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专题5.3.4 频率与概率&5.3.5 随机事件的独立性
教学目标
1．理解频率的稳定性的含义，明确频率与概率的关系，掌握用频率估计概率的方
法。
2．理解相互独立事件的定义，知晓若A 与B 相互独立，则
与
，
与
，
与
也相互独立。
3．熟记相互独立事件不同情形下的概率计算公式，能运用公式解决概率计算问题。
教学重难点
重点：频率稳定性的理解及频率估计概率的应用；相互独立事件的定义；相关概率计
算公式的运用。
难点：区分相互独立事件与互斥事件；灵活运用公式计算相互独立事件不同情形下的
概率。
知识点01 频率的稳定性
大量试验证明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件
发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数
的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件
发生的频率
会逐渐稳定于事件
发生的概率
.
我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率
估计概率
【即学即练】
1．抛一枚硬币100 次，有49 次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是（ ）
A．0.5，0.5
B．0.51，0.51
C．0.49，0.49
D．0.5，0.51
【答案】D
【详解】抛一枚硬币100 次，有49 次正面朝上，故有51 次反面朝上，故“反面朝上”的频率为
，
“反面朝上”的概率为0.5，
故选：D
2．下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在n 次随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有确定性
C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
D．随着试验次数n 的增大，一个随机事件A 发生的频率会逐渐稳定于事件A 发生的概率
【答案】D
【详解】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A 错误；
对于B，在n 次随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有随机性，故B 错误；
对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C 错误；
对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n 的增大，一个随机事件A 发生的频率会逐渐稳定
于事件A 发生的概率，故D 正确.
故选:D.
知识点02 相互独立
对任意两个事件
与
,如果
成立,则称事件A 与事件B 相互独立,简称为独立.
（1）如果
与
相互独立,则
与
，
与
，
与
也相互独立.
（2）与相互独立事件
有关的概率的计算公式如下表:
事件
相互独立
概率计算公式
同时发生
同时不发生
至少有一个不发
生
至少有一个发生
恰有一个发生
【即学即练】
1．已知
为互斥事件，且
，则
.
【答案】
/
【详解】因为
为互斥事件，则
，
所以
.
故答案为：
.
2．（多选）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件
“第一枚反面向上”，事件
“第二枚正面向上”，
则下列说法正确的是（ ）
A．
与
互斥
B．
C．
与
对立
D．
与
相互独立
【答案】BD
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的样本空间
(正,正),(正,反),(反,正),(反,反) ，
对于AC，事件
可以同时发生，因此事件
与
不互斥，不对立，AC 错误；
对于B，
，则
，B 正确；
对于D，
，
与
相互独立，D 正确.
故选：BD
题型01 频率与概率的辨析
【例1】根据统计，某篮球运动员在1000 次投篮中，命中的次数为860 次，则该运动员（ ）
A．投篮10 次至少有8 次命中
B．投篮命中的频率为0.86
C．投篮命中的概率为0.86
D．投篮100 次有86 次命中
【答案】B
【详解】由题意可知投篮命中的频率为
，
而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B 正确，C 错误；
投篮10 次或100 次相当于做10 次或100 次试验，每一次的结果都是随机的，
其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生的可能性的大小，
不代表事件一定会发生，故AD 错误，
故选：B
【例2】一个不透明的盒子中装有若干个红球和5 个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，
任意摸出1 个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1 左
右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40 个
B．45 个
C．50 个
D．55 个
【答案】B
【详解】设红球个数为
，
由题意可得：
，解得：
.
故选：B
【变式1-1】某种彩票中奖的概率为
，有以下理解：
①买10000 张彩票一定能中奖；
②买10000 张彩票只能中奖1 次；
③若买9999 张彩票未中奖，则第10000 张必中奖；
④买一张彩票中奖的可能性是
．
其中正确理解的序号为 ．
【答案】④
【详解】由某种彩票中奖的概率为
，
得买一张彩票中奖的可能性是
，故④正确；
买10000 张彩票可能一张都没有中奖，故①②错误；
若买9999 张彩票未中奖，则第10000 张也有可能不中奖，故③错误.
故答案为：④.
