文档文本内容
复习10 随机变量及其分布8 大考点
考点1 条件概率
考点2 独立性的乘法公式
考点3 求离散性随机变量的均值与方差
考点4 二项分布及其应用
考点5 二项分布中的最大概率问题
考点6 超几何分布及其应用
考点7 正态分布及其应用
考点8 几个分布的综合应用
考点1 条件概率
1．已知随机事件
相互独立，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为随机事件
相互独立，
所以
，
由
，
由
，
由
，
所以
，
故选：A
2．已知
，则
（ ）
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
【答案】B
【详解】根据条件概率公式，先求
： 由
，
得
.
再求
： 由
，
代入
，得
.
故选：B
3．（多选）甲罐中有5 个红球，5 个白球，乙罐中有2 个红球，8 个白球．先从甲罐中随机取出一球放入
乙罐，再从乙罐中随机取出一球．
表示事件“从甲罐取出的球是红球”，
表示事件“从甲罐取出的球
是白球”，
表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．
为对立事件
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即
，所以
为对立事件，故A
正确；
对于B，当
发生时，乙罐中有3 个红球，8 个白球，此时
，故B 正确；
对于CD，当
发生时，乙罐中有2 个红球，9 个白球，此时
，
所以
，
，
故C 正确，D 不正确.
故选：ABC
4．（多选）在某班中，男生占
，女生占
，在男生中喜欢体育锻炼的学生占
，在女生中喜欢
体育锻炼的学生占
，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（ ）
A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为
B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为
C．若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为
D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为
【答案】ABD
【详解】用
,
分别表示抽到学生是男生、女生，用
表示抽到的学生喜欢体育锻炼，
则
,
,
,
抽到男生且喜欢体育锻炼的概率为：
，故A 正确；
抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为：
，故B
正确；
抽到的学生不喜欢体育锻炼的概率为：
,
;
抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为：
,故C 错误；
抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为,
，
所以
,故D 正确；
故选：ABD.
5．甲、乙两个袋子中各有10 个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7 个红球，3 个黄球，乙袋中有8
个红球，2 个黄球．若从两个袋子中各任取1 个球，两球颜色相同的条件下，甲袋中取出黄球的概率为
．
【答案】
【详解】记事件
为取出的两球颜色相同，事件
为从甲袋中取出黄球，
则
，
，
所以
.
故答案为：
6．现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6 首歌曲和4 个小品，第二张节目单中有5 首歌曲和5 个小品.
(1)若从第1 张节目单中依次不放回地随机抽取2 个节目，求在第1 次抽到歌曲的条件下，第2 次抽到歌曲
的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1 或2，则从第1 张节目单中随机抽取1 个节目；若点数为3，4，5，
6，则从第2 张节目单中随机抽取1 个节目，求取到歌曲的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设事件
“第次抽到歌曲”（
），则
，
，
所以
；
故在第1 次抽到歌曲的条件下，第2 次抽到歌曲的概率为
；
（2）设事件
“取到歌曲”，事件
“掷出的点数为1 或2”，则事件
“掷出的点数为3，4，5，
6”，显然
与
为对立事件；
所以
，
，
，
；
由全概率公式得
.
所以取到歌曲的概率为
考点2 独立性的乘法公式
7．甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7 和0.6，两人各投篮一次，事件
为甲投中，事件
为乙投中．
“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件
互相独立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7 和0.6，
若“事件
互相独立”，则
，
若
，则事件
互相独立，
即“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件
互相独立”的充要条件，
故选：C
8．（多选）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面
体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件
为“两次记录的数字之和为奇数”；
事件
为“第一次记录的数字为奇数”；事件
为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是
（ ）
A．事件
与事件
是相互独立事件
B．事件
与事件
是互斥事件
C．
D．
【答案】AC
【详解】对于A，对于事件A 与事件B，可得
，
且
，
即事件A 与事件B 是相互独立事件，故A 正确；
对于B，事件
与事件
不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，
如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B 错误；
对于C，
与
相互独立，所以
，故C 正确.
对于D，因为
，
，
，
所以
，而事件
等价于事件
，
即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数，
可得
，故D 错误.
故选：AC.
9．天气预报中，在元旦假期，甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否
降雨相互之间没有影响，则至少有一个地区降雨的概率为 .
