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第2 讲 圆锥曲线的方程与性质
1.(2025·全国Ⅰ卷，T3)已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的√7倍，则C 的离心率为( )
A.√2
B.2
C.√7
D.2√2
2.(2025·全国Ⅱ卷，T6)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A 在C 上，过A 作C 的准线的垂线，垂足
为B，若直线BF 的方程为y=-2x+2，则|AF|等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6
3.(2024·新课标Ⅱ卷，T5)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP'，P'为垂足，
则线段PP'的中点M 的轨迹方程为( )
A. x
2
16+ y
2
4 =1(y>0)
B. x
2
16+ y
2
8 =1(y>0)
C. y
2
16+ x
2
4 =1(y>0)
D. y
2
16+ x
2
8 =1(y>0)
4.(2024·新课标Ⅰ卷，T12)设双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y
轴的直线交C 于A，B 两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C 的离心率为 .
5.(2024·新课标Ⅱ卷，T10)抛物线C：y2=4x 的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作☉A：x2+(y-4)2=1 的一条切
线，Q 为切点.过P 作l 的垂线，垂足为B.则( )
A.l 与☉A 相切
B.当P，A，B 三点共线时，|PQ|=√15
C.当|PB|=2 时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P 有且仅有2 个
命题热度：
本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12 分.
考查方向：
一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线
的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与
三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.
1.答案 D
解析 设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，由题意知b=√7a，
于是c2=a2+b2=a2+7a2=8a2，则c=2√2a，
即e=c
a=2√2.
2.答案 C
解析 对lBF：y=-2x+2，令y=0，则x=1，
所以F(1，0)，p=2，所以抛物线C：y2=4x，故抛物线的准线方程为x=-1，当x=-1 时，y=4，
故B(-1，4)，则yA=4，代入抛物线C：y2=4x 得xA=4.
所以|AF|=|AB|=xA+ p
2 =4+1=5.
3.答案 A
解析 设点M(x，y)，
则P(x，y0)，P'(x，0)，
因为M 为PP'的中点，
所以y0=2y，即P(x，2y)，
又P 在曲线x2+y2=16(y>0)上，
所以x2+4y2=16(y>0)，
即x
2
16+ y
2
4 =1(y>0)，
即点M 的轨迹方程为x
2
16+ y
2
4 =1(y>0).
4.答案 3
2
解析 |F1A|=13，|AF2|=1
2|AB|=5，
且AF2⊥F1F2，
|F1F2|=√| F1 A |
2-|A F2|
2=12.
由双曲线定义可得2a=|F1A|-|AF2|=8，
2c=|F1F2|=12，
化简得a=4，c=6，
则C 的离心率e=c
a=3
2.
5.答案 ABD
解析 A 选项，抛物线y2=4x 的准线为x=-1，
☉A 的圆心(0，4)到直线x=-1 的距离显然是1，
等于圆的半径，
故准线l 和☉A 相切，A 选项正确；
B 选项，当P，A，B 三点共线时，
即PA⊥l，则P 的纵坐标yP=4，
由y P
2=4xP，
得到xP=4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|=√| PA |
2-r
2=√4
2-1
2=√15，B 选项正确；
C 选项，当|PB|=2 时，xP=1，
此时y P
2=4xP=4，
故P(1，2)或P(1，-2)，
当P(1，2)时，A(0，4)，B(-1，2)，
kPA=4 -2
0-1=-2，
kAB=
4 -2
0-(-1)=2，
不满足kPAkAB=-1；
当P(1，-2)时，A(0，4)，B(-1，-2)，
kPA=4 -(-2)
0-1
=-6，
kAB=4 -(-2)
0-(-1)=6，
不满足kPAkAB=-1，
于是PA⊥AB 不成立，C 选项错误；
D 选项，方法一 (利用抛物线定义转化)
设抛物线C 的焦点为F，根据抛物线的定义，
|PB|=|PF|，这里F(1，0)，
于是|PA|=|PB|时P 点的存在性问题转化成|PA|=|PF|时P 点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF 的中点为(
1
2 ，2)，
AF 中垂线的斜率为- 1
k AF
=1
4 ，
于是AF 的中垂线方程为y=2 x +15
8
，
与抛物线y2=4x 联立可得y2-16y+30=0，
Δ=(-16)2-4×1×30=136>0，
即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个P 点，使得|PA|=|PF|，D 选项正确.
