文档文本内容
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第25 讲 动量守恒定律
目录
01 考情解码·命题预警.................................................................................................................................................1
02 体系构建·思维可视.................................................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.................................................................................................................................................4
考点一 动量守恒定律 ................................................................................................................................5
知识点1 动量守恒定律内容及条件.........................................................................................................5
知识点2 动量守恒定律的理解.................................................................................................................5
考向1 系统动量守恒的判断.......................................................................................................................6
考向2 动量守恒定律的理解
..................................................................................................................7
考点二 动量守恒定律的应用 ....................................................................................................................9
知识点 应用动量守恒定律的解题步骤......................................................................................................9
考向1 动量守恒定律的基本应用
.........................................................................................................9
考向2 动量守恒中的综合应用问题
...................................................................................................11
考点三 碰撞问题
...............................................................................................................................15
知识点1 碰撞遵循的三条原则.................................................................................................................15
知识点2 弹性碰撞讨论.............................................................................................................................15
知识点3 非弹性碰撞和完全非弹性碰撞.................................................................................................16
考向1 弹性碰撞的理解及应用.................................................................................................................16
考向2 非弹性碰撞的理解及应用.............................................................................................................20
考点四 类碰撞问题
............................................................................................................................24
知识点1 爆炸问题......................................................................................................................................24