【答案】
/
【详解】至少有一个地区降雨的概率为
.
故答案为：
.
10．在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二
次闯关；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关
成功的概率都是0.8，乙每次闯关成功的概率都是0.5，假设甲､乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否
成功相互独立.
(1)甲第二次闯关获得奖品的概率；
(2)乙获得奖品的概率；
(3)求甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)0.99
【分析】
【详解】（1）设事件
“甲第次闯关成功”，
，
则
．
甲第二次闯关获得奖品事件为
且
与
相互独立，
所以甲第二次闯关获得奖品的概率为
．
（2）设事件
“乙第次闯关成功”，
，则
.
设事件
“乙获得奖品”，事件
“乙未获得奖品”，则
，
乙获得奖品的概率为
（3）事件
“甲获得奖品”，则事件
“甲未获得奖品”．
设事件
“甲和乙两人中至少一人获得奖品”，则
．
故甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率0.99．
11．为庆祝中华人民共和国成立76 周年，某中学举办“赓续中华文脉·厚植文化自信”有奖问答比赛活动.
某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关中华优秀传统文化知识的问题.已知甲同学回答正确这
道题的概率是
，甲、丙两位同学都回答错误的概率是
，乙、丙两位同学都回答正确的概率是
.若各
位同学回答是否正确互不影响.
(1)求乙、丙两位同学各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三位同学中不少于2 位同学回答正确这道题的概率
【答案】(1)
；
(2)
【分析】
【详解】（1）记“甲同学答对这道题”，“乙同学答对这道题”，“丙同学答对这道题”，分别为事件
，
，
，
则
，且有
，即
，
则解得
，
．
（2）由题意得有
个同学回答正确的概率如下，
为
，
有个同学回答正确的概率如下，
为
，
故这道题不少于
个同学回答正确的概率为
.
12．甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中10、9、8 环的概率分别为
、
、
，
乙一次射击命中10、9 环的概率分别为
、
．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，
每次射击也互不影响．
(1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；
(2)记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为
，求
的值，和X 对应的概率；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）设一次射击后，甲命中的环数为
，乙命中的环数为
，
则甲命中的环数不高于乙命中的环数为
；
（2）题意可知随机变量
的可能取值有17、18、19、20，
，
，
，
．
考点3 求离散性随机变量的均值与方差
13．已知随机变量X，Y 满足
，且随机变量X 的分布列如下：则随机变量Y 的方差
等于
.
0
1
2
【答案】
【详解】由随机变量的分布列的性质，得
，即
.
再由期望公式
，
所以
，
由方差的性质得
.
故答案为：
14．已知随机变量
的概率分布如表且
；则
﹔
1
2
4
0.4
【答案】
【详解】因为
，所以
，
所以
，
则
.
故答案为：15.
15．现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n 分别为第一次、
第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量
.
(1)求
和
的值；
(2)求X 的分布列和数学期望.
【答案】(1)
，
(2)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）由题意可得离散型随机变量X 表示连续两次投掷得到的朝上点数的差的绝对值，
连续投掷两次骰子，得到的点数共有36 种可能，
其中
可能情况有6 种，
故
．
其中
可能情况有10 种，
，
故
．
（2）由题意可得X 的可能取值有0，1，2，3，4，5，
的情况有
，8 种，
的情况有
，6 种，
的情况有
，4 种，
的情况有
，2 种，
所以
，
，
可得分布列如下：
X
0
1
2
3
4
5
P
故
．
16．某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有6 折、7 折、8 折、9 折的奖券各2 张，每张
奖券的大小形状都相同，每位顾客可以从中任取2 张奖券，最终餐厅将在结账时按照2 张奖券中最优惠的
折扣进行结算．
(1)在一位顾客结账时按照6 折结算的条件下，求该顾客抽到的2 张奖券的折扣不同的概率；
(2)若自助餐的原价为100 元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X 的分布列及数学期望
．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【分析】
【详解】（1）从8 张奖券中任取2 张，共有
种可能；
一位顾客结账时按照6 折结算，即至少抽到一张
折券，共有
种可能.
这13 种情况中，抽到的2 张奖券的折扣不同的情况共有
种.
