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第08 讲基本不等式及其应用
（知识清单+7 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
a+b≥2❑√ab求最值、不等式变式、三元不等式a+b+c≥3
3√abc
单选题、多
选题
5 分/6 分
1 的代换+a+b≥2❑√ab、凑配定值、几何最值+ab≤( a+b
2
)
2
单选题、填
空题
5 分
ab≤( a+b
2
)
2
应用及求范围、a+b≥2❑√ab易错辨析
单选、填空
5 分
a
2+b
2≥2❑√ab放缩及结合导数、证明+a+b≥2❑√ab求参
解答题（小
问）、解答
题
4-10 分
【知识点01】基本不等式：❑√ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝
b 时，等号成立.
(3)其中a＋b
2
叫做正数a，b 的算术平均数，❑√ab叫做正数a，b 的几何平均数.
【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由。
【知识点02】利用基本不等式求最值
(1)已知x，y 都是正数，如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2❑√P.
(2)已知x，y 都是正数，如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值1
4 S 2 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
【例2】已知x>0，y >0，且2 x + y =1，求1
x + 1
y 的最小值。
【知识点03】基本不等式的应用
求代数式最值、比较大小、证明不等式、解决几何及实际问题（周长、面积、利润最值等），常与函数、导数
结合考查。
易错提醒：忽略“一正、二定、三相等”任一条件，会导致最值求解错误；分式型最值需先凑配定值，再套用
公式。
【例3】已知x>0，y >0，且2 x + y =1，求1
x + 1
y 的最小值。
【题型一】由基本不等式比较大小
【例1】（2025·云南·一模）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025·广东·一模）已知
，设命题
，命题
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为
，若圆柱
和圆台的高和体积都相等，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）（2025·四川泸州·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型二】由基本不等式证明不等关系
【例1】（2025·四川眉山·模拟预测）已知
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2024·河南·模拟预测）若
，则使
成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知非零向量
满足
，若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3】（2024·青海·一模）已知正数
满足
．求证：
(1)
；
(2)
．
【题型三】基本不等式求积的最大值
【例3】（2026·四川绵阳·三模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2025·山西吕梁·模拟预测）若
且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．16
【变式2】（2026·广东湛江·二模）已知正数
，
满足
，则
的最大值为______.
【变式3】（2026·福建龙岩·三模）在
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
边上的中线
的长为2，求
面积的最大值．
【题型四】基本不等式求积的最小值
【例4】（2026·浙江宁波·二模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2026·河南开封·模拟预测）若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知
，则
的最小值为__________．
【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最小值为_____.
【题型五】基本不等式“1"的妙用求最值
【例5】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数
，正数
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．5
C．8
D．9
【变式1】（多选）（2026·辽宁朝阳·三模）已知正实数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·福建南平·二模）若
，
，且
，则
的最小值为________.
【变式3】（2025·海南·模拟预测）在
中，角
所对应的边分别为
且满足
．
(1)求
的大小；
(2)角
的平分线
与边
相交于点
，且
，求
的最小值．
【题型六】条件等式求最值
【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
且
，则
的最小值是（ ）
A．3
B．9
C．5
D．25
【变式1】（多选）（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·贵州贵阳·二模）若
，且
，则ab 的最小值是______．
【变式3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知正数a，b，c 满足
．
(1)若
，证明：
；
(2)求
的最小值．
【题型七】基本(均值)不等式的应用
【例7】（2026·广东江门·二模）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【变式1】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形
ABCD 和EFGH 构成的面积为
的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为
；在四个
相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为
；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价
为
．设总造价为S（单位：元），则当总造价S 最小时，AD 的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数
，
满足
，则
的最大值为______.
【变式3】（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的
使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4 年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占
地面积
（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费
（单位：万元）与设备占
地面积
之间的函数关系为
，将该企业的净水设备购置费与安装后4 年需缴水费之和合计为
（单
位：万元）.
(1)要使
不超过7.2 万元，求设备占地面积
的取值范围；
(2)设备占地面积
为多少时，
的值最小？
【解题大招01】凑配定值法
当代数式无明显定值时，通过“加项、减项”凑配出和定或积定，满足基本不等式“二定”要求，优先凑配与变量相
关的定值项，规避符号错误。
易错提醒：凑配时需保证凑配项与原变量符号一致，避免出现负数项导致公式失效。
【例1】已知x>1，求y = x +
4
x−1的最小值。
【解题大招02】“1 的代换”法
已知mx +ny =1（m,n>0，x , y >0），求a
x + b
y （a,b>0）的最值，将“1”替换为mx +ny，展开后利用基本不等
式求最值。
【例2】已知x>0, y >0，且3 x +2 y =6，求1
x + 1
y 的最小值。
【解题大招03】分类讨论法（适配含负变量、参数型最值）
当变量含负数、参数时，先分类转化为“正数”，再套用基本不等式；参数型需按参数影响“一正、二定、三相等”
的条件分类求解，避免漏解。
【例3】求y = x + 1
x （x≠0）的最值。
【解题大招04】结合几何意义法（适配几何背景最值）
将代数式转化为几何量（周长、面积、距离等），利用基本不等式求几何量的最值，核心是找到几何量对应的
“和定”或“积定”关系。
【例4】已知矩形的周长为16，求该矩形面积的最大值。
【解题大招05】不等式链应用法（适配大小比较、范围求解）
利用均值不等式链
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
（a>0,b>0），快速比较大小、求解代数式取值范围，等号均
在a=b时成立。
【例5】已知a>0,b>0，且a+b=2，比较❑√ab、
2
1
a + 1
b
、a+b
2
的大小，并求❑√
a
2+b
2
2
的最小值。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知平面向量满足
，
，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2026·安徽滁州·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
3．（2026·甘肃酒泉·二模）已知
，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2025·广东·模拟预测）已知
，则下列命题一定为真命题的有（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．若
，则
三、填空题
5．（2025·四川·模拟预测）已知
，则
的最小值为___________．
6．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n 满足
，则
的最小值为________．
四、解答题
7．（2026·陕西商洛·一模）在
中，内角
的对边分别是
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积的最大值．
8．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)求使
成立的
的取值范围．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·广西崇左·一模）若
，则
的（ ）
A．最小值为4
B．最小值为6
C．最大值为4
D．最大值为6
2．（2026·江苏·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，若
，
，则当角
取得
最大值时，
的周长为（ ）
A．6
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·贵州毕节·三模）已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2026·安徽·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为________．
5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知
为正实数，且直线
与曲线
相切，则
的最大值为
__________.
四、解答题
6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知
的角
对边分别为
，
.
(1)求角
的大小.
(2)设点
是
的中点，若
，求
的取值范围.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·浙江·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．5
D．9
二、多选题
2．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则“
”是“
”的充要条件
C．
的最小值为3
D．若
，则
三、填空题
3．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y 满足
，则
的最小值为______.
四、解答题
4．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
.
(1)求a，b 的值并求解不等式
的解集；
(2)当
，
且满足
时，有
恒成立，求
的取值范围.
5．（2026·河北沧州·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
.
(1)若
，求
的大小；
(2)若
，点
为
边上的点，且满足
，求
的最小值；
(3)若
，点
为
边上的中点，求
的最大值.
