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２ ５６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
9.4 二项分布、超几何分布与正态分布
学生用书P311
:1 9 L $LQL Q OL,K ,,,,O
O
MU9~#UNUPU :& 9 OQ
:% 9 OQ Q
$L$OL
:1 9 L ./., K M,M ,M ,,S
$O
/
O / ./∗ ./ O/ N MAX[ O / .] S MIN[O .]
M B
O.
:& 9 OQ
T /
B
Y 2
G Y 1 e 2 2 Y3, 3, 0
2?
Z
1
2?
0 Y
(1) 3YDYD,.
(2) 3+,,3Y /.
(3) 3 Y D.
3'% (4) 3YDK+L/.
P55
(5), 3+4*-, 3K,+ 5!YD/.
(6), 3+'*-,B, 3B“+P”B,
3B“-6”.
U& 9
+ :9~/(,)
U% 9 2
1( 9 )0.682 7
1( 2 9 2 )0.954 5
3
1( 3 9 3 )0.997 3
3 2 2 3
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ５７
学生用书P312
题型 一 二项分布和超几何分布 ｎ
两式相减得 １ Ｓ １ １ １ １ … １ －１
ｎ＝ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ＋ ｎ－ ｎ ＋１
1.二项分布描述的是放回抽样问题 超几何分布描述的是不放 ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
， æ ö
回抽样问题． １ è ç １－ ｎ １ －１ ø ÷ ｎ
４ ２ －１
2.每一次抽样试验中
，
若事件独立且概率不变
，
则对应二项分布． ＝
１
－
２
ｎ ＋１
3.超几何分布多与分层抽样结合 出现 先抽 再抽 的题干 １－
， “ ， ” ２
信息． ｎ
１ ＋１，
4.当样本容量非常大时 在有放回地抽取与无放回地抽取下 计 ＝ ２ － ２ ｎ ＋１
， ， ｎ ｎ
算得到的概率非常接近 可以近似把超几何分布认为是二项 则Ｓ ２ － －１，
， ｎ＝ ｎ
分布． ２
ｎ ｎ
例1 （ 河南焦作期末， ）为了验证某种新能源汽车电池 即 Ｐ（Ｙ ｉ） １ ２ ３ … －１
２０２４ １６ ∑ｉ＝ ＝ ＝ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ＋ ｎ
２ ２ ２ ２ ２
的安全性 ， 小王在实验室中进行了ｎ （ ｎ ≥２） 次试验 ， 假设小王每 ｎ ｎ
２ － －１．
次试验成功的概率为ｐ ｐ 且每次试验相互独立． ＝ ｎ
（０＜ ＜１）， ２
题型 二 正态分布
若小王某天进行了 次试验 且ｐ １ 求小王这一天试验
（１） ４ ， ＝ ，
３
解决正态分布问题主要注意以下两个方面
成功次数Ｘ的分布列及期望 ：
；
1.对于正态分布Ｎ μ σ２ 可知
（ ， ） ：
若恰好成功 次后停止试验 且ｐ １ 以Ｙ表示停止试验
（２） ２ ， ＝ ， Ｐ Ｘ μ Ｐ Ｘ μ ．
２ （１） （ ≥ ）＝ （ ≤ ）＝０５；
ｎ 对任意的ａ有Ｐ Ｘ μ ａ Ｐ Ｘ μ ａ
（２） （ ＜ － ）＝ （ ＞ ＋ ）；
时试验的总次数 求 Ｐ Ｙ ｉ ． 结果用含有ｎ的式子表示
， ∑ｉ＝ ２ （ ＝ ） （ ） （３） Ｐ （ Ｘ ＜ ｘ ０）＝１－ Ｐ （ Ｘ ≥ ｘ ０）；
( ) Ｐ ａ Ｘ ｂ Ｐ Ｘ ｂ Ｐ Ｘ ａ ．
解析 （ ）依题意，知Ｘ Ｂ ，１ ， （４） （ ＜ ＜ ）＝ （ ＜ ）－ （ ≤ ）
１ ～ ４ 2.服从 Ｎ μ σ２ 的随机变量 Ｘ 在某个区间内取值的概率的
３ （ ， ）
( ) 求法
则Ｐ（Ｘ ） １ ４ １６， ：
＝０ ＝ １－ ＝ 利用Ｐ μ σ Ｘ μ σ Ｐ μ σ Ｘ μ σ Ｐ μ σ Ｘ
３ ８１ （１） （ － ＜ ≤ ＋ ）， （ －２ ＜ ≤ ＋２ ）， （ －３ ＜
( ) ３ μ σ 的值直接求
Ｐ（Ｘ ） １ １ １ ３２， ≤ ＋３ ） ；
＝１ ＝Ｃ４ １－ ＝ 充分利用正态曲线的对称性和曲线与ｘ轴之间的面积为
３ ３ ８１ （２）
( ) ( )
２ ２ 这些特殊性质求解．
Ｐ（Ｘ ） ２ １ １ ８ ， １
＝２ ＝Ｃ４ １－
３ ３
