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专题4.2.3 二项分布与超几何分布
教学目标
1．准确理解n 次独立重复试验的定义及“相互独立、结果唯一、概率恒定” 三大特
点，清晰掌握二项分布与超几何分布的核心定义及适用场景；
2．熟练掌握二项分布的概率计算公式，能准确求解“恰好发生k 次”的概率；掌握超
几何分布的概率计算逻辑；
3．深入理解二项分布与超几何分布的核心区别与联系，能根据实际问题的抽样方
式、总体规模等特征，精准选择合适的分布模型。
教学重难点
重点：n 次独立重复试验的三大特点；二项分布、超几何分布的定义及概率计算公
式；
两者核心区别
难点:实际问题中根据抽样是否放回、总体规模大小，准确判断适用二项分布还是超几
何分布
知识点01
次独立重复试验
在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．
特点：
①各次之间相互______；
②每一次试验只有______种结果，即要么发生，要么不发生；
③每一次试验中各事件发生的概率都是______的．
【即学即练】
1．位于坐标原点的一个点
按下述规则移动：
每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的
概率为
.那么
移动4 次后位于点
的概率是 .
2．某品牌手机发布时市场售价为3200 元/部，以后每4 个月降价1 次，其中每部降价200 元的概率为
，
每部降价100 元的概率为
，则一年后该品牌手机市场售价为2800 元/部的概率为 ．
知识点02 二项分布
定义：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p，此时
称随机变量X 服从______，记作
，并称p 为成功概率.
在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为
______
【即学即练】
1．若随机变量
服从二项分布
，则
．
2．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四
家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4 名参加保险人员所在地
区有A，B，C 三家社区医院，并且他们的选择相互独立.设4 名参加保险人员选择A 社区医院的人数为X，
求X 的分布列.
知识点03 超几何分布
①定义：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则
______
，
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且
n，M，N∈N*，即如果随机变量X 的分布列
具有下表形式
X
0
1
…
m
P
…
则称随机变量X 服从超几何分布．
【即学即练】
1．下列随机变量中，服从超几何分布的有 ．（填序号）
①在10 件产品中有3 件次品，每次随机取1 件且不放回，共取4 次，记取到的次品数为X；
②从3 台甲型电视机和2 台乙型电视机中任取2 台，记X 表示所取的2 台电视机中甲型电视机的台数；
③一名学生骑自行车上学，途中有6 个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X．
2．某小组有男生4 名，女生3 名，若从这7 人中任选3 名代表，记选出的代表中男生人数为
，则
．
知识点04 二项分布和超几何分布区别和联系
二项分布
超几何分布
二项分布是______抽样问题，在每次试验中某一事件
发生的概率是______的
超几何分布是______抽样问题，在每次试验中某一事
件发生的概率是______的
不需要知道总体的容量
需要知道______的容量
当总体的容量______时，超几何分布近似于二项分布
【即学即练】
1．分别指出下列随机变量服从什么分布：
(1)即将出生的100 个新生婴儿中，男婴的个数X；
(2)已知某幼儿园有125 个孩子，其中男孩有62 个，从这些孩子中随机抽取10 个，设抽到男孩的个数为
X．
题型01 n 重伯努利试验的概率求法
【例1】在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后比赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获
得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为
，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则
甲在比赛中以3:1 获得冠军的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】一只青蛙在正方形
的四个顶点间跳跃，每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的
两个顶点之一，且各次跳跃是独立的．若青蛙第一次跳跃前位于顶点
，则它第6 次跳跃后恰好仍位于顶
点
的概率为 ．
【变式1-1】甲、乙两位同学进行五子棋比赛，约定谁先胜3 局就赢得比赛(单局中无平局)．若甲每局获胜
的概率为
则第4 局比赛刚好结束的概率为 (用数字作答)．
【变式1-2】阅兵式上，某型防空导弹的拦截成功率为0.8，若有3 枚该型导弹同时对同一目标进行拦截，
则至少有2 枚导弹成功拦截目标的概率为 ．（用小数表示）
【变式1-3】小明参加投篮比赛，每次投中的概率为
，且每次是否投中相互独立．
(1)若规定连续两次未投中就停止投篮，求小明恰好投篮4 次停止投篮的概率；
(2)求小明投篮5 次投中3 次，且3 次中有且仅有2 次是连续投中的概率．
重伯努利试验概率求法步骤：①依据
重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为
重伯努利试验；②
判断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据
重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件加
法公式(或独立事件概率乘法公式)计算.
