文档文本内容
第08 讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
目录
01 考情解码・命题预警........................................................................................................................................ 2
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................ 3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................ 4
知能解码......................................................................................................................................................4
知识点1 伯努利试验与二项分布 ....................................................................................................4
知识点2 两点分布、均值、方差 ....................................................................................................4
知识点3 超几何分布 ........................................................................................................................... 4
知识点4 正态分布 ............................................................................................................................... 5
题型破译......................................................................................................................................................6
题型1 两点分布......................................................................................................................................6
题型2 二项分布
............................................................................................................................... 6
【方法技巧】二项分布应用
题型3 超几何分布
........................................................................................................................10
【方法技巧】超级分布的判断与使用
题型4 超几何分布与二项分布综合
.......................................................................................14
题型5 正态密度曲线
...................................................................................................................17
题型6 根据正态分布的对称性计算...............................................................................................18
题型7 正态分布的均值与方差
.................................................................................................19
题型8 3
决策
..............................................................................................................................24
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................................ 27
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................................ 29
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）两点分布
（2）二项分布
（3）超几何分布
（4）正态分布
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年天津卷第
5 题，5 分
2025 年天津卷第
13 题，5 分
2024 年全国新课标Ⅰ卷
第9 题，6 分
2023 年甲卷（理）第19
题(1)，6 分
考情分析：
从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点．本节的重点内容是求随机变量的分布列与数学期
望．求分布列其实是求概率的过程，首先要明确随机变量的类型，是二项分布、超几何分布或是一般的概率分
布．对于一般的概率分布，没有特别的公式，就需要将复杂事件拆分为等价的几个事件，根据概率计算公式求概
率，从而得到分布列．对于数学期望与方差，都可用定义运用相应的公式求解，因而关键问题还是求分布列．
复习目标：
（1）理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．
（2）借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识点1 伯努利试验与二项分布
（1）
重伯努利试验的定义
①我们把只包含 的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行
次所组成的随机试验称为
（2）二项分布
一般地，在
重伯努利试验中，设每次试验中事件
发生的概率为
(
)，用
表示事件
发生的次数，则
的分布列为 ，
.
如果随机变量
的分布列具有上式的形式，则称随机变量
服从二项分布，记作
．
自主检测某射箭场举行趣味射箭比赛，规定每轮有5 次射箭机会，若选手甲参加比赛且不放弃任何一次射
箭机会，每次射中靶心的概率为
，且每次射箭互不影响，记X 为选手甲射中靶心的次数，则
．
知识点2 两点分布、均值、方差
若随机变量
服从两点分布,则 , .
若
,则
,
自主检测已知随机变量
服从两点分布，且
，令
，则
．
知识点3 超几何分布
一般地，假设一批产品共有
件，其中有
件次品，从
件产品中随机抽取
件(不放回)，用
表示抽取的
件产品中的次品数，则
的分布列为 ，
.
其中
，
，
，
，
．
如果随机变量
的分布列具有上式的形式，那么称随机变量
服从超几何分布．
自主检测一批零件共有10 个，其中有3 个不合格．随机抽取3 个零件进行检测，恰好有1 件不合格的概率
是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点4 正态分布
（1）正态分布定义：
若随机变量
的概率密度函数为
，(
,其中
，
为参数)，称随机变
量
服从正态分布，记为 .
（2）正态曲线的特点
①曲线位于
轴上方，与
轴不相交；
曲线是单峰的，它关于直线 对称；
曲线在
③
时达到峰值 ；
当
④
时，曲线上升；当
时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以
轴为渐近
线，向它无限靠近.
曲线与
⑤
轴之间的面积为1；
⑥
决定曲线的位置和对称性；
当
一定时，曲线的对称轴位置由
确定；如下图所示，曲线随着
的变化而沿
轴平移。
⑦
确定曲线的形状；
当
一定时，曲线的形状由
确定。
越小，曲线越高瘦，表示总体的分布越集中；
“
”
越大，曲线越
矮胖，表示总体的分布越分散。
“
”
（3）正态分布的
原则：正态分布在三个特殊区间的概率值
假设
，可以证明：对给定的
是一
个只与
有关的定值.
特别地，
，
，
.
上述结果可用右图表示.
此看到，尽管正态变量的取值范围是
，但在一次试验中，
的值几乎总是落在区间
内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布
的随机变量
只取
中的值，这
在统计学中称为
自主检测如果随机变量
，则
约等于（ ）（注：
）
A．0.210
B．0.0228
C．0.0456
D．0.0215
题型1 两点分布
例1-1 随机变量X 服从两点分布，若
，则下列结论中：
①
；
②
；
③
；
④
.
