文档文本内容
专题4.1.2 指数函数的性质与图象
教学目标
1．理解指数函数定义及解析式特征
2．掌握指数函数的图象和性质（定义域、值域等）
3．能根据底数判断指数函数单调性及图象位置
教学重难点
重点：指数函数定义；图象与性质（单调性、定点）
难点：底数对指数函数图象和单调性的影响
知识点01 指数函数的定义
一般地，函数
且
)叫做指数函数，其中
是自变量，函数的定义域为
温馨提示：指数函数解析式的3 个特征：
（1）底数
为大于0 且不等于1 的常数．（2）自变量
的位置在指数上，且
的系数是1.
（3）
的系数是1.
【即学即练】
1．下列函数中一定是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】只有
符合指数函数的定义，A，B，D 中函数都不符合
（
且
）的形式．
故选：C
2．若指数函数
的图象经过点
，则
的值为 .
【答案】3
【详解】因为指数函数
的图象经过点
，
所以
，解得
.
故答案为：3
知识点02 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图形及性质
图象
性质
定义域
值域
定点
过定点
单调性
是R 上的增函数
是R 上的减函数
温馨提示：（1）当
时，指数函数的图象是“上升”的；当
时，指数函数的图象是“下降”
的．
（2）指数函数
且
)的图象恒过点
，只要确定了这三个点的坐标，即
可快速地画出指数函数
且
)的大致图象．
2．图象位置关系
底数
的大小决定了图象相对位置的高低．
（1）在
轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线
，与图象的交点从
上至下即为底数从大到小的排列顺序．
（2）在
轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为
.
【即学即练】
1．已知函数
（
，
）的图象经过点
，那么这个函数的图象也必定经过点
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】已知函数
（
，
）的图象经过点
，
，解得
，
∴
，
依次代入各选项坐标：
当
时，
，故A 错误；
当
时，
，故B 错误；
当
时，
，故C 正确；
当
时，
，故D 错误.
故选：C.
2．已知集合
，则A 的子集的个数有（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】D
【详解】集合
，则
的子集的个数有
个.
故选：D．
题型01 指数函数的概念
【例1】下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据指数函数的定义形如
且
为指数函数判断：
对于A：
为幂函数，故A 错误；
对于B：
中
不能作为底数，故B 错误；
对于C：
中系数不为1，故C 错误；
对于D：
是指数函数，故D 正确；
故选：D
【例2】函数
是指数函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由指数函数的定义得
解得
，且
，故
的取值范围是
．
故选：C
【变式1-1】判断函数是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（
，且
）
【答案】D
【详解】指数函数是指形如
且
的函数.
则四个选项中，只有D 满足条件.
故选：D
【变式1-2】（多选）函数
是指数函数，则
的值不可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】因为函数
是指数函数，
则
，解得
.
故选：ACD.
【变式1-3】若函数
是指数函数，则
．
【答案】4
【详解】因
为指数函数，则
，
由
，可得
或
，
综上，
.
故答案为：4
指数函数解析式的3 个特征：（1）底数
为大于0 且不等于1 的常数；（2）自变量
的位置在指数上，
且
的系数是1；（3）
的系数是1.
题型02 求指数函数的解析式或函数值
【例3】已知指数函数
的图象经过点
，则
．
【答案】4
【详解】由题意得，
，解得
.
故答案为：4.
【例4】（多选）已知指数函数
满足
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】设指数函数
（
且
），于是
，即
，因此
，
函数
，A 正确，B 错误；
显然
，C 正确；
又
，因此D 正确.
故选：ACD
【变式2-1】已知指数函数的图象过点
，则该指数函数的解析式为 ．
【答案】
【详解】设
（
且
），将
代入得
，解得
，负值舍去，
故该指数函数的解析式为
.
故答案为：
【变式2-2】已知定义域为R 的函数
满足：①
；②
.则满足条件的
的一个解析式为
.