方法二 (设点直接求解)
设P(
t
2
4 ，t)，
由PB⊥l 可得B(-1，t)，
又A(0，4)，|PA|=|PB|，
根据两点间的距离公式，
√
t
4
16 +(t - 4)
2=t
2
4 +1，
整理得t2-16t+30=0，
Δ=(-16)2-4×1×30=136>0，
则关于t 的方程有两个解，
即存在两个这样的P 点，D 选项正确.
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
例1 (1)(2025·永州模拟)已知椭圆E：x
2
4 + y
2
3 =1，点F(-1，0)，若直线x+λy-1=0(λ∈R)与椭圆E 交于
A，B 两点，则△ABF 的周长为( )
A.2√3
B.4
C.4√3
D.8
答案 D
解析 椭圆E：x
2
4 + y
2
3 =1 的长半轴长a=2，半焦距c=√4 -3=1，
则点F(-1，0)为椭圆的左焦点，其右焦点为(1，0)，
而直线AB：x+λy-1=0 恒过定点(1，0)，
所以△ABF 的周长为4a=8.
(2)(2025·西南名校联盟联考)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过C 上一点A 作其准线的垂线，设垂
足为B，若cos∠BAF=3
5，|AF|=10，则p 等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 D
解析 由题意可知，抛物线C 的焦点为F(
p
2 ，0)，
准线为x=- p
2 ，且|AF|=|AB|=10，
因为cos∠BAF=3
5，
所以由余弦定理得
2|AF|
2-2|AF|
2cos∠BAF=200×(1- 3
5)=80=|BF|
2，即|BF|=4√5，
设A(xA，yA)，由|AF|=xA+ p
2 =10，
所以xA=10- p
2 ，y A
2 =2pxA=20p-p2.
设E 为准线与x 轴的交点，|EF|=p，
则|EF|
2+y A
2 =p2+20p-p2=|BF|
2=80，则p=4.
[规律方法] 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；
(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2=b2+c2，双曲线中的关系式为c2=a2+b2；
(3)确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置.
跟踪演练1 (1)(2025·赤峰模拟)经过点P(-4，0)，Q(0，-2)的椭圆的标准方程为 .
答案 x
2
16+ y
2
4 =1
解析 已知椭圆经过P(-4，0)，Q(0，-2)两点.
点P(-4，0)在x 轴上，点Q(0，-2)在y 轴上，
且|-4|>|-2|，所以椭圆的焦点在x 轴上.
对于焦点在x 轴上的椭圆，设其标准方程为x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)，
因为椭圆过点P(-4，0)，所以a=4，
又椭圆过点Q(0，-2)，所以b=2.
将a=4，b=2 代入椭圆标准方程x
2
a
2+ y
2
b
2 =1 中，
可得x
2
4
2+ y
2
2
2 =1，即x
2
16+ y
2
4 =1.
(2)(2025·绍兴适应性考试)已知双曲线Γ：x2- y
2
3 =1 的左焦点为F，点A，B 在Γ 的右支上，且|AB|=6，
则|FA|+|FB|的最小值为( )
A.4
B.6
C.10
D.14
答案 C
解析 双曲线x2- y
2
3 =1，
则a=1.
设双曲线的右焦点为F2，由双曲线的定义可知，点A 在双曲线的右支上，则|FA|-|F2A|=2a=2，即|FA|=|F2A|
+2；
同理，点B 在双曲线的右支上，则|FB|-|F2B|=2a=2，
即|FB|=|F2B|+2.
所以|FA|+|FB|=(|F2A|+2)+(|F2B|+2)=|F2A|+|F2B|+4.
则|F2A|+|F2B|≥|AB|，
当且仅当A，B，F2三点共线时，等号成立.
又|AB|=6，则|F2A|+|F2B|+4≥|AB|+4=6+4=10，即|FA|+|FB|≥10.
所以|FA|+|FB|的最小值为10.