＝
２７ 例2 （ 广东江门联考）某公司建有 个销售群 在某
( )( ) ２０２４ １ ０００ ，
Ｐ（Ｘ ＝３ ） ＝Ｃ ３ ４ １－ １ １ ３ ＝ ８ ， 产品的销售旺季 ， 所有群销售件数Ｘ服从正态分布Ｎ （ μ ， σ２ ），
３ ３ ８１ 其中μ σ２ 公司把销售件数不小于 的群称为
( ) ＝３７６， ＝１２１００， ５９６
４
Ｐ（Ｘ ） １ １ ， Ａ级群 销售件数在 内的群为 Ｂ级群 销售件数
＝４ ＝ ＝ “ ”， ［２６６，５９６） “ ”，
３ ８１ 小于 的群为 Ｃ级群 ．
故Ｘ的分布列为 ２６６ “ ”
若Ｐ Ｘ ａ Ｐ Ｘ ａ 求ａ的取值范围
（１） （ ＜ ）≥ （ ＞２ －１）， ；
Ｘ 该公司决定对每个 Ａ级群 奖励 元 每个 Ｂ级群 奖
０ １ ２ ３ ４ （２） “ ” １０００ ， “ ”
励 元 每个 Ｃ级群 奖励 元 那么公司大约需要准备多
Ｐ １６ ３２ ８ ８ １ ５００ ， “ ” ２００ ，
少奖金 群的个数按四舍五入取整数
８１ ８１ ２７ ８１ ８１ ？ （ ）
附 若Ｘ Ｎ μ σ２ 则Ｐ μ σ Ｘ μ σ ． Ｐ μ σ Ｘ
： ～ （ ， ）， （ － ＜ ＜ ＋ ）≈０６８２７， （ －２ ＜ ＜
Ｅ（Ｘ） １ ４ ．
＝４× ＝ μ σ ． Ｐ μ σ Ｘ μ σ ． ．
３ ３ ＋２ ）≈０９５４５， （ －３ ＜ ＜ ＋３ ）≈０９９７３
（ ）事件“Ｙ ｎ”表示前ｎ 次试验只成功了 次，且第ｎ次试 解析 （ ）由正态曲线的对称性可知，分 种情况讨论．（提
２ ＝ －１ １ １ ４
验成功， 示：结合图形解答）
故Ｐ（Ｙ ＝ ｎ） ＝Ｃ １ｎ －１×
２
１ × ( １－
２
１ )ｎ －２ ×
２
１ ＝ ｎ
２
－ ｎ １， ① 当 {
２
ａ ａ ≤
－
３
１
７
≤
６ ，
３７６
， 即 ａ ≤ ３７
２
７时，Ｐ（Ｘ ＜ ａ） ＜０ ． ５ ，Ｐ（Ｘ ＞２ ａ －１ ） ＞
ｎ ｎ ． ，不合题意，舍去；
所以 Ｐ（Ｙ ｉ） １ ２ ３ … －１， ０５
∑ｉ＝
２
＝ ＝
２
２ ＋
２
３ ＋
２
４ ＋ ＋
２
ｎ
当
{ａ
≤３７６
，
即３７７ ａ 时，要使Ｐ（Ｘ ａ） Ｐ（Ｘ ａ
（提示：从式子结构想到用错位相减法求和） ② ａ ， ≤ ≤３７６ ＜ ≥ ＞２ －
２ －１≥３７６ ２
ｎ ），则有 ａ ａ ，
令Ｓ １ ２ ３ … －１， １ ３７６－ ≤２ －１－３７６
ｎ＝ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ＋ ｎ 解得ａ ，所以 ａ ；
２ ２ ２ ２ ≥２５１ ２５１≤ ≤３７６
ｎ ｎ {ａ ，
则 １ Ｓ １ ２ ３ … －２ －１， 当 ≥３７６ 即ａ 时，Ｐ（Ｘ ａ） ． ，Ｐ（Ｘ ａ ）
ｎ＝ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ＋ ｎ ＋ ｎ ＋１ ③ ａ ， ≥３７６ ＜ ＞０ ５ ＞２ －１ ＜
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ －１≥３７６
２ ５８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
． ，则Ｐ（Ｘ ａ） Ｐ（Ｘ ａ ）恒成立，符合题意； Ｐ（ Ｘ ） Ｐ（μ σ Ｘ μ σ）
０５ ＜ ≥ ＞２ －１ ２６６≤ ＜５９６ ＝ － ≤ ＜ ＋２
{ａ ，
当 ≥３７６ 时，不等式组无解． Ｐ（μ σ Ｘ μ σ） １（Ｐ（μ σ Ｘ μ σ） Ｐ（μ σ Ｘ μ σ））
④ ａ ＝ － ≤ ＜ ＋ ＋ －２ ≤ ＜ ＋２ － － ≤ ＜ ＋
２ －１≤３７６ ２
综上所述，ａ的取值范围为［ ， ）．
２５１ ＋∞
≈０
．
６８２７＋
１
×
（
０
．
９５４５－０
．
６８２７
）
＝０
．
８１８６
，
（ ）因为μ ，σ ， ２
２ ＝３７６ ＝１１０ 所以Ａ级群有 ． 个，Ｂ级群有 ．
所以μ σ ，μ σ ， １０００×０ ０２２ ７５≈２３ １０００×０ ８１８ ６
－ ＝２６６ ＋２ ＝５９６
个，Ｃ级群有 个，
≈８１９ １０００－２３－８１９＝１５８
所以Ｐ（Ｘ ≥５９６ ） ＝ Ｐ（Ｘ ≥ μ ＋２ σ） ＝ １ （ １－ Ｐ（μ －２ σ ＜ Ｘ ＜ μ ＋２ σ）） 所以公司大约需要准备奖金
２ ２３×１ ０００＋８１９×５００＋１５８×２００＝
（元）．
１ （ ． ） ． ， ４６４１００