知识点2 反冲现象...................................................................................................................................24
知识点3 人船模型......................................................................................................................................24
知识点4 人船模型结论.............................................................................................................................25
考向1 爆炸问题..........................................................................................................................................25
考向2 反冲运动..........................................................................................................................................27
考向3 人船模型..........................................................................................................................................28
考向4 其他类碰撞问题.............................................................................................................................31
04 真题溯源·考向感知...............................................................................................................................................32
1
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考点
要求
考频
2025 年
2024 年
2023 年
（1）动量守恒定
律
（2）动量守恒定
律的应用
综合应用
低频
\
\
\
考情分析：
1.命题形式：单选题非选择题
2.命题分析：高考对动量守恒定律的考查非常频繁，大多在综合性的计算题中出现，题目难度各省份不
同，同时，这类题目往往综合性比较强，需要的能力也比较高。知识点的考察，通常以动能和动量、动能
定理和动量定理、动量守恒定律和机械能守恒定律的区别和联系进行出题，考察灵活运用的能力
3.备考建议：本节内容复习过程应理解动量守恒定律的内容和适用条件以及动量定律解决问题的便捷性并
掌握运用，能分析解决碰撞等常见的实际问题，且能在实际问题中灵活运用
4.命题情境：
①生活实践类：交通事故分析，体育运动中的碰撞，烟花爆炸等；
②学习探究类：以碰撞模型结合圆周运动、平抛运动、电磁场等。
5.常用方法：模型分析研究法、极限法 、临界问题分析法
复习目标：
1.理解和掌握
量守恒定律。
动
2.能
利用
量守恒定律
理
够
动
处
的守恒
简单
。
问题
3.深入理解
性碰撞、非
性碰撞、完全非
性碰撞的定
、特点及本
区
，熟
掌握碰撞
程中
量守
动
弹
弹
弹
义
质
别
练
过
恒、机械能守恒（
性碰撞）的条件与适用范
。
弹
围
2
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3
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考点一 动量守恒定律
知识点1 动量守恒定律内容及条件
(1)内容：如果系统不受外力，或者所受外力的合力为零，这个系统的总动量保持不变。
(2)表达形式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。
(3)常见的几种守恒形式及成立条件：
理想守恒
系统不受外力或所受外力的合力为零，则系统动量守恒
近似守恒
系统受到的合外力不为零，但当内力远大于合外力时，系统的动量可近
似看成守恒
分方向守恒
系统在某个方向上所受合外力为零或该方向F 内≫F 外时，系统在该方向
上动量守恒
知识点2 动量守恒定律的理解
(1)矢量性：表达式中初、末动量都是矢量，需要首先选取正方向，分清各物体初末动量的正、负。
(2)瞬时性：动量是状态量，动量守恒指对应每一时刻的总动量都和初时刻的总动量相等。
(3)同一性：速度的大小跟参考系的选取有关，应用动量守恒定律时，各物体的速度必须是相对同一参考
系的速度。一般选地面为参考系。
(4)普适性：动量守恒定律不仅适用于两个物体所组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用
于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。
考向1 系统动量守恒的判断
例1 （2025·福建·一模）如图所示，小车放在光滑的水平地面上，轻质细绳一端系在小车上，另一端连接
可视为质点的小球，将小球拉开一定角度（此时小车与小球均静止），然后同时放开小球和小车，小球开
