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专题22 拓展练五：圆锥曲线的方程（定点、定值、定直线问题）
题型一：圆锥曲线中的定点问题
题型二：圆锥曲线中的定值问题
题型三：圆锥曲线中的定直线问题
题型一：圆锥曲线中的定点问题
1．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，右顶点为
,且
，离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知点
，
是曲线
上两点（点
不同于点
），直线
，
分别交直线
于
两点，若
，证明：直线
过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，列方程组
，解出
，即可求解；
（2）根据题设直线
的方程为
，（
），
，
，联立直线与椭圆方程，消
去
整理得
，利用根与系的关系得
，再根
据题设求出
，
，结合题设条件，即可求解.
【详解】（1）设椭圆
的半焦距为，由题意知
,
解得
，所以椭圆C 的方程为
.
（2）由题意知，直线
斜率不为
，设直线
的方程为
，（
）
，
，
，联立方程
，
消去
整理得
，
所以
，
易知直线
为
，令
，得到
，则
，
同理可得
，
所以
，
将
代入，化简整理得
，
解得
（舍）或
，
所以直线
恒过定点
.
2．已知椭圆
经过点
，且与双曲线
有相同的焦点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
的左，右顶点分别为
，过点
且斜率不为0 的直线与
交于
两点，过点
作关于
轴的对称点
，连结
得到直线，试探究：直线是否恒过
轴上的一个定点.
【答案】(1)
(2)直线恒过
轴上的一个定点
【分析】（1）根据双曲线方程求焦点坐标，根据椭圆上的点列式解出
的值，即可得方程；
（2）设直线方程为
，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出
的关系.设直线
与
轴交于点
，有
，代入求解得出
的值，即可得出定点坐标.
【详解】（1）由双曲线
可得
，
可知所求椭圆的焦点坐标为
，
则
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）由（1）可知，
，
且点
在椭圆内部，直线与椭圆
必有两交点.
设直线方程为
，
，则
，
联立方程
化简整理得
，
则
.
设直线
与
轴交于点
，则
三点共线，
于是
，即
，则
，
可得
，
即
，解得
，
所以直线
恒过
轴上的定点
.
3．已知椭圆
的左焦点为
，点
，
三等分椭圆
的短轴，且
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
作与
轴不垂直的直线与椭圆
交于点
，
，椭圆
上是否存在点
，使得恒有
？
若存在，求出点
坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆性质可得出短轴长，再由正弦值即可求得椭圆
的标准方程；
（2）设出直线方程并与椭圆联立，根据韦达定理利用数量积的坐标表示计算，可解得点
满足题意.
【详解】（1）根据题意可知
，可得
；
又
，解得
；
因此
，
所以椭圆
的标准方程为
；
（2）由题可知直线的斜率存在，
不妨设斜率为
，即
，
，如下图所示：
联立
，整理可得
，易知
；
由韦达定理可得
；
所以
，
；
若
，可得
，
所以
对于
恒成立；
即
，
也即
，
因此可得
，解得
，
而点
在椭圆上，即存在点
满足题意.
【点睛】难点点睛：此类圆锥曲线的综合解答题，一般比较复杂，计算量较大，难点在于基本都是字母参
数的运算，因此需要十分细心.
4．已知椭圆
过点
，长轴长为4.
(1)求椭圆E 的方程及离心率；
(2)若直线l：
与椭圆E 交于A，B 两点，过点B 作斜率为0 的直线与椭圆的另一个交点为D. 求
证：直线AD 过定点.
【答案】(1)
，离心率
(2)证明见解析
【分析】（1）利用已知易求得
，易求得椭圆方程与离心率；
（2）设点A 的坐标
，点B 的坐标
，则点D 的坐标
，联立方程组，结合韦达定理可得
，表示出直线AD 的方程为：
，令
得：计算可求得定点.
【详解】（1）因为椭圆E 过点
，所以
，
又因为长轴长为4，所以
，所以
，
所以
.