≈ × １－０９５４５ ＝００２２７５
２
续表
学生用书P158
试验组
（多选）（ 新课标 ， ， 分，中）随着 一带一路 国际合作
２０２４ Ⅰ ９ ６ “ ”
的深入 某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口 根据 中的列联表 能否有 ％的把握认为小白鼠在高
， （ｉｉ） （ｉ） ， ９５
后的亩收入 单位 万元 情况 从该种植区抽取样本 得到推动 浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
（ ： ） ， ， ？
出口后亩收入的样本均值ｘ ． 样本方差ｓ２ ． 已知该种 ｎ ａｄ ｂｃ ２
＝２１， ＝０ ０１， 附 Ｋ２ （ － ）
植区以往的亩收入Ｘ服从正态分布Ｎ （１ ． ８，０ ． １ ２ ）， 假设推动出 ： ＝ （ ａ ＋ ｂ ）（ ｃ ＋ ｄ ）（ ａ ＋ ｃ ）（ ｂ ＋ ｄ ） ，
口后的亩收入Ｙ服从正态分布Ｎ ｘ ｓ２ 则 若随机变量Ｚ服从 Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
（ ， ）， （ （ ≥ ） ０１００ ００５０ ００１０ ．
正态分布Ｎ
（
μ
，
σ２
），
则Ｐ
（
Ｚ
＜
μ
＋
σ
）≈０
．
８４１３） （
ＢＣ
）
ｋ
２
．
７０６ ３
．
８４１ ６
．
６３５
Ｐ Ｘ ． Ｐ Ｘ ． 解析 依题意得 Ｘ的所有可能取值为
Ａ． （ ＞２）＞０２ Ｂ． （ ＞２）＜０５ （１） ， ０，１，２，
Ｐ Ｙ ． Ｐ Ｙ ． ０ ２ １ １
Ｃ． （ ＞２）＞０５ Ｄ． （ ＞２）＜０８ 则Ｐ Ｘ Ｃ２０Ｃ２０ １９ Ｐ Ｘ Ｃ２０Ｃ２０ ２０
（ ＝０）＝ ２ ＝ ， （ ＝１）＝ ２ ＝ ，
考点 1 二项分布和超几何分布 学生用书P158 Ｃ４０ ７８ Ｃ４０ ３９
２ ０
Ｐ Ｘ Ｃ２０Ｃ２０ １９
１．（ ２０２１ 浙江， １５ ， ６ 分，中）袋中有 ４ 个红球 ， ｍ个黄球 ， ｎ个绿 （ ＝２）＝ Ｃ ２ ４０ ＝ ７８ ，
球．现从中任取两个球 记取出的红球数为ξ 若取出的两个球 Ｘ的分布列为
， ， ∴
都是红球的概率为 １ 一红一黄的概率为 １ 则 ｍ ｎ Ｘ
， ， － ＝ １ ， ０ １ ２
６ ３
Ｐ １９ ２０ １９
Ｅ ξ ８ ．
（ ）＝ ７８ ３９ ７８
９
２．（ 全国甲理， ， 分，中）一项试验旨在研究臭氧效应
２０２３ １９ １２ ， Ｅ Ｘ １９ ２０ １９ ．
试验方案如下 选 只小白鼠 随机地将其中 只分配到试 ∴ （ ）＝ ×０＋ ×１＋ ×２＝１
： ４０ ， ２０ ７８ ３９ ７８
验组 另外 只分配到对照组 试验组的小白鼠饲养在高浓 ． ．
， ２０ ， 依题意可得ｍ ２３２＋２３６ ． ．
（２）（ｉ） ＝ ＝２３４
度臭氧环境 对照组的小白鼠饲养在正常环境 一段时间后统 ２
， ，
则对照组样本中小于ｍ的数据的个数为
计每只小白鼠体重的增加量 单位 ． ６，
（ ：ｇ）
设Ｘ表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数 求Ｘ
试验组样本中小于ｍ的数据的个数为
１４，
（１） ，
的分布列和数学期望． 则列联表为
试验结果如下
ｍ ｍ
（２） ：
＜ ≥
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
对照组
． ． ． ． ． ． ． ６ １４
１５２ １８８ ２０２ ２１３ ２２５ ２３２ ２５８
试验组
． ． ． ． ． ． ． １４ ６
２６５ ２７５ ３０１ ３２６ ３４３ ３４８ ３５６
． ． ． ． ． ． 由 中列联表可得
３５６ ３５８ ３６２ ３７３ ４０５ ４３２ （ｉｉ） （ｉ）
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
２
Ｋ２ ４０×（６×６－１４×１４） ． ．
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ＝ ＝６４＞３８４１，
７８ ９２ １１４ １２４ １３２ １５ ５ １６ ５ １８ ０ １８ ８ １９ ２ ２０×２０×２０×２０
． ． ． ． 有 ％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环
１９８ ２０２ ２１６ ２２８ ∴ ９５