所以在一位顾客结账时按照6 折结算的条件下，求该顾客抽到的2 张奖券的折扣不同的概率为
；
（2）由题可知
的取值可以是
.
，
，
，
.
所以X 的分布列为
60
70
80
90
所以X 的数学期望
．
17．2025 年9 月19 日～21 日，第10 届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025 年9 月1 日起，某市
市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于
为优级品，固形物含量低于
且不低于
为一级品，固形物含量低于
为二级品或不合格品.现有6 瓶水果罐头，已知其中2 瓶为优级品，4
瓶为一级品.
(1)若每次从中随机取出1 瓶，取出的罐头不放回，求在第1 次抽到优级品的条件下，第2 次抽到一级品的
概率；
(2)对这6 瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6 瓶罐头的品级时终止检验，记检验次数
为
，求随机变量
的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）设第1 次抽到优级品为事件
，第2 次抽到一级品为事件
，
则
，
所以
.
故在第1 次抽到优级品的条件下，第2 次抽到一级品的概率为
.
（2）根据题意可知
的取值可能为2，3，4，5.
则
，
则
的分布列为
2
3
4
5
P
所以
.
18．一个抽奖箱有10 张奖票，其中5 张写有“谢谢”，2 张写有“再抽一次”，2 张写有“2 元”，1 张写
有“5 元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；
如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2 元”或“5 元”的奖票，
即可按金额兑奖.
(1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5 元的概率；
(2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2 元的概率；
(3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X 的分布列，均值及方差.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
，
【分析】
【详解】（1）小李抽奖获得5 元有三种情况：第一次抽到“5 元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽
到“5 元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5 元”；
则所求概率为
.
（2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2 元奖”，
，
，
由条件概率得
，即已知小李抽奖时获了奖，获得2 元的概率为
.
（3）依题意得X 的所有取值为0，2，5
.
.
.
X 分布列：
X
0
2
5
P
，
.
考点4 二项分布及其应用
19．某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为
，至少答对两题才
能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设答对的题目数量为
，则
，
.
故选：A.
20．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点
出发，每次向左移动的概率为
，向右移动的概率
为
．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5 次移动后，该质点位于
的位置，则
．
【答案】
【详解】设该质点向右移动的次数为
，则
，
，
若
，则满足条件的
的值为
，对应
的取值分别为
.
所以
.
故答案为：
.
21．若随机变量
，则
．已知随机变量
，且
，则
．
【答案】
【详解】空1：由题意可得
；
空2：由
，且
，即
，解得
.
故答案为：
；
.
22．甲、乙两人各进行3 次射击，甲每次击中目标的概率是
，乙每次击中目标的概率是
，假设两人是
否击中目标相互之间没有影响.
(1)设甲击中目标的次数为
，求
的分布列；
(2)求甲恰好比乙多击中目标2 次的概率.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）由题可知
的所有可能取值为0，1，2，3，且
，
，
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
（2）设甲恰好比乙多击中目标2 次为事件A，甲击中目标2 次且乙击中目标0 次为事件
，甲击中目标3
次且乙击中目标1 次为事件
，
则
，
所以甲恰好比乙多击中目标2 次的概率为
．
23．某罐中装有除颜色外完全相同的4 个红球和3 个绿球，每次随机摸出1 个球．
(1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球
的概率；
(2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1 分，摸得绿球记0 分，设四次摸球总得分为
，
求
的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)
的分布列为
0
1
2
3
4
的数学期望是
.
【分析】
【详解】（1）记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B.
.
所以
.
故在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率为
.
（2）由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为
，摸到绿球的概率为
.
记四次摸球活动中，摸到红球的次数为
，则
.
因为四次摸球总得分为
，所以
.所以
.
所以
，
，
，
，
.
所以
的分布列为
0
1
2
3
4
所以
的数学期望是
.