椭圆E 的方程为：
，离心率
.
（2）由
得：
，
由
得：
或
，
设点A 的坐标
，点B 的坐标
，则点D 的坐标
，
，
由已知得直线AD 有斜率，直线AD 的方程为：
，
令
得：
，
所以直线AD 过定点
.
5．已知P 为圆
上的一个动点,
，若线段
的垂直平分线交
于M，记M 的
轨迹为曲线E.
(1)求曲线E 的方程；
(2)过
作斜率为1 的直线l 交曲线E 于A，B 两点，求
的面积；
(3)已知
，若直线l 与曲线E 相交于
，且
，求证：直线l 恒过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合图形得到
，推得
，即得曲线E 是
以
为焦点的椭圆，从而得到其方程；
（2）设点
，将直线与椭圆方程联立，求出
，利用三角形面积公式计算即
得；
（3）设
，将其与椭圆方程联立，设
，写出韦达定理，由
,可得
，代入坐标化简得：
，再将韦达定理代入化简
得
，求出
，即得定点.
【详解】（1）
将圆
化为标准方程
；
如图，因M 为线段
的垂直平分线上一点，故
，
则有
,
故曲线E 是以
为焦点的椭圆，所以
，则
；
故曲线E 的方程为
.
（2）
由题意，如图可知直线l 的方程为
,代入
，
整理得：
，设点
，则
；
故
的面积为
.
（3）
由题意,如图可知直线l 的斜率一定存在，设
，
联立
，整理得：
，
由韦达定理可得：
①
因为
，所以
，又
，
所以
又
，所以
将①代入上式整理可得：
，解得
或
（舍）
所以直线
，所以直线恒过定点
.
6．已知双曲线
经过点
，两条渐近线的夹角为
，直线交双曲线于
两点.
(1)求双曲线
的方程.
(2)若动直线经过双曲线的右焦点
，是否存在
轴上的定点
，使得以线段
为直径的圆恒过
点？若存在，求实数
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在
，使得以线段
为直径的圆恒过
点
【分析】（1）由渐近线夹角得
或
，结合双曲线所过点可求得
，由此可得双曲线方
程；
（2）假设存在点
满足题意，可知
；假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理
的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得
的值.
【详解】（1）
两条渐近线的夹角为
，
渐近线的斜率
或
，即
或
；
当
时，由
得：
，
，
双曲线
的方程为：
；
当
时，方程
无解；
综上所述：
双曲线
的方程为：
.
（2）由题意得：
，
假设存在定点
满足题意，则
恒成立；
方法一：①当直线斜率存在时，设
，
，
，
由
得：
，
，
，
，
，
，
整理可得：
，
由
得：
；
当
时，
恒成立；
②当直线斜率不存在时，
，则
，
，
当
时，
，
，
成立；
综上所述：存在
，使得以线段
为直径的圆恒过
点.
方法二：①当直线斜率为时，
，则
，
，
，
，
，
，解得：
；
②当直线斜率不为时，设
，
，
，
由
得：
，
，
，
，
；
当
，即
时，
成立；
综上所述：存在
，使得以线段
为直径的圆恒过
点.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如
下：
①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于
或
的一元二次方程的形式；
②利用
求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定点.
7．已知双曲线
：
过点
，且渐近线方程为
.直线过点
，且与
交于
，
两点.
(1)求双曲线
的方程；
(2)在
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出点
坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由点
在双曲线
上，结合渐近线方程得出双曲线
的方程；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理以及数量积公式，由
为定值得出点
坐标.
【详解】（1）由题可得
，∴
；
（2）显然直线斜率存在，所以设直线：
，
，
，
，
联立得
，∴
，
，
，
，
∴
，
∴
，
.
