文档文本内容
专题22 拓展练五：圆锥曲线的方程（定点、定值、定直线问题）
题型一：圆锥曲线中的定点问题
题型二：圆锥曲线中的定值问题
题型三：圆锥曲线中的定直线问题
题型一：圆锥曲线中的定点问题
1．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，右顶点为
,且
，离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知点
，
是曲线
上两点（点
不同于点
），直线
，
分别交直线
于
两点，若
，证明：直线
过定点.
2．已知椭圆
经过点
，且与双曲线
有相同的焦点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
的左，右顶点分别为
，过点
且斜率不为0 的直线与
交于
两点，过点
作关于
轴的对称点
，连结
得到直线，试探究：直线是否恒过
轴上的一个定点.
3．已知椭圆
的左焦点为
，点
，
三等分椭圆
的短轴，且
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
作与
轴不垂直的直线与椭圆
交于点
，
，椭圆
上是否存在点
，使得恒有
？
若存在，求出点
坐标；若不存在，请说明理由.
4．已知椭圆
过点
，长轴长为4.
(1)求椭圆E 的方程及离心率；
(2)若直线l：
与椭圆E 交于A，B 两点，过点B 作斜率为0 的直线与椭圆的另一个交点为D. 求
证：直线AD 过定点.
5．已知P 为圆
上的一个动点,
，若线段
的垂直平分线交
于M，记M 的
轨迹为曲线E.
(1)求曲线E 的方程；
(2)过
作斜率为1 的直线l 交曲线E 于A，B 两点，求
的面积；
(3)已知
，若直线l 与曲线E 相交于
，且
，求证：直线l 恒过定点.
6．已知双曲线
经过点
，两条渐近线的夹角为
，直线交双曲线于
两点.
(1)求双曲线
的方程.
(2)若动直线经过双曲线的右焦点
，是否存在
轴上的定点
，使得以线段
为直径的圆恒过
点？若存在，求实数
的值；若不存在，请说明理由.
7．已知双曲线
：
过点
，且渐近线方程为
.直线过点
，且与
交于
，
两点.
(1)求双曲线
的方程；
(2)在
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出点
坐标；若不存在，说明理由.
8．已知双曲线
的左顶点为
，右焦点为F，点B 在C 上．当
时
．不垂直于x 轴的直线与双曲线同一支交于P，Q 两点．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)直线PQ 过点F，在x 轴上是否存在点N，使得x 轴平分
？若存在，求出点的N 的坐标；若不存
在，说明理由．
9．已知抛物线
的焦点为
，
为抛物线上一点，且
，直线
与抛物线
交于另一点
，点
在抛物线的准线上，且
轴.
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段
中点的纵坐标为
，求直线
的方程；
(3)求证：直线
过定点，并求该定点坐标.
10．已知点
及直线
，点
为直线上的动点，过点
垂直于的直线与线段
的垂直平
分线交于点
.
(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)若
为（1）中的曲线
上的两个动点，且
（
为坐标原点）求证：直线
过定点，并求
出该定点的坐标.
11．在平面直角坐标系
中，过原点
直线
交抛物线
于另一点
，且
.
(1)求抛物线
方程；
(2)已知
为抛物线
上两动点，且关于
轴对称，
，连接
交抛物线
于点
，直线
是否
过定点？若过定点，求出定点坐标.
12．已知抛物线
的焦点为
，点
在拋物线上，且
的面积为
（
为坐
标原点）．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)点
、
是抛物线
上异于原点
的两点，直线
、
的斜率分别为
、
，若
，求证：直
线
恒过定点．
题型二：圆锥曲线中的定值问题
13．已知椭圆
：
的离心率
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)如图所示，
是椭圆
的顶点，
是椭圆
上除顶点外的任意点，直线
交
轴于点
，直线
交
于点
．设
的斜率为
的斜率为
，求证：
为定值．
14．如图，已知椭圆
的左焦点为
，设过点
且斜率存在的直线与椭圆
相交于
，
两
点，线段
的垂直平分线交
轴于点
．试判断
是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定
值，说明理由．
15．已知椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点分别为
，椭圆C 的离心率为
，点P 是椭圆C 上
一动点，且
的最大值为2.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)过点
的直线交椭圆C 于E，F 两点，判断
是否为定值?若为定值，求出该定值;若
不为定值，请说明理由.
16．已知椭圆
的离心率
分别为其左右焦点，
为椭圆
上一动点，
面积最大值为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)记椭圆的左顶点为
，过
作直线，若直线与椭圆
交于
两点，
均不与
重合，求
证：直线
与直线
斜率之积为定值.