正确结论的序号有 ．
例1-2
设
，随机变量
的分布列如下表所示，
X
0
1
P
则当概率
在区间
内增大时，方差
的变化是（ ）
A．增大
B．先增大后减小
C．减小
D．先减小后增大
【变式训练1-1】随机变量
服从两点分布，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
2】随机变量
服从两点分布，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】设随机变量X 服从两点分布，若
，则
（ ）
A．0.24
B．0.21
C．0.16
D．0.8
题型2 二项分布
例2-1 抛掷一枚质地均匀的硬币8 次，若正面朝上
次的概率最大，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
例2-2
有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6 个红球和4 个黑球，这些球除颜色外完全相同．游
戏规定：每位参与者进行
次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸
球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸
球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y．
(1)若
，
（i）求随机变量Y 的分布列和数学期望：
（ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为
，
无放回摸球中奖概率为
，求
和
并比较它们大小．
(2)若
，求当
取得最大值时的k 值，并说明理由．
方
法技巧
二项分布的应用
1、二项分布求解随机变量涉及至少
至多问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，
“
”“
”
一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
2、二项分布的简单应用是求
次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率．解题的一般思路是：
（1）根据题意设出随机变量；
（2）分析出随机变量服从二项分布；
（3）找到参数
，
；
（4）写出二项分布的分布列；
（5）将
值代入求解概率．
【变式训练2-1】某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1 到4 的四个箱子中随机放入奖品，每
个箱子中放入的奖品个数
满足
，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏
规定：当箱子中奖品的个数超过3 时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游
戏的同学依次从1 到4 号箱子中取奖品，4 个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2
个奖品的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和
天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现
有建盏6 个，其中3 个由工匠甲烧制，3 个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为
，
．
(1)求甲烧制的3 个建盏中至多有2 个成品的概率；
(2)设乙烧制的这3 个建盏中成品的个数为
，求
的分布列．
【变式训练2-3】某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200 名用户进行调查，得到数
据如下表：
日均时长（分钟）
[40，50]
频数
30
50
80
30
10
(1)估计这200 名用户日均观看时长的第70 百分位数；
(2)若平台规定日均观看时长不少于
“
30 分钟的用户为潜在高粘性用户，现从样本中有放回地抽取
”
次，每
次抽取1 人，记抽到潜在高粘性用户的人数为
.
（i）当
时，求
的分布列和数学期望；
（ii）若平台希望至少抽到1 名潜在高粘性用户的概率不低于
，至少需抽取多少次？（参考数据：
）
题型3 超几何分布
例3-1 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机
抽取了50 名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40 至100 之间，将数据按照[40，50)，[50，
60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中
的值，并估计这50 名学生成绩的中位数；
(2)在这50 名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11 人，再
从这11 人中随机抽取3 人，记
为3 人中成绩在[80，90)的人数，求
的分布列和数学期望；
例3-2 某学校在寒假期间安排了垃圾分类知识普及实践活动
“
”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中
随机抽取了50 名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100 分，将数据分成6 组：
，
，
，
，
，
，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(2)在样本中，从其成绩在80 分及以上的学生中随机抽取3 人，用
表示其成绩在
中的人数，求
的分布列及数学期望；
(3)在（2）抽取的3 人中，用
表示其成绩在
的人数，试判断方差
与
的大小.（直接写
结果）
方
法技巧
超几何分布的
与
判断
使用
1、随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X 服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取
次；(2)随机变量
表
示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2、求超几何分布的分布列的步骤
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数
，
，
的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
（3）列出分布列．
【变式训练3-1】2018 年8 月16 日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问
题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫
苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全．因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何
一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数
据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临
床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫
苗
40
注射疫苗
60
总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1 只，取到感染病毒的小白鼠的概率为
“
”
．
(1)求
列联表中的数据
，
，
，
的值；
(2)能否有
把握认为注射此种疫苗有效？请说明理由；
(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5 只进行病例分析，然后从这五只小白鼠
中随机抽取3 只对注射疫苗情况进行核实，记
为3 只中未注射疫苗的小白鼠的只数，求
的方差．
附：
，
．
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
【变式训练3-2】在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了停课不停学活动，此活动为学生提供了多
“
”
种网络课程资源以供选择使用．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网
络问卷调查，统计学生每天的学习时间．这两个班级各有40 名学生，均提供了有效数据，将样本数据整
理得到如下频率分布直方图：
(1)已知该校高三年级共有600 名学生，根据统计数据，估计该校高三年级每天学习时间不超过4 小时的学
生人数；
(2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4 小时的学生中随机抽取3 人，记从乙班抽到的学生人数为X，
求X 的分布列和数学期望；
(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为
，试比较
的大小．（只需写出结论）
【变式训练3-3】冬奥会志愿者有6 名男同学，4 名女同学.在这10 名志愿者中，三名同学来自北京大学，
其余7 名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7 所大学.现从这10 名志愿者中随机选
取3 名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).