【答案】
【详解】由
，可知符合该性质的函数可以为指数函数
（
且
），又因
为
，解得
，所以满足条件的
的一个解析式为
.
故答案为：
.
【变式2-3】设函数
，其中
且
，且
，
，则
的解析式
为 .
【答案】
【详解】因为
，
，
所以
，
因为
且
，所以解得
，
所以
，
故答案为：
题型03 指数函数的值域
【例5】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，则
.
故选：C
【例6】若
，其中
，则
的值域为 ．
【答案】
【详解】因
，且
在
上单调递增，则
，
因
在
上单调递增，则
，
故
的值域为
.
故答案为：
【变式3-1】已知函数
是定义域为
的奇函数，且当
时，
，则函数
的值域为
.
【答案】
【详解】因为函数
是定义域为
的奇函数，
所以
，
又当
时，
，所以
，
当
时，由奇函数的对称性可知
，
所以函数
的值域为
.
故答案为：
【变式3-2】已知函数
的定义域是A，则函数
的最大值是
（ ）
A．-4
B．0
C．32
D．60
【答案】B
【详解】令
，解得
，故函数
的定义域是
，
令
，由于
，故
，
则
即为函数
，
而
，
当
时，
取最大值
，
即函数
的最大值是0，
故选：B
【变式3-3】已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为函数
为增函数，所以当
时，
，
即函数
在
上的值域为
，
又因为函数
的值域为
，
设函数
在
上的值域为A，则
，
所以
，解得
.
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型04 指数函数的图象
【例7】当
且
时，
的图象恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于函数
，令
，解得
，
则
，
所以
的图象恒过点
．
故选：C.
【例8】函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】作出函数
的图象，如下图所示，
将
的图象向左平移个单位得到
图象.
故选：B
【变式4-1】已知函数
（
且
）的图象经过定点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】C
【详解】令
，得
，此时
，
所以定点P 的坐标为
，即
，
，所以
.
故选：C
【变式4-2】函数
的图象如图，其中
，
为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【详解】由图象可知：
，
，
又由函数
为减函数，可得
．
故选：C．
【变式4-3】已知函数
（其中
）的图象如图所示，则函数
的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由二次函数
（其中
）的图象可得
，
所以
的图象过点
，且在
上为减函数，则函数
递减，排除CD；
因为
，所以将
的图象向下平移
个单位可得
的图象，排除B；
故选：A
处理指数函数图象问题的3 个策略：
（1）抓住指数函数的特殊点——定点；
（2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；
（3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
题型05 指数（型）函数的单调性
【例9】设
，
，那么
是（ ）
A．奇函数且在
上是增函数
B．偶函数且在
上是减函数
C．奇函数且在
上是减函数
D．偶函数且在
上是增函数
【答案】D
【详解】因为
，
所以该函数是偶函数，
当
时，
，此时函数单调递增，
故选：D
【例10】已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
可看作由
和
复合而成，
因为二次函数
的图象开口向上，对称轴
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
在
上单调递增，
根据复合函数单调性“同增异减”可知：
若要
在
上单调递增，
则需
在
上单调递增，
即
，解得
，
故选：A.
【变式5-1】函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，根据二次函数的单调性可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，根据“同增异减”可得，
函数
的单调递减区间是
.
故选：A.
【变式5-2】函数
且
是
上的单调递减函数，则
的取值范围是
.
【答案】
【详解】由题意可得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式5-3】若函数
在区间
单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，又
在R 上单调递减，
所以要使
在区间
单调递增，
则
在区间
单调递减，
所以由
的开口向上且对称轴为
得
，解得
.
故选：D
关于指数型函数
且
的单调性由两点决定，一是底数
还是
；二是
的单调性．它由两个函数
复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题
题型06 比较指数幂的大小
【例11】已知
为大于1 的正数，则“
”是“
”的（ ）条件.
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分又非必要
【答案】C
【详解】
，
在
上是单调增函数，
，
，充分性成立；
，
，必要性成立.
