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专题4.5 增长速度的比较
教学目标
1．理解平均变化率的概念、几何意义，能计算函数在给定区间的平均变化率，知晓
其正负与意义;
2．掌握一次、指数、对数、幂函数的增长特点，明确各类函数增长速度的差异;
3．能结合增长趋势比较不同函数模型，解决简单的函数增长速度相关问题
教学重难点
重点：四类函数的增长特征及差异；区间
上指数、对数、幂函数的增长速度关
系。
难点：理解“存在
使
时
”的结论，灵活选择函数模型。
知识点01 平均变化率的概念
对于函数
，若取定义域内两个不相等的点
和
，记
（
，可正可负），
（
可正、可负、可为0），则该函数在区间
（或
）上的平均变化率为
【即学即练】
函数
在区间
上的平均变化率为 .
【答案】
/
【详解】函数
在区间
上的平均变化率为
，
故答案为：
知识点02 平均变化率的几何意义
函数
在区间
上的平均变化率
表示函数
图象上过点
和点
的直线的斜率．
【即学即练】
已知函数
.
（1）求
在区间
与
上的平均变化率；
（2）记
，判断直线AB 与直线BC 斜率的相对大小.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）
在区间
上的平均变化率为
，同理
在区间
上的平均变化率为
，
（2）用斜率公式可求
，并比较大小.
【详解】（1）
在区间
上的平均变化率为：
.
在区间
上的平均变化率为：
（2）
【点睛】本题考查函数在区间上的平均变化率，以及区间两端点连线的斜率，属于基础题.
知识点03 增长速度的比较
1．四类函数模型的增长特点
（1）一次函数模型（
：呈直线上升趋势，增长速度始终保持不变。
（2）指数函数模型（
）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐加快，呈现 “爆炸式增
长”。
（3）对数函数模型（
）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐减缓，增长趋势平缓。
（4）幂函数模型（
）：为增函数，且当
时，n 的值越大，函数值增长速度越
快。
2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
在区间
上，尽管函数
，
和
都是增函数，但增长速
度不在同一“档次”．
随着x 的增大，
的增长速度越来越快，最终会远超
的增长速度则持续变慢．
因此，总会存在某个
，当
时，就有．
【即学即练】
（多选）函数
，在区间
上（ ）
A．
的递增速度越来越快
B．
的递减速度越来越慢
C．
的递减速度越来越慢
D．
的递减速度慢于
的递减速度
【答案】ABC
【详解】作出三个函数在区间
上的图象，
根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间
上，
的递增速度越来越快，故A 正确；
的递减速度越来越慢，故B 正确；
的递减速度越来越慢，故C 正确；
的递减速度快于
的递减速度，故D 错误，
故选：ABC.
题型01 求函数的平均变化率
【例1】函数
从1 到2 的平均变化率是 .
【答案】
【详解】函数
从1 到2 的平均变化率是
，
故答案为：
【例2】求一次函数
在区间
（
）上的平均变化率.
【答案】
【详解】因为
，
，
所以在区间
（
）上的平均变化率为：
，
所以一次函数
在
上的平均变化率为
.
【变式1-1】函数
，当自变量x 由1 变到1.1 时，函数
的平均变化率为（ ）
A．2.1
B．1.1
C．2
D．1
【答案】A
【详解】由题意，函数的平均变化率为：
.
故选：A.
【变式1-2】某婴儿从出生到第12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3 个月与第6 个月到
第12 个月该婴儿体重的平均变化率.
【答案】1；0.4
【详解】从出生到第3 个月婴儿体重的平均变化率为
；
第6 个月到第12 个月该婴儿体重的平均变化率为
．
【变式1-3】求函数
在区间
上的平均变化率.
【答案】
【详解】因为
，
所以
.
题型02 四类函数模型增长差异的比较
【例3】下列函数中，增长速度最慢的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢．
故选：B.
