文档文本内容
专题4.2.3 对数函数的性质与图象
教学目标
1．理解对数函数的概念，明确其定义域
和底数限制
且
）；
2．掌握对数函数
和
时的图象特征及性质（定义域、值域、定点、单调
性）；
3．能根据底数差异判断对数函数图象的位置规律（第一象限内底数自左向右递增）
教学重难点
重点：对数函数的概念及定义域；
和
时对数函数的图象和性质；
难点：理解对数函数与指数函数的反函数关系；根据底数大小判断对数函数图象的差
异
知识点01 对数函数的概念
函数
，且
)叫做对数函数，其中
是自变量，函数的定义域是
．
温馨提示：（1）对数函数
是由指数函数
反解后将
互换得到的．
（2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数
，且
【即学即练】
1．下列函数为对数函数的是（ ）
A．
（
，且
） B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】形如
（
，且
）的函数为对数函数，
对于A，由
，且
，可知
，且
，故A 符合题意；
对于B，不符合题意；
对于C，符合题意；
对于D，不符合题意；
故选：AC.
2．已知函数
（
，且
）的图象过点
，则函数的解析式为 ．
【答案】
【详解】由题可得
，即
，
因为
，且
，所以
，
故函数解析式为
．
故答案为：
.
知识点02 对数函数的图象及性质
1.对数函数的图象及性质
图象
性质
定义域
值域
定点
过定点
单调性
是
上的增函数
是
上的增函数
2．当底数不同时对数函数图象的变化规律
作直线
与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象
对应的对数函数的底数逐渐变大，可得
.
【即学即练】
1．函数
（
，且
）恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，则
，解得
，
则函数
（
，且
）恒过点
．
故选：C.
2．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c 的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
【答案】D
【详解】y＝logax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx 的图象在
（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D．
题型01 对数函数的概念
【例1】下列函数是对数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】形如
，
且
的函数为对数函数，故B 正确.
故选：B.
【例2】若函数
（
，且
）是对数函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由对数函数的概念得
，解得
或
，
由
，得
，即
在
单调递减，
则
，所以
．
故选：B.
【变式1-1】下列函数中是对数函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据对数函数概念，形如
且
的函数是对数函数.结合选项知道
为对
数函数.
故选：D.
【变式1-2】函数
是对数函数，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】由
解得
或
，又
，且
，所以
故选：B.
【变式1-3】若函数
为对数函数，则
．
【答案】2
【详解】因为函数
为对数函数，
所以
，且
，则
（舍去）或
．
故答案为：2
判断一个函数是对数函数必须是形如
且
)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1；(2)底数为大于0 且不等于1 的常数；(3)对数的真数仅有自变量
.
题型02 求对数函数的解析式或函数值
【例3】已知对数函数
的图象过点
，则
．
【答案】
【详解】设
且
，
过点
，
，即
，解得：
，
，
.
故答案为：
.
【例4】已知函数
，若图象过点
，则
的值为（ ）
A．－2
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】由条件可知，
，得
，
所以
.
故选：B
【变式2-1】若某对数函数的图象过点
，则该对数函数的解析式为 ．
【答案】
【详解】设函数解析式为
，且
，
由函数的图象过点
，得
，即
，解得
，
所以该对数函数的解析式为为
.
故答案为：
【变式2-2】若函数
，
，则
．
【答案】
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
故答案为：
【变式2-3】已知函数
．
(1)求函数
的解析式；
(2)解方程
．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】
【详解】（1）由题意可知，函数
的定义域为
，
在等式
中，
用
替代
可得
，
所以
，解得
，
（2）因为
，由
可得
，
整理得
，可得
或
，解得
或
.
题型03 对数函数的定义域
【例5】函数
的定义域是 .
【答案】
且
【详解】根据函数
，可列出不等式组，得
，解得
且
，
故函数
的定义域为
且
.
故答案为：
且
.
【例6】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于函数
，
，则
，
所以，函数
的定义域
，
对于函数
，有
，即
，解得
.
因此，函数
的定义域为
.
故选：D.
【变式3-1】函数
的定义域是 ．
【答案】
【详解】函数
有意义等价于
，
由 ① 得，
或
；由 ② 得
，
故
的定义域是
．
故答案为：
.
【变式3-2】已知集合
，则P 的真子集个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【答案】A
【详解】由
，解得
或
，
所以
，
所以P 的真子集个数为
故选：A.
【变式3-3】“
”是“函数
的定义域为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若函数
的定义域为
，则
恒成立，
当
时，
恒成立，若
，则
，解得
，
所以函数
的定义域为
时，
，
即函数
的定义域为
可以推出
，
但
推不出函数
的定义域为
，
所以“
”是“函数
的定义域为
”的必要不充分条件，
故选：B.