． ． ． ． ． ． 境中体重的增加量有差异．
２３６ ２３９ ２５１ ２８２ ３２３ ３６５
求 只小白鼠体重的增加量的中位数ｍ 再分别统计两
（ｉ） ４０ ， 考点 2 正态分布 学生用书P159
样本中小于ｍ与不小于ｍ的数据的个数 完成如下列联表
， ：
１．（ 新高考 ， ， 分，中）某物理量的测量结果服从正态分
ｍ ｍ ２０２１ Ⅱ ６ ５
＜ ≥ 布Ｎ σ２ 则下列结论中不正确的是 Ｄ
（１０， ）， （ ）
对照组
σ越小 该物理量一次测量结果落在 ． ． 内的概率
Ａ． ， （９ ９，１０ １）
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ５９
越大 该物理量一次测量结果落在 ． ． 内的概率与落在
Ｄ． （９ ９，１０ ２）
该物理量一次测量结果大于 的概率为 ． ． 内的概率相等
Ｂ． １０ ０５ （１０，１０３）
该物理量一次测量结果大于 ． 的概率与小于 ． 的概 ２．（ 新高考 ， ， 分，易）已知随机变量Ｘ服从正态分布
Ｃ． １００１ ９ ９９ ２０２２ Ⅱ １３ ５
率相等 Ｎ σ２ 且Ｐ Ｘ ． ． 则Ｐ Ｘ ． ． ．
（２， ）， （２＜ ≤２５）＝０３６， （ ＞２５）＝ ０１４
每轮分别与体育老师打 局 当两人获胜局数不少于 局时
学生用书P159 ２ ， ３ ，
则认为这轮训练过关 否则不过关．若甲 乙两人每局获胜的
１．（ 湖南师大附中月考六， ）某群体中的每位成员使用移 ； 、
２０２４ ４
动支付的概率都为ｐ 各成员的支付方式相互独立 设Ｘ为该 概率分别为ｐ ｐ 且满足 ｐ ｐ ４ 每局之间相互独立．记
， ， １， ２， １＋ ２＝ ，
群体的 位成员中使用移动支付的人数 Ｄ Ｘ ． Ｐ Ｘ ３
１０ ， （ ）＝ ２ ４， （ ＝ 甲 乙在ｎ轮训练中训练过关的轮数为Ｘ 若Ｅ Ｘ 则从
Ｐ Ｘ 则ｐ Ｂ 、 ， （ ）＝１６，
４）＜ （ ＝６）， ＝ （ ） 期望的角度来看 甲 乙两人训练的轮数至少为 Ａ
． ． ． ． ， 、 （ ）
Ａ．０７ Ｂ．０６ Ｃ．０４ Ｄ．０３
２．（ 河北石家庄二模， ）某市教育局为了解高三学生的学 Ａ．２７ Ｂ．２４ Ｃ．３２ Ｄ．２８
２０２４ ２ ７．（ 浙江温州三模， ）设随机变量ξ服从正态分布Ｎ
习情况 组织了一次摸底考试 共有 名考生参加这次考 ２０２４ １２ （２，
， ， ５００００
试 数学成绩Ｘ近似服从正态分布 其正态密度函数为ｆ ｘ 若Ｐ ξ ａ Ｐ ξ ａ 则ａ ３ ．
， ， （ ）＝ １）， （ ＞ ＋１）＝ （ ＜ ）， ＝
２
σ
１
ｅ
（ｘ－ ２σ９０ ２）２
，
ｘ
∈
Ｒ且Ｐ
（７０≤
Ｘ
≤１１０）＝ ０
．
８，
则该市这次考试 ８．（
２０２４
福建质检，
１２
）某企业生产一种零部件
，
其质量指标介
２π 于 ． ． 的为优品 技术改造前 该企业生产的该种零
（４９６，５０４） ， ，
数学成绩超过 分的考生人数约为 Ｄ
１１０ （ ） 部件质量指标服从正态分布Ｎ ． 技术改造后 该企
（５０，０ １６）； ，
Ａ．２０００ Ｂ．３０００ Ｃ．４０００ Ｄ．５０００ 业生产的同种零部件质量指标服从正态分布Ｎ ． ．那
３．（ 浙江部分学校联考， ）下列说法正确的是 Ｃ （５０，０ ０４）
２０２４ ３ （ ） 么 该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改
( ) ，
若随机变量η Ｂ １ 则Ｄ η 造前的优品率之差为 ． ． 若Ｘ Ｎ μ σ２ 则Ｐ Ｘ μ
Ａ． ～ １２， ， （ ）＝３ ０２７１８ （ ～ （ ， ）， （｜ － ｜
４
σ ． Ｐ Ｘ μ σ ． Ｐ Ｘ μ σ
若随机变量ξ Ｎ σ２ 且Ｐ ξ ． 则Ｐ ξ ． ＜ ）＝ ０ ６８２ ７， （｜ － ｜＜２ ）＝ ０ ９５４ ５， （｜ － ｜＜３ ）＝
Ｂ． ～ （２， ）， （ ＜４）＝０８， （２＜ ＜４）＝０４
．
一组数据 的第 百分位 ０９９７３）
Ｃ． １１，１２，１２，１３，１４，１５，１６，１８，２０，２２ ８０
数为 学生用书P160
１９
若Ｐ Ａ Ｂ １ Ｐ Ａ ２ Ｐ Ｂ １ 则事件Ａ与事件Ｂ １．（ 广东佛山质量检测二， ）如图 在一条无限长的轨道
Ｄ． （ ∩ ）＝ ， （ ）＝ ， （ ）＝ ， ２０２４ １７ ，
９ ３ ３ 上 一个质点在随机外力的作用下 从位置 出发 每次等可
相互独立 ， ， ０ ，
能地向左或向右移动一个单位 设移动 ｎ 次后质点位于位