【例4】（多选）对于函数
与
的图象，下列说法错误的是（ ）
A．
与
有三个交点
B．
与
有两个交点
C．
，当
时，
恒在
的下方
D．
，当
时，
恒在
的上方
【答案】BC
【详解】由
，
，
，
，
可在同一坐标系内作出两函数图象如下图所示：
显然两函数有三个交点
，故A 正确，B 错误；
由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当
时，
恒在
的上方，故C 错误，D
正确.
故选：BC.
【变式2-1】已知函数
，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是
（ ）
A．当
时，函数
均为增函数
B．当
时，
的增长速度一直快于
C．当
时，
的增长速度一直快于
D．当
时，
的增长速度一直快于
【答案】A
【详解】在同一坐标系中画出
的图象，如图所示，
结合图象，当
时，函数
均为增函数，A 正确；
当
时，
的增长速度不是一直快于
，B 错误；
当
时，
的增长速度不是一直快于
，C 错误；
当
时，
的增长速度不是一直快于
，D 错误．
故选：A
【变式2-2】（多选）设
，
，
，当
时，对这三个函
数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （ ）
A．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
B．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
C．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
D．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
【答案】ACD
【详解】做出三个函数
，
，
的图象，
如图所示：
通过图象可知三个函数
，
，
中，
当
时，
增长速度最快，
的增长速度最慢，
故B 正确，ACD 错误.
故选：ACD.
【变式2-3】（多选）（多选题）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi
（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝
x，f4（x）＝log2（x＋1），以下说法正确的是（ ）
A．当x>1 时，乙走在最前面
B．当0<x<1 时，丁走在最前面，当x>1 时，丁走在最后面
C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
【答案】BCD
【详解】
，
相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型．
当
时
，∴A 不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，
当
时，甲、乙、丙、丁四个物体又重合，
从而可知当
时，丁走在最前面，当
时，丁走在最后面，B 正确；
指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，
最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴D 正确；
结合对数型和指数型函数的图象变化情况，
可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C 正确．
故选: BCD
题型03 相同函数在不同区间上变化率的比较
【例5】某公司的盈利y（元）和时间x（天）的函数关系是
，假设
恒成立，且
，
，则这些数据说明后10 天与前10 天比较（ ）
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小
【答案】D
【详解】平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的，故
选D．
【点睛】本题考查平均变化率的实际意义，属于基础题．
【例6】已知
，函数
，则下面结论中正确的有 .（填上所有正确结论的序号）
①函数
在区间
上的平均变化率总是大于；
②函数
在区间
上的平均变化率总是小于；
③函数
在区间
上的平均变化率随着
的增大而增大；
④函数
在区间
上的平均变化率随着
的增大而减小.
【答案】②④/④②
【详解】
，
因为
，所以
，所以①错误，②正确.
又当
时，
随着
的增大而减小，
随着
的减小而减小，
所以
随着
的增大而减小，所以③错误，④正确，
故答案为：②④.
【变式3-1】求
在任意区间上的平均变化率，并说明自变量每增加1 个单位时函数值的变化情
况.
【答案】变量每增加1 个单位时，函数值增加5
【解析】在任意区间
上的平均变化率为
=5，
从而有自变量每增加1 个单位时函数值增加5.
【详解】
在任意区间
上的平均变化率为
.
自变量每增加1 个单位时，函数值增加5，原因如下：
.
【点睛】本题考查一次函数任意区间上的平均变化率，通过函数的平均变化率来研究函数图像变化快慢趋
势，属于基础题.
【变式3-2】已知函数
，分别计算函数在区间
与
上的平均变化率，并说明，当自变量每增
加1 个单位时，函数值变化的规律.
【答案】
，
，当自变量每增加1 个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快.
【解析】设
是任意两个实数，且
，则函数
区间
上的平均变化率为
，取
代入，求出函数在区间
上的平均变化率，同理求出函数在区间
的平均变化率；当自变量每增加1 个单位时，自变量越大，函数值增加越快.
【详解】因为
，
所以
在区间
上的平均变化率为
；
在区间
上的平均变化率为
.
不难看出，当自变量每增加1 个单位时，
区间的左端点值越大，函数值增加越快.
【点睛】本题考查函数在区间上的平均变化率，属于基础题.