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
例2 (1)(多选)(2025·常州模拟)已知点P 在椭圆C 上，C 的左、右焦点F1，F2在x 轴上，PF1和PF2分别
交C 于另一点A，B，△PAF2的周长为20，C 的左顶点和上顶点之间的距离为√41，设离心率为e，那
么( )
A.椭圆C 的焦距为3
B.e=3
5
C.△PF1F2面积的最大值为12
D.PF1和PF2斜率的乘积为定值
答案 BC
解析 因为点P，A 在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a，|AF1|+|AF2|=2a，
故△PAF2的周长为|PA|+|AF2|+|PF2|=|PF1|+|PF2|+|AF1|+|AF2|=4a=20，解得a=5，
因为左顶点和上顶点之间的距离为√a
2+b
2=√5
2+b
2=√41，解得b=4，
则c=√a
2-b
2=3，焦距为2c=6，故A 错误；
e=c
a=3
5，故B 正确；
S△P F1F2=1
2×|F1F2|×|yP|=c|yP|≤bc=12，
当点P 位于y 轴上时，△PF1F2的面积取得最大值12，故C 正确；
设P(x，y)，则x
2
25+ y
2
16=1，即y2=16-16
25x2，
因为F1(-3，0)，F2(3，0)，
所以k P F1=
y
x +3，k P F2=
y
x -3，
故k P F1·k P F2=
y
x +3·
y
x -3=
y
2
x
2-9=16
25·25- x
2
x
2-9 ，不是定值，故D 错误.
(2)(多选)(2025·安阳模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：x2- y
2
b
2 =1(b>0)的左、右焦点，斜率为√15且过点
F2的直线交C 的右支于A，B 两点，A 在第一象限，且|A F1|=|AB|，则( )
A.点F1到C 的渐近线的距离为√3
B.|AB|=10
C.C 的离心率为2
D.分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦长为√15
答案 ACD
解析 因为双曲线C：x2- y
2
b
2 =1(b>0)，所以a=1，
又因为tan∠BF2F1=√15，
可得sin∠BF2F1= √15
4 ，
cos∠BF2F1=1
4 ，
又因为|AF1|=|AB|，
所以|BF2|=|AB|-|AF2|=|AF1|-|AF2|=2a=2，
|BF1|=2a+|BF2|=4，
则在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2=| F1 F2|
2+|B F2|
2-2|F1F2||BF2|cos∠BF2F1，
即16=| F1 F2|
2+4-2×2|F1F2|×1
4 ，
解得|F1F2|=4 或|F1F2|=-3(舍去)，
则2c=|F1F2|=4，即c=2，
所以b=√c
2-1=√3，
即点F1到C 的渐近线的距离等于√3，A 正确；
C 的离心率为e=c
a=2，C 正确；
在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2=| F1 F2|
2+|A F2|
2-2|F1F2||AF2|cos∠AF2F1，
则(|A F2|+2)
2=42+|A F2|
2-2×4×|AF2|×(- 1
4)，
解得|AF2|=6，
所以|AB|=|AF1|=|AF2|+2a=8≠10，B 错误；
过点F1作F1E⊥AB 于点E，
因为∠BEF1=∠F1EF2=π
2 ，
则点E 在以BF1，F1F2为直径的圆上，
所以以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦为F1E，
且|BF1|=2a+|BF2|=4=|F1F2|，
所以|F1E|=√4
2-1=√15，D 正确.
[规律方法] (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平
方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求b
a或a
b的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后
因式分解得到.
(3)求离心率的范围时常利用最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立
不等式(不等式组)求解.
跟踪演练2 (1)(2025·合肥质检)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)，过顶点A 作C 的一条渐近线的垂
线，交y 轴于点B，且|AB|=√a
2+b
2，则C 的离心率为( )
A.3
B.2
C.√3
D.√2
答案 D
解析 不妨令渐近线方程为y=b
ax，顶点A 为(a，0)，
则过顶点A 与渐近线垂直的直线的方程为y-0=-a
b(x-a)，
令x=0，得y=a
2
b ，则B(0，a
2
b )，
所以|AB|=√
a
2+(
a
2
b )
2
=√
a
2(a
2+b
2)
b
2
，
又因为|AB|=√a
2+b
2，所以a=b，
又因为c2=a2+b2，
所以c=√2a，所以e=√2.
(2)(多选)(2025·临汾模拟)已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B 为椭圆C 上
关于原点对称的两点，且|AB|=|F1 F2|，则( )
A.AF1⊥AF2
B.四边形AF1BF2的周长为4a
C.四边形AF1BF2的面积为b2
D.椭圆C 的离心率的取值范围为[
√2
2 ，1)
答案 ABD
解析 依题意，AB，F1F2互相平分，且|AB|=|F1 F2|，
则四边形AF1BF2是矩形，令其半焦距为c，
对于A，AF1⊥AF2，A 正确；
对于B，四边形AF1BF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a，B 正确；
对于C，四边形AF1BF2的面积为2S△F1 A F2=|AF1||AF2|=(|A F1|+|A F2|)
2-(|A F1|
2+|A F2|
2)
2
=2a2-
2c2=2b2，C 错误；
对于D，由以原点为圆心，c 为半径的圆与椭圆有公共点，得c≥b，即c2≥b2=a2-c2，
解得c
2
a
2≥1
2，
即离心率e 的取值范围为[
√2
2 ，1)，D 正确.
