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专题4.4 幂函数
教学目标
1．理解幂函数
的定义，掌握系数为 1、底数是单个自变量等核心特征，能判
断函数是否为幂函数；
2．熟记
时五个幂函数的图象，掌握其定义域、值域、奇偶性、单调
性及过
的性质；
3．会根据
正负判断幂函数单调性，能运用该规律解决基础问题
教学重难点
重点：幂函数的定义与特征；五个常见幂函数的图象和核心性质。
难点：灵活运用幂函数性质；结合
正负判断单调性并应用。
知识点01 幂函数的概念
一般地，函数
叫做幂函数，其中
是自变量，
是常数．
幂函数的特征
①
中
前的系数为“________”；②
中
的底数是单个的自变量“
”；③
中
是________
【即学即练】
1．下列函数中，不是幂函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
是幂函数.则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1
知识点02 常见幂函数的图象与性质
幂函数
图象
定义域
________
________
值域
________
奇偶性
奇函数
偶函数
________
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在
上递增
上
递
增，
上递减
在
上递增
在
上递增
________上递增
________上递减
定点
________
注意：幂函数在区间
上，当
________
时，
是增函数；当
________
时，
是
减函数．
【即学即练】
1．函数
，
和
的图像都通过同一个点，则该点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知幂函数
，则
是（ ）
A．偶函数且在
上单调递增
B．偶函数且在
上单调递减
C．奇函数且在
上单调递增
D．奇函数且在
上单调递减
题型01 判断函数是否为幂函数
【例1】下列函数是幂函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】下列函数①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
；⑧
中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 .
【变式1-1】下列函数是幂函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】下列函数中是幂函数的是（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
.
A．① ③ ⑤
B．① ② ⑤
C．③ ⑤
D．只有⑤
【变式1-3】判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
；（6）
.
判断一个函数是否为幂函数的方法：
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为
(
为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的
形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.
题型02 求幂函数的解析式
【例3】已知幂函数
的图象经过点
，则
.
【例4】已知幂函数
的图像经过点
和点
则
.
【变式2-1】已知幂函数
的图象过点
，那么该幂函数的解析式为 ．
【变式2-2】幂函数
的图象经过点
，则实数
.
【变式2-3】（多选）已知函数
是幂函数，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于y 轴对称
D．若
，则
题型03 根据函数是幂函数求参数
【例5】已知函数
是幂函数，则实数
的值为（ ）
A．3
B．
C．3 或
D．
或1
【例6】已知函数
，则“
为幂函数”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】“
”是“
为幂函数”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【变式3-2】（多选）已知函数
是幂函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
是奇函数
【变式3-3】“点
在幂函数
图象上”的充要条件是 ．
题型04 求幂函数的定义域
【例7】下列函数定义域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【变式4-1】下列函数中，与
是同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】幂函数
的图象过点
，则
，
的定义域为 ．
【变式4-3】若幂函数
（
为整数）的定义域为
，则
的值为 ．
题型05 求幂函数的值域
【例9】已知幂函数
的图像过点
，则该幂函数的值域是 ．
【例10】函数
的定义域是
，则它的值域是 .
【变式5-1】设
，若幂函数
的定义域与值域相同，则
的所有可能取值组成的集合
为 ．
【变式5-2】设函数
，
的值域是 ．
【变式5-3】已知
，则使函数
的值域为R，且为奇函数的所有α 的值为 .
题型06 幂函数的图象的判断及定点问题
【例11】如图所示是函数
（
、
为互素的正整数）的图象，则（ ）
A．
是奇数且
B．
是偶数，且
C．
是偶数，
是奇数，且
D．
是偶数，
是奇数，且
【例12】已知
为幂函数，则函数
的图象经过的定点坐标为 ．
【变式6-1】如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（多选）以下关于幂函数
图像的说法，正确的有（ ）
A．
的图像一定过原点
B．
的图像一定过点
C．
的图像可能经过第三象限
D．
的图像可能经过第四象限
【变式6-3】函数
的图象恒过点 .
解决幂函数图象问题应把握的2 个原则：
（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在
上，指数越大，幂函数图象越靠近
轴(简
记为指大图低)；在
上，指数越大，幂函数图象越远离
轴(简记为指大图高)．
（2）依据图象确定幂指数
与
的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．
题型07 幂函数的单调性问题
【例13】下列幂函数在区间
上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 ．（填入所
有正确的序号）
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
．
【例14】幂函数
在
上单调递减，则m 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【变式7-1】已知函数
，设
，则
（ ）
A．在
上单调递减
B．在
上单调递增，
上单调递减
C．在
上单调递增
D．在
上单调递减，
上单调递增
【变式7-2】已知
，函数
在
上是单调函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】若幂函数
在
上是增函数，则实数
．
需要熟记几类幂函数在第一象限内图象，然后根据定义域和奇偶性把幂函数的图象补完成即可判断幂函
数的单调性
题型08 幂函数的奇偶性问题
【例15】使幂函数
为偶函数，且在
上是减函数的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【例16】幂函数
的图象关于原点对称，且在
上是增函数，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】已知函数
，则“
”是“
是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式8-2】已知
，若幂函数
为奇函数，且在
上递减，则
【变式8-3】已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上
单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型09 根据幂函数的单调性比较大小
【例17】已知实数
，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例18】已知
，则“
”是“
”的（ ）.
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【变式9-1】已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】若
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式9-3】已知
为实数，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
比较幂值大小的方法:
（1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．
（2）若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解．
（3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与
另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
题型10 根据幂函数的单调性解不等式
【例19】已知幂函数
的图象过点
，则
的解集为 .
【例20】已知幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上单调递减，则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-1】已知幂函数f(x)的图象经过点
，则不等式
的解集是 .
【变式10-2】已知幂函数
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【变式10-3】已知幂函数
的图像关于
轴对称，且在
上是减函数，实数a 满
足
，则a 的取值范围是 ．
一、单选题
1．若幂函数
是偶函数，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
是常数，幂函数
在
上单调递增，则
（ ）
A．9
B．3
C．
D．
3．已知幂函数
的定义域为
，则
（ ）
A．0
B．2
C．3
D．1
4．设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知幂函数
，且
，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
，正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
7．在同一坐标系内，函数
和
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．若幂函数
在
上单调递减，则
的值可能是（ ）
A．
B．4
C．
D．8
9．已知幂函数
的图象经过点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于
轴对称
C．若
，则
或
D．当
时，
，若
，则
三、填空题
10．若幂函数的图象经过点
，则此幂函数的表达式为 ．
11．若幂函数
为奇函数，则
，且不等式
的
解集为 ．
12．已知幂函数
是偶函数，则
，设
，若对于
任意
，
，则实数
的最大值为 .
四、解答题
13．已知幂函数
的图象过点
.
(1)求函数
的解析式；
(2)若不等式
对任意的
恒成立，求实数的取值范围.
14．已知幂函数
在区间
上单调递增．
(1)求
的解析式；
(2)若
，求实数
的取值范围．
15．已知幂函数
为偶函数.
(1)求
的值；
(2)若函数
在区间
上单调，求实数
的取值范围.
16．已知幂函数
的图象不关于原点对称.
(1)求函数
的解析式；
(2)设函数
，用单调性的定义证明：
在
上单调递增.