24．某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8 个颜色大小相同的小
球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3 个，标有“哪”“吒”字样的小球
共5 个．每位观众将从容器中一次性抽取2 个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若
组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍．
(1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？
(2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望；
(3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3 个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个
“哪”，求他获奖的概率．
【答案】(1)1 个或4 个
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)答案见解析
【分析】
【详解】（1）设标有“悟”字样的小球有
个，标有“哪”字样的小球有
个，
一位观众获一等奖为事件A，获二等奖为事件B，
则由题意得
，
，
所以
，
因为
或2；解得
或4．所以标有“哪”字样的小球可能有1 个或4 个．
（2）由（1）知，某一位观众中二等奖的概率为
，设三位观众中二等奖的人数为
，
则
，
，
，
，
，
则X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以
．
（3）①若有1 个“哪”和4 个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2
个小球，要么是组成“悟空”，或者是至少1 个“吒”，
此时获奖的概率为
．
②若有4 个“哪”和1 个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2 个小
球，要么是组成“悟空”，或者是有1 个“吒”，
此时获奖的概率为
．
考点5 二项分布中的最大概率问题
25．抛掷一枚质地均匀的硬币8 次，若正面朝上
次的概率最大，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【详解】设抛掷一枚质地均匀的硬币8 次，正面朝上
次，则
，
则正面朝上
次的概率为
，
所以
.
故选：A.
26．某人在
次射击中击中目标的次数为
，且
，记
，
，若
是
唯一的最大值，则
的值为（ ）
A．1.28
B．1.6
C．6.4
D．8
【答案】A
【详解】
，
，
，
若
是唯一的最大值，则
所以
解得
．
因为
，
，
，
，
．
．
故选：A．
27．某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200 元的顾客的频率为
，用频率估计
概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20 人赠送小礼品，若这20 人中有
人消费超过200 元的概率最大，
则
的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．8 或9
【答案】B
【详解】由题知抽到消费超过200 元的人数
，
，
则
，又这20 人中有
人消费超过200 元的概率最大，
所以
，
即
，解得
，
又
，所以
.
故选：B.
28．（多选）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号
次，每次发射信号
“1”的概率均为
．记发射信号“1”的次数为
，
为奇数的概率为
，
为偶数的概率为
，则下列
说法正确的有（ ）
A．当
时，
随着
的增大而增大
B．当
，
时，
C．当
时，
D．当
，
时，当且仅当
时概率最大
【答案】ACD
【详解】由题意得发射信号“1”的次数
服从二项分布，即
．
对于A，由二项分布的均值公式
知，当概率
一定时，
越大则
的值越大，正确．
B，当
时，
可取
，
所以
，
因为
，所以
．
C，当
时，即每次发射信号“1”和发射信号“0”的概率相等，
所以
为奇数的概率和
为偶数的概率相等，即
，正确.
D，当
，
时，
，
，
，
当
时，由
得
解得
，所以当且仅当
时概率最大，正确．
故选：ACD．
29．甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为
，
乙获胜的概率为
，比赛分出胜负时结束．
(1)若
，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率；
(2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且
，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说
明理由；
(3)设
，已知甲、乙进行了
局比赛且甲胜了8 局，试给出
的估计值（
表示
局比赛中甲胜的局数，
以使得
最大的
的值作为
的估计值）．
【答案】(1)
(2)采用五局三胜制甲获胜的概率更大，理由见解析
(3)10
【分析】
【详解】（1）设事件
为“比赛采用三局两胜制乙获胜”．
因为每局比赛乙获胜的概率为
，
所以
．
（2）在五局三胜制中甲获胜的概率
．
在三局两胜制中甲获胜的概率
．
．
当
时，
，故采用五局三胜制甲获胜的概率更大．
（3）根据二项分布得
，可知
．
令
，则
．
令
，解得
，当
时，可得
；
令
，解得
，当
时，可得
．
故当
时，
最大，即
时，
的值最大，所以
的估计值为10．
考点6 超几何分布及其应用
30．某年级7 个班级中有3 个是先进班级，现从中任意选3 个班级，则下列事件中概率等于
的是（ ）
A．至少有1 个先进班级
B．有1 个或2 个先进班级
C．有2 个或3 个先进班级
D．恰有2 个先进班级
【答案】B
【详解】用X 表示选取的3 个班级中先进班级的个数，则X 服从超几何分布，
故
，
所以
，
，
，
对于A，因为
，故A 不正确；
对于B，因为
．故B 正确；
对于C，因为
.故C 不正确；
对于D，因为
，故D 不正确.