始在竖直平面内来回摆动。下列说法正确的是（ ）
得分速记
：
判断系统动量守恒时要注意系统的组成及所研究的物理过程：
(1)对于同一个系统，在不同物理过程中动量守恒情况有可能不同。
(2)同一物理过程中，选不同的系统为研究对象，动量守恒情况也往往不同，因此解题时应明确选取的
系统和研究过程。
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A．小球在最低点时处于平衡状态
B．小球在最高点时处于平衡状态
C．小球在最低点时，小车处于平衡状态D．小球在最高点时，小车处于平衡状态
【变式训练1·变载体】（2022·福建·模拟预测）如图所示，足够长的光滑斜面体静止在水平地面上，将由
同种材料制成的A、B 两物体放在斜面上，由静止释放，下滑过程中A、B 两物体始终相对静止。下列关
于A、B 两物体下滑过程中的说法正确的是（ ）
A．A 物体的机械能守恒
B．斜面体与B 在水平方向的加速度大小可能相等
C．斜面体的加速度不变
D．A、B 与斜面体构成的系统动量守恒
【变式训练2】如图所示，质量为m 的半径为R 的光滑圆弧形凹槽静止在光滑水平面上，质量
也为m 的小钢球从槽的顶端A 处由静止释放，在小球下滑到底端B 的过程中，则（ ）
A．小球和凹槽组成的系统动量守恒
B．小球与凹槽、地球组成的系统机械能守恒
C．小球对地的运动位移为R
D．小球所受合力的瞬时功率一直增大
考向2 动量守恒定律的理解
例2 （2024·福建漳州·二模）如图，冰壶被大家喻为冰上的“国际象棋”，它考验参与者的体能与脑力，
展现动静之美，取舍之智慧。质量相同的冰壶甲和乙相距30m，冰壶甲以速度
被推出后做匀减速直线运
动，经过10s 与静止的冰壶乙发生对心弹性碰撞，则（ ）
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A．两冰壶碰撞后均向前运动
B．两冰壶碰撞后，甲静止不动
C．冰壶甲初速度
大小可能为3m/s
D．冰壶甲初速度
大小可能为5m/s
【变式训练1·变考法】如图所示，一质量为0.5kg 的一块橡皮泥自距小车上表面1.25m 高处由静止下落，
恰好落入质量为2kg、速度为2.5m/s 沿光滑水平地面运动的小车上，并与小车一起沿水平地面运动，取
g=10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是
A．橡皮泥下落的时间为0.3s
B．橡皮泥与小车一起在水平地面上运动的速度大小为3.5m/s
C．橡皮泥落入小车的过程中，橡皮泥与小车组成的系统动量守恒
D．整个过程中，橡皮泥与小车组成的系统损失的机械能为7.5J
考点二 动量守恒定律的应用
知识点 应用动量守恒定律的解题步骤
(1)明确研究对象，确定系统的组成(系
包括哪几个物体及研究的
程
统
过
)。
(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)。
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(3)规定正方向，确定初、末状态动量。
(4)由动量守恒定律列出方程。
(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明。
考向1 动量守恒定律的基本应用
例1（2022·福建莆田·一模）如图，竖直平面内固定有一半径为R 的光滑网轨道，质量为m 的小球P 静止
放置在网轨道的最低点A。将质量为M 的小球Q 从圆轨道上的C 点由静止释放，Q 与P 发生一次弹性碰撞
后小球P 恰能通过圆轨道的最高点B。已知M=5m，重力加速度为g，求：
(1)碰撞后小球P 的速度大小；
(2)C 点与A 点的高度差。
【变式训练1·变载体】（2023·福建漳州·模拟）如图，“冰雪游乐场”滑道上的B 点左侧水平面粗糙，右
侧是光滑的曲面，左右两侧平滑连接质量m=30kg 的小孩从滑道顶端A 点由静止开始下滑，经过B 点时被
静止的质量为M=60kg 的家长抱住，一起滑行到C 点停下（C 点未画出）。已知A 点高度h=5m，人与水平
滑道间的动摩擦因数μ=0.2，g 取10m/s2，求：
（1）小孩刚到B 点时的速度大小vB；
（2）B、C 间的距离s。
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考向2 动量守恒中的综合应用问题
例2 如图所示，在足够长的光滑水平面上静止着两个物块P 和Q，物块P 与轻弹簧右端连接。一个小球被
一根不可伸长的轻质细线悬挂于
点正下方，轻靠在物块Q 的左侧。现将细线拉直到与竖直方向夹角
位置时，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块Q 发生碰撞（碰后将小球撤离），碰撞的
恢复系数为e=0.5（定义式为
，其中
和
分别是碰前两物体的速度，
和
分别是碰撞后两
物体的速度），已知细线长L=0.9m，小球和物块P 的质量为
，物块Q 的质量为
，球、物块均可视为
质点，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度
取
。求：
(1)碰撞后物块Q 的速度大小；
(2)物块P 最大速度；
(3)小球与物块Q 碰撞后，试求物块Q 最小速度。
【变式训练1·多过程问题】如图所示，竖直面内的光滑绝缘圆弧轨道
与足够长的粗糙水平地
面
平滑连接，
点在圆心
点正下方，轨道半径
，整个空间存在竖直向上、大小
的匀强电场。一个质量
，电荷量
的带正电小滑块
，从轨道
点静止释
放，经过
点后立即与另一个质量
，不带电的静止小滑块
发生弹性碰撞（碰撞过程不发生电
荷转移，且碰撞时间极短）。已知
与地面间的动摩擦因数
，重力加速
度
取
均视为质点。求：
(1)
到达圆轨道
点（与
碰前）的速度大小
；
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(2)
到达圆轨道
点（与
碰前）对轨道的压力大小
；
(3)
碰后的最大距离
。
【变式训练2·多过程问题】（2020·福建漳州·一模）有一种打积木的游戏，装置如图所示，三块完全相同