8．已知双曲线
的左顶点为
，右焦点为F，点B 在C 上．当
时
．不垂直于x 轴的直线与双曲线同一支交于P，Q 两点．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)直线PQ 过点F，在x 轴上是否存在点N，使得x 轴平分
？若存在，求出点的N 的坐标；若不存
在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在
【分析】（1）根据顶点坐标、
及
可求解；
（2）直线
，与双曲线联立，由条件可知有
，结合韦达定理可求解.
【详解】（1）依题意，
，
，
，
解得
，得
，
.
∴
．
（2）假设存在
，
，设
，
，
设直线
，则
，得
，
则
，且
，
即
，即
，
依题意，
，
即
，
，
，
，
即
，
，
，
故存在
．
9．已知抛物线
的焦点为
，
为抛物线上一点，且
，直线
与抛物线
交于另一点
，点
在抛物线的准线上，且
轴.
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段
中点的纵坐标为
，求直线
的方程；
(3)求证：直线
过定点，并求该定点坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
【分析】（1）由
可得
，进而可得；
（2）设
方程为
，联立
，可得
，进而可得；
（3）设
，可得直线
方程为
，由
，
，可得
，进而可得.
【详解】（1）由抛物线的定义知：
，
所以
，解得
，所以抛物线的方程为
.
（2）
由（1）知，
，因为
的斜率不为
，设
方程为
，
，
联立
，得
，
所以
，
又由
，得
，所以
方程为
，即
.
（3）由（2）知：
，
因为
，所以
方程为
，
即：
，又因为
，
所以
，
故直线
方程为
，
所以直线
经过
点.
10．已知点
及直线
，点
为直线上的动点，过点
垂直于的直线与线段
的垂直平
分线交于点
.
(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)若
为（1）中的曲线
上的两个动点，且
（
为坐标原点）求证：直线
过定点，并求
出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
.
【分析】（1）由抛物线定义即可得到轨迹方程.
（2）先直线与抛物线联立，由韦达定理得
，又由
得
，即可求得坐标.或者用齐次化方法求解.
【详解】（1）由题设知，
，且
.
所以点
到定点
的距离等于到定直线
的距离，又因为直线不经过点
，
所以由抛物线的定义可知，点
的轨迹为以
为焦点，直线
为准线的抛物线.
故点
的轨迹
的方程为：
.
（2）
证法一：
由题设可知，直线
的斜率不为0，且不过原点，故设
，
由
得：
.
设
，
则
.
因为
，所以
.
解得
或
（舍）.
且
满足
，所以直线
的方程为
.
故直线
过定点
.
证法二（齐次化方法）：由题设可知，直线
不过原点，设
，
由
得：
.
显然
，从而有
.
设
，则
为方程（※）的两根，
所以
.
又
，所以
.解得
，且
满足
所以直线
的方程为
即
.
故直线
过定点
.
11．在平面直角坐标系
中，过原点
直线
交抛物线
于另一点
，且
.
(1)求抛物线
方程；
(2)已知
为抛物线
上两动点，且关于
轴对称，
，连接
交抛物线
于点
，直线
是否
过定点？若过定点，求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)过定点
【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，求出
，再代入抛物线方程即可求解；
（2）设
则
，求出直线
的方程，可得其与抛物线的交点
的坐标，表示出直线
的方程，结合点
在抛物线上化简方程，即可求出直线所过定点坐标.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
，解得
，
抛物线方程
；
（2）设
，则
，
直线
的方程为
，
与
，联立得
，
，
直线
的方程为
，
，所以
直线
的方程化简得
，
直线
过定点
.
12．已知抛物线
的焦点为
，点
在拋物线上，且
的面积为
（
为坐
标原点）．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)点
、
是抛物线
上异于原点
的两点，直线
、
的斜率分别为
、
，若
，求证：直
线
恒过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得出关于实数
、
的方程组，解出
的值，即可得出抛物线
的标准方程；
（2）设点
、
，由斜率公式结合抛物线方程推导出
，设直线
的方程为
，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，可求得
的值，化简直线
的方程，即可
得出直线
所过定点的坐标.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
所以，抛物线
的方程为
.
