专题21 拓展练四：圆锥曲线的方程（面积问题）
题型一：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）
题型二：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
题型三：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）
题型四：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
题型五：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）
题型六：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
题型一：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）
1．已知A，F 是椭圆
的右顶点和左焦点，椭圆E 过点
，且焦距为2．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)直线
与E 交于M 点（不与B 点重合），求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得：
，方法一：代入点解得
，
，即可得方程；方法二：根据椭圆
的定义可得
，即可得方程；
（2）由题意可得直线
方程为
，联立方程结合弦长公式可得
，结合点到直线的
距离公式求面积.
【详解】（1）因为焦距为
，即
，
方法一：由题意可得：
，解得
，
，
所以椭圆方程
．
方法二：由题意可知：
，右焦点
，则
，
可得
，
即
，可得
，
所以椭圆方程
．
（2）因为
，
，直线
方程为
，即
，
联立方程
，消去y 可得
，解得
或
，
可得
，
且
到直线
的距离为
，
所以
的面积
．
2．已知椭圆
：
上一点
处的切线为，两焦点
，
在上的射影分别为
，
我
们常常把过切点
且与切线垂直的直线叫做法线，它平分
，因此从一个焦点射出的光线经过切点
反射后会经过另一个焦点如图
记
，
，当点
不在
轴上时，记
的面积为
若
.
(1)求证：
；
(2)试探究
是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由；
(3)若椭圆
的离心率为
，且当
时，四边形
的面积
，求椭圆
的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)为定值，
(3)
【分析】（1）根据椭圆的定义结合余弦定理，再应用二倍角正弦公式及余弦公式计算证明；
（2）应用弦长计算化简结合
关系计算求解；
（3）根据面积公式计算化简结合离心率计算求解
即可求出椭圆方程.
【详解】（1）记
，
，
，则
，
.
在
中，
又
，两式相减，得
，
（2）题意得
故
，
，则
，
由（1）得，
，则
.
当
为椭圆左右顶点时，
也满足上式
故
，为定值；
（3）
，
，
，
则
，
由
，知
，故
椭圆
的方程为
3．已知椭圆
的短轴长为4，离心率为
过右焦点F 的动直线与C 交于A，B 两
点，点A，B 在x 轴上的投影分别为
，
在
的左侧).
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线
与直线
交于点M，
的面积为
求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）由题意可得出
，解方程求出
，即可求出椭圆方程；
（2）首先设直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示点
的坐标，并利用坐标表示
的面积，即可求解直线方程.
【详解】（1）由题意可得：
，解得：
，
故
，
，
，
所以椭圆C 的方程为
.
（2）当直线斜率为0 时，不符合题意，舍去.
当直线斜率不为0 时，设直线方程为
，设
，
联立
，得
，
易知
，则
，
.
易知
，
，
所以直线
：
①，直线
：
②，
联立①②
，
所以
，
因为
，
所以
，
解得
，
故直线的方程为
或
.
4．已知动点到两定点
，
的距离之和为定值，且过点
．
(1)求动点的轨迹方程C；
(2)若过点
的直线与
交于
两点，
为坐标原点，
面积为
，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)为
或
.
【分析】（1）根据给定条件，利用两点间距离公式求出定值并确定轨迹图形，进而求出方程.
（2）设出直线的方程，与
的方程联立，结合韦达定理及三角形面积求出参数即可.
【详解】（1）依题意，点
到点
的距离和为
，
因此动点的轨迹是以点
为左右焦点，长轴长为4 的椭圆，短半轴长为
，
所以动点的轨迹方程C：
.
（2）直线不垂直于
轴，设其方程为
，
，
由
消去
得
，
，
的面积
，解得
，
所以直线的方程为
或
.
5．已知椭圆
的离心率为
，椭圆的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线
与椭圆
相交于
，
两点，且
的面积为
，求直线的方程.
（注：椭圆的面积公式为
）
【答案】(1)
(2)
和
和
和
【分析】（1）根据椭圆面积及离心率列方程，解方程即可；
（2）联立直线与椭圆，结合弦长公式与点到直线距离可得面积，即可得解.
【详解】（1）因为椭圆面积
，即
，
离心率
，
可解得
，
，
，
所以椭圆的方程为：
；
（2）
因为直线
与椭圆
相交于
，
两点，
所以可以联立方程
，得
可得：
，即
则
所以
，
又因为原点到直线的距离
，
所以
，
计算可得
或
，
所以直线方程为
和
和
和
.
6．已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
，
分别是椭圆
的左、右顶点，点
，
在椭圆
上，且不与
两点重合.
(1)当四边形
为平行四边形时，请写出点
，
的位置关系（说明理由即可，不需证明）.
(2)在（1）的条件下，若
，且
.
（i）求椭圆
的方程；
（ii）若点
在直线
上，且
，
，求
的面积.
【答案】(1)点
，
关于原点对称
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）根据椭圆的对称性及平行四边形的对称性判断即可；
（2）（i）根据对称性可得
，结合椭圆的定义求出
，设
，则
，由斜
率公式求出
，即可得解；（ii）过点
作
，垂足为
，直线
与
轴交于点
，根据三角形
相似求出
，即可求出
，从而求出
、
坐标，即可求出三角形面积.