求对数函数定义域的注意事项：（1）真数大于零；（2）对数的底数大于零且不等于1.
题型04 对数函数的值域
【例7】函数
的值域是 .
【答案】
【详解】因
，则
，
又函数
在
上是增函数，故
，
即函数
的值域是
.
故答案为：
.
【例8】已知
，函数
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，
当
时，
，
在
上为减函数，
所以
.
当
时，
，
因为
，所以
在
上为增函数，
所以
.
综上，
的值域为
.
故选：C.
【变式4-1】函数
的定义域为
，则值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
的定义域为
，
且
在
内单调递增，可知
在
内单调递增，
可知
在
内的最小值为
，最大值为
，
所以值域为
.
故选：A.
【变式4-2】函数
，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，因为
，所以
，
因为
，
所以
，
，
函数
在区间
上单调递增，
所以
，
，
所以函数
，
的值域为
.
故选：
.
【变式4-3】已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，易知
，
当
时，设
在
的值域为
，由题意可得
，
当
时，
，即
，不符合题意；
当
时，由不等式
化简可得
，解得
由不等式组
，解得
.
综上可得
.
故选：C.
对数型函数值域的求解技巧：
（1）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．
（2）形如
型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技
巧．
题型05 对数函数的图象
【例9】已知
，
，则函数
的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
【答案】C
【详解】对于
，当
时，
，
当
时，
，将
的图象向左平移
个单位，即得
的图象，
此时
的图象过第二、三、四象限；
当
时，
，将
的图象向左平移
个单位，即得
的图象，
此时图象过第一、三、四象限；
综合可知函数
的图象一定经过第三、四象限，
故选：C
【例10】函数
的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数
，可得
，解得
，
即函数
的定义域为
，可得排除C、D 选项；
又由
，可排除A 选项，所以B 选项符合题意.
故选：B.
【变式5-1】对
，且
的图象过定点
，则点
的坐标为 .
【答案】
【详解】由题意，当
时，
，
所以图象过定点
，
故答案为：
【变式5-2】已知对
，且
均有意义，则函数
的大致图象是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可知，
对
恒成立，得
，
则
时，
，则
在
上单调递增，
因
，则
为偶函数.
故选：B
【变式5-3】已知函数
（a，c 为常数，其中
，且
）的部分图象如图所示，则下列
结论成立的是 ．（填序号）
①
，
；②
，
；③
，
；④
，
．
【答案】④
【详解】由图知，函数在定义域内为减函数，所以
，
当
时，
，所以
．
故答案为：④
处理对数函数图象问题的3 个注意点：
（1）明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当
趋近于0 时，函数图象会越来越靠
近
轴，但永远不会与
轴相交．
（2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数
的取值范围是
，还是
（3）牢记特殊点．对数函数
且
)的图象经过点：
题型06 对数（型）函数的单调性
【例11】函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
【详解】因为
，所以函数的定义域为
或
，
令
，则
，
因为
在
单调递减，
且
在
单调递减，在
单调递增，
由复合函数的单调性可知函数
的单调递增区间为
．
故答案为：
．
【例12】已知函数
在
上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
在
上单调递减，而函数
在
上单调递减，
则函数
上在
上单调递增，且当
时，
，
因此
，解得
，
所以实数k 的取值范围是
.
故选：B
【变式6-1】函数
的单调递增区间是 ．
【答案】
(或
)
【详解】函数
的定义域为
，
令
在定义域上为增函数，则
在
上单调递增，
由复合函数单调性的同增异减原则可得，当
1，即
时，函数
单调递增，
即函数
单调递增区间为
．
故答案为：
(或
)
【变式6-2】已知函数
，
且
在
上单调递减，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
，
得
.
故选：C
【变式6-3】已知
在R 上是减函数．那么a 的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
在R 上是减函数，
所以
，解得
，即
.
故选：D.
求对数型函数单调区间的方法：
(1)求形如
的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由
，先求定义域．
(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数
和
在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定
的单调性．
题型07 比较对数幂的大小
【例13】设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
单调递减，所以
，
因为
单调递减，所以
，
则
的大小关系为
.
故选：A.
【例14】函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，
又当
时，
在
上单调递增，
所以
，即
.
故选：D
【变式7-1】设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为指数函数
是实数集上的减函数，
所以
，
因为指数函数
是实数集上的增函数，
所以
，
因为对数函数
是正实数集上减函数，
所以
，因此
，
故选：A
【变式7-2】设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，即
.
故选：C
【变式7-3】定义在
上的函数
满足
，若
在区间
上单调递增，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为在
上的函数
满足
，所以
.
因为
，又
，
，所以
.
因为
在
上单调递增，所以
，即
，即
.