(1)求选出的3 名同学是来自互不相同的大学的概率；
(2)设X 为选出的3 名同学中女同学的人数，求随机变量X 的期望和方差.
题型4 超几何分布与二项分布综合
例4-1 随机选取某市6 所小学调研徒步走活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所
“
”
示：
学校
甲
乙
丙
丁
戊
戌
参加徒步走人
“
”
数
50
55
45
48
60
56
(1)现从这6 所小学中随机选出3 所，记其中参加徒步走人数不低于
“
”
55 的学校数量为X，求X 的分布列和
数学期望.
(2)在徒步走活动的终点设置挑战游戏，每位徒步走活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯
“
”
“
”
3
关，且参与者每次挑战至少通过其中2 关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关
通过的概率均为
.
①求小明1 次挑战成功的概率；
②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？
例4-2 一个袋子中有10 个大小相同的球，其中有4 个红球、6 个白球，从中随机地摸出3 个球作为样本.
(1)设采用不放回摸球和有放回摸球得到的样本中红球的个数分别为
，
，求出
的分布列以及
，
，
，
；
(2)若从中不放回地依次取出3 个球，设
表示第
“
次取出的是红球，分别求出
”
和
【变式训练4-1】某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8 个颜色
大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有悟
空字样的小球共
“
”“
”
3 个，标有哪
吒字样的小
“
”“
”
球共5 个．每位观众将从容器中一次性抽取2 个小球，若所抽小球上的文字组合为悟空则获一等奖，若
“
”
组合为哪吒则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍．
“
”
(1)其中标有哪字样的小球可能有多少个？
“
”
(2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望；
(3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3 个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个
哪，求他获奖的概率．
“
”
【变式训练4-2】继2025 年4 月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会
随机选取8 个马拉松训练营调研长跑耐力训练的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下
“
”
表：
训练营
A
B
C
D
E
F
G
H
参与人数（人）
45
53
23
37
33
18
24
48
(1)若参与人数超过30 人的训练营为特色训练营，现从这
“
”
8 个训练营中随机选出3 个，记选出特色训练
“
营的数量为随机变量
”
，求
的分布列和均值；
(2)在长跑训练中，学员需掌握匀速跑
间歇跑
冲刺跑三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两
“
”“
”“
”
项成绩达到“90 分及以上，该轮测试才被记为优秀
”
“
”.已知甲学员每项成绩达到“90 分及以上的概率均为
”
，每项测试及每轮测试相互独立．
（i）求甲学员单轮测试优秀的概率；
“
”
（ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望优秀次数的平均值不低于
“
”
2 次，那么理论上至少要进行多少轮测
试？
【变式训练4-3】DeepSeek 是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B 两个
部门全体员工共60 人参加培训．
(1)此次培训的员工中有5 名部门领导，其中有3 人来自A 部门．从这5 名部门领导中随机选取2 人，记
表示选取的2 人中来自A 部门的人数，求随机变量
的分布列和数学期望；
(2)若每位员工经过培训后合格的概率为
，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20 万
元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10 万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2 万
元的其他成本和费用．试估计该公司A，B 两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-
其他成本和费用）．
题型5 正态密度曲线
例5-1“杂交水稻之父袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究
”
应用与推广，发明了三系法籼型杂交水
“
”
稻，成功研究出两系法杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界
“
”
粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：
）服从正态
分布，其密度曲线函数为
，
，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在
和在
（单位：cm）的概率一样大
例5-2（多选）18 世纪30 年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X 服从二项分布
，那么当n 比
较大时，可视为X 服从正态分布
，其密度函数
，
.任意正态分布
，可通过变换
转化为标准正态分布（
且
）.当
时，对任意实
数x，记
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．随机变量
，当
减小，
增大时，概率
保持不变
D．随机变量
，当
，
都增大时，概率
单调增大
【变式训练5-1】给出下列函数：①
；②
；③
；
④
，其中
，
，则可以作为正态分布密度函数的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练5-2】（多选）已知随机变量
的概率密度函数为
，且
的
极大值点为
，记
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3】（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包
装食盐质量服从正态分布
（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随
机变量x 服从正态密度函数
，其中
，则（ ）
附：随机变量
，则
，
，
．
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%
B．生产线乙的食盐质量
C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异
常是合理的
题型6 根据正态分布的对称性计算
例6-1 已知随机变量
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．16
例6-2 已知随机变量
，若
，
，
，则
的最
小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1】设随机变量
，若
，则
.