故选：B．
31．（多选）一个袋子中有5 个大小相同的球，其中红球3 个，白球2 个，现从中不放回地随机摸出3 个
球作为样本，用随机变量X 表示样本中红球的个数，用随机变量
（
，2，3）表示第i 次抽到红球的
个数，则下列结论中正确的是（ ）
A．X 的分布列为
，
，2，3
B．X 的方差
C．
D．
【答案】BCD
【详解】由题意，随机变量X 服从超几何分布，即
，
，
，2，3，故A
错误；
根据超几何分布的方差的计算公式得，
，所以
，
故B 正确；
根据全概率公式，
，故C 正确；
根据条件概率，可得
，故D 正确．
故选：BCD.
32．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2 个红
球和3 个白球，每位员工从中摸出2 个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值
百元代金券；摸到两白
球，可获得价值
百元代金券；摸到两红球，可获得价值
百元代金券（
均为非负整数）．已知每位
员工平均可得5.4 百元代金券，则运气最好者获得至多 百元代金券．
【答案】18
【详解】设抽奖一次可获得
百元代金券，则
的所有可能取值为
，
摸到一红球一白球的概率
，
摸到两白球的概率
，
摸到两红球的概率
．
则
的分布列如下：
a
b
，即
，
．
由题意知，运气最好者获得
百元代金券，
则
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
即
的最大值为18.
故答案为：18．
33．袋中有8 个大小相同的球，其中有3 个黄球、5 个白球，从中随机地连续抽取2 次，每次取1 个球．
(1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为
，求
；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为
，求
的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列间解析；
.
【分析】
【详解】（1）每次抽取后都放回，则取到黄球的个数
，
所以
，
，
所以
.
（2）每次抽取后都不放回则取到黄球的个数
的值可能为：0,1,2.
且
，
，
.
所以
的分布列为：
0
1
2
所以
.
34．高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中
有1 种汤类，3 种炒菜类，3 种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）．
(1)小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？
(2)用随机变量
表示所选美食中米面类的数量，求
的分布列和期望．
【答案】(1)9
(2)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）汤有一种选择；米面类美食三种里选择一种方法数为
；其他菜类3 种里选择2 种方法数
为
；
不同组合共计
（种）
（2）
的可能取值有0、1、2、3；
分布列为：
X
0
1
2
3
所以
；
35．3 月14 日某中学进行了以“数学
对”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行.初赛环节规则
如下：每位选手从10 道题中随机抽取3 道题作答，3 道题全部答对的选手晋级决赛.决赛环节进行三轮抢答，
规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10 分，抢到题目但回答错误扣5 分，该轮未参与抢答或未
抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰．
(1)若某选手对于初赛环节中的10 道题目，只有4 道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列
和期望；
(2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为
，能回答正确的概率为
，求甲在决赛中总得分
大于10 分的概率．
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
【分析】
【详解】（1）设该选手初赛中答对题目数量为
，
的所有可能取值为
，
所以
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
所以
；
（2）甲在决赛中总得分大于10 分的情况有以下三种情况：
得15 分（抢到3 次且答对2 次，答错1 次），得20 分（抢到2 次且答对2 次，1 次没抢到），得30 分
（抢到3 次且答对3 次），
令甲每轮抢到题目且答对为事件
，则
，
令抢到题目且答错的概率为事件
，则
，
令没抢到题目为事件
，则
，
得15 分的概率
，得20 分的概率
，
得30 分的概率
，
所以甲在决赛中总得分大于10 分的概率
.
36．某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10
箱进行检测，其中有6 箱为一等品．
(1)现从这10 箱产品中随机抽取3 箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率；
(2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3 箱，用
表示抽到一等品的箱数，求
的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件
，
则
．
（2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为
，
因为
可能的取值为0，1，2，3，且
服从二项分布
所以
，
，
，
，
所以随机变量
的分布列如下：
数学期望
．
考点7 正态分布及其应用
37．某工厂生产的产品质量指标服从正态分布
，从该工厂生产的产品中随机抽取1000 件，质量
指标在
内的产品有680 件，则质量指标大于110 的产品件数大约为（ ）件
A．160
B．180
C．320
D．340
【答案】A
【详解】由产品质量指标
，且
，
∵
，∴
，
∴质量指标大于110 的产品件数大约为
(件).