“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
【例12】已知
，
，
，则三个数的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意，
，
，
，
所以
.
故选：A.
【变式6-1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
函数
是减函数，
所以
，
同理，函数
是增函数，所以
.
综上，可得
.
故选：B
【变式6-2】若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
因为
在
上单调递减，且
，
所以
．
故选：C.
【变式6-3】若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
是增函数，
所以
，即
，
又函数
是减函数，
所以
，所以
，
故选：C.
题型07 解简单的指数不等式
【例13】函数
的定义域为 ．
【答案】
【详解】函数
有意义，则
，
解得
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
【例14】若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因
，则
，
即
，解得
，
所以
的取值范围为
．
故选：B．
【变式7-1】设集合
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，解得
，则
，而
，
所以
.
故选：C
【变式7-2】不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】不等式
可化为
，因为函数
为增函数，
所以
，移项整理为
，
解得
或
．
所以原不等式的解集为
．
故答案为：
．
【变式7-3】解不等式：
．
【答案】
或
【详解】令
，原不等式可化为：
．
即
，即
，
解得
或
，所以
或
．
所以
或
，
由此得原不等式的解集为
或
．
题型08 指数函数的分类讨论
【例15】已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，则
，
由复合函数的单调性可知当
时，
在区间
上单调递增，
所以只需
，则
，与
矛盾；
当
时，
在区间
上单调递减，
所以
，即
．
故
的取值范围是
．
故选：B
【例16】已知函数
（
且
）．
(1)当
时，解不等式
；
(2)已知函数
在
上的最大值与最小值之差为
，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
或
【详解】（1）
，
，
，即
，
解得
，故原不等式解集是
；
（2）①当
时，
在
上单调递增，
则
，
，
所以
，解得
或
（舍去）；
②当
时，
在
上单调递减，
则
，
，
所以
，解得
或
（舍去）；
综上所述；
或
.
【变式8-1】已知函数
在区间
上的最大值是7，则
.
【答案】
或
【详解】设
，又
，
若
，则
，
函数
，
对称轴为
，
则
，即
时，
，
解得
或
（舍）；
若
时，
，
函数
，
对称轴为
，
则
，即
时，
，
解得
或
（舍）；
故答案为：
或
.
【变式8-2】已知
且
，解关于
的不等式：
．
【答案】答案见解析
【详解】当
时，函数
单调递增，
由
得
，即
，解得
或
；
当
时，函数
单调递减，
由
得
，即
，解得
；
综上，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
【变式8-3】已知函数
（
，且
）.
(1)若
，求函数
在
上的最值；
(2)若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）当
时，
，设
，
函数
在
上递减，在
上递增，函数
在
上递减，
则函数
在
上递增，在
上递减，
，
，
，
所以当
，
时，
，
.
（2）函数
在
上递减，在
上递增
当
时，函数
在
上递增，所以函数
在
上递减，在
上递增，
又
，则函数
在区间
上递增，故
满足题意；
当
时，函数
在
上递减，所以函数
在
上递增，在
上递减，
又
，若需满足题意，则
，得
.
综上，
的取值范围是
.
关于指数函数
且
中
的值是不确定的，则需分
和
两种情况进行讨论
题型09 恒成立问题
【例17】已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)
【详解】（1）当
时，
，
令
，易知其单调递增区间为
，单调递减区间为
.
又
为增函数，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）
恒成立，即
恒成立，
所以
，即
恒成立，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
【例18】已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
的值域；
(2)如果对任意的
不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题设，若
，∴
，
则对称轴为
且开口向下，∴
上
单调递减，即
，
∴
的值域为
；
（2）由（1）知：
在
上恒成立，∴当
时，
，
即
对任意
都成立，当
，即
时，
恒成立，
∴
，
当且仅当
等号成立，∴仅需
，即
即可.
∴实数
的取值范围
.