考点三 抛物线的几何性质
例3 (1)(多选)已知O 为坐标原点，点F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，点P(4，4)，直线l：x=my+1 交抛
物线C 于A，B 两点(不与P 点重合)，则以下说法正确的是( )
A.|FA|>1
B.存在实数m，使得∠AOB<π
2
C.若⃗AF=2⃗FB，则m=±√2
4
D.若直线PA 与PB 的倾斜角互补，则m=-2
答案 ACD
解析 由题意可知，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，
直线x=my+1 恒过点F(1，0)，如图所示.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AA1垂直于准线x=-1，垂足为A1，
根据抛物线定义可知，|FA|=|AA1|=x1+1，易知x1≥0，所以|FA|=x1+1≥1，
但当|FA|=1 时，点A 与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此|FA|≠1，所以|FA|>1，故A 正确；
联立直线x=my+1 和抛物线C：y2=4x，得y2-4my-4=0，所以y1y2=-4，x1x2= y1
2
4
× y2
2
4
=1，
此时⃗OA·⃗OB=|⃗OA||⃗OB|cos∠AOB=x1x2+y1y2=-3<0，
所以cos∠AOB<0，因为∠AOB∈(0，π)，
故∠AOB>π
2 ，所以不存在实数m，使得∠AOB<π
2 ，故B 错误；
若⃗AF=2⃗FB，由几何关系可得y1=-2y2，结合y1y2=-4，可得y2=√2或y2=-√2，
即B(
1
2 ，√2)或B(
1
2 ，-√2)，将B 点的坐标代入直线方程可得m=±√2
4 ，故C 正确；
若直线PA 与PB 的倾斜角互补，则kPA+kPB=0，即y1- 4
x1- 4 + y2- 4
x2- 4 =0，
整理得2my1y2-(4m+3)(y1+y2)+24=0，
代入y1y2=-4，y1+y2=4m，
化简可得4m2+5m-6=0，解得m=-2 或m=3
4 ，
当m=3
4 时，直线l 过点P(4，4)，不符合题意，所以m=-2，故D 正确.
(2)(多选)(2025·云南大联考)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为O，焦点为F，准线为l，P 是抛物线C
上异于O 的一点，过点P 作PQ⊥l 于点Q，下列结论正确的是( )
A.线段FQ 的垂直平分线经过点P
B.过点P 且与抛物线C 相切的直线垂直平分线段FQ
C.直线QF 与直线PF 可能垂直
D.若△PQF 是直角三角形，则直线OP 的斜率为±2
答案 ABD
解析 因为线段FQ 的垂直平分线上的点到点F，Q 的距离相等，且点P 在抛物线C 上，根据定义可知，
|PQ|=|PF|，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P，A 正确；
不妨设点P 在第一象限，设P(x0，√2 p x0)，Q(- p
2 ，√2 p x0)，F(
p
2 ，0)，
线段FQ 的中点坐标为(0，√2 p x0
2 ).
结合A 选项的结论可得，
线段FQ 的垂直平分线的斜率为
√2 p x0- √2 p x0
2
x0-0
=√2 p x0
2 x0
.
由y2=2px，可得当y>0 时，y=√2 px，y' =√2 px
2 x
，
所以过点P 的切线的斜率为√2 p x0
2 x0
，
所以过点P 的切线与线段FQ 的垂直平分线重合，
即过点P 且与抛物线C 相切的直线垂直平分线段FQ，B 正确；⃗
FP=(x0- p
2 ，√2 p x0)，⃗FQ=(-p，√2 p x0)，
若直线QF 与直线PF 垂直，则⃗FP·⃗FQ=-p·(x0- p
2)+2px0=0，
解得p=0 或x0=- p
2 ，都不符合题意，所以直线QF 与直线PF 不可能垂直，C 错误；
若△PQF 是直角三角形，结合C 选项的结论，只能是∠QPF=90°，所以P(
p
2 ，± p)，直线OP 的斜率为
±2，D 正确.
