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专题4.1 条件概率与事件的独立性
教学目标
1．理解条件概率的概念，掌握定义法、基本事件法、缩小样本空间法等求解方法，
熟记并运用乘法公式。
2．理解全概率公式和贝叶斯公式的适用条件，掌握公式内容及内在转化关系，能运
用公式解决概率问题。
3．理解相互独立事件的定义，熟记相关概率计算公式，知晓A 与B 独立时衍生的独
立关系。
教学重难点
重点：条件概率的计算；全概率公式、贝叶斯公式的应用；相互独立事件的判定及概
率计算。
难点：全概率公式与贝叶斯公式的区分及灵活运用；条件概率与相互独立事件的综合
应用。
知识点01 条件概率
①条件概率的概念：一般地，设A，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称
为在事件
_______发生的条件下，事件_______发生的条件概率．
②条件概率的解法
方法
公式或步骤
定义法
基本事件法
缩小样本空间法
_______第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求
解
③乘法公式：对任意两个事件A 与B，若P(A)>0，则
_______
【即学即练】
1．设集合
，且
，则
（ ）
A．1
B．0.7
C．0.5
D．0.2
2．已知两个随机事件
，若
，
，则
.
知识点02 全概率公式与贝叶斯公式
1.全概率公式
一般地，设A1, A2,⋯, An是一组两两_______的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω，且P( Ai)>0,i=1,2,⋯,n，
则对任意的事件B⊆Ω ，有
P(B)=∑
i=1
n
P( Ai)P(B|Ai)
图示：
2.贝叶斯公式
①概念：设A1, A2,⋯, An是一组两两_______的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω，且P( Ai)>0,i=1,2,⋯,n，
则对任意的事件B⊆Ω ，P(B)>0 ,有
P( Ai|B)=
P( Ai)P(B|Ai)
P(B)
=
_______
②作用：贝叶斯公式充分体现了
，
，
，
，
，
之间的转化关系，
即
，
_______，
之间的内在联系．
【即学即练】
1．某学校有A，B 两家餐厅，王同学第1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1 天去
餐厅，那么
第2 天去
餐厅的概率为0.6；如果第1 天去
餐厅，那么第2 天去
餐厅的概率为0.8．则王同学第2 天
去
餐厅用餐的概率为 ．
2．有3 台车床加工同一型号的零件，第
台车床加工的次品率分别为
加工出来的零件混放
在一起.已知第
台车床加工的零件数分别占总数的
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？
知识点03 相互独立
对任意两个事件
与
,如果
_______成立,则称事件A 与事件B 相互独立,简称为独立.
（1）如果
与
相互独立,则
与
，
与
，
与
也相互独立.
（2）与相互独立事件
有关的概率的计算公式如下表:
事件
相互独立
概率计算公式
同时发生
同时不发生
_______
至少有一个不发
生
_______
至少有一个发生
_______
恰有一个发生
【即学即练】
1．在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在
某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.6，则这段时间内线路正常工作的概率为 .
2．已知事件A 与事件B 相互独立，事件A 的概率
，事件B 的概率
，则
；
．
题型01 条件概率的计算
【例1】某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6 道题（其中选择题4 道，填空题2 道）中不放回地依次
抽取2 道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】设
，
是一个随机试验中的两个随机事件，且
，
，
，则
．
【变式1-1】某机场进行数据分析，发现航班延误小时数
与航班起飞前雷暴雨发生时间
（单位：小
时）存在一定关系，具体数据如下表：
1
3
4
4.5
根据机场多年数据统计，
小于1，2，3 的概率分别为0.4，0.7，0.9，若某航班起飞前已经发生了1 小时
雷暴雨，则其延误时间不超过4 小时的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】已知甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采取“七局四胜制”，若每一局比赛甲获胜的概率均
为
，记“甲获得比赛胜利”为事件
，“比赛仅进行了5 局”为事件
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5.现每次从中任意
抽取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数
的概率为 ．
题型02 乘法公式的应用
【例3】在随机事件
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】已知事件
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】已知某品牌的手机从1 米高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为0.3，在第一次未损坏的情
况下第二次也未损坏的概率为0.1.则这样的手机从1 米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（
）
A．0.25
B．0.15
C．0.1
D．0.03
【变式2-2】已知在8 个球中，有2 个白球，6 个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2 次取
球恰好将2 个白球全部取出的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】已知一道解答题有两小问，每小问5 分，共10 分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在
第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频
率估计概率，则此题得满分的概率是 ；得0 分的概率是 .