故选：A
38．据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､
速度､耐力等）自2000 年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，
并向好的方向发展，到2019 年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､
近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，
学校在一次百米短跑测试中，抽取200 名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所
示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.
(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩
，其中
近似为女生短跑平均成绩
近似为样本方差
，经计算得
，若从该校女生中随机抽取10 人，记其中短跑成绩在
内的人数为
，求
（结果保留2 个有效数字）.
附参考数据：
，随机变量
服从正态分布
，则
.
【答案】(1)16.16
(2)0.073
【分析】
【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：
.
（2）由题意知
，
则
，
故该校女生短跑成绩在
内的概率
，
由题意可得
，
所以
，
，
所以
.
39．某班有60 名学生，一次考试后数学成绩
，若
，则估计该班学生
数学成绩在120 分以上的人数为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】B
【详解】∵ 考试的成绩
服从正态分布
，
∴ 考试的成绩
关于
对称，
，
，
∴ 该班学生数学成绩在120 分以上的人数为
.
故选：B.
40．（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布
的随机变量
只取
中的值，简
称为
原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布
（单位：毫米），
则下列说法正确的是（ ）（参考数据：
，
）
A．
B．若
，则
C．
D．若抽检的10 个样本中有1 个样本的长度为45 毫米，应对生产线进行检修
【答案】ABD
【详解】A 选项：由题可得均值
，方差
，故A 正确；
B 选项：
与
关于
对称，
，故B 正确；
C 选项：
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，故C 错误；
D 选项：根据
原则，零件长度大于42 的概率应该小于
，
现在抽检的10 个样本中有1 个样本的长度为45 毫米，其概率为
，这远远大于
，
故应该对生产线进行检修，故D 正确．
故选：ABD．
41．（多选）体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作
用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩
与高二男生的成绩
均服从
正态分布，且
，则下列选项不正确的是（ ）
A．
B．
的分布比
的分布更集中
C．
D．
【答案】BC
【详解】由
可知
，故A 正确；
因为
，所以
的分布比
的分布更分散，故B 不正确；
由
可知，
，
故C 不正确，
由
可知
，
所以
，故D 正确．
故选：BC
42．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，
为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出的贡献．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻
的平均亩产量，得到亩产量X（单位：kg）服从正态分布
．已知当
时，有
，
，
．
(1)求该地水稻的平均亩产量和方差；
(2)求该地水稻亩产量超过638kg 且低于678kg 的概率．
【答案】(1)
；400；
(2)0.1573。
【分析】
【详解】（1）因为该地杂交水稻的亩产量X（单位：kg）服从正态分布
，
所以该地水稻的平均亩产量
，方差为400.
（2）由（1）知
，
则
.
所以该地水稻亩产量超过638kg 且低于678kg 的概率是0.1573.
43．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10 个，测量其内径的数据如下（单位：
）：192，192，
193，197，200，202，203，204，208，209．设这10 个数据的均值为
，标准差为
．
(1)求
和
；
(2)已知这批零件的内径
（单位：
）服从正态分布
，若该车间又新购一台设备，安装调试后，
试生产了5 个零件，测量其内径（单位：
）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负
责人，以原设备生产性能为标准，试根据
原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若
，则：
，
，
，
．
【答案】(1)
，
(2)这台设备需要进一步调试，理由见解析
【分析】
【详解】（1）
,
，
故
；
（2）由题意得：
，
，即
，
所以五个零件的内径中恰有1 个不在
的概率为
，
又试产的5 个零件中内径出现了1 个不在
内，
所以小概率事件出现了，根据
原则，这台设备需要进一步调试.
考点8 几个分布的综合应用
44．已知随机变量
，
，且
，若
，则
（ ）
A．0.09
B．0.82
C．0.91
D．0.21
【答案】B
【详解】由题意得
，则
，
因为
，所以
，
即
，解得
，
由题意得
，
由对称性可得
，
则
，故B 正确.
故选：B
45．某校高二期末考试的数学成绩（满分150 分）
，
，
.将数学成绩从高到低按照10%，30%，20%，40%的比例分为
，
，
，
四个等级.