【变式9-1】已知函数
是定义在
上的奇函数，且对任意
，不等式
恒成立，则实数
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最小值
D．最大值
【答案】D
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，得
，
从而由复合函数单调性可知
在
上单调递增，
又
，
所以
是定义在
上的奇函数，
所以不等式
等价于
，
即等价于
，亦即
，
该不等式对任意
恒成立，则
不大于
的最小值.
因为由对勾函数和复合函数单调性可知
在区间
上单调递增，
所以当
时，
的最小值为
所以
，等号成立当且仅当
.所以
有最大值
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是先结合已知得到在
上单调递增，从而将不等式等价变形为
对任意
恒成立，进而即可求解.
【变式9-2】已知函数
的表达式
．
(1)若函数
是奇函数，求实数
的值；
(2)对任意实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数
是奇函数，
的定义域
关于原点对称，
由
，则
，
所以
.
（2）对任意实数
，不等式
恒成立，即
恒成立，
设
，
对任意实数
且
，
，
因为
，所以
，所以
所以函数
在
上单调递减；
，所以
.
【变式9-3】已知函数
．
(1)当
时，求
的值域；
(2)若
在
恒成立，求实数
的范围
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）当
时，
，
由
，得
，则
，因此
，
所以函数
的值域是
.
（2）
，
，
由（1）知，
，
，当且仅当
，即
时取等号，则
，
所以实数
的范围是
.
一、单选题
1．下列函数是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由指数函数的定义可知，
带有常数项，A 错误；
与
的系数都不为1，B 错误，D 错误；
，符合题意，C 正确.
故选：C
2．设函数
，
是奇函数，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．8
【答案】A
【详解】因为
是奇函数，
所以
，
所以
.
故选：A
3．已知
，函数
与
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
且
C．
且
D．
【答案】B
【详解】解：函数
因为已知图象连续，且
不恒等于1，所以
且
当
时,
,其图象大致为：
当
时，
,其图象大致为：
因为函数
的图象在第一象限单调递增，所以
.
当
时，其图象大致为：
当
时，其图象为：
当
时，其图象大致为：
对照已知图象，可得：
且
故选：B.
4．已知函数
，则“
”是“
为奇函数”的（ ）条件
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】若
为奇函数，则
，
所以
，即
恒成立，
所以
.
综上，“
”是“
为奇函数”的充要条件.
故选：C
5．已知函数
若
，则实数a 等于（ ）
A．
B．
C．2
D．9
【答案】C
【详解】因为
，所以
，
，所以
，得
．
故选：C．
6．已知不等式
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
即
，即
，故不等式的解集为
，
故选：D.
7．已知函数
，则
图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
【答案】B
【详解】
如图所示，当
时，
，其关于原点对称后的图像为
，
易知
与
有两个交点，即
上有两个点，中心对称后在
上；
故选：B.
8．已知函数
，在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
单调递减，故
对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减，
对指数函数
在
单调递减，需
，
对二次函数
，开口向下、对称轴为
，故二次函数
在
单调递
减，满足要求，
此外还需满足分段点
处的函数值满足
，整理得
，解得
或
，
结合
，可得
，
故选：B．
二、多选题
9．（多选）已知
，
，则下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】对于AD，
，
而
，故A 正确，D 错误；
对于B，∵
，又
，
∴
，故B 正确；
对于C，∵
，
又
，
∴
，故C 正确．
故选：ABC.
10．已知函数
且
在区间
上单调递增，则实数
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】当
且
时，函数
单调递减，
则要使
在区间
上单调递增，则函数
为减函数，
所以，
，解得
，
故选：ABC.
11．如图，某池塘里浮萍的面积
（单位：
）与时间（单位：月）的关系为
，则（ ）
A．
B．第4 个月时，浮萍面积超过
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．浮萍每月的增长率为2
【答案】ABD
【详解】由图可知，函数过点
，将其代入解析式
，可得
，A 正确；
所以
，可得第4 个月的浮萍面积为
，超过了
，B 正确；
前3 个月的浮萍面积，分别为
，
，
，
从前3 个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，C 不正确；
每月增长率为
，故每月增长率为2，，D 正确.