４．（ 河南开封第三次质量检测， ）在某项测验中 假设测验 ，
２０２４ ６ ， 置Ｘ ．
数据服从正态分布Ｎ ．如果按照 ％ ％ ％ ％ ｎ
（７８，１６） １６ ，３４ ，３４ ，１６ 求Ｐ Ｘ
的比例将测验数据从大到小分为Ａ Ｂ Ｃ Ｄ四个等级 则等级 （１） （ ４＝－２）；
， ， ， ，
求Ｅ Ｘ
为Ａ的测验数据的最小值可能是 Ｃ （２） （ ｎ）；
（ ）
指出质点最有可能位于哪个位置 并说明理由．
附 若Ｘ Ｎ μ σ２ 则Ｐ Ｘ μ σ ． Ｐ Ｘ μ （３） ，
（ ： ～ （ ， ）， （｜ － ｜≤ ）≈０６８２７， （｜ － ｜≤
σ ．
２ ）≈０９５４５）
解析 设质点 ｎ 次移动中向右移动的次数为 Ｙ 则 Ｙ
Ａ．９４ Ｂ．８６ Ｃ．８２ Ｄ．７８ ， ～
５．（ 福建泉州质量检测三， ）中心极限定理是概率论中的 ( )
２０２４ ６ Ｂ ｎ １ Ｘ Ｙ ｎ Ｙ Ｙ ｎ． 分
， ， ｎ＝ －（ － ）＝２ － （３ ）
一个重要结论．根据该定理 若随机变量ξ Ｂ ｎ ｐ 则当ｎｐ ２
， ～ （ ， ）， ＞
( ) ( )
５ 且ｎ （１－ ｐ ）＞５ 时 ， ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似 （１） Ｐ （ Ｘ ４＝－２）＝ Ｐ （ Ｙ ＝１）＝Ｃ １ ４ １ １ １ ３ ＝ ４ ＝ １ ． （７ 分 ）
替代 且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等．现 ２ ２ １６ ４
， ( )
投掷一枚质地均匀的骰子 次 利用正态分布估算骰子向 Ｅ Ｘ Ｅ Ｙ ｎ ｎ １ ｎ ． 分
２５００ ， （２） （ ｎ）＝２ （ ）－ ＝２ · － ＝０ （９ ）
２
上的点数为偶数的次数少于 的概率为 Ｄ
１３００ （ ） ( )ｋ ( )ｎ ｋ ｋ
附 ： 若 ： η ～ Ｎ （ μ ， σ２ ）， 则Ｐ （ μ － σ ＜ η ＜ μ ＋ σ ）≈０ ． ６８２７， Ｐ （ μ －２ σ ＜ （３） Ｐ （ Ｙ ＝ ｋ ）＝Ｃ ｋ ｎ １ １ － ＝ Ｃ ｎ ｎ． （１１ 分 ）
２ ２ ２
η μ σ ． Ｐ μ σ η μ σ ． ．
＜ ． ＋２ ）≈０９５４５， ． （ －３ ＜ ＜ ＋３ ． ）≈０９９７３ ． 若ｎ为偶数 ，Ｃ ｋ ｎ 中间的一项 Ｃｎ ｎ ２ 取得最大值 ， 即Ｙ ＝ ｎ 概率最
Ａ．０００２７ Ｂ．０５ Ｃ．０８４１４ Ｄ．０９７７３ ２
６．（ 湖北黄冈二模， ）某校在校庆期间举办羽毛球比赛 某 大 此时Ｘ 所以质点最有可能位于位置 分
２０２４ ８ ， ， ｎ＝０， ０； （１３ ）
班派出甲 乙两名单打主力 为了提高两位主力的能力 体育
老师安排 、 了为期一周的对抗 ， 训练 比赛规则如下 甲 乙 ， 两人 若ｎ为奇数 ，Ｃ ｋ ｎ 中间的两项 Ｃｎ ｎ＋ ２ １ ，Ｃｎ ｎ－ ２ １ 取得最大值 ， 即Ｙ ＝ ｎ ＋１或
， ： 、 ２
２ ６０ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
ｎ
Ｙ ＝ － ２ １概率最大 ， 此时Ｘ ｎ＝１ 或 －１， 所以质点最有可能位于位 Ｐ （ Ｘ ＝－１）＝ Ｐ （ Ａ １）＝ Ｃ １ ３Ｃ １ ２Ｃ Ｃ ２ ２ ２ ５ ＋ Ｃ Ｃ ２ ４ ２ ２Ｃ １ ２Ｃ １ ２ ＝ ６ １ ０ ０ ＝ ６ １ ，
置 或 ． 分
１ －１ （１５ ） ２ ２ ２ ２ １ １ １ １
２．（ ２０２４ 湖南衡阳第二次联考， １６ ）某报社组织 “ 乡村振兴 ” 主题 Ｐ （ Ｘ ＝２）＝ Ｐ （ Ａ ２）＝ Ｃ３Ｃ２＋Ｃ２Ｃ Ｃ ２ ２ ５Ｃ ＋Ｃ ２ ４ ３Ｃ２Ｃ２Ｃ２ ＝ ６ ２ ０ ８ ＝ １ ７ ５ ，
征文比赛 一共收到 篇作品 由评委会给每篇作品打分
， ５００ ， ，
Ｐ Ｘ Ｐ Ａ ３
下面是从所有作品中随机抽取的 篇作品的得分 （ ＝５）＝ （ ３）＝ ，
９ ：８２，７０，５８， １０
．
７９，６１，８２，７９，６１，５８ Ｐ Ｘ Ｐ Ａ １
（１）
计算样本平均数ｘ和样本方差ｓ２
；
（ ＝８）＝ （ ４）＝
２０
，
若这次征文比赛作品的得分Ｘ服从正态分布Ｎ μ σ２ 所以Ｘ的分布列为
（２） （ ， ），
其中μ和σ２ 的估计值分别为样本平均数ｘ和样本方差ｓ２
，
该
Ｘ
－４ －１ ２ ５ ８
报社计划给得分在前 名的作品作者评奖 则评奖的分数线
５０ ，
