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专题4.1.2 指数函数的性质与图象
教学目标
1．理解指数函数定义及解析式特征
2．掌握指数函数的图象和性质（定义域、值域等）
3．能根据底数判断指数函数单调性及图象位置
教学重难点
重点：指数函数定义；图象与性质（单调性、定点）
难点：底数对指数函数图象和单调性的影响
知识点01 指数函数的定义
一般地，函数
且
)叫做指数函数，其中
是自变量，函数的定义域为______
温馨提示：指数函数解析式的3 个特征：
（1）底数
为大于0 且不等于______的常数．（2）自变量
的位置在______上，且
的系数是______.
（3）
的系数是1.
【即学即练】
1．下列函数中一定是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若指数函数
的图象经过点
，则
的值为 .
知识点02 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图形及性质
图象
性质
定义域
值域
______
定点
过定点
单调性
是R 上的______函数
是R 上的______函数
温馨提示：（1）当
时，指数函数的图象是“上升”的；当
时，指数函数的图象是“下降”
的．
（2）指数函数
且
)的图象恒过点______
，只要确定了这三个点的坐标，
即可快速地画出指数函数
且
)的大致图象．
2．图象位置关系
底数
的大小决定了图象相对位置的高低．
（1）在
轴右侧，图象从上到下相应的底数由______变______，“底大图高”．作出直线
，与图象
的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．
（2）在
轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为
.
【即学即练】
1．已知函数
（
，
）的图象经过点
，那么这个函数的图象也必定经过点
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知集合
，则A 的子集的个数有（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
题型01 指数函数的概念
【例1】下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】函数
是指数函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】判断函数是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（
，且
）
【变式1-2】（多选）函数
是指数函数，则
的值不可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】若函数
是指数函数，则
．
指数函数解析式的3 个特征：（1）底数
为大于0 且不等于1 的常数；（2）自变量
的位置在指数上，
且
的系数是1；（3）
的系数是1.
题型02 求指数函数的解析式或函数值
【例3】已知指数函数
的图象经过点
，则
．
【例4】（多选）已知指数函数
满足
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】已知指数函数的图象过点
，则该指数函数的解析式为 ．
【变式2-2】已知定义域为R 的函数
满足：①
；②
.则满足条件的
的一个解析式为
.
【变式2-3】设函数
，其中
且
，且
，
，则
的解析式
为 .
题型03 指数函数的值域
【例5】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】若
，其中
，则
的值域为 ．
【变式3-1】已知函数
是定义域为
的奇函数，且当
时，
，则函数
的值域为
.
【变式3-2】已知函数
的定义域是A，则函数
的最大值是
（ ）
A．-4
B．0
C．32
D．60
【变式3-3】已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是 ．
题型04 指数函数的图象
【例7】当
且
时，
的图象恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】已知函数
（
且
）的图象经过定点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【变式4-2】函数
的图象如图，其中
，
为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式4-3】已知函数
（其中
）的图象如图所示，则函数
的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
处理指数函数图象问题的3 个策略：
（1）抓住指数函数的特殊点——定点；
（2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；
（3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
题型05 指数（型）函数的单调性
【例9】设
，
，那么
是（ ）
A．奇函数且在
上是增函数
B．偶函数且在
上是减函数
C．奇函数且在
上是减函数
D．偶函数且在
上是增函数
【例10】已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】函数
且
是
上的单调递减函数，则
的取值范围是
.
【变式5-3】若函数
在区间
单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
关于指数型函数
且
的单调性由两点决定，一是底数
还是
；二是
的单调性．它由两个函数
复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题
题型06 比较指数幂的大小
【例11】已知
为大于1 的正数，则“
”是“
”的（ ）条件.
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分又非必要
【例12】已知
，
，
，则三个数的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 解简单的指数不等式
【例13】函数
的定义域为 ．
【例14】若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】设集合
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】不等式
的解集为 ．
【变式7-3】解不等式：
．
题型08 指数函数的分类讨论
【例15】已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例16】已知函数
（
且
）．
(1)当
时，解不等式
；
(2)已知函数
在
上的最大值与最小值之差为
，求实数
的值．
【变式8-1】已知函数
在区间
上的最大值是7，则
.
【变式8-2】已知
且
，解关于
的不等式：
．
【变式8-3】已知函数
（
，且
）.
(1)若
，求函数
在
上的最值；
(2)若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围.
关于指数函数
且
中
的值是不确定的，则需分
和
两种情况进行讨论
题型09 恒成立问题
【例17】已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
【例18】已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
的值域；
(2)如果对任意的
不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【变式9-1】已知函数
是定义在
上的奇函数，且对任意
，不等式
恒成立，则实数
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最小值
D．最大值
【变式9-2】已知函数
的表达式
．
(1)若函数
是奇函数，求实数
的值；
(2)对任意实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【变式9-3】已知函数
．
(1)当
时，求
的值域；
(2)若
在
恒成立，求实数
的范围
一、单选题
1．下列函数是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设函数
，
是奇函数，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．8
3．已知
，函数
与
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
且
C．
且
D．
4．已知函数
，则“
”是“
为奇函数”的（ ）条件
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
5．已知函数
若
，则实数a 等于（ ）
A．
B．
C．2
D．9
6．已知不等式
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，则
图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
8．已知函数
，在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（多选）已知
，
，则下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
且
在区间
上单调递增，则实数
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，某池塘里浮萍的面积
（单位：
）与时间（单位：月）的关系为
，则（ ）
A．
B．第4 个月时，浮萍面积超过
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．浮萍每月的增长率为2
三、填空题
12．已知函数
，则
.
13．已知函数
的最大值为2025，则
的值为 .
14．（1）函数
的单调递增区间是 ．
（2）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知指数函数
（
且
）的图象过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在
上的值域
16．已知函数
的图象过点
，且无限接近直线
但又不与该直线相交．
(1)求
的解析式；
(2)设函数
，在平面直角坐标系中画出
的图象，并根据图象写出该函数的单调
递增区间．
17．已知函数
（
，且
）.
(1)若
，求函数
在
上的值域；
(2)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围.
18．已知定义在
上的函数
是奇函数.
(1)求
，
的值，并判断函数
的单调性；
(2)若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
19．已知定义域都为
的函数
与
满足：
是偶函数，
是奇函数，且
．
(1)求函数
、
的解析式；
(2)设
，
，对于
，都有
，使得
，
求实数
的取值范围．