【变式1-2】小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5 次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确
的是（ ）
A．朝上的点数是2 的概率和频率均为1
B．若抛掷30000 次，则朝上的点数是2 的概率为1
C．抛掷第6 次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷60000 次，朝上的点数为2 的次数大约为10000 次
【答案】D
【详解】A：由题意知朝上的点数是2 的频率为1，概率为
，故A 错误；
B：当抛掷次数很多时，朝上的点数是2 的频率在
附近摆动，故B 错误；
C：抛掷第6 次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C 错误；
D：每次抛掷朝上的点数是2 的概率为
，所以抛掷60000 次朝上的点数为2 的次数大约为10000，理论和
实际会有一定的出入，故D 正确．
故选：D．
【变式1-3】（多选）若将100 枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8 枚硬币反面向上，重复
执行以下操作：每次操作任选其中3 枚硬币翻面（1 枚硬币可重复翻面），若经过
次上述操作后，所有硬
币均为反面向上，则
的值可以为（ ）
A．45
B．54
C．63
D．72
【答案】BD
【详解】考虑92 个正面向上的硬币，将其编号为1，2，…，92，通过30 次操作可将编号1~90 的硬币翻至
反面向上，
第31 次操作时将编号为91（或92）以及任意另外两枚反面向上的硬币翻面，
则此时恰有3 枚硬币正面向上，第32 次操作时将3 枚正面向上硬币翻面，即可保证所有硬币均为反面向上.
因此，要使100 枚硬币均为反面向上，至少需要进行32 次操作.
当所有硬币反面向上后，若将其中3 枚硬币连续进行两次操作，所有硬币仍反面向上.
因此，若要保证所有硬币反面向上，操作的次数必然为偶数次.
故选：BD.
题型02 用频率估计概率
【例3】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概
率．由计算机产生1~5 的随机数，当出现随机数1，3，5 时，表示该天下雨，利用计算机产生20 组随机数：
423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，
314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9 种情况，
则这三天中恰有两天下雨的概率近似为
.
故选：A
【例4】某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售.如果当天卖
不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
(1)若花店一天购进17 枝玫瑰花，求当天的利润
(单位：元)关于当天需求量
(单位:枝，
)的函数解
析式.
(2)花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
若花店一天购进17 枝玫瑰花，以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不
少于75 元的概率.
【答案】(1)
.
(2)0.7
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
则
.
（2）由
，解得
，即当日需求量为
枝或
枝时利润小于
元，
设当天利润不少于
元为事件
，则
.
【变式2-1】在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm 的电子靶，以距靶心距离的远
近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随
机抽取了100 名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表：
降落时距靶心距离（单位：
cm）
人数
18
21
39
22
用频率估计概率，若随机抽取1 人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（ ）
A．0.18
B．0.21
C．0.39
D．0.40
【答案】C
【详解】由题可知，样本容量为100 人，获得“优秀飞行员”称号的人数为
人，
所以随机抽取1 人，此人为“优秀飞行员”的概率
．
故选：C
【变式2-2】为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的
随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被
调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查
者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回
答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200 人（学号从1 至1200）中有366 人回答了
“是”.由此可以估计这1200 人中闯过红灯的人数是 .
【答案】132
【详解】被调查的1200 人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，
所以第一个问题可能被问600 次，因为被问的600 人中有300 人学号是奇数，而有366 人回答了“是”，
所以估计有66 人闯过红灯，在600 人中有66 人闯过红灯，频率为
，
用样本频率估计总体，从而估计这1200 人中闯过红灯的人数为
人.
故答案为：132.
【变式2-3】“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家
长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图：
(1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①.
(2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②.
(3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？
【答案】(1)400
(2)
(3)
【详解】（1）
由条形图可知，无所谓的家长有80 人，根据扇形统计图可知，无所谓的家长占
，
家长总人数为
人；反对的人数为
人.
如图所示：
（2）表示“赞成”所占圆心角的度数为：
；
（3）由样本知，持“无所谓”态度的学生人数有30 人，所以抽到的概率为：
.