题型03 条件概率的性质及应用
【例5】已知随机事件A，B，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】（多选）设
，
是一个随机试验中的两个事件，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】已知随机事件A，B 发生的概率分别为
，且
则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】（多选）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，
，
，则
（ ）
A．事件A，B 相互独立
B．若
，则
C．
D．若
，则必有
【变式3-3】设A，
是两个随机事件，且
则
题型04 全概率公式的应用
【例7】近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A 充电站配备2 个超级快充桩和3 个普通充电
桩，B 充电站配备1 个超级快充桩和3 个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A 站调度1 个充电桩
至B 站，随后技术人员从B 站随机选取2 个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为
事件B，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】某次社会实践活动中，甲乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查
､
.参加活动的甲乙两班的人
､
数之比为
，其中甲班中女生占
，乙班中女生占
.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是
女生的概率是 ，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是
.
【变式4-1】已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（多选）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能
完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成
“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A 为该
选手完成“独立平衡”，事件B 为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
与
相互独立
C．
D．
【变式4-3】已知甲袋中有大小质地完全相同的3 个红球和3 个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2 个红
球和3 个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条
件下，第二次摸到的也是红球的概率是 .
题型05 贝叶斯公式的应用
【例9】某汽车4S 店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100 辆进行销售，甲乙丙三个
车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S 店购买了一台此款智能汽车，
在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（ ）
A．2：3：5
B．10：12：5
C．5：12：10
D．5：4：1
【例10】袋中有4 个红球，6 个白球，不放回地摸两次球，求：
(1)第二次摸到红球的概率；
(2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率．
【变式5-1】已知编号为1，2，3 的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总
个数之比为5：6：9，红球在1，2，3 号箱中分别占
．从3 个箱中的所有球中随机取出一个球，若
每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3 号箱的概率为 .
【变式5-2】甲和乙两个箱子中各装有5 个大小相同的小球，其中甲箱中有3 个红球、2 个白球，乙箱中有
4 个红球、1 个白球．
(1)从甲箱中随机抽出2 个球，在已知抽到红球的条件下，求2 个球都是红球的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1 个球；如果点数大于等于5，从乙箱
中随机抽出1 个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
【变式5-3】某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙
厂的次品率分别是
．
(1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率；
(2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率．
题型06 相互独立事件的概率计算
【例11】如图，某电子元件由
，
，
三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复
测试，
，
，
三种部件能正常工作的概率分别为
，
，
，各个部件是否正常工作相互独立，则该
电子元件能正常工作的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】2025 年10 月31 日中国神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.在太空停留期间，
航天员们计划开展“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为
此，某校组织了一次“航空知识答题竞赛”活动.
(1)在A，B 两个班中各选3 名同学参加本次知识答题竞赛，经初赛，从6 名同学中选2 名同学参加复赛，
求参加复赛的这2 名同学来自同一个班的概率；
(2)
班进行了三轮初选活动，甲同学每轮合格概率分别为
，各轮结果均相互独立，至少两轮合格记
为“优秀”，求三轮初选后，甲记为“优秀”的概率
【变式6-1】
年全国计算机三级考试分上机考试与笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不
合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机三级考试“合格”，并颁发计算机三级证书，甲、乙、丙三
人在上机考试中“合格”的概率依次为
，在笔试中“合格”的概率依次为
，所有考试是否
合格互不影响.
(1)求甲没有获得计算机三级证书的概率；
(2)这三人进行上机考试与笔试两项考试后，求恰有两人获得计算机三级证书的概率.