故选：D.
题型08 解简单的对数不等式
【例15】不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】由
，得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
【例16】已知函数
是定义在R 上的偶函数，且在区间
上单调递减，若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由不等式
，可得
，
因为
为偶函数，可得
，
所以原不等式即为
，即
，
又因为
在区间
上单调递减且为偶函数，可得
，
即
或
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：A.
【变式8-1】函数
的定义域为 .
【答案】
【详解】因为函数
，
所以
，可得
，
解得
，
所以函数的定义域为
.
故答案为：
【变式8-2】已知函数
，若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当
时，不等式
为
，即
，
因为
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
；
由于
，则当
时，函数
在
上单调递减，
所以
，解得
，所以
；
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式8-3】已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得，
，解得
，
所以
，
所以
，
所以
，即
，
从而
，解得
，
故不等式
的解集为
.
故选：A
常见对数不等式的2 种解法
（1）形如
的不等式，借助
的单调性求解，如果
的取值不确定，需分
和
两种情况讨论；
（2）形如
的不等式，应将
化为以
为底数的对数式的形式，再借助
的单调性求
解.
题型09 对数函数的分类讨论
【例17】已知函数
在区间
上是增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
【答案】D
【详解】令
，对称轴方程为：
，
当
时，要使函数
在区间
上是增函数，
得
，解得
，而
，故
，
当
时，要使函数
在区间
上是增函数，
得
，解得
不存在，
综上知，
的取值范围是：
，
故选：D
【例18】已知
（
，且
）．
(1)判断
的奇偶性；
(2)若
在区间
内的最大值为2，求
．
【答案】(1)
是偶函数
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意得
解得
，
则
的定义域为
，关于原点对称，
且
，
所以
是偶函数．
（2）
，
①当
时，函数
在
上单调递增，
则
在区间
内的最大值为2 可转化为
在区间
内的最大值为
，
因为
在区间
单调递减，
所以
，
解得
（负值舍会），与
矛盾，舍去；
②
时，函数
在
上单调递减，
则
在区间
内的最大值为2 可转化为
在区间
内的最小值为
，
因为
在区间
单调递减，
所以
，解得
（负值舍会），满足
．
综上，
．
【变式9-1】函数
在
上的最大值与最小值的和为1，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【答案】C
【详解】若
，则
在
上单调递增，
故
，解得
，满足要求；
若
，则
在
上单调递减，
故
，解得
，不符合要求；
综上，
.
故选：C
【变式9-2】已知函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设
（
且
），
，
因为
在
上是减函数，
所以
或
.
解得：
或
.
所以实数
的取值范围为：
.
故答案为：
【变式9-3】已知函数
（
，且
）.
(1)若
，求实数
的取值范围;
(2)若函数
在区间
上最大值是最小值的2 倍，求
的值.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】
【详解】（1）①当
时，则
在区间
上是增函数，
所以
，解得
，
②当
，则
在区间
上是减函数，
所以
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（2）①当
时，
，则
，解得
，
②当
时，
，则
，解得
，
综上所述，实数
的取值为
或
.
题型10 恒成立问题
【例19】已知函数
.
(1)当
时，求
的单调递减区间；
(2)当
在
上恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）函数
有意义，则
，解得
，
此时
，令
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
而当
时，函数
在
上单调递增，
所以函数
的单调递减区间是
.
（2）由（1）得，当
时，函数
在
上单调递减，
，
依题意，
，解得
；
当
时，函数
在
上单调递增，
，
依题意，
，解得
，
所以
的取值范围是
.
【例20】已知函数
．
(1)利用定义法判断
的单调性；
(2)若关于
的不等式
在
恒成立，求正实数
的取值范围．
【答案】(1)
在
上单调递增
(2)
【分析】
【详解】（1）令
，解得
，故函数
的定义域为
．
任取
，则
，
因为指数函数
在
上单调递增，且
，
所以
，则
，
则
，
所以
，即
，
故函数
在
上单调递增．
（2）由题知
．
由（1）知函数
在
上单调递增，
则
，
即
，解得
，
又
，故正实数
的取值范围为
．
【变式10-1】已知函数
．
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由
，得
，所以
的定义域为
，
，
令
，则在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
为减函数，
所以
的单调递增区间为
．
（2）由题意得当
，
，
当
时，由（1）得
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，不符合题意，
当
时，
为增函数，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，
所以
，
即
，解得
，综上所述，
．
【变式10-2】已知函数
，
.
(1)求实数a 的值；
(2)若对任意
，不等式
恒成立，求m 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】
【详解】（1）
，解得
；
（2）
，即
，
∴
，
设
，
由于
在
上单调递减，
又
在
上单调递增，且
，
故在
上，
单调递减，
所以
，
故
.
