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专题20 圆锥曲线的方程（弦长问题）
题型一：求椭圆的弦长
题型二：求椭圆的弦长的最值（范围）
题型三：根据椭圆的弦长求参数
题型四：求双曲线的弦长（含最值范围）
题型五：根据双曲线的弦长求参数
题型六：求抛物线焦点弦
题型七：求抛物线中非焦点弦
题型八：根据抛物线弦长求参数
题型一：求椭圆的弦长
1．已知椭圆
经过
中的三点.
(1)求
的方程；
(2)设
分别为
的左、右顶点，动点
在直线
上，直线
与
的另一个交点为
，直线
与
的另一个交点为
.
（i）证明：直线
过定点，并求出该定点坐标；
（ii）当直线
的斜率为1 时，求线段
的长.
2．已知直线
与椭圆
交于
两点.
(1)若直线过椭圆
的左焦点
，求
；
(2)设线段
的垂直平分线与
轴交于点
，求
.
3．已知椭圆
经过点
，且离心率为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于点
，
，求
.
4．已知椭圆
，过原点
且倾斜角为
的直线交椭圆于
两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆
的右焦点为
，且经过点
(1)求椭圆C 的标准方程：
(2)经过椭圆C 的右焦点作倾斜角为
的直线l，直线l 与椭圆相交于M，N 两点，求线段MN 的长．
6．已知椭圆
，一组平行直线的斜率是
.
(1)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；
(2)这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于
两点，求
.
7．已知斜率为2 的直线经过椭圆
的右焦点
，与椭圆相交于A，B 两点，求：
(1)直线
的方程；
(2)弦长
.
8．已知点
，
是椭圆
：
的左右焦点，且椭圆
的短轴长为
，离心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线过点
且斜率为2，与椭圆
交于
两点，求线段
的值．
9．已知椭圆C：
（
）的离心率为
，短轴长为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)经过椭圆C 的右焦点
作倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于M，N 两点，求线段MN 的长．
题型二：求椭圆的弦长的最值（范围）
10．已知椭圆
的上顶点为A，过点A 的直线与C 交于另一点B，则
的最大值为
．
11．已知中心在坐标原点的椭圆
的一个焦点为
，且过点
，过原点
作两条互相垂直的射线
交椭圆于
、
两点，则弦长
的取值范围为 ．
12．在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左、右顶点分别为
，上顶点为
，且
，
的面积为2.
(1)求
的方程；
(2)若直线交
于
两点，以线段
为直径的圆的另一个交点为
，且
，求
的最大
值．
13．已知椭圆
的离心率为
，焦距为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)直线的斜率为
，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于
两点，求线段
的长度的
取值范围.
14．已知
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
的上顶点，若
为直角三角
形，且椭圆过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
作斜率互为相反数的两条直线与
分别交椭圆
于
两点，
①求证：通过点
的直线的斜率为定值，并求出该定值；
②求
的最大值.
15．已知
是椭圆
的一个顶点，点
是
上一点．
(1)求椭圆
的方程．
(2)若过点
的直线与椭圆
交于
，
两点（异于点
），设直线
，
的斜率分别为
，
．
（ⅰ）证明：
为定值．
（ⅱ）求
的最小值．
16．已知椭圆
的左、右顶点分别为
、
，点
是
上一点，且直线
与
直线
的斜率之积为
.
(1)求
的方程及其长轴长；
(2)若圆
的切线与
交于
、
两点，求
的最大值.
17．已知椭圆
的离心率为
，右顶点
到左焦点的距离为3，直线 与椭圆
交于点
，
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设直线
，
的斜率分别为
，
．若
，求
的最小值．
18．动点M 与定点
的距离和它到定直线
的距离比是常数
，
(1)求动点M 的轨迹C 的方程；
(2)若直线l 过点
，且与C 交于A，B 两点，当
最大时，求直线l 的方程.
19．已知椭圆
的离心率为
，以椭圆
的四个顶点为顶点的四边形的周长为8．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线是圆
的一条切线，且直线与椭圆
交于
，
两点，求
的最大值．
20．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过
的直线与
交于
两点，
的周长为8．
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
两点，且原点
到直线
的距离为定值1，求
的最大值．
21．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
在
上，且到
的距离分
别为
，满足
，过点
作两直线与
分别交
于
两点，记直线与
的斜率分别为
，且满足
.
(1)证明：
；
(2)求
的最大值.
22．已知坐标原点为
，椭圆
的上顶点为
，右焦点为
，且
，
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过
作互相垂直的两条直线分别交
于
、
两点，求
的最大值．
题型三：根据椭圆的弦长求参数
23．已知
为椭圆
：
上一点，且点
到两焦点距离之和为
，且椭圆离心率为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
被椭圆
截得的线段长为
，求
的值.
24．已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
，
为
轴上一动点．
(1)求
的方程；
(2)过
点作与直线
垂直的直线交
于
两点，当
时，求直线
的斜率．
25．椭圆
长轴长为4，离心率为
，左右焦点分别为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)斜率为
且过
的直线与椭圆
文于
两点，弦长
，求
的值.
26．已知椭圆
（
）的半焦距为，离心率
，直线
交椭圆于
，
两点，
若
，求椭圆的方程．
27．已知斜率为
的直线过点
，且与椭圆
相交于不同的两点
，
，
(1)若
，
中点的纵坐标为
，求直线的方程；
(2)若弦长
，求
的值.
28．已知椭圆
经过点
，离心率为
，过点
的直线与椭圆交于不同的
两点
、
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若
，求直线
的方程.
29．已知椭圆
的左焦点为
，且点
在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若斜率为
的直线交椭圆C 于A、B 两点，且
，求直线的方程.