【详解】（1）因为四边形
为平行四边形，
，
分别是椭圆
的左、右顶点，
则
的中点为坐标原点，又点
，
在椭圆
上，
又因为椭圆
为中心对称图形，所以点
，
关于原点对称；
（2）（i）由对称性可知
，又
，所以
，
由椭圆的定义可知
，即
，所以
，
设
，则
，
因为点
在椭圆上，所以
，所以
，
又
，所以
，即
，所以
，
解得
，
所以椭圆方程为
；
（ii）如图，过点
作
，垂足为
，直线
与
轴交于点
，
因为
，所以
，又
，
所以
，
所以
，所以
，又
，
，
，
所以
，
，
所以
，又点
在椭圆上，所以
，解得
，
不妨取
，则
，所以
，
又
，
所以
；
由对称性，可得
，
，
或
，
，
或
，
，
时，同理可得
，
综上可得
.
7．已知椭圆
的离心率为
短轴长为4.
(1)求椭圆的方程.
(2)过左焦点F₁ 作两条互相垂直的直线，
(其中直线的斜率为正)，直线与椭圆交于A、B 两点，直
线
与椭圆交于C、D 两点，若四边形ACBD 的面积为
求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据离心率以及短轴长，结合
的关系即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据弦长公式，即可由面积公式化简求解.
【详解】（1）由题意可得
，解得
，
故椭圆方程为
（2）
，设直线
，
联立直线与椭圆方程
，故
，
设
,则
所以
，
因为
,所以
，
所以四边形
面积
，
因此
，
化简可得
，故
或
，
由于
，故
或
，
故直线方程为
或
8．已知
和
为椭圆
：
上两点．
(1)求
的焦距；
(2)
，
，
是
上三点．
①若
平行于
轴，且
是正三角形，求
的长；
②若
的重心为坐标原点
，求
的面积．
【答案】(1)4
(2)①
；②
【分析】（1）利用已知信息求出
的值即可；
（2）①利用对称性不妨设点
为上顶点，设
直线方程，求点坐标，再利用直线
的斜率为
求得未
知数；
②分类讨论，若直线
平行于
轴，则利用重心性质可得
直线方程；若直线
平行于
轴，则同
理；若直线
与坐标轴不垂直时，设
直线方程，利用重心性质可得
坐标，将其代入方程得
，再利用面积公式化简得
即可.
【详解】（1）因为点
在
上，所以
．
将点
代入方程
，解得
，所以
．
因为
，所以
．所以
的焦距为4．
（2）由（1）得
的方程为
．
①因为
是正三角形，且
平行于
轴，所以
为上或下顶点．
不妨设
，
方程为
，则
，
．
因为直线
的斜率为
，
所以
，整理得
，解得
或
（舍）．
所以
．
②当
与
轴平行时，则
为短轴的端点，不妨设
．
因为
为
的重心，所以直线
的方程为
．
所以
，
，此时
的面积为
．
同理，当
与
轴垂直时，
的面积为
．
当直线
与坐标轴不垂直时，设直线
的方程为
，
联立直线
与椭圆
的方程，消去
，得
．
设
，
，
因为
，
所以当
时，有
，
．
因为
的重心为坐标原点
，
所以
，
．
因为
在
上，所以
．
整理，得
．
因为
，
又因为点
到直线
的距离
，
所以
．
所以
的面积
．
综上所述，当
的重心为原点
时，
的面积为
．
题型二：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
9．平面内，动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离的比是常数
，记动点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)
为坐标原点，
为曲线
上不同两点，经过
两点的直线与圆
相切，求
面积的
最大值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据题设条件列出方程，化简即得曲线
的方程；
（2）依题设直线
的方程为
，由圆心到直线的距离等于半径推出
，再由直线
与椭圆方程
联立消元，写出韦达定理，计算弦长
和点
到直线
的
距离，表示出
面积，利用换元和基本不等式即可求得面积最大值.
【详解】（1）设
到定直线
的距离为
，
依题意，可得
，化简得
，
即曲线
的方程为
.
（2）依题意，直线
的斜率不可能是0，不妨设其方程为：
，
则圆
的圆心到直线
的距离
，即
①
由
消去
，可得
，
由
，可得
，
设
，则
，
则
，
将①式代入，化简得：
，
因点
到直线
的距离为
，
则
的面积为
，
设
，则
，
，
因
，当且仅当
时取等号，
此时
，
的面积的最大值为
.
10．已知椭圆
，中心在原点，且与抛物线
有相同的焦点
，且椭圆
上的点到点
距离的最小
值为1．
(1)求圆
的标准方程；
(2)过点
作直线交椭圆
于
两点，过点
作直线
的垂线
，
为垂足，连接
与y 轴交
于点
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）由题意可得椭圆的一个焦点为
，从而设椭圆
，根据
，
，求解即可；
（2）设直线的方程为
，
，
，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得
，写出直线
方程可得
，求出
到直线
的距离
及弦
的长度，
再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）解：抛物线
的焦点为
，
所以椭圆的一个焦点为
，
设椭圆
，
则
，
又因为椭圆
上的点到点
距离的最小值为1，
即
，
所以
，
，
所以椭圆
；
（2）解：由题意知直线的斜率存在，
设直线的方程为
，
，
，
则
，
由
，得
，
，
所以
，
，
令
，得
．
因为
，
代入上式得
，
所以
，
设
到直线
的距离为d，则
，
，
所以
，
因为
，所以
，
当且仅当
时等号成立
所以
，
即
面积的最大值为
．
11．已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且经过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)椭圆
的右焦点为
，设不过点B 的动直线与坐标轴不垂直，与椭圆
交于不同的
，
两点，且
与
互补
为坐标原点.