题型02 二项分布的概率计算
【例3】设
，且
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】将一枚均匀的硬币投掷5 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是 .
【变式2-1】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点
出发，每隔1 秒等可能地向左或向右移动1 个
单位.设移动
秒后质点所在位置对应的实数为随机变量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式2-2】某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600 元即可获得抽奖券1
张，每张抽奖券中奖的概率均为
，若获奖，则可获得价值150 元的现金券．已知小王在该商场购买了价
值3800 元的手机，则小王得到750 元现金券的概率为 ．
【变式2-3】某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1 到4 的四个箱子中随机放入奖品，每个箱
子中放入的奖品个数
满足
，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：
当箱子中奖品的个数超过3 时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同
学依次从1 到4 号箱子中取奖品，4 个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2 个奖品的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 二项分布模型的应用
【例5】已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的
比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3 个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2 个轻
水分子的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王
的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等
马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利，
(1)求田忌获胜的概率；
(2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概
率.
【变式3-1】下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，
小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次
碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，
，6，用
表示小球落入格子的号码，假定底部6 个格子足够长，投入160 粒小球，则落入3 号格的小
球大约有 ．
【变式3-2】已知兰溪每次投掷飞镖中靶的概率为0.2，若兰溪连续投掷飞镖
次，要使飞镖最少中靶一次
的概率超过90%，至少需要投掷飞镖 次.（参考数据：
）
【变式3-3】富贵本无根，尽从勤里得．”5 月1 日是国际劳动节，是全世界劳动人民共同的节日．千百年
来，人类用自己的劳动来改造世界，创造财富，改善生活．劳动永远是人类生活的基础，是创造人类文化
幸福的基础．“感动中国2023 年度人物”杨华德现任威远县农业农村局农业技术研究员．他曾担任水稻专
家兼组长，率领第三期、第四期及第五期农业专家组赴布隆迪执行“高级农业专家项目”．他和他的团队
带领布隆迪的农民于2021 年初开始种植新型农作物．根据各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格
均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：
该农作物亩产
量/kg
900
1200
该农作物市场价格（元人民
币/kg）
30
40
概率
0.5
0.5
概率
0.4
0.6
(1)设该农作物一亩的收入为
元，求
的分布列；
(2)从2021 年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中种植该农作物
一亩至少有两年的收入超过30000 元的概率．
1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其
一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了
次；
2.当
服从二项分布时,应弄清
中的试验次数
与成功概率
题型04 超几何分布的辨析
【例7】下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3 次，正面向上的次数X
B．从一批含有13 件正品、2 件次品的产品中，不放回地任取3 件，取得的次品数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1 次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4 个白球和3 个黑球，每次从中摸出1 球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数
【例8】下列说法正确的是（ ）
A．随机变量
表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3 的倍数的次数，则随机变量
服从二项分布.
B．有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，
表示n 次抽取中出现次品的件
数（
），则随机变量
服从二项分布.
C．有一批种子的发芽率为
，任取10 颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则
随机变量X 服从超几何分布.
D．某班级有男生25 人，女生20 人，选派4 名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随
机变量X 服从超几何分布.
【变式4-1】下列随机事件中的随机变量
服从超几何分布的是（ ）．
A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为
B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数
为
C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为
D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为
【变式4-2】（多选）下列随机事件中的随机变量X 不服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3 次，正面向上的次数X
B．从7 名男生与3 名女生共10 名学生干部中选出5 名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1 次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4 个白球和3 个黑球，每次从中摸出1 球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数
【变式4-3】写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的
是哪些？
(1)表示
次重复抛掷1 枚骰子出现点数是3 的倍数的次数.
(2)有一批产品共有
件，其中次品有
件（
，采用有放回抽取方法抽取
次
，抽出的
次品件数为
.