【变式训练6-2】已知随机变量
，
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-3】若随机变量
，且
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
题型7 正态分布的均值与方差
例7-1 近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台
为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200 名学生的
化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6 组：
，
，
，
，
…
，统计
结果如下面的频数分布表所示．
组别
频数
20
30
40
60
30
20
(1)现利用分层随机抽样的方法从前3 组中抽取9 人，再从这9 人中随机抽取4 人调查其成绩不理想的原
因，设这4 人中来自前2 组的人数为
，求
的分布列和期望．
(2)高一学生的这次化学成绩
近似服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
，
近似为样本的
标准差，并已求得
．
（
）试估计这些学生这次化学成绩在区间
ⅰ
内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表）．
（
）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如
ⅱ
下：
方案1：每人均赠送25 小时学习视频．
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19 分的学生赠送40 小时的学习视频，化学成绩在
内
的学生赠送30 小时的学习视频，化学成绩高于84.81 分的学生赠送10 小时的学习视频．问：哪种方案该
平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明．
参考数据：若
，则
，
．
例7-2 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一
批零件的内径进行测量，统计绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求
的值以及这批零件内径的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4 个，记内径在区间
内的零件个数为
，求
的
分布列以及数学期望；
(3)已知这批零件的内径
（单位：mm）服从正态分布
，现以这批零件内径的平均数
作为
的
估计值，这批零件内径的标准差作为
的估计值，已知的近似值为0.105，则在这批零件中随机抽取
200 个，记内径在区间
上的零件个数为
，求
的方差．
参考数据：若
，则
，
，
．
【变式训练7-1】从某企业生产的某种产品中随机抽取1000 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量
结果得如下频率分布直方图：
(1)求这1000 件产品质量指标值的样本平均数
（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．
(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值
服从正态分布
，其中
近似为样本平均
数
，
近似为样本方差
，已知的估计值为12.61.
（
）试估计这批产品质量指标值在
ⅰ
的数量；
（
）为监控该产品的生产质量，每天抽取
ⅱ
10 件产品进行检测，若出现了质量指标值在
，
之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上
述监控生产过程方法的合理性．
参考数据：若
，则
，
，
，
．
【变式训练7-2】某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组
人.每首参赛歌曲都需要
位评委打分（满分为
分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的
个分数中去掉一个最高分，去
掉一个最低分，可求出剩余
个有效得分的平均分
，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分
.
参赛选手该歌曲的最终得分为
.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到
如下茎叶图.
(1)计算
、
两小组各自有效得分的均值
、
及标准差
、
；
(2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分
散.利用（1）的计算结果推断
、
两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由；
②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分
；
(3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中
位评委所打分数大致服从正态分布
，试估计
位评委中，打分在分以上的人数.
参考数据：①
组
名评委打分总和为
，
组
名评委打分总和为
；
；
；
②若
，则
，
，
.
【变式训练7-3】某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下
统计数据：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码t
1
2
3
4
5
报考人数y
30
65
95
135
175
(1)经分析，y 与t 存在显著的线性相关性，求y 关于t 的线性回归方程
，并预测2025 年的报考人
数；
(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布
，录取方案：总分在400 分以上的直接
录取；在
之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355 分的不予录取.请预测2025 年报考该
专业考生中被录取的人数（最后结果四舍五入，保留整数）.
参考数据：
.
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
，若随机变量
，则
，
，
.
题型8 3
决策
例8-1 在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为
（单位：
，下同），且
.
(1)若出产这样的成品圆钢
根，试估计长度在
内的圆钢根数；
(2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取
根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间
，另一根
的长度在区间
内的概率（精确到
）.
