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专题7.3.4 正切函数的性质与图像
教学目标
1．认识正切函数的图象特征，掌握其图象的关键形态与分布规律。
2．熟知正切函数的定义域、值域、周期等核心性质，理解奇偶性本质。
3．能运用正切函数的单调性等性质，解决简单的函数问题。
教学重难点
重点：正切函数的图象特征及定义域、周期、单调性、奇偶性等核心性质；正切函数
最小正周期为
的特点及单调递增区间的识别。
难点：理解正切函数定义域的限制条件，把握图象的渐近线特征；灵活运用正切函数
的性质分析问题，避免忽略定义域陷阱。
知识点 正切函数的图象与性质
图象
定义域
值域
R
周期
最小正周期为_____
奇偶性
_____函数
单调性
在开区间_____
内单调递增
【即学即练】
1．函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．作出函数
的图象.
题型01 正切（型）函数的定义域
例1．函数
的定义域为 .
例2．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．已知函数
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-3．函数
的定义域为 ．
题型02 正切（型）函数与不等式
例3．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．若
，则不等式
的解集为 .
变式2-2．不等式
的解集是 ．
变式2-3．已知
，且
，则x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 正切（型）函数的周期
例5．（多选）下列函数中，以
为最小正周期的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．函数
的最小正周期为
，则
的定义域是 .
变式3-1．函数
的相邻两个零点之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．若函数
的图象与直线
的相邻两个交点的距离为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
求三角函数周期的方法：
1、定义法，即利用周期函数的定义求解；
2、公式法，对形如
（
，
，
是常数，
,
）的函数，
；
3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。
题型04 正切（型）函数的奇偶性
例7．已知
，若
，则
．
例8．已知函数
，则
的值为 .
变式4-1．下列函数中，最小正周期为
的奇函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．函数
的图象大致是( )
A．
B．
C．
D．
变式4-3．若函数
为奇函数，则
的最小值为 .
题型05 正切（型）函数的对称中心
例9.函数
的一个对称中心为 ．
例10．已知点
是函数
的图象的一个对称中心，则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．若函数
与函数
图象的对称中心完全一致，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．曲线
的对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-3．“
”是“函数
的图象关于
对称”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
对于函数
的图象：
对称中心：由
，得对称中心为
题型06 正切（型）函数的单调性
例11．已知函数
．
(1)求函数
的定义域；
(2)求函数
的单调区间；
例12．已知函数
在区间
内单调递增，则
的最大值为 .
变式6-1．（多选）设函数
，则
（ ）
A．定义域为
B．是奇函数
C．在
单调递增
D．在
单调递减
变式6-2．已知定义在
上的函数
，则不等式
的解集是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-3．若函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
用“基本函数法”求函数
的单调区间的步骤
第一步：写出基本函数
的单调增区间；
第二步：将“
”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“
”；
第三步：解关于
的不等式
题型07 正切（型）函数比较大小
例13．若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
是第三象限角
例14．已知
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-1．下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-2．（多选）在锐角△ABC 中，三个内角分别是
，
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-3．若锐角
满足
，则下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．以上说法均不对
题型08 正切（型）函数的值域
例15．函数
的值域是 .
例16．函数
在x [
∈
]上的最大值为4，则实数a 为 .
变式8-1．设函数
．
(1)求
的最小正周期和单调区间；
(2)求
在区间
的值域．
变式8-2．若函数
，
的图象都在
轴上方，则实数
的取值范围为 .
变式8-3．函数
在
上的最大值和最小值分别为
和
，求a，b
的值．
题型09 正切函数（二次、分式）的值域
例17．函数
，
的值域为 ．
例18．已知
，求函数
的最小值．
变式9-1．函数
的值域为 .
变式9-2．当
时，函数
的最小值是 .
变式9-3．求函数
的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量
的集合.
一、单选题
1．若函数
的图象的一个对称中心的横坐标为2，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若点
是函数
的图像的一个对称中心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数
在区间
内的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．将函数
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期是
B．
的图象关于直线
对称
C．
在区间
上单调递减
D．
的图象关于点
对称
7．如图，函数
的部分图象与坐标轴分别交于点
，
，
，且
的面积
为
，则（ ）
A．函数
的周期为
B．
C．
是
图象的一个对称中心
D．
的解集为
三、填空题
8．若函数
的图象关于点
（
）对称，则
.
9．函数
的值域是 .
10．已知
，若点
在第一象限，则
的取值范围是 ．
四、解答题
11．已知函数
．
(1)若函数
的最小正周期为
，求
的定义域及单调递增区间；
(2)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围．
12．已知函数
，点
和
是曲线
相邻的两个对称中
心．
(1)求
的解析式；
(2)若关于
的方程
在区间
内恰有两个实根，求
的取值范围．
13．函数
中，
，最小正周期为
，
．
(1)求
；
(2)求函数
在
上的值域；
(3)求不等式组
的解集．