（2）设点
、
，则
，
即
，
显然
，所以，
，
若直线
垂直于
轴，则直线
与抛物线
只有一个交点，不合乎题意，
设直线
的方程为
，
联立
，消去
得
，
则
，且
，又
，
则
，解得
，满足
，
所以，直线
的方程为
，故该直线过定点
.
题型二：圆锥曲线中的定值问题
13．已知椭圆
：
的离心率
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)如图所示，
是椭圆
的顶点，
是椭圆
上除顶点外的任意点，直线
交
轴于点
，直线
交
于点
．设
的斜率为
的斜率为
，求证：
为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率和
，联立即可求解
得椭圆方程，
（2）联立直线与椭圆方程可得
，联立两直线方程可求解
，进而根据三
点共线的向量坐标关系可求解
，即可由斜率公式求解.
【详解】（1）因为
，故
，所以
．
由
，得
．
所以椭圆
的方程为
．
（2）因为
不为椭圆顶点，则
的方程为
且
．①
将①代入
，
，
故
，解得
，故
．
又直线
的方程为
．②
①与②联立解得
．
由
得
,
由三点共线可得
，
求得
．
所以
的斜率
，则
（定值）．
14．如图，已知椭圆
的左焦点为
，设过点
且斜率存在的直线与椭圆
相交于
，
两
点，线段
的垂直平分线交
轴于点
．试判断
是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定
值，说明理由．
【答案】是，
【分析】解法1：设出直线的方程为
，进而联立方程，利用韦达定理和弦长公式得到
，利
用点
在线段
的垂直平分线上，进而得到
，最后利用两点间距离公式可得
，进
而求解即可；
解法2：求出线段
的中点和线段
的垂直平分线方程，可得点
的坐标，可求得
，可得所求的比
值；
解法3：利用椭圆的第二定义及三角形相似求解即可．
【详解】解法1：由题意，
，设
，
，
，直线的方程为
．
联立
得
，
，
，
．
因为点
在线段
的垂直平分线上，所以
，所以
，
代入
，
，化简得
，
所以
，
，为定值．
解法2：同解法1 得
，线段
的中点
，
所以线段
的垂直平分线为
，得
，
所以
，同解法1 得
的表达式，故
，为定值．
解法3：过点
，
向左准线作垂线，垂足分别为
，
，作
于点
，如图．
由椭圆第二定义得
，
而
，即
，
又
，
所以
，为定值．
15．已知椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点分别为
，椭圆C 的离心率为
，点P 是椭圆C 上
一动点，且
的最大值为2.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)过点
的直线交椭圆C 于E，F 两点，判断
是否为定值?若为定值，求出该定值;若
不为定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
为定值3，理由见解析.
【分析】（1）根据基本不等式求出
，根据离心率和
，求出
，得到椭圆方程；
（2）分直线EF 的斜率为零和不为零两种情况，当斜率不存在时，可直接进行求解，得到
，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，计算出
，可得结论.
【详解】（1）因为离心率为
，所以
，
又椭圆定义知
，
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立，
故
，所以
，
所以
，
故椭圆C 的方程为
.
（2）当直线EF 的斜率为零时，则点E，F 为椭圆长轴的端点，
则
当直线EF 不与x 轴重合时，设直线EF 的方程为
，设点
，
联立
，消去x 得
，
恒成立，
由韦达定理得
，
，
故
.
综上所述，
为定值3.
16．已知椭圆
的离心率
分别为其左右焦点，
为椭圆
上一动点，
面积最大值为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)记椭圆的左顶点为
，过
作直线，若直线与椭圆
交于
两点，
均不与
重合，求
证：直线
与直线
斜率之积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由
在短轴端点时面积最大得到
，再结合离心率即可求解；
（2）设
，联立椭圆方程，通过韦达定理及斜率公式即可求证.
