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2.1 基本不等式（分层训练）
目录
1
题型一、直接法求和的最小值（积为定值）.........................................2
2
题型二、配凑法求和的最小值（积为定值）.........................................6
3
题型三、直接法求积的最大值（和为定值）.......................................12
4
题型四、配凑发求积的最大值（和为定值）.......................................18
5
题型五、“1”的替换.............................................................................24
6
题型六、换元法求最值...........................................................................31
1 题型一、直接法求和的最小值（积为定值）
1．若x>0，则y = 4
x + x的最小值为（ ）
A．4
B．2
C．8
D．不存在
2．函数y = x + 4
x -1在(0,+ ∞)上的最小值是（ ）
A．-2
B．1
C．2
D．3
3．如果x∈R，x≠0，那么x
2+ 4
x
2的最小值为（ ）
A．2
B．2❑√2
C．4
D．8
4．若m>0，n>0，mn=9，则m+n的最小值为（ ）
A．4
B．4 ❑√3
C．6
D．18
5．x
2+ 1
x
2取最小值时x的取值为（ ）
A．1
B．±1
C．2
D．±2
6．已知x>0，y >0，则3 y
x + 12 x
y 的最小值为（ ）
A．15
B．12
C．8
D．6
7．函数y =2 x + 1
x ( x>0)的最小值为（ ）
A．2
B．2❑√2
C．3
D．4
8．设a>0，则a+ a+ 4
a 的最小值为（ ）
A．5
B．3
C．4
D．9
9．已知x>0，则x - 4+ 4
x 的最小值为（ ）
A．－2
B．0
C．1
D．2❑√2
10．设a>0，则2a+ a+2
a 的最小值为（ ）
A．2❑√a+ 4 B．2
C．4
D．5
11．下列函数中，最小值是2 的是
A．y = x + 1
x
B．y =lg x + 1
lg x
(1< x<10)
C．y =3
x+3
- x
D．y =sin x +
1
sin x(0< x< π
2)
12．函数y =3- 4
x - x（x>0）的最大值为（ ）
A．-1
B．1
C．-5
D．5
2 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值）
1．若x>2，则y = x +
4
x -2的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
2．已知x> 1
3，则3 x +
4
3 x -1的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
3．设实数x满足x>0，函数y =3 x +
4
x +1的最小值为（ ）
A．4 ❑√3-3 B．4 ❑√3
C．4 ❑√3+3
D．6
4．已知x>2，则4
x -2 + 4 x的最小值是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
5．已知x>2，则x +
4
x -2的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
6．若x>-3，则2 x +
1
x +3的最小值是（ ）
A．2❑√2+6 B．2❑√2-6
C．2❑√2
D．2❑√2+2
7．若x>4，则y = x +
1
x - 4的最值情况是（ ）
A．有最大值-6
B．有最小值6
C．有最大值-2
D．有最小值2
8．当x>a时， 2 x +
8
x -a的最小值为10，则a=（ ）
A．1
B．❑√2
C．2❑√2
D．4
9．若x＞1，则x+ 9
x -1取得最小值时，x 等于（ ）
A．3
B．7
C．﹣2
D．4
10．已知x>2, y = 4 x +
1
x -2，则y的最小值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14
11．当x>0时，函数y = x +
3
x +1 -1的最小值为（ ）
A．2❑√3-1 B．2❑√3-2
C．2❑√3+1 D．❑√3-2
12．已知x＞1，则y =4 x +1
x -1的最小值为（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
13．下列结论正确的是（ ）
A．当x<2时，x +
1
x -2 ≥4
B．当x>0时，
❑√x + 4