[规律方法] 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直
角梯形等)来建立已知量与p 的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
跟踪演练3 (多选)(2025·黄山模拟)已知抛物线C：y2=2px 的焦点为F，点A(8，8)在抛物线上，过点F
作直线交抛物线于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则( )
A.|MN|的最小值为4
B.以线段MN 为直径的圆与直线x=-2 相切
C.当⃗MF=2⃗FN时，则|MN|=9
D.⃗OM·⃗ON=-12
答案 BCD
解析 由题设82=2p×8⇒p=4，
则C：y2=8x，F(2，0)，
可设MN：x=ty+2，
联立抛物线得y2-8ty-16=0，显然Δ>0，
所以y1+y2=8t，y1y2=-16，
则|MN|=√1+t
2·√( y1+ y2)
2- 4 y1 y2=8(1+t2)≥8，
当且仅当t=0 时等号成立，A 错误；
由抛物线的定义知|MN|=x1+x2+4，
而MN 的中点横坐标为x1+ x2
2
，
所以MN 的中点与直线x=-2 的距离为x1+ x2
2
+2，
即为|MN|的一半，
所以以线段MN 为直径的圆与直线x=-2 相切，B 正确；
若⃗MF=2⃗FN，不妨设y1>0>y2，
则y1=2|y2|，而y1y2=-16，
所以y1=4√2，y2=-2√2，
则y1+y2=8t=2√2⇒t=√2
4 ，
所以x1+x2=t(y1+y2)+4=√2
4 ×2√2+4=5，
则|MN|=x1+x2+4=9，C 正确；
由⃗OM·⃗ON=x1x2+y1y2=(t2+1)y1y2+2t(y1+y2)+4=-16t2-16+16t2+4=-12，D 正确.
专题强化练
[分值：90 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·温州模拟)双曲线y
2
a
2 -x2=1(a>0)的一个焦点为(0，2)，则a 等于( )
A.√3
B.√3
3
C.3
D.1
3
答案 A
解析 由题意得c2=a2+1=4，所以a=√3.
2.(2025·红河州、文山州、普洱市、临沧市检测)已知椭圆C：x
2
m
2+ y
2
6 =1 的右焦点为F(2，0)，则C 的长轴
长为( )
A.√10
B.2√10
C.√2
D.2√2
答案 B
解析 因为椭圆C 的右焦点为F(2，0)，所以c=2，且焦点在x 轴上，所以m2-6=4，解得m=±√10，所以椭
圆C 的长轴长为2√10.
3.(2025·江苏七市调研)已知椭圆C：x
2
a
2+y2=1(a>0)的右顶点与抛物线y2=8x 的焦点重合，则C 的离心率为(
)
A.1
2
B.3
4
C.√3
4
D.√3
2
答案 D
解析 由题意得y2=8x 的焦点为(2，0)，
则a=2，而b=1，得到c=√3，离心率为√3
2 .
4.(2025·河南豫东名校模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过C 的焦点F 的直线交C 于A，B 两点，交C 的准
线于P，且⃗PB=3⃗BF，|AF|=3，则C 的方程为( )
A.y2=x
B.y2=2x
C.y2=4x
D.y2=6x
答案 C
解析 记C 的准线与x 轴的交点为M，过A，B 分别作准线的垂线，垂足为A1，B1，
因为⃗PB=3⃗BF，
所以|PB|=3|BF|，又|BB1|=|BF|，则|PB|=3|BB1|，
由于|AF|=3，所以|AA1|=3，
由△PBB1∽△PAA1可知| PA |
|A A1|=| PB|
|B B1|，
|PA|=9，
所以|PF|=6，而|FM|=p，
由△PFM∽△PBB1可知p=|FM|=2，
即C 的方程为y2=4x.
5.(2025·烟台、东营模拟)已知A(
p
2 ，m)为抛物线y2=2px(p>0)上一点，若过点A 且与该抛物线相切的直线
交x 轴于点(-2，0)，则p 的值为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
答案 C
解析 不妨令m>0，由y=√2 px，
则y'=
p
√2 px =√
p
2 x ，
所以切点为A 的切线的斜率为k=1，
则切线为y=x+2，故m= p
2 +2，
又m2=2p× p
2 =p2，
即m=p(负值舍去)，则p
2 +2=p⇒p=4.
6.(2025·广州测试)已知点P 在双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)上，且点P 到C 的两条渐近线的距离之积等于
a
2
2 ，则C 的离心率为( )
A.3
B.2
C.√3
D.√2
答案 D
解析 设P(x0，y0).
∵点P 在双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)上，
∴x0
2
a
2- y0
2
b
2 =1，
即b2x0
2-a2y0
2=a2b2.