【详解】（1）
面积最大值为
，又
定值，
所以当
在短轴端点时面积最大，
解得
，椭圆方程为
（2）
由于
均不与
重合，则直线斜率不为0，设
联立直线与椭圆
得
，
判别式
，则有：
则
，
则
17．已知椭圆
的右焦点
和抛物线
的焦点重合，且
过点
．
(1)求
和
的方程；
(2)过点
作直线分别交椭圆
于点
，交抛物线
于点
，是否存在常数
和
，使得
为定值？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
；
．
(2)存在，
.
【分析】（1）将
代入椭圆方程可求得
，即可求出
的方程；再由椭圆与抛物线的右焦点
重合，
可求出
的方程；
（2）设直线的方程为：
，与椭圆方程联立由弦长公式可求出
，
，
假设
为定值
，可得
，解方程可求出
的值.
【详解】（1）因为椭圆
过点
，所以
，所以
，
所以
方程：
．
又因为椭圆
的右焦点
，
所以
，所以
方程：
．
（2）解：假设存在这样的，
设直线的方程为：
，
．
，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
为定值．
，任意的实数
恒成立
，得到
，
当
时，
为定值．
18．已知双曲线
的左、右顶点分别为
，离心率为
.过点
的
直线l 与C 的右支交于M、N 两点，设直线
的斜率分别为
．
(1)若
，求：
；
(2)证明：
为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线
的方程，联立方程组，由韦达定理可解；
（2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得
，再结合（1）中结论即可得证.
【详解】（1）设双曲线的焦距为
，由题意得，
，所以
．
因为
，所以
，所以C 的标准方程为
．
直线
，由
消去y 化简并整理得
，
解得
或
（舍），所以
．
又直线
过点
，所以直线
的方程为
，所以
．
（2）设
，则
．
因为
，所以
．
设直线
，由
消去x 化简并整理得
．
设
，则
，
故
．
所以
为定值．
19．设动点
到定点
的距离与它到定直线
的距离之比为
．
(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)过
的直线与曲线
交右支于
两点（
在
轴上方），曲线
与
轴左、右交点分别为
，设
直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，试判断
是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说
明理由．
【答案】(1)
(2)为定值，且定值为
【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解，
（2）由题意，设直线
的方程为
，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出
即可．
【详解】（1）设
，
到定直线
的距离为
则
，
故
，平方后化简可得
，
故点
的轨迹
的方程为：
（2）由题意，
,
设直线
的方程为
，
,
，
,
，
由
，可得
，
所以
，
．
则
，
，
所以
；
当直线
的斜率不存在时，
，此时
，
综上，
为定值．
20．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
上，且离心率
.
(1)求双曲线
的方程;
(2)记点
在
轴上的射影为点
，过点
的直线与
交于M，N 两点.探究:
是否为定值，
若是，求出该定值;若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，1
【分析】（1）根据条件，列出关于
的方程，求
的值，可得双曲线的方程.
（2）对直线
斜率是否为0 分类讨论.当直线
斜率部位0 时，设其方程为：
，与双曲线
方程联立，消去
，得到关于
的一元二次方程，根据韦达定理，表示出
，
，再表示出
，化简即可.
【详解】（1）设双曲线的焦距为
，
由题意得，
，解得
，
故双曲线
的方程为
.
（2）如图：
由题意得，
，
当直线MN 的斜率为零时，则
当直线MN 的斜率不为零时，设直线MN 的方程为
，
点
，联立
，整理得
，
则
，解得
且
，
所以
，
所以
，
综上，
，为定值.
21．在直角坐标系xOy 中，点
到直线
的距离等于点
到原点
的距离，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)点A，B，C，D 在
上，A，B 是关于
轴对称的两点，点
位于第一象限，点
位于第三象限，直线
AC 与
轴交于点
，与
轴交于点
，且B，H，D 三点共线，证明：直线CD 与直线AC 的斜
率之比为定值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直接法，求轨迹方程；
（2）首先设点
，并表示直线
的方程，并由已知条件求得点
的坐标，并
利用方程联立表示
的坐标，并利用坐标表示斜率，即可求解.
