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专题5.1.1 数据收集&专题5.1.2 数据的数字特征
教学目标
1．理解总体、个体、样本、样本容量的概念，掌握简单随机抽样（抽签法、随机数
法）和分层抽样的定义、操作要点及适用场景。
2．掌握众数、中位数、平均数、极差、方差、标准差的定义与计算方法，理解其在样
本数据和频率分布直方图中的确定方式。
3．理解百分位数（含四分位数）的定义，掌握其计算步骤，知晓数字特征的相关性
质。
教学重难点
重点：简单随机抽样和分层抽样的应用；各类数字特征的计算；百分位数的求解。
难点：分层抽样的比例计算；频率分布直方图中中位数、平均数的确定；数字特征性
质的灵活运用。
知识点01 统计的相关概念
名称
定义
总体
调查对象的全体称为整体
个体
组成整体的每一个调查对象称为个体
样本
从总体中抽取的那部分个体称为样本
样本容量
样本中包含的个体数称为样本容量
样本与样本量的区别：样本是从总体中抽取的个体组成的集合，是对象；样本量是样本中个体的数目，是
一个数.
【即学即练】
1．为了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40 名学生进行调查，其中40 是该调查的（ ）
A．总体
B．样本容量
C．个体
D．样本
2．某校有
个班，每班有
人，要求从每班随机选派5 人观看“校十佳歌手赛”决赛．在这个问题中样
本容量是 ．
知识点02 简单随机抽样
定义
设一个总体含有
个个体，从中逐个不放回抽取
个个体作为样本(
)，如果每
次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽
样
方法
抽签法
把总体中的
个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，
每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本
随机数法
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样
抽签法
与随机
数法
相同点
①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；
②都是从总体中逐个不放回地进行抽取
不同点
①抽签法比随机数法操作简单；
②随机数法更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况
利用随机数法抽取个体时的注意事项：
①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点．
②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．
③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三
位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数．
【即学即练】
1．某班有55 人，要抽出3 人，用随机数法确定人选，班长给全班同学编号为01，02，03，…，55，依次
得到4 个随机数为02，29，68，47，其中，不能作为编号的随机数是（ ）
A．02
B．29
C．68
D．47
2．某班级有男生20 人，女生30 人，从中抽取10 人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4 名男生、6
名女生，则下列命题中正确的是（ ）
A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样
B．这次抽样一定没有采用分层抽样
C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
知识点03 分层抽样
①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，
将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
②应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．
【即学即练】
1．某地区的鸿蒙用户中心的客服人员现要从购买智界汽车的50 名车主，享界汽车的60 名车主，问界汽车
的40 名车主中用分层随机抽样的方法抽取容量为30 的样本进行用户反馈调研，则在智界汽车车主中抽取
的人数为（ ）
A．8
B．10
C．11
D．12
2．某学校有青年教师60 人，中年教师40 人，老年教师20 人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容
量为
的样本，若青年教师抽了6 人，则样本容量
.
知识点04 数字特征
①众数、中位数、平均数
数字特征
样本数据
频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数
将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一
个数据(或最中间两个数据的平均数)
把频率分布直方图划分左右两个面积相等
的分界线与x 轴交点的横坐标
平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的
横坐标之和
②极差、方差和标准差
极差：即一组数据中最大值与最小值的差．
方差：
.
标准差：
.
注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准
差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
③性质
（1）若
的平均数为
，那么
的平均数为
.
（2）数据
与数据
的方差相等，即数据经过平移后方
差不变．
（3）若
的方差为s2，那么
的方差为
.
【即学即练】
1．已知甲组数据为，，
，
，
，乙组数据为
，
，
，
，则甲、乙两组数据的平均数、极
差及中位数中相等的是（ ）
A．平均数
B．极差
C．中位数
D．都不相等
2．已知数据
的平均数为5，方差为16，那么数据
，
的平均
数和方差分别为（ ）
A．6，8
B．5，8
C．6，4
D．8，6
知识点05 百分位数
1.定义：一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有
的数据小于或等于这个值，
且至少有
的数据大于或等于这个值．
2.计算一组几个数据第p 百分位数的步骤
第1 步，按从小到大排列原始数据；
第2 步，计算
.