的钢性积木B、C、D 叠放在靶位上，宽度均为d，积木C、D 夹在固定的两光滑薄板间，一球A（视为质
点）用长为L，且不可伸长的轻绳悬挂于O 点。游戏时，钢球拉至与O 等高的P 点（保持绳绷直）由静止
释放，钢球运动到最低点时与积木B 发生的碰撞为弹性碰撞且瞬间完成，积木B 滑行一段距离（大于
）后停下。已知钢球和每块积木的质量均为m，各水平接触面间的动摩擦因数均为
，重力加速度大小为
g，空气阻力不计，求：
(1)钢球下落到最低点且与B 碰撞前的速度大小v0；
(2)积木B 向前滑动的距离s；
(3)将钢球再次拉起至P 点无初速释放，积木C 沿B 的轨迹前进。求C 被A 球撞后经多长时间与B 球相遇。
考点三 碰撞问题
知识点1 碰撞遵循的三条原则
(1)动量守恒定律。
(2)机械能不增加。
Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋
(3)速度要合理。
①同向碰撞：碰撞前，后面的物体速度大；碰撞后，前面的物体速度大或相等。
②相向碰撞：碰撞后两物体的运动方向不可能都不改变。
知识点2 弹性碰撞讨论
(1)碰后速度的求解：根据动量守恒和机械能守恒
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解得v1′＝，
v2′＝。
(2)分析讨论：
当碰前物体2 的速度不为零时，若m1＝m2，则：
v1′＝v2，v2′＝v1，即两物体交换速度。
当碰前物体2 的速度为零时，即v2＝0，则：
v1′＝，v2′＝。
①m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，碰撞后两物体交换速度。
②m1＞m2时，v1′＞0，v2′＞0，碰撞后两物体沿同方向运动。
③m1＜m2时，v1′＜0，v2′＞0，碰撞后质量小的物体被反弹回来。
知识点3 非弹性碰撞和完全非弹性碰撞
1.非弹性碰撞
介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。
根据动量守恒定律可得：m1v1+m 2v2=m1v1
ˊ+m2v2
ˊ (1)
损失动能ΔEk，根据机械能守恒定律可得：
m1v1
2+
m2v2
2=
m1v1
ˊ2+
m2v2
ˊ 2 + ΔEk. (2)
2.完全非弹性碰撞
碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得：
m1v1+m2v2=(m1+m2)v 共 （1）
完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能：
ΔEk= ½m1v1
2+ ½ m2v2
2- ½(m1+m2)v 共2 （2）
联立（1）、（2）解得：v 共 =
m1v1+m2v2
m1+m2
；ΔEk=
1
2
m1m2
m1+m2
(v1−v2)2
考向1 弹性碰撞的理解及应用
例1 （2025·福建厦门·三模）“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，神舟十六号航天员在梦天实验舱内
进行授课。其中一个实验如图所示，质量为0.1kg 的小球A 以某一初速度向左运动，与静止悬浮在空中的
质量为0.5kg 的小球B 发生正碰，碰撞后小球A 向右反弹，当A 向右移动2 格的长度时，小球B 向左移动
1 格的长度。已知背景板上小方格的边长相等，忽略舱内空气阻力的影响，则（ ）
m2
m1
v 共
v2
v1
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A．小球A 碰撞前后的速度大小之比为7：2
B．小球A 碰撞前后的速度大小之比为3：2
C．碰撞前后，小球A、B 组成的系统动能不变
D．碰撞前后，小球A、B 组成的系统动能减少
【变式训练1·变情境】（2025·福建福州·模拟预测）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小
段光滑圆弧平滑连接，小物块
静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。
时刻，小物块
在倾斜
轨道上从静止开始下滑，一段时间后与
发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当
返回到倾斜轨道上的
点
（图中未标出）时，速度减为0。物块
从开始运动到
的过程中的
图像如图（b）所示，图中的
和
均为已知量，
为未知量。已知
的质量为
，重力加速度大小为
，不计空气阻力。求：
(1)
在
内的平均速度与平均速率；
(2)斜面的倾角的正弦值；
(3)物块
的质量。
【变式训练2·变情境】（2025·福建莆田·三模）如图所示，长为
、质量为
的长木板置于光滑水平
平台上，长木板的左端与平台左端对齐，质量为
的物块
放在长木板上表面的左端，长木板的上表面离
地面的高度为
。先将长木板锁定，让质量为
的小球
在地面上的
点斜向右上与水平方向成
角抛出，小球
沿水平方向与物块
发生弹性碰撞，碰撞后，物块
滑离长木板时速度为
、
碰撞后一瞬
间
的速度的
，重力加速度
取
。求：
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(1)小球
与物块
碰撞前一瞬间的速度大小；
(2)物块
与长木板上表面的动摩擦因数；
(3)解除长木板的锁定，让小球
仍从
点以原速度抛出，小球
与物块
碰撞后，物块
与长木板的最终
速度大小。
考向2 非弹性碰撞的理解及应用
例2（2024·福建厦门·二模）2024 年某贺岁档电影中，两辆赛车的碰撞测试为国内首个赛车碰撞实拍镜头。
高速移动的白色车与迎面而来的灰色车碰撞后，两车一起沿着白色车原运动方向移动，两车碰撞时间极短。
则（ ）
A．碰撞过程中两车组成的系统机械能守恒
B．白色车对灰色车和灰色车对白色车的撞击力大小相等
C．白色车碰撞前的动量大于灰色车碰撞前的动量
D．碰撞过程中白色车的动量变化量小于灰色车的动量变化量