①证明：动直线恒过
轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求
面积的最大值.
【答案】(1)
；
(2)①证明见解析，
；②
.
【分析】（1）求出椭圆的焦点，再利用椭圆的定义求解椭圆
的方程.
（2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合
计算推理得证；②由①中
定点
，求出面积的函数关系并借助于基本不等式求面积的最大值.
【详解】（1）抛物线
的焦点坐标为
，
则椭圆
的焦点坐标为
，半焦距
，而椭圆
过点
，
于是
，
，
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）①，由（1）知，
，设直线：
（
），
，
由
，得
，
，
且
，
（*），
由
与
互补，可得直线
的斜率
满足
，
则
，
则
，则
，
将（*）代入上式，可得
，整理得
，而
，解得
，
所以动直线恒过
轴上的定点
；
②由①知，
，
，且由
可得
，
又
，
令
，则
，
因此
，当且仅当
时取等号，
所以
面积的最大值为
.
12．已知直线
与椭圆
交于A 、B两点，直线
与椭圆
交
于
、
两点，且
，如图所示.
(1)证明：
；
(2)求四边形
的面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】法一：（1）利用弦长公式及韦达定理，由
，得到
；
（2）利用对称性，将四边形
的面积转化为4 倍的
的面积，
，化解后结合基
本不等式得四边形
的面积的最大值.
法二：仿射变换.
【详解】（1）法一：设直线
与椭圆交于两点
、
，则
联立直线与方程，有
，
，
等价于
，又
，即
.
法二：四边形
为椭圆内接平行四边形，做仿射变换后为圆内接平行四边形，为矩形.
因此对角线为直径，也就是说椭圆内接平行四边形的对角线互相平分于原点，于是
.
（2）法一：由①，
与
关于原点对称，
四边形
为对称中心在原点的平行四边形.不妨设
，则
(当且仅当
时取得等号).
四边形
的面积的最大值是
.
法二：圆内接矩形当且仅当矩形为正方形时面积最大，于是椭圆内接平行四边形面积的最大值是
.
13．已知在平面直角坐标系
内，点
到直线
的距离是到点
的距离的
倍，设点
的轨
迹为曲线
，
(1)求曲线
的方程，
(2)已知
上一动点
，过
且垂直于
的直线交曲线
于
两点，线段
的中点为
.
①证明：
共线：
②若曲线
上存在点
，使得
，且
.求四边形
面积的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）利用设点法，用距离公式表达已知条件，整理可得到曲线的方程，整理为椭圆的标准方
程；
（2）①设
，可得直线
，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段
中点坐标，得
到直线
的方程，进而证明三点共线；②根据已知向量关系，得到点
，代入椭圆方程，
利用
范围求得的范围，进而利用面积公式将表示四边形面积表示为的函数，求得面积的取值范围..
【详解】（1）设
，因为
，所以
，整理得
（2）
① 根据（1）可得曲线
是椭圆，
,右焦点为
.
因为点
在直线
上，故可设
，则
.
又因为
，故直线
方程为：
，代入
整理得
.
设
，则
，
，
.
设
中点
，则
，
直线
，所以
，
则
在直线
上，即
共线；
②因为
，则
，
代入
得
,
即
.
方法1：因为
，所以四边形
面积
.
方法2：
.
14．已知椭圆
的右焦点为
上一动点
到
的距离的取值范围为
.
(1)求
的标准方程；
(2)设斜率为
的直线过
点，交
于
，
两点.记线段
的中点为
，直线
交直线
于点
，直线
交
于
，
两点.
①求
的大小；
②求四边形
面积的最小值.
【答案】(1)
；
(2)①
；②3.
【分析】（1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出
的取值范围，进而求出
即可.
（2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出
坐标，利用斜率关系求出
；
②利用弦长公式求出
，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值.
【详解】（1）设椭圆
的半焦距为c，则
，
而点
到
的距离的取值范围为
，
因此
，解得
，
，
所以
的标准方程为
.
（2）①由（1）知点
，设直线的方程为
，
，
由
消去
得
，
，
，
则
，线段
的中点
，
直线
的斜率
，直线
交直线
于点
，
因此直线
的斜率
，即
，则直线
与直线
垂直，
所以
.
②由①知，
，
直线
的方程为
，同理得
，
因此四边形
的面积
，
而
，当且仅当
，即
时取等号，
则
，
所以四边形
面积的最小值为3.
15．已知椭圆
的离心率为
，
，
分别是椭圆的左右焦点，过点
的直线交
椭圆于
两点，且
的周长为
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与
交于
两点，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义可得
的周长为
，结合椭圆的离心率可得结果.
（2）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示三角形面积，分析函数性质可得结果.
【详解】（1）
由椭圆的定义得，
的周长为
，故
.
由离心率
得
，∴
，
∴椭圆C 的方程为
.
（2）
设
，
由
得，
，
由
得，
，
∴
，
∴
，
∵点
到直线
的距离为
，
∴
的面积
，
令
，则
∵二次函数
对称轴为直线
，
∴当
时，
，
∴
.
16．已知椭圆
满足
，点
为
上一点．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若过点
的直线与椭圆
相交于
两点，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由题意可得
，
，再由椭圆的定义求解即可；
（2）设直线的方程为
，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出弦长，再由三角形的面积公式可
得
，利用换元法求解即可.