(3)有一批产品共有
件，其中
件为次品，采用不放回抽取方法抽
件，出现次品的件数为
.
题型05 利用超几何分布求概率
【例9】盒中有10 个玩具，其中有3 个是坏的，先从盒中随机地抽取4 个，则下列事件概率是
的是
（ ）
A．恰有1 个是坏的
B．4 个全是好的
C．恰有2 个是坏的
D．至多有2 个是坏的
【例10】一个袋子中装有除颜色外完全相同的
个红球和
个白球，从中一次性随机摸出个球，用
表
示这个球中白球的个数，则下列概率中等于
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】某学习小组有男生4 人，女生3 人，现需从中抽取2 人参加学校开展的AI 人工智能学习，则
恰有一名男生参加的概率为 ；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI 人工智能学习的
概率为 .
【变式5-2】一箱苹果共有12 个苹果，其中有
个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3 个．恰有2
个烂果的概率为
，则
．
【变式5-3】如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7 颗算珠，用梁隔开，梁上面2 颗叫上
珠，下面5 颗叫下珠，若从某一档的7 颗算珠中任取3 颗，记上珠的个数为X，则
．
题型06 利用超几何分布求分布列
【例11】某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8 个项目进入最终角逐，其
中科技类项目5 个，文创类项目3 个.从上述8 个项目中随机抽取2 个进行路演展示.
(1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率；
(2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为
，求
的分布列.
【例12】2017 年5 月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫
码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对
两个公司的扫码支付准备从国内
个人
口超过1000 万的超大城市和 8 个人口低于100 万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2 个城
市，全是小城市的概率为
.
(1)求
的值；
(2)若一次抽取3 个城市，则：
①假设取出小城市的个数为
，求
的分布列；
②取出3 个城市是同一类城市求全为超大城市的概率.
【变式6-1】某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000 名学生在2023 年最后一
周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．若直方图中
成等差数
列，时长落在区间
内的人数为200．
(1)求出直方图中
的值；
(2)估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)从参加课外兴趣班的时长在
和
的学生按照分层抽样的方法随机抽取6 人进行问卷调查，
再从这6 人中随机抽取2 人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2 人中参加课外兴趣班的时长在
的人数
的分布列．
【变式6-2】现有10 件分别来自甲、乙、丙三个车间的某批产品，其中甲车间有5 件，乙车间有3 件，丙
车间有2 件，从这10 件产品中任选3 件参加展出．
(1)求选出的3 件产品来自同一车间的概率；
(2)设随机变量X 表示选取的产品是来自乙车间的件数，求X 的分布列．
【变式6-3】某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200 名学生进行调查，获取数据如下：
满意
度性别
满意
不满意
弃权
男生
80
30
10
女生
50
20
10
(1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；
(2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50 人中抽取5 人征求整改建议，再从这5 个人中随机抽取2 人参与
食堂的整改监督，则抽取的2 人中女生的人数X，求X 的分布列．
求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数
的值；②根据超几
何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列
题型07 二项分布与超几何分布的综合
【例13】课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x（
）个不同的
盒子，上面标有数字1，2，3，…，每个盒子准备装x 张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖
励”的字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样．第1 个盒子放有1 张“巨额奖励”，
张“谢谢
惠顾”，第2 个盒子放有2 张“巨额奖励”，
张“谢谢惠顾”，…，以此类推．游戏时，老师在所有
盒子中随机选取1 个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1 张卡片，抽取的卡片不再放回，连续
抽取3 次．
(1)若老师选择了第3 个盒子，
，记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X，求X 的分布列；
(2)若
，求该同学第3 次抽到“谢谢惠顾”的概率．
【例14】袋中有8 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取3 次，每次取1 个球．
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为
，求
的分布列；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为
，求
的分布列．
【变式7-1】我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010 年起连续12 年位居世界第一，主要产品产量稳
居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有
生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．
(1)现有旧设备生产的零件共7 个，其中直径大于10nm 的有4 个．现从这7 个零件中随机抽取3 个．记ξ 表
示取出的零件中直径大于10nm 的零件的个数，求ξ 的分布列．
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为
，每个零件是否合格相互独立．现任取6 个零件进行检测，
若合格的零件数η 超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率；
【变式7-2】水果按照果径大小可分为四类：标准果优质果精品果礼品果
､
､
､
.某采购商从采购的一批水果中
随机抽取100 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数个
10
25
40
25
(1)若将频率视为概率，从这100 个水果中有放回地随机抽取4 个，求恰好有2 个水果是礼品果的概率；
(2)用分层抽样的方法从这100 个水果中抽取20 个，再从抽取的20 个水果中随机地抽取2 个，用
表示抽
取的是精品果的数量，求
的分布列.