【变式训练1·变情境】（2022·福建龙岩·模拟预测）如图所示，带有四分之一光滑圆弧轨道的斜劈A 和滑
块B、C 均静止在光滑水平地面上，斜劈A 的末端与水平地面相切。一滑块D 从斜劈A 的圆弧轨道的最高
点由静止释放，滑块D 滑到水平地面后与滑块B 碰撞并粘在一起向前运动，再与滑块C 碰撞又与C 粘在一
起向前运动。已知斜劈A 和三个滑块的质量均为m，斜劈A 的圆弧轨道半径为R，重力加速度大小为g。
滑块B、C、D 均可视为质点，则下列说法正确的是（ ）
A．滑块D 在圆弧轨道上滑动的过程中，A 对D 的支持力做功为
B．与滑块B 碰撞前瞬间，滑块D 的速度大小为
C．滑块B 与滑块C 碰撞后的速度大小为
D．滑块D 与滑块B 碰撞过程中损失的机械能为
【变式训练2·变情境】（2023·福建泉州）如图，圆心为O、半径为0.1m 的半圆形轨道竖直固定在水平地
面上，与水平地面相切于最低点。原长为0.2m、劲度系数为100N/m 的轻质弹簧上端悬挂在O 点，下端连
接质量为1kg 的小滑块A，A 静止在轨道最低点。质量为2kg 的小滑块B，以某一初速度水平向右运动，跟
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A 发生碰撞（碰撞时间极短）。一切摩擦和空气阻力均不计，取g=10m/s2。
（1）若B 的初速度大小为1.5m/s，且B 与A 发生弹性正碰，求碰后瞬间A 对轨道的压力大小；
（2）若B 与A 碰撞后粘合在一起，要使B 与A 能一起通过轨道的最高点，求B 的初速度的最小值。
考点四 类碰撞问题
知识点1 爆炸问题
1．爆炸现象的特点
爆炸过程中内力远大于外力，爆炸的各部分组成的系统总动量守恒。
2．爆炸现象的三个规律
动量
守恒
爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量
守恒
动能
增加
在爆炸过程中，有其他形式的能量(如化学能)转化为动能
位置
不变
爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很小，可以认为爆炸后各部分
仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
知识点2 反冲现象
1．反冲运动的特点
物体在内力作用下分裂为两个不同部分，并且这两部分向相反方向运动的现象。反冲运动中，相互作
用力一般较大，通常可以用动量守恒定律来处理。
2．对反冲运动的三点说明
作用原
理
反冲运动是系统内物体之间的作用力和反作用力产生的效果
动量守
恒
反冲运动中系统不受外力或内力远大于外力，所以反冲运动遵循动量守恒定律
机械能
反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总机械能增加
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增加
知识点3 人船模型
1．人船模型问题
两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒。在相互作用的过程中，
任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比。这样的问题即为“人船模型”问题。
2．人船模型的特点
(1)两物体满足动量守恒定律：m1v1－m2v2＝0。
(2)运动特点：人动船动，人静船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；人船位移比等于它们质量的反
比；人船平均速度(瞬
速度
时
)比等于它们质量的反比，即＝＝。
(3)应用＝＝
要注意：
时
v1、v2和x1、x2一般都是相对地面而言的。
知识点4 人船模型结论
1. 常用结论
设人走动时船的速度大小为v 船,人的速度大小为v 人,以船运动的方向为正方向,则m 船v 船-m 人v 人=0,可
得m 船v 船=m 人v 人；因人和船组成的系统在水平方向动量始终守恒，故有m 船v 船t=m 人v 人t,
即：m 船x 船=m 人x 人，由图可看出x 船+x 人=L，
可解得：
；
考向1 爆炸问题
例1 （2023·福建漳州·模拟预测）如图，足够长的水平传送带以恒定的速率v0=2m/s 顺时针转动，质量分
别为
、
的小滑块A、B 间夹有少量炸药，与传送带一起匀速运动。某时刻点燃炸药，爆
【特别提醒】求解“人船模型”问题的注意事项
(1)适用范围：“人船模型”还适用于某一方向上动量守恒(如水平方向或竖直方向)的两物系统，只要
相互作用前两物体在该方向上速度都为零即可。
(2)画草图：解题时要画出两物体的位移关系草图，找出各长度间的关系，注意两物体的位移是相对同
一参考系的位移。
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炸时间极短，爆炸后A 的速度瞬间变为零。已知两滑块与传送带间的动摩擦因数均为
，重力加速度
g 取10m/s2，炸药爆炸所释放的能量全部转化为动能，求：
（1）爆炸后瞬间滑块B 的速度大小v；
（2）炸药爆炸所释放的能量E0及爆炸产生的气体对滑块A 的冲量大小；
（3）炸药爆炸后滑块B 与传送带由于摩擦产生的热量Q。
【变式训练1·变载体】（2023·福建·模拟）质量为m 的烟花弹在获得动能E 后，从地面竖直升空，当烟花
弹在上升到速度为初速度一半时，弹中火药爆炸将烟花弹炸成质量相等的两部分，这两部分的动能之和为
，且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量。求：
(1)烟花弹爆炸时离地高度h；
(2)爆炸后烟花弹两部分碎片的速度大小和方向。
考向2 反冲运动
例2 （2022·福建泉州·模拟预测）2021 年12 月9 日，神舟十三号乘组进行天宫授课，如图为航天员叶光
富试图借助吹气完成失重状态下转身动作的实验，但未能成功。若他在1s 内以20m/s 的速度呼出质量约1g
的气体，可获得的反冲力大小约为（ ）
A．0.01N
B．0.02N
C．0.1N
D．0.2N