题型03 求独立事件的概率
【例5】如图，某电子元件由A，B，C 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测
试，A，B，C 三种部件不能正常工作的概率分别为
，
，
，各个部件是否正常工作相互独立．A，B 同
时正常工作或C 正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，该电子元件能正常工作为事件E，
则
，
，而
，
因此
，即该电子元件能正常工作的概率是
.
故选：A
【例6】某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则
就一直抽题到第3 次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为 .
【答案】
【详解】依题意，小王3 次都没有答对的概率为
，
所以小王最终通过面试的概率为
.
故答案为：
.
【变式3-1】某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社
团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为
，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为
，至少通过一个社团
考核的概率为
，则
.
【答案】
/0.7
【详解】由至少通过一个社团考核的概率为
，得三个社团都没有通过的概率为
，
依题意，
，则
，所以
.
故答案为：
【变式3-2】乒乓球比赛一般是11 分制，每赢一球得1 分，当某局打成
平后，每球交换发球权，先
多得2 分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，
乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方
平后，甲先发球，两人又打了
个
球该局比赛结束．则事件“
且甲获胜”的概率为 ．
【答案】0.1/
【详解】由题意可知，事件
“前两球甲、乙各得1 分，后两球均为甲得分”，
所以
，
故答案为：0.1.
【变式3-3】袋子中有4 个大小质地完全相同的球，其中2 个红球，2 个黄球，从中不放回地依次随机摸出
2 个球，事件
表示“第一次摸得红球”，事件
表示“第二次摸得黄球”，
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述事件
；
(2)计算
，并判断事件
和事件
是否相互独立，并说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)
，不独立，理由见解析
【分析】
【详解】（1）设2 个红球分别标为
，2 个黄球分别标为
，
则从中不放回地依次随机摸出2 个球，用
表示可能的结果，
设
是第一次摸到的球的标号，
是第二次摸到的球的标号，
则试验的样本空间为
，
事件
“第一次摸到红球”，即
或2，
于是
；
事件
“第二次摸到黄球”，即
或4，
于是
.
（2）事件
和事件
不独立，理由如下：
由（1）得
，
，
，
又因为
=
，所以
.
所以
，
则
，
因为
，所以事件
和事件
不独立.
先判独立：通过题干情境（如放回抽样、独立行为）或定义
，确认事件是否独
立，避免与互斥混淆。
拆事件选公式：按所求类型匹配公式，如“同时发生”用
，“至少一个发生”用
，“恰一个发生”用
。
题型04 事件独立性的判断
【例7】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件
两次掷出的点数之和是5，设事件
第二次掷出的点
数是偶数，设事件
第一次掷出的点数是5，设事件
至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是
（ ）
A．
与
互斥
B．
C．
与
对立
D．
与
相互独立
【答案】C
【详解】若
中
依次表示第一、二次对应点数，所有情况有
种，
由题意，事件
的基本事件有
，共4 种，
事件
的基本事件有
，共18 种，
所以
有
，共2 种，
事件
的基本事件有
，共6 种，
事件
的基本事件有
，共27 种，
由上，
与
互斥，
，A、B 对，
，
，
，则
，D 对，
显然
与
不互斥，更不对立，C 错.
故选：C
【例8】（多选）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 表示“第1 枚正面向上”，事件B 表示“第2
枚反面向上”，事件C 表示“恰有1 枚正面向上”，事件D 表示“两枚都正面向上”，则（ ）
A．A 与B 相互独立
B．A 与C 相互独立
C．A 与D 相互独立
D．B 与D 互斥
【答案】ABD
【详解】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况，
则事件A 包含正正，正反两种情况；事件B 包含正反，反反两种情况；
事件C 包含正反，反正两种情况；事件D 包含正正一种情况；
所以
，
显然
，
，
，
，即ABD 正确.
故选：ABD
【变式4-1】（多选）连续抛掷一枚质地均匀的硬币
次，记录这
次实验的结果.设事件
表示“
次实
验结果中，既出现正面又出现反面”，事件
表示“
次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论
正确的有 （ ）.
