 可得
且由几何关系可知
联立得
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（2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为
时，此时凹槽水平向右运动的位移为
，根据上式有
则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为
整理得
（
）
（3）将
代入小球的轨迹方程化简可得
即此时小球的轨迹为以
为圆心，b 为半径的圆，则当小球下降的高度为
时有如图
此时可知速度和水平方向的夹角为
，小球下降
的过程中，系统水平方向动量守恒
系统机械能守恒
联立得
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