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高考仿真重难点训练01 一元二次函数、方程和不等式
一、选择题
1．已知 为实数，则下列命题成立的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【分析】根据不等式性质对选项逐一判断即可得出结论.
【解析】对于A，若 ，当 时，不满足 ，即A错误；
对于B，若 ，则 ，所以B错误；
对于C，若 ，可知 ，不等式两边同时除以 ，即 ，可得 ，即C正确；
对于D，若 ，不妨取 ，则 ，可得D错误；
故选：C
2．如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出 ，再结合 可得出结果.
【解析】由已知 ，利用基本不等式得出 ，
因为 ，则 ， ，
所以 ， ，∴ .
故选：B
3．一元二次不等式 的解为 ，那么 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【解析】一元二次不等式 的解为 ，
所以 的解为 ，且 ，
由韦达定理得 ，代入得
，
故选：D.
4．若 ， ，则 的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】分别确定集合 ，再求交集.
【解析】根据题意，可得集合 或 ，
，
则 ，所以 的元素个数为2个.
故选：C5．若 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，取得最小值 ，
故选：D．
6．已知 ，若 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】将 代入 ，然后转化为一元二次不等式求解可得.
【解析】因为 ，所以 ，等价于 ，
解得 .
故选：A
7．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元 ，甲、
乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买
平均单价分别为 ，则（ ）
A． B． C． D． 的大小无法确定
【答案】B【分析】由题意求出 的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
【解析】由题意得 ， ，
因为 ，故 ， ，
即 ，
故选：B
8．已知正实数a，b，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】由充分条件和必要条件的定义结合基本不等式求解即可.
【解析】取 ，满足 ，但 ，
故“ ”推不出“ ”，
因为 ，当且仅当“ ”时取等，
当 时， ，
所以 ，即 ，因为 ，
所以 ，所以 能推出 .
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题
9．已知命题 ：关于 的不等式 的解集为R，那么命题 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．【答案】CD
【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．
【解析】命题p：关于x的不等式 的解集为R，
则 ，解得
又 ， ，
故选：CD．
10．已知正实数 满足 ，则（ ）
A． 的最小值为6
B． 的最小值为3
C． 的最小值为
D． 的最小值为8
【答案】AC
【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式解法判断AB；由 的范围结合单调性判断C；变形给定等
式，利用基本不等式求解判断D.
【解析】正实数 满足 ，
对于A， ，则 ，即 ，
解得 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为6，A正确；
对于B， ，则 ，解得 ，即 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为9，B错误；
对于C，由选项B知， ， ，
所以当 时， 取得最小值 ，C正确；
对于D，由 ，得 ，而 ，则 ，
，当且仅当 时取等号，由 ，解得 ，所以当 时， 取得最小值
，D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本
不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.
11．已知正实数 ， ， ，且 ， ， ， 为自然数，则满足 恒成立的 ，
， 可以是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】BC
【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到 ，进而得到只需 即可，
再依次判断四个选项即可.
【解析】要满足 ，只需满足 ，
其中正实数 ， ， ，且 ， ， ， 为正数，
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
观察各选项，故只需 ，故只需 即可，
A选项， ， ， 时， ，A错误；
B选项， ， ， 时， ，B正确；
C选项， ， ， 时， ，C正确；
D选项， ， ， 时， ，D错误.
故选：BC.
三、填空题
12．已知集合 ，若 且 ，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据已知条件，利用分式不等式求解集合 ，结合集合交集､并集的定义，即可求解.
【解析】由 得： ，
所以 ，
因为 且 ，
所以 .
故答案为： .
13．已知函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为
，则实数 的值为 ．【答案】
【解析】由题意得 ，由 得
，因此
14．某希望小学的操场空地的形状是一个扇形 ，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所
示），有如下两个方案可供选择.经测量， ， .在方案1中，若设 ， ，则 ，
满足的关系式为 ，比较两种方案，沙坑面积最大值为 .