(1)试确定各个等级分数对应的区间；
(2)按照数学成绩的等级进行分层，用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取了10 名学生，现从这10 名学
生中随机抽取3 名学生，设
表示这3 人中数学成绩等级为
的学生人数，求
的分布列及数学期望.
【答案】(1)
等级分数对应的区间为
，
等级分数对应的区间为
，
等级分数对应的区
间为
，
等级分数对应的区间为
.
(2)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）由题意得
，
，
，
所以
等级分数对应的区间为
，
等级分数对应的区间为
，
等级分数对应的区间为
，
等级分数对应的区间为
；
（2）这10 名学生中数学成绩等级为
的学生人数为
，
其他等级的学生人数为
.
的可能取值为0，1，2，
，
，
，
则
的分布列为
0
1
2
故
.
46．某地区进行了一次数学联考，现分析成绩，我们假定90 分（含90 分）以上算及格，对甲、乙两所学
校进行统计，甲学校及格率为80％，乙学校及格率为90％．若将两所学校的学生成绩混合放在一起，则及
格率为88％．
(1)求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比；
(2)从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率；
(3)从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3 份，用频率估计概率，记这3 份成绩来自甲学校的份数为
X，求X 的分布列和数学期望．
【答案】(1)
；
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）设甲学校参加考试的人数为m，因为及格率为80％，所以甲学校及格的人数为
，
设乙学校参加考试的人数为n，因为及格率为90％，所以乙学校及格的人数为
，
当两所学校参加考试的学生混合在一起后，总人数为
，及格率为88％，
所以甲、乙两所学校及格人数为
，
根据题意，
，
化简得
，即
，
所以甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比为
．
（2）设事件
“任取一份成绩，该成绩来自乙学校”，
事件
“任取一份成绩，该成绩为及格”，
由（1）知，
，
％，
％，
所以所求概率
．
（3）由（1）知，从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取一份成绩，该成绩来自甲学校的概率是
，
根据题意，X 的可能取值为0，1，2，3，且
，
，
，
，
，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
X 的数学期望
．
47．某高科技公司在产品研发的过程中，为了研究芯片性能指标
与原材料中某种关键成分的含量
（单
位：
）之间的关系，研发团队进行了一系列实验，现随机抽取了部分实验数据如下表：
2
4
6
8
10
30
40
60
50
70
(1)请根据上述数据，求出
与
的线性回归方程
；（参考公式：
，
）
(2)经研究发现，该芯片在正常工作时，其性能指标
服从正态分布
，其中
，当芯片的性能
指标在
之间时，芯片的工作状态最佳.若由（1）中回归方程预测，当关键成分含量为12 时，
芯片性能指标为
.
（i）假设在一次产品检验中，从该批次芯片中随机抽取2000 个，估计性能指标不在
范围内的芯片
个数（结果保留整数）；（附：若
，则
，
）
（ii）某机器的控制系统使用了
个芯片，其中每个芯片处在最佳工作状态的概率为
，各个芯片工作相互独立，如果系统中有超过一半的芯片处在最佳工作状态，则控制系统的工
作效率最高，其概率记为
.若在控制系统中增加一个芯片，控制系统工作效率最高的概率记为
，
试判断
与
的大小关系并证明.
【答案】(1)
(2)（i）635；（ii）答案见解析
【分析】
【详解】（1）由题意得
，
，
所以
，
，
故
，
所以
关于
的线性回归方程为
.
（2）（i）当
时，
，即
已知
，则
或
，
所以从该批次芯片中随机抽取2000 个，性能指标不在
范围内的芯片个数约为
个.
（ii）记
为原系统中工作最佳的芯片个数，
为增加一个芯片后系统中工作最佳的芯片个数.
由条件可知
当
时，则原系统中
，新系统中
.
由题意可知
，
所以
即
；
当
时，则原系统中
，新系统中
.
由题意可知
，
所以
，
即
；
综上，当
为奇数时，
；当
为偶数时，
.