【详解】（1）设
，则
，
两边平方，化简得
，
故
的方程为
.
（2）证明:设点
的方程为
，则
，因为
，所以
从而直线BD 的方程为
联立
可得
，所以
，则
，
所以
联立
可得
，所以
，则
，所以
.
所以直线CD 的斜率为
.
所以直线
与直线
的斜率之比为
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是设出点
的坐标，并找到坐标
的关系，从而求得斜
率的关系.
22．已知直线与抛物线
交于两点
，
，与抛物线
交于两点
，
，其中A，C 在第一象限，B，D 在第四象限，设
，
的面积分别为
，
，（O 为坐标原点），若
，证明
为定值
【答案】证明见解析
【分析】设
，联立直线和抛物线，利用韦达定理，代入
中，可用
分别表示
，根据
求出比值即可.
【详解】设
，
，
，
，
设
，联立
，整理得
，
则
，
，
联立
，整理得
，则
，
，
因为
四点共线且
，
所以
，
则
，
，
，
，
其中
，
，解得
，
则
，
，
，则
，所以
为定值.
23．已知抛物线
的焦点为
，且点
关于直线
的对称点恰好在
上．
(1)求抛物线
的方程；
(2)斜率为
的直线与抛物线
交于
两点，且
，过点
且与直线垂直的直线交
轴于
点
，求证：
为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）利用点关于直线对称的特征求得
的对称点，代入抛物线方程即可得解；
（2）根据题意联立直线与抛物线方程得到
，再利用焦点弦公式求得
，利用两距离公式求得
，从而得证.
【详解】（1）设点
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，
将点
代入抛物线方程可得
，即
，
抛物线
的方程为
．
（2）由（1）得
，且
在
上，
由题意易知直线的斜率存在且不为0，不妨设直线的方程为
，
，
联立
，得
，
易得
，设
，则
，
，
过点
且与直线垂直的直线方程为
，
令
，得
，即
，
则
.
24．已知抛物线
：
的焦点为
，抛物线
上存在一点
到焦点
的距离等于．
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
的直线交抛物线
于
两不同点，交
轴于点
，已知
，
，求证：
为定值．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义即可求解
值.
（2）设出直线的方程并求出点
的坐标，联立直线和抛物线方程，结合韦达定理及共线向量的坐标表示
推理即得.
【详解】（1）抛物线
：
的准线
，由抛物线定义得
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）由（1）知，
，显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为
，则点
，
由
消去
并整理得
，显然
，
，
，
而
，
，
由
，得
，即
，解得
，
由
，同理得
，
因此
为定值，
所以
为定值.
【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上
述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这
个值与变量无关．
题型三：圆锥曲线中的定直线问题
25．已知椭圆
的左、右顶点分别为
，且过点
．
(1)求C 的方程；
(2)若直线
与C 交于M，N 两点，直线
与
相交于点G，证明：点G 在定直线
上，并求出此定直线的方程．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析，
.
【分析】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程.
（2）设
则
，
，联立直线l 与椭圆方程，由判
别式、韦达定理求k 的范围及
、
关于k 的表达式，再联立直线
与
求交点坐标，即可证
结论并确定直线方程.
【详解】（1）因为
，所以
，解得
．
因为C 过点
，所以
，解得
．
所以C 的方程为
．
（2）由题意，设
，则
，
．
由
，整理得
，则
，
解得
且
，
，
．
由
得：
，
所以点G 在定直线
上．
26．已知椭圆
（a>b>0）的离心率为
，短轴的下端点A 的坐标为（0，－1）.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设B，C 是椭圆E 上异于A 的两点，且|AB|=|AC|，BC 的中点为G ，求证：点G 在定直线上运动.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得
，再根据离心率及
，即可求出
，从而得解；
（2）设直线BC 的方程为
，
，
，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，设
的中点
，即可得到
，且
，当
时，
轴，当
时，由
AG⊥BC ，得
，即可得到
，从而得到
，即可得解；
【详解】（1）解：由椭圆E 短轴的下端点A 的坐标为
，得
，即
；
由
，得
，
代入上式，解得
，从而
，
所以椭圆E 的方程为
.
