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专题4.5 增长速度的比较
教学目标
1．理解平均变化率的概念、几何意义，能计算函数在给定区间的平均变化率，知晓
其正负与意义;
2．掌握一次、指数、对数、幂函数的增长特点，明确各类函数增长速度的差异;
3．能结合增长趋势比较不同函数模型，解决简单的函数增长速度相关问题
教学重难点
重点：四类函数的增长特征及差异；区间
上指数、对数、幂函数的增长速度关
系。
难点：理解“存在
使
时
”的结论，灵活选择函数模型。
知识点01 平均变化率的概念
对于函数
，若取定义域内两个不相等的点
和
，记
（
，可正可负），
______（
可正、可负、可为0），则该函数在区间
（或
）上的平均变化率为
【即学即练】
函数
在区间
上的平均变化率为 .
知识点02 平均变化率的几何意义
函数
在区间
上的平均变化率
表示函数
图象上过点______
和点______的直线的斜率．
【即学即练】
已知函数
.
（1）求
在区间
与
上的平均变化率；
（2）记
，判断直线AB 与直线BC 斜率的相对大小.
知识点03 增长速度的比较
1．四类函数模型的增长特点
（1）一次函数模型（
：呈直线______势，增长速度始终保持不变。
（2 ）指数函数模型（
）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐______ ，呈现
“______”。
（3）对数函数模型（
）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐______，增长趋势
______。
（4）幂函数模型（
）：为增函数，且当
时，n 的值越大，函数值增长速度越
快。
2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
在区间
上，尽管函数
，
和
都是增函数，但增长速
度不在同一“档次”．
随着x 的增大，
的增长速度越来越______，最终会远超
的增长速度则持续变慢．
因此，总会存在某个
，当
时，就有．
【即学即练】
（多选）函数
，在区间
上（ ）
A．
的递增速度越来越快
B．
的递减速度越来越慢
C．
的递减速度越来越慢
D．
的递减速度慢于
的递减速度
题型01 求函数的平均变化率
【例1】函数
从1 到2 的平均变化率是 .
【例2】求一次函数
在区间
（
）上的平均变化率.
【变式1-1】函数
，当自变量x 由1 变到1.1 时，函数
的平均变化率为（ ）
A．2.1
B．1.1
C．2
D．1
【变式1-2】某婴儿从出生到第12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3 个月与第6 个月到
第12 个月该婴儿体重的平均变化率.
【变式1-3】求函数
在区间
上的平均变化率.
题型02 四类函数模型增长差异的比较
【例3】下列函数中，增长速度最慢的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】（多选）对于函数
与
的图象，下列说法错误的是（ ）
A．
与
有三个交点
B．
与
有两个交点
C．
，当
时，
恒在
的下方
D．
，当
时，
恒在
的上方
【变式2-1】已知函数
，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是
（ ）
A．当
时，函数
均为增函数
B．当
时，
的增长速度一直快于
C．当
时，
的增长速度一直快于
D．当
时，
的增长速度一直快于
【变式2-2】（多选）设
，
，
，当
时，对这三个函
数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （ ）
A．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
B．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
C．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
D．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
【变式2-3】（多选）（多选题）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi
（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝
x，f4（x）＝log2（x＋1），以下说法正确的是（ ）
A．当x>1 时，乙走在最前面
B．当0<x<1 时，丁走在最前面，当x>1 时，丁走在最后面
C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
题型03 相同函数在不同区间上变化率的比较
【例5】某公司的盈利y（元）和时间x（天）的函数关系是
，假设
恒成立，且
，
，则这些数据说明后10 天与前10 天比较（ ）
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小
【例6】已知
，函数
，则下面结论中正确的有 .（填上所有正确结论的序号）
①函数
在区间
上的平均变化率总是大于；
②函数
在区间
上的平均变化率总是小于；
③函数
在区间
上的平均变化率随着
的增大而增大；
④函数
在区间
上的平均变化率随着
的增大而减小.
【变式3-1】求
在任意区间上的平均变化率，并说明自变量每增加1 个单位时函数值的变化情
况.
【变式3-2】已知函数
，分别计算函数在区间
与
上的平均变化率，并说明，当自变量每增
加1 个单位时，函数值变化的规律.
题型04 不同函数在相同区间上变化率的比较
【例7】函数
与
在区间
上增长较快的是 ．
【例8】比较
和
在
上增长的快慢．
【变式4-1】已知函数
，
，
，分别计算这三个函数在区间
上的平
均变化率，并比较它们的大小.
【变式4-2】把一次函数
，对数函数
和指数函数
的图象画到同一坐标系下，并比较它
们的增长差异．
一次函数
匀速增长，指数函数
增长越来越快，对数函数
增长最慢．
【变式4-3】已知函数
，分别计算这两个函数在区间
上的平均变化率，并比较它们
的大小.
一、单选题
1．下列函数中，随着x 的增大，函数值的增长速度最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．卫生部
年
月发布的《中国
岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国
岁以下女童身高的中位
数
与年龄
之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国
岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最
能反映这种变化趋势的函数模型是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．若函数
，则由图象可得
，
依次对应的函数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．对于任意
，不等式
都成立，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．下列函数中，当x 充分大时，增长速度最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知a，b，c，d 四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x 的函数关系分别是
，
，
，
，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是
（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d
二、多选题
7．已知函数
，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．随着
的逐渐增大，
增长速度越来越快于
B．随着
的逐渐增大，
增长速度越来越快于
C．当
时，
增长速度一直快于
D．当
时，
增长速度有时快于
8．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积
（
）与时间（月）的关系为
，则以下叙述正确的
有（ ）
A．浮萍蔓延的面积逐月翻一番
B．第5 个月时，浮萍面积会超过30
C．第7 个月的浮萍面积超过第6 个月和第8 个月的平均值
D．浮萍每月增加的面积都相等
三、填空题
9．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一
x
2
2.99
4
5
6.02
y
4
8.02
15.99
32
64.01
个近似地描述这些数据的规律：①
；②
；③
；④
其中最接近的一个是
（只填序号）
10．四个因变量
随自变量
变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
2
26
101
226
401
626
901
2
32
1024
32768
2
10
20
30
40
50
60
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
9.907
则关于
呈指数型函数变化的变量是 ．
11．若
，函数
，
，
中，增长较快的一个是 ，则使
成立的
的取值范围是 .
四、解答题
12．为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建
立一个每天得分
（单位：分）与当天阅读时间
（单位：分钟）的函数关系，要求如下：
（i）函数的部分图象接近图示；
（ii）每天阅读时间为
分钟时，当天得分为
分；
（iii）每天阅读时间为
分钟时，当天得分为
分；
（iiii）每天最多得分不超过
分.
现有以下三个函数模型供选择：
①
；
②
；
③
.
(1)请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的得分不少于
分，求每天至少阅读多少分钟？
13．函数
和
的图象如图所示．设两函数的图象交于点
，
，且
．
(1)请指出图中曲线
，
分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断
，
，
，
的大小．