题型04 不同函数在相同区间上变化率的比较
【例7】函数
与
在区间
上增长较快的是 ．
【答案】
【详解】在
上取
，
，
，
因为
，所以
，
，
所以
，所以函数
在区间
上的增长速度慢于函数
的增长速度，故增长较
快的为
．
故答案为
．
【点睛】本题考查平均变化率的概念，平均变化率的大小反应了函数值增长的快慢程度．
【例8】比较
和
在
上增长的快慢．
【答案】答案见解析.
【详解】当
时，有
，因而有
，
于是对任意正数
，当
时，
有
，
这表明无论
多大，当
大到一定程度，
就会比
的
倍还大，
所以当
大到一定程度，
在
上比
在
上增长快．
【变式4-1】已知函数
，
，
，分别计算这三个函数在区间
上的平
均变化率，并比较它们的大小.
【答案】
，
，
，
的平均变化率最大，
的最小.
【解析】
在
平均变化率为
，同理可求
，
在
平均变化率分别为
，将
分别与
对比，即可求出在区间
上的平均变化率的大小.
【详解】因为
，
，
，
又因为
时，有
，
，
因此在区间
上，
的平均变化率最大，
的最小.
【点睛】本题考查指数函数、一次函数、对数函数在同一区间上的平均变化率，并比较大小关系，属于基
础题.
【变式4-2】把一次函数
，对数函数
和指数函数
的图象画到同一坐标系下，并比较它
们的增长差异．
【答案】答案见解析
【详解】如图，
一次函数
匀速增长，指数函数
增长越来越快，对数函数
增长最慢．
【变式4-3】已知函数
，分别计算这两个函数在区间
上的平均变化率，并比较它们
的大小.
【答案】
，
在区间
上的平均变化率比
的小
【解析】
在区间
上的平均变化率为
，同理可得
在区间
上的
平均变化率为
，
在区间
上的平均变化率比
的在区间
上的平均变化率小
【详解】
在区间
上的平均变化率为
.
在区间
上的平均变化率为
.
由于
，故
在区间
上的平均变化率比
的小.
【点睛】本题考查两个函数在同一区间上的平均变化率，并比较大小，属于基础题.
一、单选题
1．下列函数中，随着x 的增大，函数值的增长速度最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意，四个函数分别对应指数函数、对数函数、幂函数和一次函数，且都是增函数，
由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x 越来越大，函数
的函数值的增长速度最快．
故选：A．
2．卫生部
年
月发布的《中国
岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国
岁以下女童身高的中位
数
与年龄
之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国
岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最
能反映这种变化趋势的函数模型是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由图可知，
随着
的增长，
的增长速度越来越慢，C 选项中的函数模型较为合适.
故选：C.
3．若函数
，则由图象可得
，
依次对应的函数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数图象可得，
为正比例函数，则对应函数为
；
为对数型函数，则对应函数为
；
为指数型函数，则对应函数为
．
故选：B.
4．对于任意
，不等式
都成立，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】当
时，令
，解得
，结合函数
和
的增长速度可知：当
时，
恒成立；
又
的图象恒在
图象的上方，即
恒成立，则
的最小值为1．
故选：A.
5．下列函数中，当x 充分大时，增长速度最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由四个选项可知，四个函数都在定义域内单调递增，
而
充分大时，指数函数呈爆炸式增长．
故选：A.
6．已知a，b，c，d 四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x 的函数关系分别是
，
，
，
，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是
（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d
【答案】D
【详解】在运动时间足够长时，指数函数
增长速度大于二次函数
的增长速度，
大于二次根式函数
的增长速度，大于对数函数
的增长速度，
所以运动在最前面的物体一定是
.