【详解】（1）设椭圆
的半焦距为，左、右焦点分别为
，
根据题意可知，
，所以
，
则
，
由椭圆的定义可得
，所以
，
故椭圆
的标准方程为
．
（2）当直线斜率为0 时，不存在
，故设直线的方程为
，设
，
联立
，整理得
，
则
，
利用弦长公式可得
，
点
到直线
的距离为
，
所以
的面积为
，
设
，则
，
所以
的面积为
，
因为函数
在
上单调递增，
所以，当
时，
的面积取得最大值，最大值为6，
综上，
面积的最大值为6．
题型三：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）
17．已知双曲线
，点
，直线
与双曲线C 交于不同的两点
.
(1)若
的重心在直线
上，求k 的值；
(2)若直线过双曲线C 的右焦点F，且直线
的斜率之积是
，求
的面积.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理以及重心坐标公式可得重心坐标，代入
中
即可求解，
（2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，即可代入化简求解斜率，由弦长公式以
及点到直线距离公式即可求解面积.
【详解】（1）设
，联立方程
，即
，
，
又
的重心为
，由题设
，
即
，
.
所以
，则
.
（2）由题设，直线
，联立方程
即
，
，则
，
，代入化简得
，
所以
或
（过M 点舍），直线为
，代入双曲线得
，
，而M 点到
的距离为d，则
，
.
18．已知双曲线
的焦点
到一条渐近线
的距离为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线交双曲线
于
两点，
是坐标原点，若
是弦
的中点，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离求出
，结合渐近线方程即可求出双曲线方程；
（2）利用点差法求出直线的斜率，然后联立直线与双曲线
的方程，求出弦长
和点
到直线的距
离，即可求出
的面积.
【详解】（1）由双曲线
的一条渐近线方程为
，所以
，
故
到渐近线的距离
，
所以
，又
，所以
，
故
的方程为
.
（2）设点
，因为
是弦
的中点，则
由于
，所以两式相减得
，
所以
，即直线的斜率为
，
所以直线的方程为
，即
.
联立
消去
并整理，得
，
所以
，且
，
所以
.
点
到直线
的距离为
，
所以
的面积为
.
19．已知双曲线
的离心率为
，焦点到渐近线的距离为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若
为坐标原点，直线
交双曲线
于
两点，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率设
，求出
，代入焦点到渐近线的距离计算进而可得
，则双
曲线方程可求；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可.
【详解】（1）由题意得：
，令
，
则
，
又焦点到渐近线的距离为
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以双曲线
的标准方程为
；
（2）设
，
，
联立方程组
，消去
整理得
，
则
，
，
，
所以
，
又原点到直线
的距离
，
所以
．
20．已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，点
为双曲线上一点，且
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)已知直线
与双曲线
交于
两点，且
，其中
为坐标原点，求
的值.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据已知条件及双曲线的定义即可求解；
（2）将直线与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理及点到直线的距离公式，结合弦长公式及三角形的
面积公式即可求解.
【详解】（1）由
及双曲线的定义知，
，即
，
所以双曲线的方程为：
.
（2）由题意可知，作出图形如图所示
设
，由题可知
，
联立
，
所以
，
点
到直线
的距离
，
所以
，
令
，化简得：
，解得：
或
，
所以
或
.
21．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，焦距为4，且其渐近线方程为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过点
的直线与双曲线的右支交于M，N 两点，点
关于
轴对称的点为
，若
的面积为
，求直线
的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据焦距求出，然后根据渐近线求得
，即可求解双曲线的标准方程；
（2）先求出直线
恒过点
，然后设直线
的方程为
，与双曲线方程联立，韦达定理，
用坐标表示
的面积，解方程即可求解.
【详解】（1）双曲线
的一条渐近线为
，所以
，即
，
又焦距
，所以
，即
，解得
，
所以双曲线的方程为
.
（2）设
，
，则
，设：
，
联立
消去
得
，
，
则
，
，则
，
根据双曲线的对称性设直线
恒过点
，则N，P，T 三点共线，
则
，
，
有
，
，所以
，即直线
恒过点
，
设直线
的方程为
，
，
，
联立
消去
得
，
由
，得
，则
，
，
又直线与双曲线的右支交于M，N 两点，所以
，所以
，所以
，
所以
，化简并整理得
，解得
或
（舍去），
所以
，所以直线
的方程为
，即
或
.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程
或截距式
来证明.
22．过双曲线
上一点
作两条渐近线的垂线，垂足分别为
，且
.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若动直线的斜率存在，且与双曲线
相切，切点为
与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，设
原点O 关于点
的对称点为
，求四边形
的面积.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解
，结合
即可求解，
（2）根据相切得判别式为0 可得
，进而联立直线方程可得
的坐标，即可判断四边形为矩
形，利用面积公式化简求解即可.
【详解】（1）双曲线
的渐近线方程为
，
,
因为
，所以
，
故双曲线
的方程为
（2）当动直线的斜率存在时，且斜率
时，不妨设直线
，
故由
，
从而
，化简得
又因为双曲线
的渐近线方程为
，故由
，
从而点
.同理可得，
，
故MN 中点横坐标为
，
所以
为
的中点，
故四边形MONQ 为矩形
设四边形MONQ 面积为，则
23．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，且
的离心率为2，焦距为4．
(1)求
的方程；
(2)直线过点
且与
交于
两点，
为坐标原点，若
的面积为
，求的方程．
【答案】(1)
(2)
或
．
【分析】（1）利用离心率求出双曲线方程即可.