【变式7-3】为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，作为西北自然风光与丝路人文
历史大集合的青甘大环线再次引发热议.为了更好的提升服务，某地文旅局对到该地的
名旅行者进行
满意度调查，将其分成以下
组：
，整理得到如图所示的
频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中
的值；
(2)若将频率视为概率，从得分在
分及以上的旅行者中随机抽取人，用
表示这人中得分在
中的人数，求随机变量
的分布列；
(3)若将频率视为概率，从得分在
分及以上的旅行者中按比例抽取
人，再从这
人中一次性抽取人，
用
表示这人中得分在
中的人数，求随机变量
的分布列.
题型08 服从二项分布的概率最值
【例15】某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为 0.7，现进行
了
次打靶射击，其中打中十环的数量为
.
(1)若
，求恰好打中 2 次十环的概率；
(2)要使
的值最大，求
的值.
【例16】2025 年9 月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.
其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省
外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150 人，开展贵州文旅知识问答
活动，该活动共有
，
，
三道试题，全部答完后，至少答对2 道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.
假设每人答对这3 道试题的概率分别为
，
，
，且每人答对各道试题与否互不影响.
(1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率；
(2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有
个人的概率为
，求
取得最大值时
的值.
【变式8-1】甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为
，
乙每次投篮命中的概率为
，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投
2 个球，每投进一个球记1 分，不投进记
分．
(1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0 的概率；
(2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X．
①求
；
②若
，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续
轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量
为Y，当n 为何值时，
的值最大？
【变式8-2】某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，
已知该班共60 名学生，每次活动需40 人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、
随机地发给60 位学生家长中的40 人，且保证所发通知都能收到．
(1)求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率；
(2)设该班乙同学家长收到通知的次数为
，求
的分布列；
(3)设两次都收到通知的人数为变量
，则
的可能取值有哪些？并求出
取到其中哪一个值的可能性最大？
请说明理由．
【变式8-3】有一个装着5 个小球的箱子，其中白球3 个，红球2 个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛
掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该
试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题：
(1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率；
(2)求经过三次试验后，手上正好有1 个白球和1 个红球的概率；
(3)设第
次停止试验的概率为
，则当
取最大值时，求
的值．
一、单选题
1．2025 年2 月13 日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16 天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房
破百亿（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠
的海面与敖丙对抗.此时，每次挥动混天绫，哪吒有
的概率朝着敖丙方向前进一步.有
的概率向后退一步，
且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5 次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1 步处的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
2．一批零件共有10 个，其中有3 个不合格．随机抽取3 个零件进行检测，恰好有1 件不合格的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 处出发，每隔1 秒等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动5 次，则质点位于
的位置的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点
出发，每次向左移动的概率为
，向右移动的概率为
．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5 次移动后，该质点位与点的距离不大于一个单位的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．一个袋子中装有5 个白球，3 个黑球，从中任选4 个球，取到一个白球得1 分，取到一个黑球得3 分，
设得分为随机变量
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．一个袋子中有完全相同的
个红球，3 个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2 个球都
是红球的概率是