Ｐ １ １ ７ ３ １
约为多少分
？ ６０ ６ １５ １０ ２０
参考数据 Ｐ Ｘ μ ． σ ． Ｐ Ｘ μ ． σ ． ．
： （｜ － ｜＜１３ ）≈０８， （｜ － ｜＜１６ ）≈０９
数学期望Ｅ Ｘ １ １ ７ ３ １
解析 由题意可得 ｘ １ （ ）＝（－４）× ＋（－１）× ＋２× ＋５× ＋８×
（１） ， ＝ ×（８２＋７０＋５８＋７９＋６１＋８２＋７９＋ ６０ ６ １５ １０ ２０
９
１３．
ｓ２ １ ２ ２ ２ ＝
６１＋５８）＝ ７０， ＝ ×［（８２－７０） ＋（７０－７０） ＋（５８－７０） ＋ ５
９ ４．（ 江苏南京、盐城一模， ）已知某种机器的电源电压 Ｕ
２ ２ ２ ２ ２ ２０２４ １７
（７９－７０） ＋（６１－７０） ＋（８２－７０） ＋（７９－７０） ＋（６１－７０） ＋
单位 服从正态分布 Ｎ ２ ．其电压通常有 种状
２ （ ：Ｖ） （２２０，２０ ） ３
（５８－７０） ］＝１００，
态 不超过 在 之间 超过 ．在
所以样本平均数为 样本方差为 ． ：① ２００Ｖ；② ２００ Ｖ～２４０ Ｖ ；③ ２４０ Ｖ
７０， １００
上述三种状态下 该机器生产的零件为不合格品的概率分别
因为得分Ｘ服从正态分布Ｎ μ σ２ 且μ ｘ σ２ ｓ２ ，
（２） （ ， ）， ＝ ＝７０， ＝ ＝
为 ． ． ． ．
则σ 所以Ｘ Ｎ ２ ０１５，００５，０２
１００， ＝１０， ～ （７０，１０ ），
求该机器生产的零件为不合格品的概率
又Ｐ Ｘ μ ． σ ． Ｘ Ｘ （１） ；
（｜ － ｜＜１３ ）≈０８，｜ －７０｜＜１３⇒５７＜ ＜８３，
从该机器生产的零件中随机抽取ｎ ｎ 件 记其中恰有
所以Ｐ Ｘ ． （２） （ ≥２） ，
（５７＜ ＜８３）≈０８，
件不合格品的概率为ｐ 求ｐ 取得最大值时ｎ的值．
又Ｐ Ｘ μ ． σ ． Ｘ Ｘ ２ ｎ， ｎ
（｜ － ｜＜１６ ）≈０９，｜ －７０｜＜１６⇒５４＜ ＜８６，
所以Ｐ Ｘ ．
附
：
若Ｚ
～
Ｎ
（
μ
，
σ２
），
取Ｐ
（
μ
－
σ
＜
Ｚ
＜
μ
＋
σ
）＝０
．
６８，
Ｐ
（
μ
－２
σ
＜
Ｚ
＜
μ
（５４＜ ＜８６）≈０９，
σ ． ．
＋２ ）＝０９５
由题知评奖作品总共 篇 获奖率为５０ ．
５０ ， ＝０１， 解析 记电压 不超过 在 之间
５００ （１） “ ２００ Ｖ”“ ２００ Ｖ～２４０ Ｖ ”
因为Ｐ Ｘ ． 则 Ｐ Ｘ ． 超过 分别为事件Ａ Ｂ Ｃ 该机器生产的零件为不合
（５７＜ ＜８３）≈０８， １－ （５７＜ ＜８３）≈０２， “ ２４０ Ｖ” ， ， ，“
所以Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ ． 即分数线约为 分． 格品 为事件Ｄ．
（ ＜５７）＝ （ ＞８３）≈０１， ８３ ”
３．（ 山东泰安一轮检测， ）某学校为了缓解学生紧张的复 因为Ｕ Ｎ ２
２０２４ １６ ～ （２２０，２０ ），
习生活 决定举行一次游戏活动 游戏规则为 甲箱子里装有 Ｐ μ σ Ｚ μ σ ．
， ， ： ３ 所以 Ｐ Ａ Ｐ Ｕ １－ （ － ＜ ＜ ＋ ） １－０６８
（ ）＝ （ ≤２００）＝ ＝ ＝
个红球和 个黑球 乙箱子里装有 个红球和 个黑球 这些 ２ ２
２ ， ２ ２ ，
．
球除颜色外完全相同 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 ０１６，
， ２
Ｐ Ｂ Ｐ Ｕ Ｐ μ σ Ｚ μ σ ．
个球 且每次游戏结束将球放回原箱 摸出一个红球记 分 （ ）＝ （２００＜ ＜２４０）＝ （ － ＜ ＜ ＋ ）＝０６８，
， ， ２ ，
Ｐ μ σ Ｚ μ σ ．
摸出一个黑球记 分 得分在 分以上 含 分 则获奖． Ｐ Ｃ Ｐ Ｕ １－ （ － ＜ ＜ ＋ ） １－０６８ ． ．
－１ ， ５ （ ５ ） （ ）＝ （ ＞２４０）＝ ＝ ＝０１６
求在 次游戏中 获奖的概率 ２ ２
（１） １ ， ； 分
求在 次游戏中 得分Ｘ的分布列及均值． （４ ）
（２） １ ， 所以Ｐ Ｄ Ｐ Ａ Ｐ Ｄ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｄ Ｂ Ｐ Ｃ Ｐ Ｄ Ｃ
解析 设 在 次游戏中摸出ｉ个红球 为事件Ａ ｉ （ ）＝ （ ） （ ｜ ）＋ （ ） （ ｜ ）＋ （ ） （ ｜ ）＝
（１） “ １ ” ｉ（ ＝ ． ． ． ． ． ． ．