故选：D
二、多选题
7．已知函数
，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．随着
的逐渐增大，
增长速度越来越快于
B．随着
的逐渐增大，
增长速度越来越快于
C．当
时，
增长速度一直快于
D．当
时，
增长速度有时快于
【答案】BD
【详解】对于
，
从负无穷开始，
大于
，然后
大于
，再然后
再次大于
，最后
大于
，此后
再也追不上
，
故随着
的逐渐增大，
增长速度越来越快于
，A 错误，BD 正确；
对于
，
由于
的增长速度是不变的，
当
时，
大于
，
当
时，
大于
，
再也追不上
，
其中
增长速度有时快于
，C 错误．
故选：BD．
8．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积
（
）与时间（月）的关系为
，则以下叙述正确的
有（ ）
A．浮萍蔓延的面积逐月翻一番
B．第5 个月时，浮萍面积会超过30
C．第7 个月的浮萍面积超过第6 个月和第8 个月的平均值
D．浮萍每月增加的面积都相等
【答案】AB
【详解】由图可知点
在函数
图象上，所以
，即
，所以
，
所以
，故
正确；
当
时，即
，所以
正确；
设
，
，时浮萍面积分别为
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，所以
错误；
第个月比第
个月增加
，第
个月比第个月增加
，且
，
实际上面积增长的速度越来越快，故
错误.
故选：
.
三、填空题
9．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一
x
2
2.99
4
5
6.02
y
4
8.02
15.99
32
64.01
个近似地描述这些数据的规律：①
；②
；③
；④
其中最接近的一个是
（只填序号）
【答案】④
【详解】将数据分别代入①②③④，
x
2
2.99
4
5
y
4
8.02
15.99
32
①
4
5.98
8
10
②
1.5
3.97
7.5
12
③
1
1.58
2
2.32
④
4
7.94
16
32
由表格数据可知其中最接近的一个是④
.
故答案为：④.
10．四个因变量
随自变量
变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
2
26
101
226
401
626
901
2
32
1024
32768
2
10
20
30
40
50
60
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
9.907
则关于
呈指数型函数变化的变量是 ．
【答案】
【详解】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.
从表格中可以看出，四个变量
均是从2 开始变化，且都是越来越大，
但是增长速度不同，其中变量
的增长速度最快，
可知变量
关于
呈指数型函数变化.
故答案为：
.
11．若
，函数
，
，
中，增长较快的一个是 ，则使
成立的
的取值范围是 .
【答案】
【详解】作出函数
，
，
的图象的示意图如下：
从增长速度看，
的增长是由快变慢，
是均匀增长，
是由慢变快，
故增长较快的一个是
；
由图形可得
成立的
的取值范围是
.
故答案为：
；
.
四、解答题
12．为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建
立一个每天得分
（单位：分）与当天阅读时间
（单位：分钟）的函数关系，要求如下：
（i）函数的部分图象接近图示；
（ii）每天阅读时间为
分钟时，当天得分为
分；
（iii）每天阅读时间为
分钟时，当天得分为
分；
（iiii）每天最多得分不超过
分.
现有以下三个函数模型供选择：
①
；
②
；
③
.
(1)请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的得分不少于
分，求每天至少阅读多少分钟？
【答案】(1)
(2)
(3)
分钟
【分析】
【详解】（1）从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，
故选
.
（2）将
，
代入解析式，
得到
，解得
，
，
即
令
，可得
，
解得，
，
所以函数的解析式为
.
（3）由
，即
，
即
，解得
，
所以每天得分不少于
分，至少需要阅读
分钟.
13．函数
和
的图象如图所示．设两函数的图象交于点
、
，且
．
请指出示意图中曲线
、
分别对应哪一个函数.
【答案】
对应的函数为
，
对应的函数为
．
【详解】当
充分大的时候，指数函数
的增长会快于幂函数
的增长，
存在
，当
时，
，
所以，
对应的函数为
，
对应的函数为
．
14．函数
和
的图象如图所示．设两函数的图象交于点
，
，且
．
(1)请指出图中曲线
，
分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断
，
，
，
的大小．
【答案】(1)
对应的函数为
，
对应的函数为
(2)
【分析】
【详解】（1）
对应的函数为
，
对应的函数为
．
（2）因为
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，
，
从图象上可以看出，当
时，
，
所以
．
当
时，
，
即
．
又因为
，
所以
．