【变式训练1·变考法】（福建·高考真题）将静置在地面上，质量为M（含燃料）的火箭模型点火升空，
在极短时间内以相对地面的速度
竖直向下喷出质量为m 的炽热气体。忽略喷气过程重力和空气阻力的影
响，则喷气结束时火箭模型获得的速度大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
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考向3 人船模型
例3 如图所示，质量均为
的木块A 和B，并排放在光滑水平面上，A 上固定一竖直轻杆，轻杆上
端的O 点系一长为
的细线，细线另一端系一质量为
的球C。现将C 球拉起使细线水平伸直，
并由静止释放C 球，重力加速度为
。从开始释放C 到A、B 两木块恰好分离的过程，下列说法
正确的是（ ）
A．两物块A 和B 分离时，A、B 的速度大小均为
B．两物块A 和B 分离时，C 的速度大小为
C．C 球由静止释放到最低点的过程中，木块移动的距离为
D．C 球由静止释放到最低点，A 对B 的弹力的冲量大小为
【变式训练1·变载体】如图所示，一个质量为m1=50kg 的人爬在一只大气球下方，气球下面有一根长绳。
气球和长绳的总质量为m2=20kg，长绳的下端刚好和水平面接触。当静止时人离地面的高度为h=7m。如果
这个人开始沿绳向下滑，当他滑到绳下端时，他离地面高度是（可以把人看作质点）（ ）
A．0
B．2m
C．5m
D．7m
【变式训练2·变考法】（福建龙岩·一模）一装有柴油的船静止于水面上，船前舱进水，堵住漏
洞后用一水泵把前舱中的油抽往后舱，如图所示。不计水的阻力，船的运动情况是（ ）
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A．向后运动
B．向前运动
C．静止
D．无法判断
考向4 其他类碰撞问题
例4（2022·福建莆田·模拟预测）如图所示，质量均为2kg 的甲、乙两物块在光滑水平面上用轻弹簧连接，
甲、乙物块6m/s 的速度向左运动，此时弹簧处于原长状态，质量为4kg 的物块丙静止在物块乙的左边，物
块乙与物块丙正碰后二者粘在一起运动，求：
（1）物块乙与物块丙正碰后弹性势能的最大值；
（2）物块丙被碰后速度的最大值。
【变式训练1·变考法】（2023·福建莆田·模拟）如图，一质量
的平顶小车，车顶右端放一质量
的小物体，小物体可视为质点，与车顶之间的动摩擦因数
，小车静止在光滑的水平轨
道上。现有一质量
的子弹以水平速度
射中小车左端，并留在车中。子弹与车相互作
用时间很短。若使小物体不从车顶上滑落，g 取
求：
（1）子弹射中小车过程中损失的机械能
为多少？
最后物体与车的共同速度为多少？
小木块在小车上滑行的时间。
1．（2024·山东·高考真题）如图甲所示，质量为M 的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面
粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P 点平滑连接，Q 为轨道的最高点。质量为m 的小物块静置
在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部
分的半径
，重力加速度大小
。
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q 点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物
块在Q 点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a 与F 对应
关系如图乙所示。
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（i）求μ 和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力
，当小物块到P 点时撤去
F，小物块从Q 点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
2.（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于轨
道最低点的小球A 施加水平向左的瞬时冲量I，A 沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B 正
碰并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B 的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R =
0.5 m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)与B 碰前瞬间A 的速度大小；
(2)A、B 碰后瞬间轻绳的拉力大小。
3.（2022·福建·高考真题）如图，L 形滑板A 静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为
的轻质弹
簧，弹簧左端与一小物块B 相连，弹簧处于原长状态。一小物块C 以初速度
从滑板最左端滑入，滑行
后与B 发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极短），然后一起向右运动；一段时间后，滑板A 也开始运动．已
知A、B、C 的质量均为
，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为
，重力加速度大小为
；
最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。求：
（1）C 在碰撞前瞬间的速度大小；
（2）C 与B 碰撞过程中损失的机械能；
（3）从C 与B 相碰后到A 开始运动的过程中，C 和B 克服摩擦力所做的功。
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