（2）利用三角形的面积求出斜率，进而写出方程即可.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
所以
，
故
的方程为
．
（2）由（1）知
，显然直线的斜率不为0，设的方程为
，
联立方程组
，消去
得
，
则
．
设
，则
．
所以
．
由
，化简得
，
解得
（负值舍去），即
，
所以直线的方程为
或
．
24．双曲线
左右焦点分别为
，若双曲线C 经过点
且一条渐近线方
程为
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过
作倾斜角为
的直线交双曲线
于
两点，求
的面积（
为坐标原点）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出
，即可得解；
（2）先求出直线的方程，求出原点
到直线的距离，联立方程，利用韦达定理求出
，再根
据弦长公式求出
，进而可得出答案.
【详解】（1）由题意可得，
，解得
，
所以双曲线C 的方程为
；
（2）
，
则直线的方程为
，即
，
则原点
到直线的距离
，
设
，
联立
，消
得
，
，
则
，
所以
，
所以
的面积
.
25．已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，点
在
的右支上.
为原点，且
．
(1)若点
为
的中点，求
的长度；
(2)过
作直线与
的右支交于
两点，当
的面积为
时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)直线
或
.
【分析】（1）利用垂直关系求出
，结合定义可得答案；
（2）利用韦达定理表示出三角形的面积，结合面积可求直线方程.
【详解】（1）因为
，所以
，
又因为
，所以
，
又由双曲线的定义可知
，
所以
，
又因为
为
的中点，
为
的中点，
所以
．
（2）根据题意，可设直线
联立方程
化简得
，
由题意可知
，
且
，
设
，
所以
，
所以
所以
.
令
，
解得
（舍）或
．
当
时，
，所以直线
或
．
题型四：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
26．在平面直角坐标系中，有两个圆
，和圆
，一动圆Р 与两圆一
个内切，一个外切．
(1)求动圆圆心P 的轨迹C 的方程；
(2)若直线
与曲线C 有两个不同的交点A，B，O 是坐标原点，求
的面积最小值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用给定条件，可得
，再利用双曲线的定义求出轨迹方程即得.
（2）联立直线与轨迹C 的方程，结合韦达定理表示出三角形面积，再借助函数求出最小值即得.
【详解】（1）圆
与圆
的圆心分别为
，半径均
为1，
令动圆
的半径为，显然
，当圆
与圆
内切时，
，即
，
当圆
与圆
内切时，
，即
，于是
，
因此动圆圆心P 的轨迹C 是以
为左右焦点，实轴长为2 的双曲线，其虚半轴长为1，
所以动圆圆心P 的轨迹C 的方程为
.
（2）由
消去y 并整理得：
，由
，知
，
设
，则
，
，
直线
交y 轴于点
，则
的面积
，于是
对
是递减的，
因此当
时，
，
所以当
时，
的面积取得最小值
.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形
上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
27．在直角坐标系
中,直线
是双曲线
的一条渐近线,点
在双曲线
上,设
为双曲线上的动点,直线
与
轴相交于点
,点
关于
轴的对称点为
,直线
与
轴相交于点
.
(1)求双曲线
的方程;
(2)在
轴上是否存在一点
,使得
,若存在,求
点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)求
点的坐标,使得
的面积最小.
【答案】(1)
(2)存在
或
(3)
的坐标是
或
或
或
【分析】（1）根据渐近线方程得
,点
在双曲线
上得
,列出方程组求解即可;
（2）假设
,由直线
方程得
坐标,由向量的数量积运算可得
,用坐标表示这个结
论可得与
关系,再由点
在双曲线可得结论;
（3）直接计算
的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标.
【详解】（1）由已知得
,解得
,所以双曲线
的方程为
.
（2）设
,如图:
根据题意得:
,令
得
,
因为点
关于
轴的对称点为
,所以
,
则
,令
得
,
因为
,平方可得
,
因为
,
则
,
因为
,所以
,
则
,即
,
所以存在
或
满足条件;
（3）如图:
因为
,
由（2）知
,即
,代入上式得:
,
当且仅当
,即
时等号成立,
此时
,
所以
的坐标是
或
或
或
时,
的面积最小.
28．在平面直角坐标系
中，动点
到
的距离与它到直线
的距离之比为2，记
的轨迹
为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)过
的直线交曲线
于
两点（均位于
轴右侧），
关于原点的对称点为
，求
的面积的
取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知可得
，化简整理即可得出答案；
（2）设出直线的方程为
.联立直线与双曲线的方程可得
，进而根据韦
达定理得出坐标之间的关系，以及
的取值范围.进而表示出
，换元可得
，即可根据的取值范围得出答案.
【详解】（1）设点
，
依题意有
，
即
，
化简得
.
（2）设
，
，
由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为
，
联立直线与双曲线的方程
，
整理可得
，
则
，
.
由已知可得，
，
所以
，
所以
.
又
，
所以
.
设
，则
，且
，所以
.
，
当
时，该式有最小值
，
所以
的面积的取值范围是
.
29．已知圆
：
，圆
：
，一动圆与圆
和圆
同时内切.
(1)求动圆圆心
的轨迹方程；
(2)设点
的轨迹为曲线
，两互相垂直的直线，
相交于点
，交曲线
于
，
两点，
交圆
于
，
两点，求
与
的面积之和的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；
（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算
、
，从而求得面积的表达式，再求范围即可.
【详解】（1）由
：
，得
，可知
，其半径为
，
由
：
，得
，可知
，其半径为
.