A．若
，则
与
互斥
B．若
，则
与
不相互独立
C．若
，则
与
不互斥
D．若
，则
与
相互独立
【答案】BCD
【详解】记抛掷一枚硬币正面向上为1，反面向上为0，
则连续抛掷一枚硬币两次的样本空间为
，
此时事件
的样本空间为
，事件
的样本空间为
，
积事件
的样本空间为
，
所以事件
交集不空，不互斥，且
，
所以
，故
与
不相互独立，故A 错误，B 正确；
连续抛掷一枚硬币3 次的样本空间为
共8 个样本点，
此时事件
的样本空间为
共6 个样本点，
事件
的样本空间为
共4 个样本点，
积事件
的样本空间为
，
所以事件
的交集不空，不互斥，且
，
所以
，故
与
相互独立，故CD 正确；
故选：BCD
【变式4-2】同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用
表示白色骰子的点数，
表示红色骰子的点数，
设事件
“
”，事件
“
为偶数”，事件
“
”，则下列结论正确的是（ ）
A．
与
对立
B．
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
【答案】B
【详解】对于A 中，当
时，
，
，事件
与
同时发生，
所以事件
与
不对立，所以A 错误；
对于B 中，因为
，当
时，要使得
为偶数，有6 种情况；
当
时，要使得
为偶数，则
，有3 种情况；
当
时，要使得
为偶数，有6 种情况，
又由抛掷两枚骰子，共有
种情形，所以
，所以B 正确；
对于C 中，事件
有：
，共有5 种情形，概率为
，
事件
“
”，有
，共有18 种情形，
所以概率为
，且
，
则
，所以
与
不相互独立，所以C 错误；
对于D 中，事件
“
为偶数”，事件
“
为奇数”，
有
共9 种情形，
所以概率为
，
又由
，
，可得
，
所以
与
不相互独立，所以D 错误.
故选：B.
【变式4-3】有4 张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1 张卡片，
表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，
表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，
表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，
表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则
（ ）
A．
与
为相互独立事件
B．
与
为互斥事件
C．
与
为相互独立事件
D．
与
为对立事件
【答案】C
【详解】用“
”表示依次取两张卡片的结果，
是第一次取出的卡片上的数字，
是第二次取出的卡片
上的数字，
由题意样本空间
，
，
，
，
，
对于A：由古典概率概率公式可知
，
，
，
则
，故
与
不是相互独立事件，错误；
对于B：
，即第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取出的卡片上的数字为4 时，
事件
与
同时发生，故两个事件不是互斥事件，错误；
对于C：
，
，
，
，则
，故
与
是相互独立事件，正确；
对于D：因为
，
，所以
与
不是对立事件，错误.
故选：C
题型05 独立事件与互斥、对立事件的综合
【例9】甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队
比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为
，但受心理等因素的影响，前一局比
赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比
赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加
，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低
，
若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为
.
(1)求比赛三局结束的概率；
(2)求乙
取胜，比赛结束的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3 局，
则每局获胜的概率依次为
，
，
，
所以
.
（2）记“乙
取胜，比赛结束”为事件B，
若4 局胜者依次为甲，乙，乙，乙，
则乙每局的概率依次为
，
，
，
；
若4 局胜者依次为乙，甲，乙，乙，
则乙每局的概率依次为
，
，
，
；
若4 局胜者依次为乙，乙，甲，乙，
则乙每局的概率依次为
，
，
，
；
所以
.
【例10】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．
已知甲每轮猜对的概率为
，乙每轮猜对的概率为
，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结
果也互不影响．
(1)求“星队”在两轮活动中共猜对3 个成语的概率；
(2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设
，
分别表示甲两轮猜对1 个，2 个成语的事件，
，
分别表示乙两轮猜对1 个，2
个成语的事件，根据独立事件的性质，可得
，
，
，
，
设
“两轮活动星对猜对3 个成语”，则
，
所以
，
，
因此“星队”在两轮活动中共猜对3 个成语的概率为
.
（2）设
表示乙两轮都没猜对的事件，
，
设事件
“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则
，
.
【变式5-1】溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，
某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3 人）狭路相逢，规
定每队每人回答一个问题，答对得1 分，答错得0 分.假设甲队每人回答正确的概率分别为
，
，
，乙
队每人回答正确的概率均为
，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求乙队总得分为3 分与1 分的概率；
(2)求甲队得分与乙队得分为
的概率.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】
【详解】（1）记“队总得分为3 分”为事件
，“乙队总得分为1 分”为事件
.