在 次游戏中获奖 为事件Ｂ 则Ｂ Ａ Ａ 且 ０１６×０１５＋０６８×００５＋０１６×０２＝００９，
０，１，２，３，４），“ １ ” ， ＝ ３∪ ４， 即该机器生产的零件为不合格品的概率为 ． ． 分
Ａ Ａ 互斥 ００９ （７ ）
３， ４ ， 从该机器生产的零件中随机抽取ｎ件 设不合格品件数为
（２） ，
２ １ １ １ １ ２ ２ ２
Ｐ Ａ Ｃ３Ｃ２Ｃ２＋Ｃ３Ｃ２Ｃ２ １８ ３ Ｐ Ａ Ｃ３Ｃ２ ３ １ Ｘ 则Ｘ Ｂ ｎ ．
（ ３）＝ ２ ２ ＝ ＝ ， （ ４）＝ ２ ２ ＝ ＝ ， ， ～ （ ，００９），
所以在 次游 Ｃ 戏 ５Ｃ 中 ４ 获奖的 ６ 概 ０ 率 １０ Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ Ａ ５Ｃ４ Ａ ６０ Ｐ ２０ Ａ 所以ｐ ｎ＝ Ｐ （ Ｘ ＝２）＝Ｃ ２ｎ·０ ． ９１ ｎ －２ ·０ ． ０９ ２． （１１ 分 ）
１ ， （ ）＝ （ ３∪ ４）＝ （ ３）＋ 由 ｐ ｎ ＋１ Ｃ ２ｎ ＋１·０ ． ９１ ｎ －１ ·０ ． ０９ ２ ｎ ＋１ ． 解得ｎ １９１．
Ｐ （ Ａ ４）＝ ３ ＋ １ ＝ ７ ． ｐ ｎ ＝ Ｃ ２ｎ·０ ． ９１ ｎ －２ ·０ ． ０９ ２ ＝ｎ －１ ×０９１＞１， ＜ ９
１０ ２０ ２０
依题意 Ｘ的所有可能取值为 由 知 分
（２） ， －４，－１，２，５，８， （１） ， （１３ ）
所以当ｎ 时 ｐ ｐ 当ｎ 时 ｐ ｐ 所以ｐ 最大．
Ｐ Ｘ Ｐ Ａ Ｃ ２ ２Ｃ ２ ２ １ ≤２１ ， ｎ＜ ｎ ＋１； ≥２２ ， ｎ＞ ｎ ＋１， ２２
（ ＝－４）＝ （ ０）＝ Ｃ ２ ５Ｃ ２ ４ ＝ ６０ ， 因此当ｎ ＝２２ 时 ， ｐ ｎ 最大． （１５ 分 ）
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ６１
５．（ 辽宁省三所重点中学第三次模拟， ）某自然保护区经 解得Ｎ Ｍ
２０２４ １９ ＝１４５６， ＝６２４，
过几十年的发展 某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加．已知 所以可以估计Ｍ Ｎ ．
， ＝６２４， ＝１４５６
这种动物Ｐ拥有两个亚种 分别记为Ａ种和Ｂ种 ．为了调查
（ ） 学生用书P162
该区域中这两个亚种的数目 某动物研究小组计划在该区域
， 新定义理解 （ 浙江金丽衢十二校联考二， ）某工厂生
中捕捉 只动物Ｐ 统计其中Ａ种的数目后 将捕获的动物 ２０２４ １７
１００ ， ，
产某种元件 其质量按测试指标划分为指标大于或等于 为合
全部放回 作为一次试验结果．重复进行这个试验共 次 记 ， ８２
， ２０ ，
格品 小于 为次品 现抽取这种元件 件进行检测 检测结
第ｉ次试验中Ａ种的数目为随机变量Ｘ ｉ ．设该 ， ８２ ， １００ ，
ｉ（ ＝１，２，…，２０）
果统计如下表
区域中Ａ种的数目为Ｍ Ｂ种的数目为Ｎ Ｍ Ｎ均大于 ：
， （ ， １００），
每一次试验均相互独立． 测试指标
［２０，７６）［７６，８２）［８２，８８）［８８，９４）［９４，１００］
求Ｘ 的分布列． 元件数 件
（１） １ （ ） １２ １８ ３６ ３０ ４
记随机变量Ｘ １ ２０ Ｘ．已知Ｅ Ｘ Ｘ Ｅ Ｘ Ｅ Ｘ 现从这 件样品中随机抽取 件 若其中一件为合格品
（２） ＝
２０
∑ｉ＝
１
ｉ （ ｉ＋ ｊ）＝ （ ｉ）＋ （ ｊ）， （
求
１
另
）
一件也
１
为
００
合格品的概率．
２ ， ，
Ｄ Ｘ Ｘ Ｄ Ｘ Ｄ Ｘ ．
（ ｉ＋ ｊ）＝ （ ｉ）＋ （ ｊ） 关于随机变量 俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式
（２） ， ：
证明 Ｅ Ｘ Ｅ Ｘ Ｄ Ｘ １ Ｄ Ｘ 若随机变量Ｘ具有数学期望Ｅ Ｘ μ 方差Ｄ Ｘ σ２ 则对任
（ｉ） ： （ ）＝ （ １）， （ ）＝ （ １）； （ ）＝ ， （ ）＝ ，
２０ σ２
该小组完成所有试验后 得到Ｘ 的实际取值分别为ｘ ｉ 意正数ε 均有Ｐ Ｘ μ ε 成立．
（ｉｉ） ， ｉ ｉ（ ＝ ， （｜ － ｜≥ ）≤ε２
１，２，…，２０）
．数据ｘ
ｉ（
ｉ
＝１，２，…，２０）
的平均值ｘ
＝３０，
方差ｓ２
＝ ( )
若Ｘ Ｂ １ 证明 Ｐ Ｘ １
．采用ｘ和ｓ２ 分别代替Ｅ Ｘ 和Ｄ Ｘ 给出Ｍ Ｎ的估计值． （ｉ） ～ １００， ， ： （０≤ ≤２５）≤ ；