又双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为bx+ay=0 和bx-ay=0，
点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为
|b x0+a y0|
√a
2+b
2
·|b x0-a y0|
√a
2+b
2
=|(b x0+a y0)(b x0-a y0)|
a
2+b
2
=|b
2 x0
2-a
2 y0
2|
c
2
=a
2b
2
c
2 ，
∴a
2b
2
c
2 =a
2
2 ，即c2=2b2.
又c2=a2+b2，
∴a2=b2，c2=2a2，
∴e=c
a=√
c
2
a
2=√2.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·乐山检测)设O 为坐标原点，椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(0，3)为
定点，而点B 在椭圆C 上，且位于第一象限，若|AB|=|AF2|=2|OF2|，则( )
A.a2-b2=3
B.∠F1BF2=60°
C.当△BF1F2的面积为6-3√3时，C 的方程为x
2
6 + y
2
3 =1
D.当AB∥x 轴时，C 的离心率e=√3-1
2
答案 ACD
解析 对于A，由|AB|=|AF2|=2|OF2|，
则∠OAF2=30°，又|OA|=3，
∴|OF2|=√3，即c=√3，
∴a2-b2=3，故A 正确；
对于B，由对称性可得|AF1|=|AF2|，∴点F1，F2，B 在以点A 为圆心，2√3为半径的圆上，
∴∠F1BF2=1
2∠F1AF2=∠OAF2=30°，故B 错误；
对于C，∵∠F1BF2=30°，
由椭圆焦点三角形面积公式得S△F1B F2=b2tan 15°=6-3√3，
∴b2(2-√3)=6-3√3，
解得b2=3，则a2=6，
∴椭圆C 的方程为x
2
6 + y
2
3 =1，故C 正确；
对于D，当AB∥x 轴时，可得yB=3，由椭圆焦点三角形面积公式得b2tan 15°=1
2×2c×yB，
即b2(2-√3)=3√3，
解得b2=9+6√3，
∴a2=12+6√3，则e2=
3
12+6√3=
1
4+2√3，
解得e=√3-1
2
，故D 正确.
8.(2025·锦州质检)某数学研究小组发现，函数y=√3 x
3
+√3
x 的图象是双曲线，设其焦点为M，N，点P 为其
图象上任意一点，则( )
A.直线y=√3
3 x 是它的一条渐近线
B.它的离心率为2√3
3
C.点(√3，2)是它的一个顶点
D.||PM|-|PN||=2√6
答案 ABD
解析 因为在函数y=√3 x
3
+√3
x 中，x≠0，当x>0 时，y>√3 x
3
，
所以函数y=√3 x
3
+√3
x 在第一象限的图象夹在直线y=√3
3 x 和y 轴之间且无限接近于两直线，
令f(x)=√3 x
3
+√3
x ，
因为f(-x)=-f(x)，所以函数y=√3 x
3
+√3
x 为奇函数，图象关于原点对称，
所以直线y=√3
3 x 和y 轴是双曲线的渐近线，所以A 正确；
因为两渐近线的夹角为π
3 ，所以双曲线的焦点所在的直线是两渐近线的夹角的角平分线所在直线，即y=√3
x，
联立{
y = √3 x
3
+ √3
x ，
y =√3 x，
可得{
x = √6
2 ，
y = 3√2
2
或{
x =- √6
2 ，
y =- 3√2
2
，
所以顶点坐标为(
√6
2 ，3√2
2 )，(- √6
2 ，- 3√2
2 )，所以C 错误；
两顶点之间的距离为√(
√6
2 + √6
2 )
2
+(
3√2
2
+ 3√2
2 )
2
=2√6，因为焦点为M，N，点P 为其图象上任意一点，
根据双曲线的定义可得||PM|-|PN||=2√6，所以D 正确；
若将双曲线绕其对称中心(原点)顺时针旋转π
3 可使直线y=√3x 变为x 轴，其渐近线变为直线y=±√3 x
3
，则
双曲线的离心率e=√
1+(
√3
3 )
2
=2√3
3
，所以B 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2025·泰州调研)过抛物线y2=4x 的焦点作斜率为1 的直线l 交抛物线于A，B 两点，则以AB 为直径的圆被
y 轴截得的弦长为 .
答案 2√7
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l 的方程为y=x-1，
将其代入y2=4x 中并整理得x2-6x+1=0，
所以x1+x2=6，
所以AB 的中点即以AB 为直径的圆的圆心，其横坐标为3，所以圆心到y 轴的距离为3，|AB|=p+x1+x2=8，
所以以AB 为直径的圆的半径为4，由已知及垂径定理得以AB 为直径的圆被y 轴截得的弦长为2√4
2-3
2=2
√7.