乙队得3 分，即三人都回答正确，其概率
.
乙队得1 分，即三人中只有1 人答对，其余两人都答错，
其概率
.
（2）依题意可知甲队总得分为1 分，乙队总得分为2 分，
记“甲队总得分为1 分”为事件
，“乙队总得分为2 分”为事件
.
事件
即甲队三人中只有1 人答对，其余2 人答错，
则
，
事件
即乙队三人中只有2 人答对，剩余1 人答错，
则
，
则甲队得分与乙队得分为
的概率
.
【变式5-2】甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立
闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为
，甲、乙都闯关成功的概率为
，甲、丙都闯关成功的概率
为
，每人闯关成功记
分，三人得分之和记为小组团体总分.
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)求在第一轮比赛中团体总分为
分的概率；
(3)若团体总分不小于
分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为
，
甲、乙都闯关成功的概率为
，
甲、丙都闯关成功的概率为
，
设乙闯关成功的概率为
，丙闯关成功的概率为
，
根据独立事件同时发时的概率公式得
，
解得
，
，
即乙闯关成功的概率为
，丙闯关成功的概率为
.
（2）团体总分为4 分，即甲、乙、丙三人中恰有2 人过关，而另外一人没过关，
设“团体总分为4 分”为事件
，
则
，
即团体总分为4 分的概率是
；
（3）团体总分不小于4 分，即团体总分为4 分或6 分，
设“团体总分不小于4 分”为事件
，
由（2）可知团体总分为4 分的概率
，
团体总分为6 分，即3 人闯关都成功的概率为
，
所以参加下一轮比赛的概率为
，
即该小组参加下一轮比赛的概率为
.
【变式5-3】已知
，
，
，
四名选手参加某项比赛，其中
，
为种子选手，
，
为非种子选手，
种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为
，种子选手之间的获胜的概率为
，非种子选手之间获胜
的概率为
．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军.
(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？
(2)选手
与选手
相遇的概率为多少？
(3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？
方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；
方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛．
【答案】(1)
；
(2)
(3)方案一种子选手夺冠的概率更大
【分析】
【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为
，
，
，故总方案数3；
（2）设事件
“选手
与选手
相遇”，
当对战为
时，
，
两选手相遇的概率为1；
当对战为
时，
，
两选手相遇的概率为
；
当对战为
时，
，
两选手相遇的概率为
；
抽到三种对战的概率均为
，则
.
综上可知选手
与选手
相遇的概率为
.
（3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为
，
，则
采用方案一，假设分组为
，
第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：
，
第一轮选手
获胜，第二轮
获胜：
，
第一轮选手
获胜，第二轮
获胜：
，
第一轮选手
获胜，则种子选手不能获胜，
所以
；
采用方案二：假设分组为
，
第一轮选手
获胜，第二轮
获胜：
，
第一轮选手
获胜，第二轮
获胜：
，
第一轮选手
获胜，第二轮
获胜：
，
第一轮选手
获胜，第二轮
获胜：
，
则
，所以
，
因此方案一种子选手夺冠的概率更大.
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．某种福利彩票的中奖概率为
，那么买1000 张这种彩票一定能中奖.
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率.
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为
，前9 个病人没有治愈，则第10 个病人一定治愈.
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为
”，指的是该市气象台专家中，有
认为明天会降
水，30%认为不降水.
【答案】B
【详解】对于A，中奖概率为
是指买一次彩票，可能中奖的概率为
，
不是指1000 张这种彩票一定能中奖，故A 错误；
对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B 正确；
对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为
，是指一位病人被治愈的概率为
，
不是说每10 名患者就一定有一人被治愈，故C 错误.
对于D，“明天本市降水概率为
”指下雨的可能性为0.7，故D 错.