设动圆半径为，动圆圆心到
的距离为
，到
的距离为
，则有
或
，即
，得
，
又
，
所以动圆圆心
的轨迹是以
，
为焦点的双曲线，由
，可得
，
所以动圆圆心
的轨迹方程为
；
（2）①当直线的斜率存在时，由题意，
，设：
，与双曲线联立
，
由于其于双曲线有两个不同的交点，
所以
，得
且
，
且
，
设
：
，即
，
设圆
到直线
的距离为
，则
，
因为
交圆
于
，
两点，故
，得
.
且
，
由题意可知
，
所以
，
因为
，可得
.
②当直线的斜率不存在时，
，
，
所以
，
综上
.
30．在直角坐标系
中，直线
是双曲线
的一条渐近线，点
在双曲线
上，设
为双曲线上的动点，直线
与
轴相交于点
，点
关于
轴的对称点为
，直线
与
轴相交于点
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)求
点的坐标，使得
的面积最小．
【答案】(1)
；
(2)
或
或
或
.
【分析】（1）根据给定条件，求出a，b 即可求出双曲线方程作答.
（2）根据给定条件，求出点P，Q 的坐标，求出三角形面积并结合均值不等式求解作答.
【详解】（1）双曲线
的渐近线方程为
，依题意，
，
，解得
，
所以双曲线
的方程为
.
（2）
为双曲线
上的动点，由（1）知，
，而点
，
直线
：
，则点
，直线
：
，则点
，
则有
，
的面积
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，
所以点
的坐标是
或
或
或
.
31．已知
为坐标原点，双曲线
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，离心率为2，过
的直线与双曲线的右支交于
，
两点，且
的最小值为6，
(1)求双曲线方程
(2)求
面积的最小值
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）结合题意，得到
的最小值为
，从而利用双曲线的几何性质得到关于
的方程
组，解之即可；
（2）先由条件得到
，再联立直线与双曲线方程，结合韦达定理得到
关于
的解析式，利
用换元法与
的单调性即可求得
的最小值.
【详解】（1）依题意得，当
轴时，
取得最小值，不妨设
，
则
，故
，则
，所以
，则
，
又
，则
，
联立
，解得
，
所以双曲线的方程为
.
（2）由（1）得
，设
，
，直线
，
因为双曲线的渐近线为
，又由直线
与双曲线的右支交于两点，
所以
，则
，从而
，
联立
，得
，
则
，
，
，
所以
，
设
，则
，
，
令
，易得
在
上单调递减，则
，
所以
，即
面积的最小值为
.
32．设双曲线
，其右焦点为F，过F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A，B 两点．
(1)求直线l 倾斜角
的取值范围；
(2)直线AO（O 为坐标原点）与曲线C 的另一个交点为D，求
面积的最小值，并求此时l 的方程．
【答案】(1)
(2)最小值为
；直线l 的方程为
.
【分析】（1）由题意设直线l 的方程为
，设
，将直线方程代入双曲线方程，消
去
，利用根与系数的关系，由题意得
，解不等式组可求出
的范围，从而可求出直线l 倾斜
角
的取值范围；
（2）由题意可得
，由（1）得到的式子代入化简，
换元后利用函数的单调性可求得结果
【详解】（1）由双曲线
得
，
则右焦点
，显然直线l 的斜率不为0，
设直线l 的方程为
，由
得
，
因为直线l 与双曲线C 的右支交于A，B 两点，设
，
则
，
解得
，
当
时，直线l 倾斜角
，当
时，直线l 的斜率
或
，
综上，直线l 倾斜角
的取值范围为
（2）因为O 是AB 中点，所以
，令
，则
，其中
，且
又
在
单调减，所以
，
当
，即
时求得，此时直线l 的方程为
题型五：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）
33．已知抛物线
：
（
）的焦点为
，过
的直线与抛物线
交于
，
两点，当
轴
时，
，
(1)求抛物线
的方程及
的坐标；
(2)设
是抛物线
的准线上一点，当
到直线的距离最大时，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
代入
可得
，进而求出
，即可求解；
（2）由（1）知
，确定当
时点
到直线的距离最大，根据两直线的位置关系和直
线的点斜式方程求出的方程，联立抛物线方程。利用韦达定理和抛物线的定义求出
，结合三角形的
面积公式计算即可求解.
【详解】（1）当
轴时，
的横坐标均为
，代入方程
，
得
，所以
，又
，则
，解得
，
所以抛物线
的方程为
，
；
（2）由（1）知，抛物线的准线为
，所以
，即
.
当
时，点
到直线的距离最大，
又
，所以
，所以直线的斜率为1，
得直线方程为
，即
，
由
，得
，设
，
则
.
由抛物线的定义知
，又
，
所以
.
34．直线l 经过抛物线
的焦点F，且与抛物线交于A，B 两点，
为抛物线上的点，
．
(1)求抛物线的方程；
(2)若使得
成立的点P 的横坐标为3，求四边形
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义得出
，从而得出方程；
（2）设直线的方程，联立方程，由点
的横坐标以及韦达定理得出
，由弦长公式得出
，由距
离公式得出点
到直线的距离，进而结合平行四边形的面积公式求解即可.
【详解】（1）由
，得出
，所以抛物线的方程为
.
（2）
，设直线的方程为
，
联立
，得
，则
.
.
，
四边形
为平行四边形，
由点
的横坐标为3，得
.