48．DeepSeek 是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B 两个部门全体员工
共60 人参加培训．
(1)此次培训的员工中有5 名部门领导，其中有3 人来自A 部门．从这5 名部门领导中随机选取2 人，记
表示选取的2 人中来自A 部门的人数，求随机变量
的分布列和数学期望；
(2)若每位员工经过培训后合格的概率为
，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20 万
元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10 万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2 万
元的其他成本和费用．试估计该公司A，B 两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其
他成本和费用）．
【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2)
万元
【分析】
【详解】（1）由题意可知，
，
，
，
，
所以随机变量
的分布列如下，
0
1
2
；
（2）设
为经过培训合格的人数，
，
，不合格人数为
，
员工为公司创造的利润为
万元，
则
万元，
公司的年利润为
万元.
所以估计该公司A，B 两部门经培训后创造的年利润为
万元.
49．为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学
期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取5 人进行调查，得
到如下样本数据：
成绩有进步
成绩没有进步
合计
参加周六到校自主自习
55
20
75
未参加周六到校自主自
习
30
45
75
合计
85
65
150
(1)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10 人．若
从这10 人中随机抽取2 人，记X 为成绩有进步的学生人数，求X 的分布列及数学期望和方差．
(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2 人，记Y 为成
绩有进步的学生人数，求Y 的分布列及数学期望、方差．
【答案】(1)分布列见解析，
，
；
(2)分布列见解析，
，
.
【分析】
【详解】（1）按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4 人，成绩没有进步同学抽取6 人，
所以X 可能取值为0，1，2，
，
，
，
X 的分布列为：
X
0
1
2
P
所以X 的期望为
，
；
（2）由题意
，则
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
P
，
.
50．随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al 的赋能潜力巨大．为
了解教师对
大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200 名教师，对使用
、
、豆包、文
心一言四种
大模型的情况统计如下：
使用
大模型的种数性别
0
1
2
3
4
男
4
27
23
16
10
女
6
48
27
24
15
在上述样本所有使用3 种
大模型的40 人中，统计使用
、
、豆包、文心一言的
大模型
人次如下：
大模型种类
豆包
文心一言
人次
32
30
30
28
用频率估计概率．
(1)从该地区教师中随机选取一人，记事件
为选取的为男教师，事件
为选取的教师仅会使用2 种模型．
求
和
．并据此判断事件
和事件
是否独立：
(2)从该地区使用3 种
大模型（
、
、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3 人，记使用
豆包的有
人，求
的分布列及其数学期望
；
(3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用
大模型（
、
、豆包、文心一言）的
种数分别为
，
，比较
，
的数学期望
，
的大小，并说明理由．
【答案】(1)
，
，
不独立
(2)分布列见解析，
(3)
，理由见解析
【分析】
【详解】（1）由题设可得
，
，
故
.
因为
，故
不独立.
（2）从该地区中使用3 中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为
，
由题设
可取
且
，
故
，
，
，
，
故
的分布列如下：
故
.
（3）由题设
可取
，
可取
，
而
，
，
，
，
，
故
，
又
，
，
，
，
，
故
，
因为
，故
.
51．一盒子中有大小与质地均相同的20 个小球，其中白球
个，其余为黑球.
(1)当盒中的白球数
时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A 表示事件“第一次取到白
球”，用B 表示事件“第二次取到白球”，求
和
，并判断事件A 与B 是否相互独立；
(2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10 个球，若其中恰有3 个白球，则获奖，否则
不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？
(3)若
，参与者从盒子中有放回的随机取m 次球，若其中取到白球的个数为
，
（
），则m 为何值时，概率
.
【答案】(1)
，
，事件
与
相互不独立
(2)当
时，参与者获奖的可能性最大；当
时，参与者获奖的可能性最小
(3)
或14 时，概率
的值最大
【分析】
【详解】（1）当
时，盒中有6 个白球，14 个黑球，
则
，
，
，
所以
，
则
，所以事件
与
相互不独立．
（2）从20 个球中取10 个球，恰有3 个白球的概率
，
,
设
，
当
时，
，
，
当
时，
，
当
时，
，
因此
，
而
，
则
，
，
所以当
时，参与者获奖的可能性最大；当
时，参与者获奖的可能性最小．
（3）若
，盒中有9 个白球，11 个黑球，则每次取到白球的概率为
，
参与者从盒子中有放回的随机取m 次球，若其中取到白球的个数为
，则
，
所以
，
若概率
最大，则有
，
所以
，解得
，又
，故
或14，
所以
或14 时，概率
的值最大.