故选：B
2．某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3 局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是
0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生
之间的随机数，当出现随机数
时，
表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3 局，所以每3 个随机数为一组，例如，产生20 组随机数；
603
099
316
696
851
916
062
107
493
977
329
906
355
860
375
107
347
467
822
166
根据随机数估计甲获胜的概率为（ ）
A．0.9
B．0.95
C．0.8
D．0.85
【答案】A
【详解】设事件
为 “甲获胜”，
20 组随机数，其中事件
发生了18 次，
.
故选：A.
3．如图，拨动十二支招福游戏盘的指针，黑色的指针会等可能地随机指向十二支中的某一支.当黑色的指
针指向辰或巳时，可获得“福气满满”的称号.甲、乙分别拨动指针一次，且甲、乙参加游戏的结果相互独
立，则至少有一人获得“福气满满”的称号的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】在一次游戏中，可获得“福气满满”的称号的概率为
，
则甲、乙参加游戏，两人都没有获得“福气满满”的称号的概率是
，
所以至少有一人获得“福气满满”的称号的概率为
，
故选：B.
4．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝
的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等
可能的．若甲、乙、丙各投壶1 次，则这3 人中恰有1 人投中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设甲、乙、丙投中分别记为事件
，
由题意得
，
，
所以
.
故选：B
5．有4 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1 个球.甲表示事件
“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的
数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（ ）
A．甲与丙相互独立
B．甲与乙相互独立
C．丙与丁互斥
D．
乙与丁互斥
【答案】B
【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共
种情况；
第一次取出的球的数字是1，所有可能为
，
，
共3 种情况；
第二次取出的球的数字是2，所有可能为
，
，
共3 种情况；
则两次取出球的数字之和为，的所有可能为
，
，
，
共
种情况；
两次取出球的数字之和为
，所有可能为
，
共
种情况；
记“第一次取出的球的数字是1”为
，“第二次取出的球的数字是2”为
，
“两次取出的球的数字之和是5”为
，“两次取出的球的数字之和是4”为
，
则
，
，
，
.
A：当出现
情况时，甲丙同时发生，则
，
故甲丙相互独立，故A 正确；
B：当出现
情况时，甲乙同时发生，则
，
故甲乙不相互独立，故B 错误；
C：由
不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C 正确；
D：由于两次不可能都取2，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D 正确；
故选：B.
6．从数字1，2，3，4 中随机取出一个数字，记事件A＝“取出的数字为1 或2”，B＝“取出的数字为1 或
3”，C＝“取出的数字为1 或4”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．事件A，B，C 两两独立
D．
【答案】D
【详解】由题意，
表示从数字1，2，3，4 中随机取出一个数字为
中的一个数字，是必然
事件，所以
，故A 正确；
因为
，所以
表示随机取一个数字，取得
以外的数字，即取得数字为
，所以
，故B 正确；
因为
表示取出的数字为1，所以
，又
，所以
，故
相互独立，同理可得
和
也相互独立，故事件A，B，C 两两独立，
故C 正确；
因为
表示随机取出的数字为1，所以
，又
，
所以
，所以
，故D 错误.
故选：D
二、多选题
7．下列命题正确的是（ ）
A．随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．抛掷骰子100 次，得点数是1 的结果是18 次，则出现1 点的频率是
C．有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200 件产品，则一定有190 件正品，10 件次品
D．抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，有51 次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是
0.51
【答案】AB
【详解】对于A：随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A 正确；
对于B：抛掷骰子100 次，得点数是1 的结果是18 次，则出现1 点的频率是
，故B 正确；
对于C：有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200 件产品，则不一定抽取到190 件正品和10 件次品，
故C 错误；
对于D：100 次并不是无穷多次，抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，有51 次出现了正面，则可得抛掷一次
该硬币出现正面的频率是0.51，故D 错误；
故答案选：AB.
8．将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1 次，记试验的样本空间是
，事件
，则（ ）
A．
与
是互斥事件
B．事件
与
相互独立
C．
D．
【答案】ABC
【详解】
，则
与
不能同时发生，故
与
是互斥事件，故A 正确；
，
，
，
所以
，故事件
与
相互独立，故B 正确；
，则
，故C 正确；
与
是互斥事件，则
，故D 错误，
故选：ABC.
三、填空题
9．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种
现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50 人中，有15 人持认
可态度，其余持反对态度，若该地区有9600 人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人.