（2）解：若
轴，不符合题意；
若
与
轴不垂直，设直线BC 的方程为
，代入
并整理，得
一方面，必须
；
另一方面，设
，
，则
，
设
的中点
，则
，
且
，
①当
时，
轴，显然点G 在y 轴上.
②当
时，由AG⊥BC ，得
，
则
即
，化简得
，
代入，得
，解得
.
所以
，
，即
，
故点
（
）在定直线
上运动.
综上，当
轴时，显然点G 在y 轴上运动；当BC 与不平行不垂直时，点G 在直线
上运动.
27．已知椭圆
：
的离心率为
，左、右顶点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
，四边形
的面积为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率存在的直线与椭圆相交于
，
两点，证明：直线
，
的交点
在一定直线
上，并求出该直线方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析；直线
【分析】(1)根据题意可得
，进而解出
，
，即可得出椭圆方程；
(2)设直线
的方程为：
，设
，
，联立椭圆方程消去
得到关于
的一元二次方
程，根据韦达定理表示出
；利用直线的点斜式方程求出直线
、
的方程，两直线方程联
立方程组并消去
，整理化简即可得出结果.
【详解】（1）由题得：
，
，
，
解得：
，
，
故椭圆的方程为
．
（2）设直线
的方程为：
，设
，
，
联立
，得
，
，
由韦达定理得
，
，∴
．
因为
，
，
所以直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立消去
，得
，
整理得
，
所以直线
，
的交点
一定在直线
上．
28．已知动点P 与定点
的距离和它到定直线
的距离之比为
，记P 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点
的直线与曲线C 交于
两点，
分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线
交于点
N，求证:点N 在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设动点坐标依据题意列式即可求解；
（2）设
，
，
，直线方程
，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理
可得
，再求出直线
和
的方程，联立直线
和
的方程，代入
，
、
即可求解.
【详解】（1）设动点
，
∵动点P 与定点
的距离和它到定直线
的距离之比为
，
∴
，整理得
，
∴曲线C 的方程为
；
（2）设
，
，
，直线方程
，
与椭圆方程联立
，整理得：
，
，
由韦达定理得：
，化简得：
，
由已知得
,
,
则直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立直线
和
：
，代入
，
、
可得：
，化简可得：
，
所以N 点在一条定直线上．
29．已知双曲线C：
，直线l 在x 轴上方与x 轴平行，交双曲线C 于A，B 两点，直
线l 交y 轴于点D.当l 经过C 的焦点时，点A 的坐标为
.
(1)求C 的方程；
(2)设OD 的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M 的直线与C 交于P，Q，与线段AB 交于点N，
，
均成立；若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由点A 的坐标求得，结合双曲线的定义求得
，进一步计算得出双曲线的方程即可；
（2）设直线PQ 的方程为
，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示
求得
，得到直线l 的方程.
【详解】（1）由已知C：
，点A 的坐标为
，得
，
焦点
，
，
.
所以
，
，故C：
.
（2）设l 的方程为
，则
，故
，
当直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为
，故
.
与双曲线方程联立得：
，
由已知得
，
，设
，
，
则
，
①
由
，
得：
，
，
消去
得：
，
即
②
由①②得：
，由已知
；
当直线PQ 的斜率不存在，此时
，
，
，
，
，符合题意；
故存在定直线l：
满足条件.
30．已知双曲线C：
的离心率为
，过点
的直线l 与C 左右两支分别交于
M，N 两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积（O 为坐标原点）；
(2)若A，B 为双曲线的左右顶点，且
，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若
是，求出该定直线，若不是，请说明理由
【答案】(1)1
(2)是在定直线上，定直线
【分析】（1）根据题意列出方程组得到
，设
，
，
，利用点差法即可求
解；
（2）根据（1）的结论得出
，
，设直线l：
，
，设
，
，联立
直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线
与直线
的方程得出
，进而得证.