,
点
到直线的距离
，
所以四边形
的面积为
.
35．已知椭圆
的焦距为
，抛物线
的焦点
是
的一个顶点.
(1)求抛物线
的标准方程：
(2)若直线与
交于
两点，且点
为线段
的中点.
（i）求直线的方程；
（ii）若
为坐标原点，求
的面积.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
.
【分析】（1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出
得抛物线方程；
（2）（i）利用点差法求出直线斜率即可得直线方程；（ii）求出弦长及点到直线距离公式利用面积公式得
解.
【详解】（1）由题知
，可求得
，
所以
，故
，即
，
所以抛物线的方程为
；
（2）如图，
（i）由题意，设
，
代入抛物线方程
，可得
，
两式相减可得
，即
，
由
可得
，故
，
又由点
为线段
的中点且点
在抛物线
内，
所以直线的方程为
，即
.
（ii）联立
，得
，其中
，
故
，
所以
，
又因为
到直线的距离
，
所以
的面积
.
36．已知直线
与抛物线C：
交于M，N 两点，
，O 为坐标原点．
(1)求p；
(2)过点
作直线l 交抛物线
于A，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求三角形OAB 的面积．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到方程，求出答案；
（2）设
，
，点差法得到直线的斜率，从而得到直线的方程，由焦点弦弦长公式得到
，结合点到直线距离，得到三角形面积.
【详解】（1）设
，
，联立直线与抛物线得：
，
消去x 得到
，∴
，
，
∴
．
解得
或－3（舍去）．∴
．
（2）设
，
，
∵A，B 在抛物线C 上，∴
，
，
两式作差得
．
∵AB 中点坐标为
，∴
，
，
∴
，
∴
，
∴l：
，整理得l：
．
故l 过
的焦点，弦长
．
又O 到l 的距离为
．
∴
．
37．已知抛物线
，过点
的直线与
交于
两点，其中点
在第
一象限．
(1)证明：
；
(2)若四边形
为梯形，求其面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，设出直线的方程，利用韦达定理及斜率坐标公式计算推理得证.
（2）分析梯形的几何特征确定点
的位置，求出
坐标，进而求出梯形面积.
【详解】（1）直线不垂直于
轴，设其方程为
，
，
由
消去
得
，则
，
直线
的斜率分别为
，则
，
所以
．
（2）若四边形
为梯形，由对称性，不妨设上底为
，由（1）知
，
由梯形上下底平行得，
，则
，即点
在线段
的中垂线上，
于是
的横坐标为1，点
，
，
梯形
的面积为
.
38．已知点
是抛物线
上的动点，过
向
轴作垂线段，垂足为
，记垂线段
的中点为
.
(1)求点
的轨迹方程；
(2)不过坐标原点
的直线
与点
的轨迹相交于
两点，且以线段
为直径的圆过点
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点
的坐标为
，，则
的坐标为
，代入抛物线方程计算即可；
（2）联立
，借助韦达定理及
，求得
，进而利用弦长求得面积.
【详解】（1）设点
的坐标为
，则点
的坐标为
，
又点
在抛物线
上，所以
，化简得
，
所以点
的轨迹方程为
（2）设
，
由
，得
，
由
，得
，
，
所以
，
因为以
为直径的圆过点
，所以
，即
，
所以
，解得
，或
（舍去）.
所以
，
又原点
到直线的距离为
，
所以
的面积
.
39．已知抛物线C：
的焦点与双曲线E：
的右焦点重合，双曲线E 的渐近线方程
为
.
(1)求抛物线C 的标准方程和双曲线E 的标准方程.
(2)斜率为1 且在y 轴上的截距为
的直线与抛物线C 交于A、B 两点，O 为坐标原点，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求出
，继而可得，再根据抛物线的焦点坐标求出
，即可求
解；
（2）利用斜截式求出直线方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理及弦长公式、点到直线的距离
公式、三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）双曲线E 的渐近线方程为
，
所以
，解得
，
所以
，
所以双曲线
的右焦点为
，从而
，解得
，
所以抛物线
的标准方程和双曲线
的标准方程依次分别为
.
（2）
因为直线的斜率为1，且在
轴上的截距为
，
所以直线的方程为
，它过抛物线的焦点
，
由
，得
，
，
设
，则
，
所以
，
因为点
到直线的距离为
，
所以
，即
的面积为
.
题型六：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
40．已知抛物线C：
，点
在抛物线
上，点
为抛物线
的焦点，且
，过
点
作直线交抛物线
于
，
两点.
(1)求抛物线
的方程；
(2)求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的定义可得：
，然后求解即可；
（2）设直线l 的方程为
，联立
，然后结合韦达定理及三角形的面积公式求解．
【详解】（1）点
在抛物线
上，点
为抛物线
的焦点，且
，
由抛物线的定义可得：
，
即
，
所以抛物线
的方程为
；
（2）由已知直线的斜率不为
，
设直线的方程为
，
联立
，
消
得：
，
则
，
设
，
，
则
，
，
设直线
与
轴的交点为
，则
，
，
所以
，
又
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
即
面积的最小值为
41．在平面内，动点M 到点
的距离和它到直线
的距离相等，记动点M 的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C 的方程，并判断其形状；
(2)若点
在曲线C 上，且
（i）证明：直线AB 过定点：
（ii）记（i）中的直线AB 过的定点为P，且过P 作垂直于AB 的直线l 交曲线C 于D、E 两点，求四边形
的面积的最小值.