17．已知椭圆
的右焦点
和抛物线
的焦点重合，且
过点
．
(1)求
和
的方程；
(2)过点
作直线分别交椭圆
于点
，交抛物线
于点
，是否存在常数
和
，使得
为定值？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
18．已知双曲线
的左、右顶点分别为
，离心率为
.过点
的
直线l 与C 的右支交于M、N 两点，设直线
的斜率分别为
．
(1)若
，求：
；
(2)证明：
为定值．
19．设动点
到定点
的距离与它到定直线
的距离之比为
．
(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)过
的直线与曲线
交右支于
两点（
在
轴上方），曲线
与
轴左、右交点分别为
，设
直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，试判断
是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说
明理由．
20．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
上，且离心率
.
(1)求双曲线
的方程;
(2)记点
在
轴上的射影为点
，过点
的直线与
交于M，N 两点.探究:
是否为定值，
若是，求出该定值;若不是，请说明理由.
21．在直角坐标系xOy 中，点
到直线
的距离等于点
到原点
的距离，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)点A，B，C，D 在
上，A，B 是关于
轴对称的两点，点
位于第一象限，点
位于第三象限，直线
AC 与
轴交于点
，与
轴交于点
，且B，H，D 三点共线，证明：直线CD 与直线AC 的斜
率之比为定值．
22．已知直线与抛物线
交于两点
，
，与抛物线
交于两点
，
，其中A，C 在第一象限，B，D 在第四象限，设
，
的面积分别为
，
，（O 为坐标原点），若
，证明
为定值
23．已知抛物线
的焦点为
，且点
关于直线
的对称点恰好在
上．
(1)求抛物线
的方程；
(2)斜率为
的直线与抛物线
交于
两点，且
，过点
且与直线垂直的直线交
轴于
点
，求证：
为定值，并求出该定值．
24．已知抛物线
：
的焦点为
，抛物线
上存在一点
到焦点
的距离等于．
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
的直线交抛物线
于
两不同点，交
轴于点
，已知
，
，求证：
为定值．
题型三：圆锥曲线中的定直线问题
25．已知椭圆
的左、右顶点分别为
，且过点
．
(1)求C 的方程；
(2)若直线
与C 交于M，N 两点，直线
与
相交于点G，证明：点G 在定直线
上，并求出此定直线的方程．
26．已知椭圆
（a>b>0）的离心率为
，短轴的下端点A 的坐标为（0，－1）.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设B，C 是椭圆E 上异于A 的两点，且|AB|=|AC|，BC 的中点为G ，求证：点G 在定直线上运动.
27．已知椭圆
：
的离心率为
，左、右顶点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
，四边形
的面积为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率存在的直线与椭圆相交于
，
两点，证明：直线
，
的交点
在一定直线
上，并求出该直线方程．
28．已知动点P 与定点
的距离和它到定直线
的距离之比为
，记P 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点
的直线与曲线C 交于
两点，
分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线
交于点
N，求证:点N 在定直线上．
29．已知双曲线C：
，直线l 在x 轴上方与x 轴平行，交双曲线C 于A，B 两点，直
线l 交y 轴于点D.当l 经过C 的焦点时，点A 的坐标为
.
(1)求C 的方程；
(2)设OD 的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M 的直线与C 交于P，Q，与线段AB 交于点N，
，
均成立；若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.
30．已知双曲线C：
的离心率为
，过点
的直线l 与C 左右两支分别交于
M，N 两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积（O 为坐标原点）；
(2)若A，B 为双曲线的左右顶点，且
，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若
是，求出该定直线，若不是，请说明理由
31．在平面直角坐标系
中，
是抛物线
的焦点，
是抛物线
上位于第一象限内
的任意一点，过
三点的圆的圆心为
，点
到抛物线
的准线的距离为
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）当过点
的动直线与抛物线
相交于不同点
时，在线段
上取点
，满足
，证明：点
总在某定直线上.
32．已知抛物线C：
的焦点为F，直线
与
轴的交点为P，与C 的交点为Q，且
．
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）点
在抛物线C 上，是否存在直线
与C 交于点
，使得△
是以
为斜边的直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．
33．已知过抛物线
的焦点，斜率为
的直线交抛物线于
，
两
点，且
.
(1)求该抛物线的方程；
(2)
为坐标原点，是否存在平行于
的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线
与的距离为
？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
34．已知
两点在抛物线
上，点
满足
．
（1）若线段
，求直线
的方程；
（2）设抛物线
过
两点的切线交于点
．求证：点
在一条定直线上．