【详解】（1）由题意得
，所以
，
设
，
，
，
则
，
作差得
，
又MN 的斜率
，
，
所以
.
（2）∵
，∴
，
，
，
直线l：
，
，
设
，
，
联立
得
，
所以
，所以
，
设直线AN：
，BM：
，
所以
，
所以
．故存在定直线
，使直线AN 与直线BM 的交点G 在定直线上．
31．在平面直角坐标系
中，
是抛物线
的焦点，
是抛物线
上位于第一象限内
的任意一点，过
三点的圆的圆心为
，点
到抛物线
的准线的距离为
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）当过点
的动直线与抛物线
相交于不同点
时，在线段
上取点
，满足
，证明：点
总在某定直线上.
【答案】（1）
（2）总在定直线
上.
【分析】（1）由于点
在
中垂线上，所以
，从而
，得出答案.
（2）由于线段成比例，因此考虑设比值：
，结合图形有
，利用
向量坐标关系可得：设
，
，由
于
在抛物线上，所以
，因此等价变形得
，即
【详解】（1）过
三点的圆的圆心为
,则圆心
在
的中垂线上，
则
，又点
到抛物线
的准线的距离为
所以
，则
所以抛物线的方程为
.
（2）设
，记
.
则
，
，
联立可得，
又
，代入得
，
所以总在定直线
上.
32．已知抛物线C：
的焦点为F，直线
与
轴的交点为P，与C 的交点为Q，且
．
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）点
在抛物线C 上，是否存在直线
与C 交于点
，使得△
是以
为斜边的直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线定义得
，解得
，所以C 的方程为
，
（Ⅱ）先利用坐标转化条件以
为斜边的直角三角形：
，再根据直
线与抛物线联立的方程组，利用韦达定理得
，代入上式即可证得
，本题实质以算代证.
试题解析：（Ⅰ）设
，代入
，得
．
由题设得
，解得
（舍去）或
，∴C 的方程为
．
（Ⅱ）由
知，点
，假设存在满足条件的直线，
设
，联立方程组
得
，
由题意得
，
代入得
，解得
（舍）或
，
．
考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系
33．已知过抛物线
的焦点，斜率为
的直线交抛物线于
，
两
点，且
.
(1)求该抛物线的方程；
(2)
为坐标原点，是否存在平行于
的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线
与的距离为
？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）设直线方程为
，联立方程组
,由
，结合韦达定理以及
焦半径公式可求得
，从而可得结果；（2）可
：
，假设存在这样的直线，
，
利用点到直线的距离公式得
，从而可得结论.
【详解】（1）设直线方程为
，联立方程组
整理得到
，所以
.
由抛物线定义得，
，所以
，所以方程为
.
（2）可得
,直线
：
假设存在这样的直线，
，
,得
经检验，直线方程为
.
【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质，以及焦半径公式、点到直线距离公式的应用，考查了直线与
抛物线的位置关系，属于中档题.
34．已知
两点在抛物线
上，点
满足
．
（1）若线段
，求直线
的方程；
（2）设抛物线
过
两点的切线交于点
．求证：点
在一条定直线上．
【答案】（1）
；（2）见解析
【分析】（1）设
，根据韦达定理表示出
，根据弦长公式计算即可
.
（2）先表示出过点
的切线和过点
的切线，然后两直线联立可求出点
的坐标，即可得到点
在定直
线
上．
【详解】（1）设
，
与
联立得
，
，
，
，
又
，即
，
解得：
（舍），所以直线的方程
（2）证明：过点
的切线：
，①，
过点
的切线：
，②，
联立①②得点
，所以点
在定直线
上．
【点睛】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，考查了计算能力，属于中档
题