【答案】6720
【详解】在随机抽取的50 人中，持反对态度的频率为
，
则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有
（人）.
故答案为：6720
10．高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3 场2 胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比
赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为
，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是
.
【答案】
【详解】因（6）班每场获胜的概率为
，则（7）班每场获胜的概率为
，每场输掉比赛的概率为
，
依题意比赛采用3 场2 胜制，（7）班赢得比赛的情况有“胜胜”，“胜败胜”，“败胜胜”共3 种，
则其赢得比赛的概率为
.
故答案为：
.
11．甲、乙、丙3 名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为
;
3
②名学生至少有1 人回答正确的概率为
;③乙回答正确且丙回答错误的概率为
.则甲、乙、丙均回答正
确的概率为 .
【答案】
/
【详解】设甲、乙、丙回答正确的事件分别为
、
、
，由题意知
、
、
互相独立，设
，
，
由①知
，根据③可知
，
由②至少有1 人回答正确的概率为
，可知3 名学生都不正确的概率为
，
所以
，
联立方程组
，解得
，
所以则甲、乙、丙均回答正确的概率为
.
故答案为：
四、解答题
12．人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．
为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200 字作为样本语料库A，其中
“一”出现了30 次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个
字（或标点）的搭配
情况
频数
“一个”
6
“一些”
4
“一群”
2
“一条”
2
其他
假设用频率估计概率．
(1)求
的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2 个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1 次，求它的概率；
(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800 字作为样本语料库B 进行统计，“一”出现了24 次，“一
格”出现了2 次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面
更合适?（结论不要求证明）
【答案】(1)16；
(2)
；
(3)“一个”在前面更合适.
【分析】
【详解】（1）由题可得
，
因为随机选取甲类题材“新闻稿”中1200 字作为样本语料库A，其中“一”出现了30 次，
所以估计甲类题材中“一”出现的概率为
；
（2）由题意可得在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1 个“一”，搭配“一个”出现的概率为
，
则在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1 个“一”，不搭配“一个”出现的概率为
，
所以在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2 个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1 次的概率为
.
（3）甲类题材“新闻稿”中随机抽取1 个“一”，搭配“一个”出现的概率为
，
甲类题材“新闻稿”中随机抽取1 个“一”，搭配“一格”出现的概率为
，
所以“一个”出现的概率更高，则输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适.
13．某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包
含道传统文化题和
道数学历史题的题袋中随机抽取
道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后
抽，且每道题被抽中的机会均等.
(1)求甲抽到的
道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率；
(2)若甲答对每道题的概率均为
，乙答对每道题的概率均为
，且两人答题是否正确相互独立，求甲、
乙两人答对题目总数不少于道的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设传统文化题为
，数学历史题为
，甲从道题中不放回抽取
道题，
样本空间
，
，
设
“恰好道传统文化题和数学历史题”，
，
，由古典概型公式
得
，
所以，甲抽到的
道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率为
；
（2）设
“甲答对道题”（
），
；
；
设
“乙答对道题”（
），
；
，
设
“甲、乙两人答对题目总数不少于道”
由两人答题是否正确相互独立，有
所以，甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率为
.
14．Matlab 是一种数学软件，用于数据分析、深度学习、图象处理与计算机视觉、无线通信、信号处理、
人工智能机器人等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab 专业知识考试，
试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为
，乙同学答对每题的概率都为
，且在考
试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为
，恰有一人答对的概率为
.
(1)求
和
的值；
(2)若两题都答对者可被评为“优秀”，求甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率.
【答案】(1)
，
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）由题可知，每题甲、乙同时答对的概率为
，恰有一人答对的概率为
，
则
，解得
或
，
由于
，所以
，
.
（2）设甲被评为“优秀”为事件
，乙被评为“优秀”为事件
，
甲乙至少一人被评为“优秀”为事件
.则
法一：甲被评为“优秀”的概率
，
乙被评为“优秀”的概率
，
则甲乙至少一人被评为“优秀”的概率
.
法二：甲乙两人都没被评为“优秀”的概率
，
则甲乙至少一人被评为“优秀”的概率
.