【答案】(1)
，抛物线开口向右；
(2)
；32.
【分析】（1）根据抛物线的定义可得
得方程；
（2）设
，联立方程组得到
，结合已知列出方程求得
，进而得到
答案；再设直线得出弦长，进而得出面积结合基本不等式得出最小值.
【详解】（1）因为动点
到点
的距离和它到直线
的距离相等
所以动点
的轨迹是以点
为焦点，直线
为准线的抛物线.
设
的方程为
，则
，即
.
所以
的轨迹方程为
，抛物线开口向右，.
（2）（i）设
，
联立方程组
，整理得
，
可得
，
因为
，所以
，得
，
因此直线
，故直线AB 上经过定点
，
（ii）由（i）可知
，
同理设
,
联立方程组
，整理得
，
可得
，
可知
，
所以
，
当且仅当
，即
时，四边形
的面积的最小值为32.
【点睛】关键点点睛：关键点是应用基本不等式计算求出面积的最小值.
42．已知抛物线
和
的焦点分别为
，点
，且
（
为坐标
原点）．
(1)求抛物线
的方程，焦点坐标，准线方程；
(2)过点
的直线交
的下半部分于点
，交
的左半部分于点
，求
面积的最小值．
【答案】(1)
，焦点
，准线：
.
(2)8
【分析】（1）根据
，可求
，确定抛物线
的方程，再求其焦点坐标和准线方程.
（2）设直线
的方程为
（
），表示出
，
的坐标，求出
及点
到直线
的距离，
表示出
的面积，结合基本不等式与二次函数的性质求面积的最小值.
【详解】（1）由抛物线
的方程为
，可得
，抛物线
：
的焦点为：
.
因为
，所以
，即
.
所以抛物线
的方程为：
，焦点坐标为
，准线方程为：
.
（2）如图：
设直线
的方程为：
（
）.
由
，得
，即
.
由
，得
，即
.
所以
，
又点
到直线
的距离为：
，
所以
，
设
（
），则
，
所以
，当且仅当
（
）即
时取 “
”.
所以
，（
），
所以当
时，
面积最小，为
.
43．已知
为坐标原点，抛物线
，点
、
在
上．当
为等边三角形时，其重心
为
．
(1)求
的方程；
(2)已知点
，直线
、
是圆
的两条切线．求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点
，根据题意得出关于
、
的方程组，解出
的值，可得出
、
的坐标，
再结合
的重心坐标求出
的值，即可得出抛物线
的方程；
（2）设点
在点
的左侧，分析可知，直线
、
的斜率互为相反数，求出
，结合斜率公式可
求出点
的坐标，同理可得出点
的坐标，进而可得出直线
的方程，由此可求出
以及点
到直线
的距离，结合三角形的面积公式可求得
的面积.
【详解】（1）设点
，点
、
关于
轴对称，则
轴，
因为
为等边三角形，
所以，
，解得
，即点
，可得点
，
又因为
的重心坐标为
，所以，
，解得
，
所以，抛物线
的方程为
.
（2）设点
在点
的左侧，显然
，且
轴，
所以，直线
、
的倾斜角
、
互补，斜率互为相反数，
设直线
与圆
的切点为
，
则
，
，
故
，
设点
、
，所以，
，
即
，所以，
，
，
同理
，
，解得
，
，
所以，点
、
，则
，
则直线
的方程为
，即
，
，
点
到直线
的距离
，
所以，
.
44．已知抛物线
的焦点为
，且
为
上不重合的三点.
(1)若
，求
的值；
(2)过
两点分别作
的切线
与
相交于点
，若
，求
面积的最大值.
【答案】(1)3
(2)8
【分析】（1）求出抛物线的焦点及准线，利用给定的向量等式，结合抛物线定义求解.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用导数的几何意义求出直线
方程及交点坐标，再求出
三角形面积的函数并求出最大值.
【详解】（1）抛物线
的焦点
，准线
，设
，
由
，得
，即
，
所以
.
（2）显然直线
的斜率不为0，设直线
的方程为
，
由
得：
，
，
，
由
，得
，求导得
，
则切线的方程为
，即
，同理，切线
的方程为
，
由
，解得
，即
，
则点
到直线
的距离为
，
由
，化简得：
，
因此
，当且仅当
时取等号，
所以
面积的最大值为8.
45．已知抛物线
的顶点在原点，焦点为
，过焦点且斜率为
的直线交抛物线于
两点，
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若
，求直线
的方程；
(3)过点
作两条互相垂直的直线分别交抛物线
于
四点，且
分别为线段
的中
点，求
的面积最小值.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标写错抛物线方程即可；
（2）设
，则
，过点
作
垂足为
，过点
作
，垂足为
，结合抛物线
的定义求得
，
，进而求直线
的斜率，即可得直线；
（3）设
,
，联立抛物线并应用韦达定
理，求
坐标，进而求
，应用三角形面积公式、基本不等式求面积最值.
【详解】（1）抛物线
的顶点在原点，焦点为
，所以
；
（2）如图，若
，不妨设
，则
，
设抛物线的准线为，过点
作
垂足为
，过点
作
，垂足为
，
根据抛物线的定义知
，则
，故
，
在
中
，
，得
，
所以
，同理
时
，
综上，
，则所求直线为
.
（3）根据题意，
，
斜率存在，且不为0，
设
,
，
由
，
，同理得
，
，
，
，当且仅当
时，面积取到最小值16.