第3 步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百分
位数为第i 项与第(i＋1)项数据的平均数．
3.四分位数
即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数．
其中第25 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75 百分位数也称为第三四分位数或上四分位
数等．
【即学即练】
1．一组样本数据为
，这组数据的第75 百分位数为6，则这组数据的方差为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．无法确定
2．在七彩阳光联盟考试中，从某班随机抽取8 名同学的数学成绩，分数从低到高为：80，87，92，106，
115，120，128，137，则第70 百分位数是 ．
01 总体、个体、样本与样本容量
【例1】某高中为了了解高一年级1200 名学生的视力情况，抽查了其中200 名学生的视力，并进行统计分
析．下列叙述正确的是（ ）
A．上述调查属于普查
B．每名学生是总体的一个个体
C．200 名学生的视力是总体的一个样本D．1200 名学生是总体
【变式1-1】某校高中有42 个班，每个班有50 名学生，现从该校高中每班随机选派3 名学生参加交通安全
知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是（ ）
A．42
B．50
C．126
D．150
【变式1-2】某中学研究人员希望调查该校高中学生平均每天的自习时间.他调查了100 名学生，发现他们
每天的平均自习时间是3h.这里的总体是（ ）
A．该校的所有高中学生
B．该校所有高中学生的平均每天自习时间
C．所调查的100 名高中学生
D．所调查的100 名高中学生的平均每天自习时间
【变式1-3】从某市参加升学考试的学生中随机抽查
名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，
下列说法错误的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B．样本是指
名学生的数学成绩
C．样本量指的是
名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
【变式1-4】（多选）从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000 名学生的数学成绩进行统计分析，在这
个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B．样本是指1000 名学生的数学成绩
C．样本量指的是1000 名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
总体：调查对象的全体称为总体；
个体：组成整体的每一个调查对象称为个体；
样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本；样本容量：样本中包含的个体数称为样本容量
02 简单随机抽样
【例2】某校高中生共有3600 人，其中高一年级1300 人，高二年级1200 人，现采取分层抽样法抽取容量
为36 的样本，那么高三年级抽取的人数为（ ）
A．13
B．12
C．11
D．10
【变式2-1】2025 年9 月3 日，是中国人民抗日战争暨世界反法西斯胜利80 周年纪念日.北京天安门广场举
行了盛大的阅兵式.阅兵式结束后，某学校组织学生写阅兵观后感，高一、高二、高三年级分别有1000 人、
800 人、600 人参加，现用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为120 人的样本，则从高二年级抽取的人
数为 .
【变式2-2】某校高二年级有男生550 人，女生650 人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高
二年级学生中抽出一个容量为360 的样本．如果样本按比例分配，那么女生应抽取的人数为（
）
A．180
B．190
C．185
D．195
【变式2-3】某农场共有300 头牛，其中甲品种牛30 头，乙品种牛90 头，丙品种牛180 头，现采用分层抽
样的方法抽取60 头牛进行某项指标检测，则抽取乙品种牛的头数为 ；
【变式2-4】为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染
人群中
型血、
型血、
型血、
型血的人数比为
，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取
一个样本量为
的样本，已知样本中
型血的人数比
型血的人数多
，则
.
可用简单随机抽样抽取样本的依据:①总体中的个体之间无明显差异；②总体中个体数
有限；③抽取
的样本个体数
小于总体中的个体数
；④每个个体被抽到的可能性均为
03 分层抽样
【例3】已知数据
的平均数为
，数据
的平均数为
，若数据
与数据
混合后的平均数为
，则数据
与数据
混合后的平均数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】高三某班有 15 名男生和 35 名女生， 在某次月考的数学成绩中， 男生的平均分比女生的
平均分多 5 分， 则男生的平均分比全班的平均分（ ）
A．多 1.5 分
B．多 2.5 分
C．多 3.5 分
D．多 4.5 分
【变式3-2】已知样本数据为2，4，6，a，8，若删除a 后的新数据与原数据平均数相同，则a 为（
）．
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式3-3】已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为
，根据比例分
层抽样得到流水线2 的样本平均数为9.0，流水线3 的样本平均数为9.4，总体样本平均数为9.3，求流水线
1 的样本平均数．
【变式3-4】某高中与时俱进，在新学期建设了AI（人工智能）自习室，在运行一段时间后，为了解学生
使用AI 自习室的情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样对三个年级的学生进行平均每周使用时间
（单位：分钟）的调查，所得样本数据如下：
年
级
抽样人数
样本平均数
高
一
45
84
高
二
35
高
三
30
105
已知三个年级的总体样本平均数为93，估计高二年级学生平均每周使用时间．
分层随机抽样中有关计算的方法:
（1）抽样比=
；
（2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
04 平均数
【例4】若一组数据
、
、、
、
，这组数据的平均数为，则这组数据的中位数为 .