１ （ ） （ ）， ， ２ ５０
æ 该结论表示即使分布未知 随机变量的取值范围落在期望
ç已知随机变量Ｘ服从超几何分布记为Ｘ Ｈ Ｐ ｎ Ｑ 其中 （ｉｉ） ，
è ～ （ ， ， ）（ 左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合
Ｐ为总数 Ｑ为某类元素的个数 ｎ为抽取的个数 则Ｄ Ｘ 格率为 ％ 那么根据所给样本数据 请结合 切比雪夫不等
， ， ）， （ ）＝ ９０ ， ， “
Ｑ ( Ｑ )Ｐ ｎ ö 式 ” 说明该工厂所提供的合格率是否可信． （ 注 ： 当随机事件 Ａ
ｎ － ÷
Ｐ １－Ｐ Ｐ ø 发生的概率小于 ． 时 可称事件Ａ为小概率事件
－１ ００５ ， ）
解析 记事件Ａ为其中一件是合格品（注意：并不一定只
解析 依题意 Ｘ 服从超几何分布 故Ｘ 的分布列为 （１）
（１） ， １ ， １
Ｐ （ Ｘ １＝ ｋ ）＝ Ｃ ｋ Ｍ Ｃ Ｃ １Ｍ０ １ ＋ Ｎ ０ ０ Ｎ ０－ ｋ ， ｋ ∈ Ｎ ，０≤ ｋ ≤１００ ． 有一件合格品） ， 事件Ｂ为抽到两个合格品 ， Ｐ （ ＡＢ ）＝ Ｃ Ｃ ２ １ ２ ７ ０ ０ ０ ＝ ３ １ ３ ６ ０ １ ，
２ ２
Ｘ Ｐ Ａ Ｃ１００－Ｃ３０ ３０１
１ ０ １ … ９９ １００ （ ）＝ Ｃ ２ １００ ＝ ３３０ ，
Ｐ Ｃ
０ＭＣ １Ｎ００
Ｃ
１ＭＣ ９Ｎ９
Ｃ
９Ｍ９
Ｃ
１Ｎ
Ｃ
１Ｍ００
Ｃ
０Ｎ
则Ｐ Ｂ Ａ
Ｐ
（
ＡＢ
） １６１ ２３．
Ｃ １Ｍ０ ＋ ０Ｎ Ｃ １Ｍ０ ＋ ０Ｎ … Ｃ １Ｍ０ ＋ ０Ｎ Ｃ １Ｍ０ ＋ ０Ｎ （ ｜ ）＝ Ｐ （ Ａ ） ＝ ( ３０１ ＝ ４３ )
证明 由题可知Ｘ ｉ 均服从完全相同的 证明 若Ｘ Ｂ １ 则Ｅ Ｘ Ｄ Ｘ
（２）（ｉ） ： ｉ（ ＝１，２，…，２０） （２）（ｉ） ： ～ １００， ， （ ）＝５０， （ ）＝２５，
２
超几何分布 ， 所以 Ｅ （ Ｘ １）＝ Ｅ （ Ｘ ２）＝ …＝ Ｅ （ Ｘ ２０）， Ｅ （ Ｘ ）＝ 又Ｐ Ｘ ｋ ｋ ( １ ) １００ Ｐ Ｘ ｋ
Ｅ æ ç １ ２０ Ｘ ö ÷ １ Ｅ æ ç ２０ Ｘ ö ÷ １ ２０ Ｅ Ｘ １ Ｅ Ｘ （ ＝ ）＝Ｃ１００ ２ ＝ （ ＝１００－ ），
è
２０
∑ｉ＝
１
ｉø＝
２０
è∑ｉ＝
１
ｉø＝
２０
∑ｉ＝
１
（ ｉ）＝
２０
×２０ （ １）＝
所以Ｐ Ｘ １ Ｐ Ｘ 或 Ｘ
Ｅ Ｘ （０≤ ≤２５）＝ （０≤ ≤２５ ７５≤ ≤１００）
（ １）， ２
æ ２０ ö æ ２０ ö ２０ １ Ｐ Ｘ
Ｄ （ Ｘ ）＝ Ｄ è ç
２
１
０
∑ｉ＝
１
Ｘ ｉø ÷ ＝
２
１
０
２ Ｄ è ç ∑ｉ＝
１
Ｘ ｉø ÷ ＝
２
１
０
２∑ｉ＝
１
Ｄ （ Ｘ ｉ）＝
２
１
０
２ × ＝ ２ （｜ －５０｜≥２５），
由切比雪夫不等式可知Ｐ Ｘ ２５ １
２０ Ｄ （ Ｘ １）＝ ２ １ ０ Ｄ （ Ｘ １） ． （｜ －５０｜≥２５）≤ ２５ ２ ＝ ２５ ，
故Ｅ Ｘ Ｅ Ｘ Ｄ Ｘ １ Ｄ Ｘ ． 所以Ｐ Ｘ １ ．
（ ）＝ （ １）， （ ）＝
２０
（ １） （０≤ ≤２５）≤
５０
Ｍ
设随机抽取 件产品中合格品的件数为Ｘ
由 可知Ｘ的均值Ｅ Ｘ Ｅ Ｘ １００ ． （ｉｉ） １００ ，
（ｉｉ） （ｉ） （ ）＝ （ １）＝ Ｍ Ｎ 假设厂家关于产品合格率为 ％的说法成立
＋ ９０ ，
ＭＮ Ｍ Ｎ 则Ｘ Ｂ ． 所以Ｅ Ｘ Ｄ Ｘ
由公式得Ｘ 的方差Ｄ Ｘ １００ （ ＋ －１００） ～ （１００，０９）， （ ）＝９０， （ ）＝９，
１ （ １）＝ Ｍ Ｎ ２ Ｍ Ｎ ，
（ ＋ ） （ ＋ －１） 由切比雪夫不等式知 Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ ９
ＭＮ Ｍ Ｎ （ ＝７０）≤ （｜ －９０｜≥２０）≤ ＝
所以Ｄ Ｘ ５ （ ＋ －１００） ． ４００
（ ）＝ Ｍ Ｎ ２ Ｍ Ｎ ．
（ ＋ ） （ ＋ －１） ００２２５，
ì Ｍ 即在假设下 个元件中合格品为 个的概率不超过 ．
ï１００ １００ ７０ ００２２５，
ïＭ Ｎ＝３０， 此概率极小 由小概率事件可知 一般来说 在一次试验中是不
依题意有í ＋ ， ， ，
ï ＭＮ Ｍ Ｎ 会发生的 据此我们有理由推断工厂声称的合格率不可信．
ï５ （ ＋ －１００） ，
î Ｍ Ｎ ２ Ｍ Ｎ ＝１，
（ ＋ ） （ ＋ －１）