参考数据：若
，则
例8-2 某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，
规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失
败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为
，第二关通过的概率为
，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450 分，现要根据得分给共2500 名参加者中得分前
400 名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171 分，351 分以上共有57 人，已知甲的得分为270 分，问甲能否获得奖
励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430 分，而乙告诉丙：这次闯关活动平均分数为
“
201 分，351 分以上共有57 人，请
”
结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量
，则
；
；
.
【变式训练8-1】近期，广西军训冲上了热搜，军训项目包括无人机模拟轰炸、战场救护、实弹打靶、坦
克步兵同步行军等.十万学生十万兵，无惧挑战、无惧前行，青春正当时.为了深入了解学生的军训效果，
某高校对参加军训的2000 名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取100 名军训学
生，对其测试成绩（满分：100 分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.
(1)根据频率分布直方图，求出
的值并估计这100 名学生测试成绩的平均数（单位：分）.
(2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10 千米拉练
实弹射击
伤
”“
”“
病救援，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励
”
300 元、200 元、100 元，不通过则不奖励.学
生甲在每个环节中通过的概率依次为
，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在
这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量
，求
的分布列和数学期望
.
(3)若该高校军训学生的综合成绩
近似服从正态分布
，其中
近似为样本平均数，规定军训成
绩不低于98 分的为优秀标兵，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）
“
”
.
参考数据：若
，则
，
，
.
【变式训练8-2】新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文数学外语，这三门
､
､
科目是必选的；“1”指的是要在物理历史里选一门；
､
“2”指考生要在生物学化学思想政治地理
､
､
､
4 门中选
择2 门.
(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000 名参加语数
外的网络测试满分
､
450 分，假设该次网络测试成绩服从正态分布
.
①估计5000 名学生中成绩介于120 分到300 分之间有多少人；
②某校对外宣传我校
“
200 人参与此次网络测试，有10 名同学获得430 分以上的高分，请结合统计学知识
”
分析上述宣传语的可信度.
附：
，
，
.
【变式训练8-3】
年
月
日
时
分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天
舱的重要结构件导轨支架采用了
打印的薄壁蒙皮点阵结构.
打印
是快速成型技术的一种，它是
一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技
术.随着技术不断成熟，
打印在精密仪器制作应用越来越多.某企业向一家科技公司租用一台
打印设
备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台
打印设备打印出品的零件内径（单位：
）
服从正态分布
.
(1)若该台
打印了
件这种零件，记
表示这
件零件中内径指标值位于区间
的产品件数，
求
；
(2)该科技公司到企业安装调试这台
打印设备后，试打了个零件.度量其内径分别为（单位：
）：
、
、
、
、
，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：
，
，
，
1．（多选）（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）随着一带一路国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动
“
”
茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入
的样本均值
，样本方差
，已知该种植区以往的亩收入
服从正态分布
，假设推
动出口后的亩收入
服从正态分布
，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布
，
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为
.假定甲、乙两
位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（
）用
Ⅰ
表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量
的分布列和数学期望；
（
）设
Ⅱ
为事件上学期间的三天中，甲同学在
“
7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的天
数恰好多2”，求事件
发生的概率.
3．（2018·全国I 卷·高考真题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱
件，每一箱产品在交付用户之前要
对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取
件作检验，再根据
检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为
，且各件产品
是否为不合格品相互独立．
（1）记
件产品中恰有
件不合格品的概率为
,求
的最大值点
；
（2）现对一箱产品检验了
件，结果恰有
件不合格品，以（1）中确定的
作为
的值．已知每件产
品的检验费用为
元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付
元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
，求
;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
1．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0 出发，每隔
等可能地向左或向右移动一个单位，共
移动6 次，则：
（1）事件质点回到原点的概率为
“
”
；
（2）事件质点位于
“
4 的位置的概率为
”
.
2．一个车间有3 台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X
的分布列.
（1）假设这3 台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；
（2）这3 台车床中有A 型号2 台，B 型号1 台，A 型车床发生故障的概率为10%，B 型车床发生故障的概
率为20%.
3．已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n 门大炮同时对某一目标各射击一次．
（1）当
时，求恰好击中目标3 次的概率（精确到0.001）；
（2）如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？
4．一份某种意外伤害保险费为20 元，保险金额为50 万元．某城市的一家保险公司一年能销售10 万份保
单，而需要赔付的概率为
．利用计算工具求（精确到0.0001）：
（1）这家保险公司亏本的概率；
（2）这家保险公司一年内获利不少于100 万元的概率．
5．某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正念分布
．如果按照16%，34%，34%，16%的比例
将考试成绩分为A，B，C，D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）