【变式4-1】如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6 名球员某份比赛的得分数据（单位：分）．若
这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则
．
【变式4-2】已知
，若一组数据1，2，
，
，4 的平均数为2，则该组数据的中位数为
（ ）
A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
【变式4-3】已知一组数据1，8，6，3，5，从0 到9 中的整数里随机选择2 个不同的数加入这组数据，则
得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-4】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5 名工人某日的产量数据.若这两组数据的中位数相等，
且平均值也相等，则
05 中位数和众数
【例5】某景点对30 天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则
该样本的第75 百分位数是 .
【变式5-1】某科技攻关青年团队共有20 人，他们的年龄分布如下表所示．则这20 人年龄的60%分位数为
（ ）
年
龄
28
29
30
32
36
40
45
人
数
1
3
3
5
4
3
1
A．30
B．32
C．34
D．36
【变式5-2】样本数据10，12，15，16，22，26，27，34 的第
分位数是（ ）
A．26
B．25
C．24
D．22
【变式5-3】如图的框线图显示某班学生在一次考试中得分（以分为单位）的分布．在该考试中，俊邦获
得最低得分，而颖怡的得分等于该分布的下四分位数．若俊邦在该考试的标准分是
及该分布的标准偏
差是8 分，则颖怡在该考试的标准分是（ ）
A．
B．
C．1
D．1.25
【变式5-4】已知一组数据按从小到大的顺序排列为
，若该组数据的第60 百分位数与这组数
据的中位数相等，则实数
的值为 .
06 百分位数
【例6】（多选）立德中学某班名同学参加“青春向党”知识竞赛答题活动，其成绩均为正整数，中位
数为
，唯一众数为
，极差为
，则下列说法正确的是（ ）
A．该组数据的最小值可能为
B．该组数据的平均数不超过
C．该数据的第
百分位数为
D．该组数据的方差超过
【变式6-1】有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式6-2】（多选）甲、乙、丙、丁这四位同学每人各掷骰子5 次，分别记录每次骰子出现的点数，则根
据四位同学的掷出点数统计结果，可以判断可能出现点数为6 的是（ ）
A．平均数为3，中位数为3
B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4
D．中位数为3，极差为4
【变式6-3】已知某7 个数的平均数为3，方差为
，现又加入一个新数据3，此时这8 个数的平均数为
，
方差为
．则
．
【变式6-4】已知数据
的平均数为4，方差为2，则数据
的平均数与方差
的和为 .
第一步，从小排到大；第二步，计算i=p%×n；第三步nn，如果i 不是整数，向上取整到k，取第k 个数
据；
如果i 是整数，取第i 和i+1 的平均值。
07 方差与标准差
【例7】某中学七年级有
人，八年级有
人，九年级有
人，若每人被抽到的可能性都为
，用
随机数法在该学校抽取容量为
的样本，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（ ）
①将500 个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50 个作为样本；②某班有
55 名同学指定个子最高的5 名同学参加学校组织的篮球赛；③福利彩票用摇奖机摇奖.