❑√x ≥4
C．当x ≥2时，x + 2
x 的最小值是2❑√2
D．当a>0时，a+
1
a+1的最小值为1
14．若x> 1
2，则函数f ( x)= x +
2
2 x -1的最小值为（ ）
A．2❑√2
B．2❑√2+1
C．4
D．2.5
15．已知x>3，则对于y = x +
4
x -3，下列说法正确的是（ ）
A．y 有最大值7
B．y 有最小值7
C．y 有最小值4
D．y 有最大值4
3 题型三、直接法求积的最大值（和为定值）
1．已知x>0, y >0, x + y = 4，则xy有（ ）
A．最大值为1
B．最小值为1
4
C．最大值为4
D．最小值为4
2．若实数x，y满足x
2+ 4 y
2=1，则xy的最大值是（ ）．
A．1
2
B．1
4
C．
❑√2
2
D．
❑√2
4
3．已知a+b=2,a,b>0，则ab有（ ）
A．最大值为1
B．最小值1
C．最大值4D．最小值4
4．若正实数x , y满足x + y =2，则1
xy 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知a,b为正实数，且a+2b=3，则ab的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．9
8
D．7
3
6．若x , y为正实数，2 x + y =1，则xy的最大值是（ ）
A．1
B．1
4
C．1
8
D．
❑√2
4
7．已知0< x<5，y = x (5- x)，则下列说法中正确的是（）
A．y 的最大值为5
2
B．y 的最小值为5
2
C．y 的最大值为25
4
D．y 的最小值为25
4
8．已知m>0，n>0，且m+n-2❑√3=0，则mn的最大值是（ ）
A．1
B．❑√3
C．2
D．3
9．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则1
ab的最小值为（ ）
A．1
4 B．4 C．1
2
D．2
10．已知x>0，y >0，且2 x +5 y =20，则xy的最大值（ ）
A．1
B．5
C．10
D．100
11．若x，y是正数，且1
x + 2
y =1，则xy有
A．最大值8
B．最小值1
8
C．最小值8
D．最大值1
8
12．已知正数a、b 满足2a+3b= ❑√6，则ab 的最大值为（ ）
A．1
9
B．1
4
C．1
3
D．1
2
13．若x>-2, y >0, x + y =8，则( x +2) y的最大值为（ ）
A．9
B．16
C．25
D．36
14．已知0< x<❑√5，则x
❑√5- x
2的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．5
2
D．
❑√10
2
15．若x>0，y >0，x +2 y =5，则1
xy 的最小值为（ ）
A．8
25
B．8
5
C．4
25
D．4
5
4 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值）
1．若0< x<8，则x (8- x)的最大值为（ ）
A．9
B．16
C．49
D．64
2．已知x>0，y >0，若4 x + y =1，则(4 x +1)( y +1)的最大值为（ ）．
A．9
4
B．1
4
C．3
4
D．1
3．❑√(3-a)(a+6)(-6<a<3)的最大值为（ ）
A．9
B．9
2
C．3
D．3 ❑√2
2
4．已知0＜x＜1
2，则x（1
2
﹣x）的最大值为（ ）
A．1
4
B．1
2
C．1
8
D．2
3
5．若0< x<1，则当y = x (4 -3 x)取得最大值时，x 的值为（ ）
A．1
B．4
3
C．3
4
D．2
3
6．函数y =2 x(2- x) （其中0< x<2）的最大值是（ ）
A．1
4
B．1
2
C．1
D．2
7．函数y＝2x（2－x）（其中0＜x＜2）的最大值是（ ）
A．1
4
B．1
2
C．1
D．2
8．若0< x<1，则y =2 x
❑√1- x
2的最大值为（ ）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
9．已知0< x<2，则y = x
❑√4 - x
2的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
10．设正数x，y满足x
2+ y
2
2 =1，则x⋅
❑√1+ y
2的最大值为（ ）
A．3
2
B．3 ❑√2
2
C．3
4
D．3 ❑√2
4
11．已知实数若0< x< 1
2，求x (1-2 x)的最大值（ ）
A．1
B．1
8
C．4
D．1
4
12．当0< x<4时，则y = x(8-2 x)的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
13．不等式y = x(1-3 x) (0< x< 1
3 )的最大值是（ ）