【变式10-3】已知函数
.
(1)求不等式
的解集；
(2)若对任意
，有不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）令
，
则原不等式
可化为
，
解得
，即
，
所以
，
不等式
的解集为
.
（2）当
时，令
，可得
，
原不等式可化为
对于
恒成立，
即可得
对于
恒成立，
由基本不等式知可知
，当且仅当
时取得等号，
，因此只需
，
即
的取值范围是
.
一、单选题
1．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，可得
，所以函数
的定义域是
.
故选：D.
2．已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】易知
，而
单调递增，所以
，
又
，所以
.
故选：A
3．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由
得：
，
，
，
，
，
“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
4．已知
，且
．若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可得
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：C.
5．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：
）和燃料的质量
（单位：
）、飞行器（除燃料外）的质量
（单位：
）的函数关系是
.已知当该飞行器所处高空的音速为
，最大速度对应的马赫数分别为6 和11 时，
燃料的质量分别为
和
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于
：由题意得
，可得
，
所以
，所以
，
，可得
，
所以
，所以
，
所以
，故
错误；
对于
：
，故
正确、
错误.
故选：C.
6．若函数
的值域是
，则实数
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，
要使得函数
的值域为
，只需
的值域包含于
，
所以
，结合
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
二、多选题
7．已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
在
上单调递增
C．
的图象关于
对称
D．
的值域为
【答案】BCD
【详解】对于A，由题可得
，解得
，所以函数定义域为
，故A 错误；
对于B，因为
，设
，
因函数
在定义域内为增函数，函数
在
上单调递增且大于零，
根据复合函数单调性可得
在
上单调递增，故B 正确；
对于C，因为该函数的定义域关于
对称，
且
，
故函数
的图象关于
对称，故C 正确；
对于D，因为
在
上的值域为
，
所以
的值域为
，即
，故D 正确.
故选：BCD.
8．已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．不存在实数a，使
的定义域为R
B．
时，函数
为偶函数
C．若函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是
D．函数
一定有最小值
【答案】AB
【详解】列表解析|直观解疑惑
选
项
正
误
原因
A
√
要使函数
的定义域为R，则
对
恒成立，即存在
实数a，使得
．又因为
，所以不存在实数a，使得
，故不存在实数a，使
的定义域为R．
B
√
时，
，定义域为
，又
恒大于0，所以
的定义域为
，关于坐标原点对称（判定函数奇偶性，一定要遵循定义
域优先原则）．设
，则
，故函数
为偶函数．
C
×
因为
是增函数，函数
在区间
上单调递增，所以
在区间
上单调递增且
在
上恒成立，所以
解得
．
D
×
当
的值域为R 时不存在最小值，要使
的值域为R，函数
的值域M 满足
，所以
，解得
，故
对任意实数a，
的值域为R，即
不存在最小值．
故选：AB.
三、填空题
9．函数
的定义域是 .
【答案】
【详解】由
，解得
，
则函数
的定义域是
.
故答案为：
.
10．已知函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【详解】令
，则
，
因为
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，且
，
所以
，解得
，
故答案为：
.
11．已知函数
，若
在
上存在最小值，则a 的取值范围是 .
【答案】
【详解】当
时，
单调递减，没有最小值；
当
时，
单调递增，其最小值为
.
由
在
上存在最小值，得
，即
.
因为
是
的单调增函数，又
，
所以
.
故答案为：
四、解答题
12．函数
，当
时，求该函数的值域.
【答案】
【详解】由
，
令
，则有
，
因为
，所以
，因此
，
所以函数
的值域为
.
13．已知函数
的图象过原点，且
．
(1)求实数
的值；
(2)求不等式
的解集；
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）∵函数
的图象过原点，
又
即
，解得
，
所以
的值为2，
的值为﹣2．
（2）由（1）可知，
，
所以不等式为
，即
，
即不等式的解集为
14．已知函数
．
(1)若
的定义域为R，求m 的取值范围；
(2)若
的值域为R，求m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）函数
的定义域为R，则
在R 上恒成立．
当
时，
在R 上不恒成立，不符合题意；
当
时，有
，解得
．
综上，m 的取值范围为
．
（2）函数
的值域为R，
则
的值域必须包含
．
当
时，则
的值域包含
，符合题意；
当
时，有
，解得
．
综上，m 的取值范围为
．
15．已知函数
是偶函数．
(1)求
的值；
(2)若
，
，
，不等式
对任意
恒成立，求
的取值
范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】
【详解】（1）
是偶函数，
，即
，
即
，而
，
．
（2）
，
，
，又
，
，
而对勾函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
，
，
，
，
，
，令
，
，
而
在
上单调递增，
在
上单调递减，
的取值范围是
．