故选：ABD
三、填空题
12．已知函数
，则
.
【答案】
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
13．已知函数
的最大值为2025，则
的值为 .
【答案】
/
【详解】令
，
因为
单调递减，又因为函数
的最大值为2025，
则
的最小值为
，
所以
，且当
时，
，即
，
解得
或
（舍去），所以
.
故答案为：
.
14．（1）函数
的单调递增区间是 ．
（2）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】（1）函数
的定义域满足
，即
．
设
，
则根据幂函数和二次函数的单调性可知，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
又∵指数函数
在其定义域内为减函数，
∴由复合函数的单调性可知
的单调递增区间为
．
（2）将原函数拆解为外层函数
和内层函数
，
其中内层函数为二次函数，其图象开口向上，且对称轴为
外层函数
是增函数，
∵
是
上的增函数，
∴
，即
，
∴实数
的取值范围为
．
故答案为：
；
．
四、解答题
15．已知指数函数
（
且
）的图象过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在
上的值域
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数
（
且
）的图象过点
，则
，
解得
，因此，
．
（2）
，令
，因为
，则
，
令
，
当
时，函数
单调递减，此时，
，
当
时，函数
单调递增，此时，
，
故当
时，
，
又因为
，故
，
所以，函数
在
上的值域为
．
16．已知函数
的图象过点
，且无限接近直线
但又不与该直线相交．
(1)求
的解析式；
(2)设函数
，在平面直角坐标系中画出
的图象，并根据图象写出该函数的单调
递增区间．
【答案】(1)
；
(2)作图见解析，递增区间为
.
【详解】（1）当x 无限减小时，
无限接近0，但不会等于0，
由题设，因为
的图象无限接近直线
但又不与该直线相交，所以
．
由
，得
，解得
，故
；
（2）由（1）知
，图象如下：
由图知，该函数的单调递增区间为
.
17．已知函数
（
，且
）.
(1)若
，求函数
在
上的值域；
(2)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时，
，
令
，
，
由二次函数的图象和性质，当
时，
取得最小值
，
当
时，
，则
，
所以
，即
在
上的值域为
.
（2）令
，其图象的对称轴为直线
，开口向上，
当
时，
为减函数，
要使函数
在
上单调递增，
则需满足
在
上单调递减，即
，
解得
，则
；
当
时，
为增函数，
要使函数
在
上单调递增，
则需满足
在
上单调递增，即
，
解得
，则
.
综上，实数
的取值范围是
.
18．已知定义在
上的函数
是奇函数.
(1)求
，
的值，并判断函数
的单调性；
(2)若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
在
上是减函数
(2)
【详解】（1）
是定义在
上的奇函数，
，解得
；
，
，
，即
对一切实数
都成立，
，故
.
，
，
在
上是减函数.
证明：任取
，
且
，则
，
，
，
，
，
，
即
，
在
上是减函数；
（2）
不等式
，
，
，
是
上的减函数，
恒成立，
由
对
恒成立，
.
即实数
的取值范围为
.
19．已知定义域都为
的函数
与
满足：
是偶函数，
是奇函数，且
．
(1)求函数
、
的解析式；
(2)设
，
，对于
，都有
，使得
，
求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
；
(2)
【详解】（1）因为
①，所以
，
是偶函数，
是奇函数，故
，
故
②，
故①+②得
，则
，
（2）对于
，都有
，使得
，
则
在R 上的值域为
在
上的值域的子集，
其中
，
因为
，
，
，
所以
在R 上的值域为
，
，
令
，显然
在
上单调递增，
所以
，
故
，
当
时，
取得最小值，最小值为
，
故
在
上的值域为
，
所以
，故
，解得
.
