文档文本内容
专题4.2.3 对数函数的性质与图象
教学目标
1．理解对数函数的概念，明确其定义域
和底数限制
且
）；
2．掌握对数函数
和
时的图象特征及性质（定义域、值域、定点、单调
性）；
3．能根据底数差异判断对数函数图象的位置规律（第一象限内底数自左向右递增）
教学重难点
重点：对数函数的概念及定义域；
和
时对数函数的图象和性质；
难点：理解对数函数与指数函数的反函数关系；根据底数大小判断对数函数图象的差
异
知识点01 对数函数的概念
函数
，且
)叫做对数函数，其中
是自变量，函数的定义域是______．
温馨提示：（1）对数函数
是由指数函数
反解后将
互换得到的．
（2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数______且______
【即学即练】
1．下列函数为对数函数的是（ ）
A．
（
，且
） B．
C．
D．
2．已知函数
（
，且
）的图象过点
，则函数的解析式为 ．
知识点02 对数函数的图象及性质
1.对数函数的图象及性质
图象
性质
定义域
值域
______
定点
过定点______
单调性
是
上的______函数
是
上的______函数
2．当底数不同时对数函数图象的变化规律
作直线
与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象
对应的对数函数的底数逐渐______，可得
.
【即学即练】
1．函数
（
，且
）恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c 的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
题型01 对数函数的概念
【例1】下列函数是对数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】若函数
（
，且
）是对数函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】下列函数中是对数函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】函数
是对数函数，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式1-3】若函数
为对数函数，则
．
判断一个函数是对数函数必须是形如
且
)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1；(2)底数为大于0 且不等于1 的常数；(3)对数的真数仅有自变量
.
题型02 求对数函数的解析式或函数值
【例3】已知对数函数
的图象过点
，则
．
【例4】已知函数
，若图象过点
，则
的值为（ ）
A．－2
B．2
C．
D．
【变式2-1】若某对数函数的图象过点
，则该对数函数的解析式为 ．
【变式2-2】若函数
，
，则
．
【变式2-3】已知函数
．
(1)求函数
的解析式；
(2)解方程
．
题型03 对数函数的定义域
【例5】函数
的定义域是 .
【例6】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】函数
的定义域是 ．
【变式3-2】已知集合
，则P 的真子集个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【变式3-3】“
”是“函数
的定义域为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
求对数函数定义域的注意事项：（1）真数大于零；（2）对数的底数大于零且不等于1.
题型04 对数函数的值域
【例7】函数
的值域是 .
【例8】已知
，函数
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】函数
的定义域为
，则值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】函数
，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
对数型函数值域的求解技巧：
（1）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．
（2）形如
型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技
巧．
题型05 对数函数的图象
【例9】已知
，
，则函数
的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
【例10】函数
的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】对
，且
的图象过定点
，则点
的坐标为 .
【变式5-2】已知对
，且
均有意义，则函数
的大致图象是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】已知函数
（a，c 为常数，其中
，且
）的部分图象如图所示，则下列
结论成立的是 ．（填序号）
①
，
；②
，
；③
，
；④
，
．
处理对数函数图象问题的3 个注意点：
（1）明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当
趋近于0 时，函数图象会越来越靠
近
轴，但永远不会与
轴相交．
（2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数
的取值范围是
，还是
（3）牢记特殊点．对数函数
且
)的图象经过点：
题型06 对数（型）函数的单调性
【例11】函数
的单调递增区间为 ．
【例12】已知函数
在
上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】函数
的单调递增区间是 ．
【变式6-2】已知函数
，
且
在
上单调递减，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】已知
在R 上是减函数．那么a 的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
求对数型函数单调区间的方法：
(1)求形如
的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由
，先求定义域．
(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数
和
在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定
的单调性．
题型07 比较对数幂的大小
【例13】设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例14】函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】定义在
上的函数
满足
，若
在区间
上单调递增，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 解简单的对数不等式
【例15】不等式
的解集为 .
【例16】已知函数
是定义在R 上的偶函数，且在区间
上单调递减，若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】函数
的定义域为 .
【变式8-2】已知函数
，若
，则
的取值范围是 ．
【变式8-3】已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
常见对数不等式的2 种解法
（1）形如
的不等式，借助
的单调性求解，如果
的取值不确定，需分
和
两种情况讨论；
（2）形如
的不等式，应将
化为以
为底数的对数式的形式，再借助
的单调性求
解.
题型09 对数函数的分类讨论
【例17】已知函数
在区间
上是增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
【例18】已知
（
，且
）．
(1)判断
的奇偶性；
(2)若
在区间
内的最大值为2，求
．
【变式9-1】函数
在
上的最大值与最小值的和为1，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【变式9-2】已知函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是 ．
【变式9-3】已知函数
（
，且
）.
(1)若
，求实数
的取值范围;
(2)若函数
在区间
上最大值是最小值的2 倍，求
的值.
题型10 恒成立问题
【例19】已知函数
.
(1)当
时，求
的单调递减区间；
(2)当
在
上恒成立，求
的取值范围.
【例20】已知函数
．
(1)利用定义法判断
的单调性；
(2)若关于
的不等式
在
恒成立，求正实数
的取值范围．
【变式10-1】已知函数
．
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【变式10-2】已知函数
，
.
(1)求实数a 的值；
(2)若对任意
，不等式
恒成立，求m 的取值范围.
【变式10-3】已知函数
.
(1)求不等式
的解集；
(2)若对任意
，有不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
一、单选题
1．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知
，且
．若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：
）和燃料的质量
（单位：
）、飞行器（除燃料外）的质量
（单位：
）的函数关系是
.已知当该飞行器所处高空的音速为
，最大速度对应的马赫数分别为6 和11 时，
燃料的质量分别为
和
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若函数
的值域是
，则实数
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
在
上单调递增
C．
的图象关于
对称
D．
的值域为
8．已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．不存在实数a，使
的定义域为R
B．
时，函数
为偶函数
C．若函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是
D．函数
一定有最小值
三、填空题
9．函数
的定义域是 .
10．已知函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是 .
11．已知函数
，若
在
上存在最小值，则a 的取值范围是 .
四、解答题
12．函数
，当
时，求该函数的值域.
13．已知函数
的图象过原点，且
．
(1)求实数
的值；
(2)求不等式
的解集；
14．已知函数
．
(1)若
的定义域为R，求m 的取值范围；
(2)若
的值域为R，求m 的取值范围．
15．已知函数
是偶函数．
(1)求
的值；
(2)若
，
，
，不等式
对任意
恒成立，求
的取值
范围．