30．已知椭圆
的离心率
，一个焦点为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若斜率为1 的直线交椭圆
于
，
两点，且
，求直线的方程.
题型四：求双曲线的弦长
31．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，且
.
(1)求
的标准方程；
(2)过
的直线交双曲线
于
两点（
两点均位于
轴下方，
在左，
在右），线段
与线
段
交于点
，若
的面积等于
的面积，求
.
32．已知O 为坐标原点，动点P 到x 轴的距离为d，且
，其中
均为常数，动点P 的轨迹
称为
曲线．
(1)判断
曲线为何种圆锥曲线？
(2)若
曲线为双曲线，试问
应满足什么条件？
(3)设曲线C 为
曲线，斜率为1 的直线l 过曲线C 的右焦点，且与曲线C 交于A，B 两个不同的点，求
．
33．已知双曲线C：
的焦距为
且左右顶点分别为
，
，过点
的直线与双曲
线C 的右支交于M，N 两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
的斜率为
，求弦长
.
34．已知双曲线
与圆
相切，且
的渐近线方程为
.
(1)求
的方程；
(2)若
的右顶点为
，过
的右焦点的直线交
于
两点，且
，求
.
35．已知双曲线
的实轴长为
，点
在双曲线
上.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设
是双曲线
与圆
在第一象限的交点，且
为双曲线
的焦点，求
的面积.
(3)过点
且斜率为
的直线与双曲线
的另一个交点为
，求
.
36．已知双曲线
与圆
相切，且
的渐近线方程为
.
(1)求
的方程；
(2)若
的右顶点为
，过
的右焦点的直线交
于
两点，且
，求
.
37．已知双曲线C：
的离心率为2.且经过点
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 与C 交于A，B 两点，且
（点O 为坐标原点），求
的取值范围.
38．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，两条渐近线的夹角为
，
是双曲线上一点，且
的面积为
.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线
交于
、
两点，且坐标原点
在以
为直径的圆上，求
的最小值.
39．已知双曲线
的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于
.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线
交于
两点，且坐标原点
在以
为直径的圆上，求
的最小值.
40．已知双曲线
的一条渐近线方程为
，
为坐标原点，点
在双曲
线
上．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线与双曲线
交于
两点，且
，求
的最小值．
题型五：根据双曲线的弦长求参数
41．已知双曲线
过点
，右焦点
到渐近线的距离为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若直线过双曲线
的右焦点
，与双曲线
交于
两点，满足
，求直线的方程．
42．已知双曲线C 与椭圆
有公共焦点，其渐近线方程为
.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若直线
与双曲线C 交于A，B 两点，且
，求实数m 的值.
43．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线
经过
两点.
(1)求
的离心率；
(2)若直线
与
交于
两点，且
，求
.
44．已知双曲线
：
的左右焦点分别为
，
，
到其中一条渐近线的距离为1，
过
且垂直于
轴的直线交双曲线于A，B，且
.
(1)求E 的方程；
(2)过
的直线交曲线E 于M，N 两点若
，求直线的方程
题型六：求抛物线焦点弦
45．已知抛物线
的焦点F 到其准线的距离为4．
(1)求p 的值；
(2)过焦点F 且斜率为1 的直线与抛物线交于A，B 两点，求
．
46．已知直线
与抛物线
交于
，
两点，已知弦
的中点的纵
坐标为2．
（1）求
；
（2）直线
与抛物线
交于
，
两点，求
的取值范围．
47．已知抛物线
：
与圆
：
的两个交点之间的距离为4．
求p 的值；
设过抛物线
的焦点F 且斜率为2 的直线与抛物线交于A，B 两点，求
．
48．在平面直角坐标系
中，已知点
，横坐标非负的动点
到
轴的距离为
，且
，记点
的运动轨迹为曲线
．
(1)求
的方程；
(2)若
是
上两点，且线段
的中点为
，求
．
49．已知抛物线
的焦点为
，准线方程为
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）若直线：
与抛物线
交于
，
两点，求
．
50．已知抛物线
上有一点
到焦点
的距离为，
（1）求
及
的值．
（2）过焦点
的直线交抛物线于
，
两点，若
，求直线的方程．
题型七：求抛物线中非焦点弦
51．已知抛物线
的焦点
为椭圆
的右焦点，且
的右顶点为
．
(1)求
的方程；
(2)设过点
且倾斜角为
的直线与
交于
两点，求
．
52．已知过
的直线交抛物线
于A，B 两点，其中O 为坐标原点．
(1)求证：
；
(2)若线段AB 的中点的纵坐标为1，求|AB|．
53．曲线
上的每一点到定点
的距离与到定直线
的距离相等.
(1)求出曲线
的标准方程；
(2)若直线
与曲线
交于
两点，求弦
的长.
54．已知抛物线
仅经过
中的一点．
(1)求
的方程．
(2)过原点
作圆
的两条切线，切点分别为E，F．且E，F 在
的准线上．
①求；
②若
是圆
上纵坐标最大的点，点M，N 在
上，线段PM，PN 的中点分别为
，
，且点G，H 也在
上，求|MN|．
题型八：根据抛物线弦长求参数
55．已知双曲线
（
，
）的渐近线方程为
，焦距长为4．
(1)求C 的标准方程；
(2)点
在C 上，点P 的坐标为
，O 为原点，求
面积的最小值；
(3)过C 的右焦点F 的直线与C 交于D，E 两点，以DE 为直径的圆与直线
交于M，N 两点，若
，求直线DE 的方程．
56．已知双曲线
的离心率为
，且过点
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线
右焦点的直线与双曲线
相交于
两点，若线段
的长为8，求直线的方程.
57．已知双曲线C 与椭圆
有公共焦点，其渐近线方程为
.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若直线
与双曲线C 交于A，B 两点，且
，求实数m 的值.