【答案】 （其中 ， ），或 ，
/
【分析】（1）连接 ，在 中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；
（2）由（1）及基本不等式求得 ，结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接 ， ，设
， ，在 中应用勾股定理得 ，结合基本不等式、三角形面积公式
求方案二最大值，比较大小即可.
【解析】连接 ，由 ， ， ， ，得 ，在 中， ，由 ，得 ，
显然 在 上单调递减，
所以 满足的关系式为 （ ， ）或 ， ；
方案1：设游泳池 的面积为 ，
由（1）得 ，解得 ，当且仅当 ，即 ， 时取等
号，
所以 ；
方案2：设游泳池 的面积为 ，取 的中点 ，
连接 ， ，设 ， ，在 中， ，
则 ，解得 ，当且仅当 时取等号，
，
而 ，
所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为 .
故答案为： （ ， ），或 ， ；
【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最值是解决问题的关键.
四、解答题
15．已知集合 ，集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)若“ ”是“ ”的充分条件，求正实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先解一元二次不等式，求出集合 ，再将 代入求出集合 ，求 即可；
（2）由“ ”是“ ”的充分条件，可得集合 是集合 的子集，即可求得 的取值范围
【解析】（1）解一元二次不等式得：
当 时，集合 ，
所以 ，
（2）由已知“ ”是“ ”的充分条件，可得集合 是集合 的子集，
， ，
而 ，且集合 是集合 的子集，
所以 ，解得 ；
综上 .
16．已知关于 不等式 的解集为 或 ．
(1)求 值；
(2)当 ，且满足 时，求 的最小值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到 和 是方程 的两个实数根，结合韦达定理列出方程组，即可
求解；
（2）由（1）得到 ，化简 ，结合基本不等式，即可
求解.
【解析】（1）解：因为不等式 的解集为 或 ，
可得 和 是方程 的两个实数根，且 ，
则 ，解得 .
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
因为 ，所以
，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
17．已知二次函数 （ ， 为实数）
(1)若函数图象过点 ，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若函数图象过点 ，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知可得 ，由 ， 恒成立列出不等式求解即得.
（2）由 对 恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可.
【解析】（1）依题意， ，即 ，
由 ， 恒成立，得 ，
即 ，整理得 ，
解得 .
所以实数 的取值范围是 .
（2）由（1）知， ，
由 ，得 ，即 ，
依题意， 对 恒成立，
令 ，
则对 ， 恒成立，于是 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
18．某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x（0≤x≤10）万元满足 .已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件
该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固
定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
(1)将2022年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数；
(2)该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大?
【答案】(1) ；
(2)投入 万元时，利润最大.
【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；
（2）对函数解析式进行配凑，运用基本不等式，即可求得利润的最大值.
【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为 ，
，即 ；
（2）由 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故该服装厂 年的促销费用投入 万元时，利润最大.
19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若 ，那么称点 是点 的“上位
点”，同时点 是点 的“下位点”.
(1)试写出点 的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点 是点 的“上位点”，判断点 是否是点 的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数 满足以下条件：对集合 内的任意元素 ，总存在正整数 ，使得
点 既是点 的“下位点”，又是点 的“上位点”，求满足要求的一个正整数 的
值，并说明理由
【答案】(1)“上位点” ，“下位点” （答案不唯一）
(2)“下位点”，证明见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标.
（2）先由点 是点 的“上位点”得 ，作差化简得 ，结合所得结论、定义，利用
作差法即可判断出点 是否是点 的“下位点”.
（3）依题意可得 ，从而得到 ，即可得解.
【解析】（1）因为 ，
根据题设中的定义可得点 的一个 “上位点坐标”和一个“下位点”坐标分别为 和 ，
即“上位点” ，“下位点” （答案不唯一）；
（2）点 是点 的“下位点”.
证明： 点 是点 的“上位点”，
，
又 均大于 ，，
，
，即 ，
所以点 是点 的“下位点”.
（3）若点 既是点 的“下位点”，又是点 的“上位点”；
即 ；
所以对任意的 都有 ，
，
所以当 时，对任意的 存在 ，
使得点 既是点 的“下位点”，又是点 的“上位点”.
【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键.