10.(2025·承德NT20 名校联合体调研)双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线
PF2⊥x 轴且与双曲线C 在第一象限交于点P.设△F1PF2内切圆的半径为r，若|PF2|≥4r，则双曲线C 的离心
率的取值范围为 .
答案 [3，+∞)
解析 设△F1PF2内切圆E 与△F1PF2的三边分别相切于点M，N，Q，如图，
则|EM|=|EN|=|EQ|=r，且|F1M|=|F1Q|，
|F2M|=|F2N|，|PQ|=|PN|，
所以Rt△EMF2≌Rt△ENF2，
因为直线PF2的倾斜角为90°，
所以∠EF2M=45°，
所以|F2M|=|F2N|=
r
tan 45° =r.
因为|F1M|=2c-r=|QF1|，|PQ|=|PN|=|PF2|-r，
由双曲线的定义可知，|PF1|-|PF2|=|QF1|-|F2N|=|F1M|-|F2M|=2a，即2c-r-r=2a，
所以r=c-a，又|PF2|=b
2
a ，所以b
2
a ≥4(c-a)，
则b2≥4ac-4a2，即c2-4ac+3a2≥0，
两边同时除以a2，则e2-4e+3≥0，
解得e≥3 或e≤1，又e>1，则e 的取值范围是[3，+∞).
四、解答题(共26 分)
11.(13 分)(2025·南宁模拟)已知双曲线C 的中心为坐标原点O，且焦点在x 轴上，点P(4，-3)在双曲线C 上，
其一条渐近线方程为√3x+2y=0.
(1)求双曲线C 的标准方程；(6 分)
(2)过点Q(0，2)且倾斜角为45°的直线l 与双曲线C 交于M，N 两点，求△OMN 的面积.(7 分)
解 (1)已知双曲线C 的中心为坐标原点O，且焦点在x 轴上，故设其标准方程为x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)，又
其渐近线方程为√3x+2y=0，
即b
a=√3
2 ，
①
又点P(4，-3)在双曲线C 上，代入得16
a
2 - 9
b
2=1，
②
联立①②，解得a=2，b=√3，
所以双曲线C 的标准方程为x
2
4 - y
2
3 =1.
(2)直线l 过点Q(0，2)且倾斜角为45°，故其方程为y=x+2，将其代入双曲线方程，联立得x
2
4 -( x +2)
2
3
=1，
化简得x2+16x+28=0，解得x1=-2 和x2=-14，
代入直线l，求得y1=0 和y2=-12，
不妨取M(-2，0)，N(-14，-12)，所以S△OMN=1
2|OM||y2|=1
2×2×12=12.
12.(13 分)(2025·蚌埠适应性考试)已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2，点P(3，3
2)在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；(5 分)
(2)过点Q(0，6)的直线(非y 轴)交椭圆于A，B 两点，以AB 为直径的圆经过原点O，求直线AB 的方程.(8
分)
解 (1)由e=c
a=1
2，得a=2c，
则a2=4c2=b2+c2，
所以b2=3c2，
将点P(3，3
2)代入椭圆方程得9
4 c
2+ 3
4 c
2=1，解得c2=3，所以椭圆C 的标准方程为x
2
12+ y
2
9 =1.
(2)依题意直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y=kx+6，点A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
方法一 联立方程{
y =kx +6，
3 x
2+ 4 y
2=36，
消去y 得(3+4k2)x2+48kx+108=0，
依题意，Δ=(48k)2-4×108(4k2+3)=144(4k2-9)>0，
所以|k|>3
2，
且x1+x2=- 48k
3+ 4 k
2，x1x2= 108
3+ 4 k
2，
依题意⃗OA·⃗OB=0，
即x1x2+(kx1+6)(kx2+6)=0，
整理得(k2+1)x1x2+6k(x1+x2)+36=0，
从而(k2+1)· 108
3+ 4 k
2+6k·- 48k
3+ 4 k
2+36=0，
所以216-36k2=0，解得k1=-√6，k2=√6，
满足|k|>3
2.
从而直线AB 的方程为y=±√6x+6.