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式7-2】某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400 名学生进行抽样，先将400 名学生进行编
号，001，002，……，399，400．从中抽取40 个样本，如图提供随机数表的第5 行到第6 行，若从表中第
5 行第6 列开始向右读取数据，则得到的第3 个样本编号是（ ）
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77
A．457
B．253
C．007
D．860
【变式7-3】用抽签法从学号为1 到50 的50 名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5 名学生进行问卷调
查，每次抽取一个号码，共抽取5 次，设李华第一次被抽到的概率为
，第五次被抽到的概率为
，则
（ ）
A．a =
，
B．a =
，
C．a =
，
D．a
=
，
【变式7-4】用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①把号码写在形状、大小相同的号签(号签可以用小球、
卡片、纸条制作)上；②将总体中的个体编号；③从容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个
体作为样本；④将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀.这些步骤的先后顺序应为 .(填序号)
一、单选题
1．某校高三年级有1200 名学生，其中男生有660 人，现按男女生人数比例采用分层随机抽样的方法抽取
一个容量为40 的样本，则男生应抽取的人数是（ ）
A．22
B．18
C．16
D．14
2．某班30 位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量
的是（ ）
成
绩
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
3
0
人
数
▄
▄
3
3
6
7
9
A．平均数，众数B．中位数，众数
C．平均数，方差
D．中位数，方差
3．一组数据从小到大排列为：，，，
，
，
，若这组数据的中位数比
分位数小，则
的
值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．一组数据为：
，但工作人员误将平均数当作第个数据记录，得到：
，新
数据与原始数据相比，数字特征发生改变的是（ ）
A．众数
B．标准差
C．平均数
D．中位数
5．抽样调查得到20 个样本数据，记作
，样本数据的平均数为9，方差5.现去掉一个最大值13
和一个最小值5，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数一定不变
B．极差一定变小
C．方差一定变小
D．平均数一定不变
6．若数据
和数据
的平均数均为
，方差均为
，则数据
的方差为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．考虑一组数据
，其中
是一个正整数．下列哪项（些）描述必为正确？
I．该组数据的平均数是一个整数．（ ）
II．该组数据的中位数不小于3．
III．该组数据的众数与上四分位数相等．
A．只有II
B．只有III
C．只有I 及II
D．只有II 及III
8．一组数据
满足
，若去掉
后组成一组新数据.则新数据与原数据
相比（ ）
A．极差变大
B．平均数变大
C．方差变小
D．第25 百分位数变小
二、多选题
9．2024 年11 月14 日是第18 个联合国糖尿病日，活动主题是“糖尿病与幸福感”．某市的糖尿病患者中
中老年组、中年组、中青年组、青年组人数的比例为
，为了解各年龄段群组（中老年组中年组
､
､
中青年组青年组）饮食结构之间的差异，市卫生局计划从糖尿病患者中抽取
､
220 人进行饮食结构调查，则
下列说法正确的是（ ）
A．应采用分层随机抽样抽取
B．应采用抽签法抽取
C．中年组患者应抽取60 人
D．被抽到的中青年组患者和青年组患者人数之和比中年组患者人数多
10．一组数据
的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记
，
的
平均值为
，方差为
，极差为，中位数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．有一组样本数据
，
，
，
满足
，则（ ）
A．该样本数据的中位数是
B．该样本数据的极差是
C．该样本数据去掉
后方差变小
D．该样本数据去掉
后平均数可能不变
三、填空题
12．现需要对某种疫苗进行检测，从800 支疫苗中抽取60 支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将
800 支按000，001，…，799 进行编号，如果从随机数表第7 行第10 列的数开始向右读，依次读取三位数，
则得到的第4 个样本个体的编号是 .（下面摘取了随机数表第7 行至第9 行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
13．一支田径队有男运动员60 人，女运动员48 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为
27 的样本，则抽取女运动员的人数为
14．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，容易在春天爆发，武汉疾控中心为了调查某高校高一年级学生
注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取了5 个班级，每个班级抽取的人数互不相同，若把每个班抽取
的人数作为样本数据，已知样本平均数为5，样本方差为4，则样本数据中最大值为 ．
四、解答题
15．有以下两个案例：
案例一：从同一批次同类型号的10 袋牛奶中抽取3 袋分别检测三聚氰胺的含量；
案例二：某公司有员工800 人，其中具有高级职称的有160 人，具有中级职称的有320 人，具有初级职称
的有200 人，其他人员120 人，从中抽取容量为40 的样本，了解他们的收入情况．
(1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？
(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程．
16．已知一组样本量为10 的样本数据如下：
37 39 45 48 49 51 52 55 61 63
(1)求这组数据的平均数和标准差；
(2)求这组数据的
和
分位数.
17．甲、乙、丙三人进行5 轮的投篮比赛，每轮各投10 次，其成绩（命中次数）如下：
甲投中次数
6
6
8
7
8
乙投中次数
6
5
4
6
丙投中次数
(1)若乙比甲平均少投中2 次，求
的值，甲和乙投中次数的方差分别为
和
，试比较
和
大小（结论
不要求证明）；
(2)若投中一球计三分，丙平均得分为21 分，方差为36，且每轮得分互不相同，求丙在比赛中的最高得分，
并说明理由.