【变式6-2】2024 年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801 人成功晋级，某17 岁中专生排名12 名，引
发社会广泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙3 人，各
自独立去做2024 年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为
，乙能解出而丙
不能解出该题的概率为
，甲、丙都能解出该题的概率为
．
(1)求乙、丙各自解出该题的概率；
(2)求甲、乙、丙3 人中至少有1 人解出该题的概率．
【变式6-3】为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛
选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．
已知甲每次解开密码的概率为
，乙每次解开密码的概率为
，每次是否解开密码
也互不影响．已知：甲成功解密一份文件的概率为
，乙成功解密两份文件的概率为
．
(1)求
的值；
(2)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率．
题型07 相互独立事件的判断
【例13】一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具
两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件
为“第一次向下的数字为1 或2”，事件
为
“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．事件
与事件
互斥
C．事件
与事件
相互独立
D．
【例14】（多选）为了更准确地使用韦恩图来探究事件的相互独立性，王老师用面积大小来表示某事件所
包含样本点的数目，即
，其中
，
为事件A，B 对应区域的面积，U 表示全集．下
列韦恩图中，事件A 与事件B 相互独立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，
编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，
表示事件“取出的两球不同色”，
表示事件“第一次取
出的是黑球”，
表示事件“第二次取出的是黑球”，
表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误
的是（ ）
A．
与
相互独立
B．
与
相互独立
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
【变式7-2】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，事件
“第一次抛掷骰子的点数
为奇数”，事件
“第一次抛掷骰子的点数为2”，事件
“两次抛掷骰子的点数之和为5”，事件
“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则下列说法正确的是（ ）
A．
与
为对立事件
B．
与
为互斥事件
C．
与
为相互独立事件
D．
与
为相互独立事件
【变式7-3】已知随机事件A、B 发生的概率分别为
，则下列说法不正确的是
（ ）
A．若A 与B 互斥，则
B．若A 与B 相互独立，则
C．若
，则事件
与B 相互独立
D．若
，则
一、单选题
1．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A 为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B 为两枚骰子点数之
和为6，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．甲乙两人同时射击同一目标，若每人独立击中目标的概率为0.6，则这个目标能够被击中的概率为（
）
A．0.84
B．0.72
C．0.36
D．0.16
3．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为
，且
三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．全概率公式指的是：设
为样本空间，若事件
两两互斥，
，则对任意
的事件
，有
.小张一家打算去西安市或
汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐
园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ）
A．0.48
B．0.49
C．0.52
D．0.54
5．已知口袋内放有8 个大小、质地均匀的小球，其中4 个白球，4 个红球，每次从中不放回地摸出2 个小
球，设事件
表示第1 次摸出的小球中恰有1 个红球，事件
表示第2 次摸出的小球中有红球，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，某机器狗位于点
处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器
狗从点
出发移动4 次，则在机器狗仍回到点
的条件下，它向右移动了2 次的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知随机事件
互相独立，满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．甲罐中有5 个红球，5 个白球，乙罐中有2 个红球，8 个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再
从乙罐中随机取出一球．
表示事件“从甲罐取出的球是红球”，
表示事件“从甲罐取出的球是白球”，
表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．
为对立事件
B．
C．
D．
9．若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
10．甲、乙两人进行象棋有奖比赛，约定：一共下两局，只有当乙两局都获胜时，乙才获得奖品，否则就
是甲获得奖品．已知每局比赛甲、乙获胜的概率分别为
，
，没有和棋且各局比赛相互独立，则甲获得
奖品的概率为 ．
11．已知
，则
.
12．联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国
首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识
竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活
动中甲、乙答对问题的概率分别为
和
，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
则甲在两轮活动中答对两个问题的概率为 ，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为
．
四、解答题
13．甲、乙两人参加面试，每人需回答2 道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道
题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响
(1)求甲只答对第二题的概率；
(2)求甲乙两人答对题目数之和为1 的概率.
14．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3 道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是
，
乙答对每道题目的概率都是
，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；
(1)求甲、乙两人共答对5 道题目的概率．
(2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3 次为止，
求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
15．某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃
圾投放量占比分别为
、
、
.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：
在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为
是中午投放的条件下，违规混投的概率为
是
晚上投放的条件下，违规混投的概率为
现随机抽查一袋垃圾，求：
(1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率;
(2)这袋垃圾存在违规混投的概率;
(3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率.
16．有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3 个红球7 个白球，乙袋中有4 个红
球6 个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试
验直到摸出白球，试验结束.
(1)求首次摸球后试验就结束的概率；
(2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率；
(3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原
袋中摸球；
方案二：从另外一个袋子中摸球.
请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大.