方法二 将y=kx+6 即6=y-kx 代入3x2+4y2=36，得3x2+4y2=(y-kx)2，
整理得，3(
y
x)
2
+2k(
y
x)+3-k2=0，
依题意，Δ=(2k)2-4×3(3-k2)>0，
所以|k|>3
2，又OA⊥OB，
依题意，kOA·kOB= y1
x1
· y2
x2
=3-k
2
3
=-1，
解得k=±√6，满足|k|>3
2，
所以直线AB 的方程为y=±√6x+6.
(每小题6 分，共12 分)
13.(多选)(2025·济宁模拟)若双曲线C：x2- y
2
8 =1 的左、右焦点分别为F1，F2，过C 的右支上一点P 作圆
(x-3)2+y2=1 的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是( )
A.若⃗P F1·⃗P F2=0，则△PF1F2的面积为9
B.若Q 为圆(x-3)2+y2=1 上的一动点，则|PF2|+|PQ|的最小值为3
C.四边形PAF2B 面积的最小值为√3
D.⃗PA·⃗PB的最小值为2√2-3
答案 BC
解析 圆(x-3)2+y2=1 的圆心为(3，0)，半径为1，双曲线的焦点F1(-3，0)，F2(3，0)，
对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得S△P F1F2=
b
2
tan ∠F1 P F2
2
=
8
tan 45° =8，故A 错误；
对于B，由双曲线的定义可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|-2≥5-2=3，
当P，F1，Q 三点的坐标分别为(1，0)，(-3，0)，(2，0)时取等号，故B 正确；
对于C，S四边形PA F2B=2S△PA F2=2×1
2×|PA|×1=|PA|，所以当|PA|最小时，四边形的面积最小，
由|PA|=√|P F2|
2-1，可得当点P 位于右顶点时，|PF2|最小，即|PA|最小，
所以|PA|=√2
2-1=√3，所以四边形PAF2B 面积的最小值为√3，故C 正确；
对于D，⃗PA·⃗PB=|⃗PA |
2cos 2∠APF2=(|P F2|
2-1)(1-2sin2∠APF2)
=(|P F2|
2-1)(1-2·
1
|P F2|
2)
=|P F2|
2+
2
|P F2|
2-3
≥2√
|P F2|
2×
2
|P F2|
2-3=2√2-3，
当且仅当|P F2|
2=√2时取等号，但|PF2|≥2，所以取不到等号，故D 错误.
14.(多选)(2025·太原模拟)已知动点P(x，y)到点F(0，1)和直线y=4 的距离和为5，记其轨迹为曲线C.点
M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C 上的两个不同点，点A(0，a)(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A.曲线C 的方程为y=- 1
16x2+5
B.对于任意a∈R，都存在点M，N，使得|AM|=|AN|成立
C.当y1≠y2时，若点M，N 关于点A 对称，则a 的取值范围为[
5
2 ，4)
D.若点M，N 关于点A 对称，则|AM|+|AN|的取值范围为(0，8]
答案 BCD
解析 对于A，根据题意，√x
2+( y -1)
2+|y-4|=5.
当y≤4 时，化简可得x2=4y；
当y>4 时，化简可得y=- 1
16x2+5，故A 错误；
对于B，作出曲线C 如图，
可知曲线C 关于y 轴对称，所以对于任意a∈R，都存在点M，N，只要x1+x2=0，y1=y2，就能使得|AM|=|
AN|成立，故B 正确；
对于C，因为y1≠y2，且M，N 关于点A(0，a)对称，所以M，N 一定分别在曲线y=- 1
16x2+5(y>4)和
x2=4y(y<4)上.
不妨设M(x1，- x1
2
16 +5)，N(- x1，x1
2
4 )(-4<x1<4)，
则2a= x1
2
4
- x1
2
16
+5=3 x1
2
16
+5，因为0≤x1
2<16，所以5≤2a<8，即5
2≤a<4，故C 正确；
对于D，若y1=y2，因为M，N 关于A(0，a)对称，所以当M，N 分别对应点(4，4)和(-4，4)，且A(0，4)时，
|AM|+|AN|取得最大值8；
当M，N 接近曲线C 的上、下顶点时，|AM|+|AN|接近于0；
若y1≠y2，由C 可知，|AM|+|AN|=|MN|，且|MN|2=(2 x1)
2+(- x1
2
16 +5- x1
2
4 )
2
= 25
16
2 x1
4+7
8 x1
2+25，0≤x1
2<16.
所以25≤|MN|2<64⇒5≤|AM|+|AN|=|MN|<8.
综上，0<|AM|+|AN|=|MN|≤8，故D 正确.