.现采取放回方式从中依次摸出3 个球，求恰有两次抽出红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n 门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一
次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：
，
）
A．5
B．6
C．7
D．8
二、多选题
8．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为
、
、
，现采用分层抽样的方法从中抽取
人，进行
某项兴趣调查.已知抽出的
人中有人对此感兴趣，有
人不感兴趣，现从这
人中随机抽取人做进一步
的深入访谈，用
表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ）
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为
人、人、
人
B．随机变量
C．随机变量
的数学期望为
D．若事件
“抽取的3 人都感兴趣”，则
9．某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
活动项目
篮球
轮滑
排球
跳绳
围棋
要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用
表示四人
中选择跳绳的人数之和，则（ ）
A．每位家长选择跳绳的概率为
B．
的可能取值有4 个
C．
D．
三、填空题
10．某工厂生产车间有日生产件数为95 件的“生产标兵”3 人，有日生产件数为55 件的“新手”2 人，从
这5 人中任意抽取2 人，则2 人的日生产件数之和为150 件的概率为 ．
11．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6 支气枪，其中有2 支气枪未经试射校正，有4 支气
枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中目标的概率为
0.4，某少年射手任取一支气枪进行1 次射击，射中目标的概率是： ；若此少年射手任取一支气枪
进行3 次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2 次射中目标的概率为 ．
12．某校有10 名同学进入“一带一路”知识竞赛的半决赛环节，半决赛设置
三道题目，选手按
的顺序回答题目，只要答对2 道题目，即可进入决赛，若每位选手答对
、
题目的概率分
别为
，且每道题目答对与否互不影响.设
人进入决赛的概率为
，当
取得最大值时，
.
四、解答题
13．为了了解学生普法教育情况，某学校组织了一次法律知识测试，现随机抽取了该校20 名学生的测试成
绩，得到如图所示的茎叶图：
(1)若测试成绩不低于90 分，则称为“优秀成绩”，求从这20 人中随机选取3 人，至多有1 人是“优秀成
绩”的概率；
(2)以这20 人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3 人，记
表示抽到“优
秀成绩”学生的人数，求
的分布列．
14．建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原
料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6 个，
其中3 个由工匠甲烧制，3 个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为
，
．
(1)求甲烧制的3 个建盏中至多有2 个成品的概率；
(2)设乙烧制的这3 个建盏中成品的个数为
，求
的分布列．
15．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3 局者获得比赛的胜利，比赛结束．除第五局甲队获胜的概率
外，其余每局比赛甲队获胜的概率都
．假设各局比赛结果互独立．分别求甲队以3 0∶，3 1∶，3 2∶胜利的
概率．
16．甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5 局3 胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是
，乙获胜的概
率是
，求：
(1)赛完4 局且甲获胜的概率；
(2)在第3 局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率．
17．某公司生产的某种产品按照质量标准分为一等品、二等品、三等品共3 个等级，采购商小李从该公司
生产的该种产品中随机抽取100 件，根据产品的等级分类得到如下数据：
等级
一等品
二等品
三等品
数量/件
40
30
30
(1)根据产品等级，按分层随机抽样的方法从这100 件产品中抽取10 件，再从这10 件产品中随机抽取3 件，
记这3 件产品中一等品的数量为X，求X 的分布列；
(2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3 件产品，求恰好有1 件三等品的概率；
(3)该公司提供该产品的两种销售方案供采购商小李选择，
方案一：产品不分类，售价均为21.5 元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级
一等品
二等品
三等品
售价/（元/件）
24
22
18
从采购商小李的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案?请说明理由.
18．玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本
地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成
品和废品两类，现有青花瓷6 个，其中3 个由工匠甲烧制，3 个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的
成品率分别为
，
．
(1)求甲烧制的3 个青花瓷中至多有2 个成品的概率；
(2)设乙烧制的这3 个青花瓷中成品的个数为
，求
的分布列．
19．一个箱子中装有大小质地完全相同的5 个小球，其中黑球3 个，红球2 个.每次从箱子里随机取出一个
小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面向上，小球留在手上；如果硬币出现反面向上，
小球放回箱子.重复以上操作，当箱中无小球时停止试验.试验刚开始时手上没有小球.
(1)求经过两次操作后，手上恰好有1 个黑球1 个红球的概率；
(2)求经过两次操作后，手上恰好有1 个黑球的概率；
(3)设第
次操作后停止试验的概率为
，求当
取最大值时，
的取值.