A．4
243
B．1
12
C．1
64
D．1
72
14．若0<a< 1
2，则a(1-2a)的最大值是（ ）
A．1
8
B．1
4
C．1
2
D．1
15．若a，b都是正数，且a+b=2，则(a+1)(b+1)的最大值为（ ）
A．3
2
B．2
C．9
4
D．4
5 题型五、“1”的替换
1．已知x + y =3，且x>0，y >0，则1
x +
1
y +1的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．1
2
D．2❑√2
2．已知a>0,b>0,3a+b= 1
2，则3
a + 1
b的最小值为（ ）
A．32
B．24
C．16
D．8
3．已知正实数x , y满足x +2 y = 4，则的1
x + x
y 最小值为（ ）
A．5
2
B．
❑√2+ 1
4
C．7
4
D．
❑√2
4 +1
4．若a>0，b>0，a+b=1，则1
a + 4
b的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
5．已知正数x，y 满足1
x + 2
y =2，则2 x + y的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
6．已知a>0,b>0，且5a+b=1，则1
a + 5
b的最小值是（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
7．设a>0，b>-1，且a+b=1，则1
a +
1
b+1的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
8．已知m>0,n>0，且m+n=1，则1
m + 4
n的最小值为（ ）
A．12
B．9
C．6
D．3
9．已知正数a,b满足2a+b=2ab，则a+2b的最小值为（ ）
A．5
2
B．9
2
C．5
D．9
10．若正实数x，y 满足x + y =3，且不等式2
x + 8
y >|m-1|+ 4恒成立，则实数
m 的取值范围是（ ）
A．{m|-3<m<1}
B．{m|m<-3或m>1}
C．{m|-1<m<3}
D．{m|m<-1或m>3}
11．已知正数a，b满足(a-1)(b-2)=2，则8a+b的最小值为（ ）
A．18
B．14
C．12
D．10
12．已知a>0，b>0且1
a + 1
b =1，则ab+2a+b的最小值为（ ）
A．2+2❑√6 B．3+2❑√6
C．4 +2❑√6 D．5+2❑√6
13．设正实数x，y 满足2 x + y =1，则（ ）
A．xy的最大值是1
4
B．2
x + 1
y 的最小值是9
C．4 x
2+ y
2的最大值为1
2
D．❑√2 x + ❑√y的最小值为2
14．已知x>0, y >0，且x +2 y =1，若不等式2
x + 1
y ≥m
2+7m恒成立，则实数
m的取值范围是（ ）
A．{m∣-8≤m≤1}
B．{m∣m≤-8，或m≥1}
C．{m∣-1≤m≤8}
D．{m∣m≤-1，或m≥8}
15．已知a>0,b>0，且a+2b=2，若3t
2-t ≤b
a + 2
b恒成立，则实数t 的取值
范围是（ ）
A．[- 2
3 ,1]
B．[-1, 2
3]
C．[- 4
3 ,1]
D．[-1, 4
3]
6 题型六、换元法求最值
1．（多选题）下列函数中，最小值为2 的函数是（ ）
A．y = x + 1
x
B．y = x
2-2 x +3
C．y = x +2❑√x +2
D．y = x
2+2
❑√x
2+1
2．（多选题）以下说法中正确的有（ ）
A．函数f (x)= x
2+5
❑√x
2+ 4
的最小值为2
B．不等式❑√x (x -1)≥0的解集为{x| x ≥1}
C．若1≤x ≤2，x
2+mx + 4≤0有解，则m的取值范围是(-∞,- 4]
D．若不等式a>
x
x
2+1
(x>0)恒成立，则a的取值范围是(
1
2 ,+∞)
3．函数f(x)＝x
2+8
x -1 (x>1)的最小值为 ．
4．若存在x∈(0,+ ∞)，使
x
x
2+3 x +1
≥a成立，则a的取值范围是 .
5．当x>0时，函数y = x
2+ x +1
x
2+2 x +1
的最小值是 ．
6．函数y = x
2+1
x -1
(x>1)的最小值是 .
7．（1）求函数y = x
2+3 x + 4
x +1
( x>-1)的最小值.
（2）已知a>0，b>0，且ab=2a+b，求a+2b的最小值.
8．求解下列各题：
（1）求y = x
2+3 x + 4
2 x
(x<0)的最大值；
（2）求y = x
2+8
x -1
(x>1)的最小值.
9．（1）已知x>-1，求函数y = x
2+7 x +10
x +1
的值域；
（2）已知x>0，y >0，且2 x +8 y - xy =0，求：x + y的最小值．
10．设x<-1，求y = ( x +5)( x +2)
x +1
的最大值.
