文档文本内容
第08 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 直线与椭圆的位置关系.......................................................................................4
知识点2 直线与双曲线的位置关系...................................................................................4
知识点3 直线与抛物线的位置关系...................................................................................5
题型破译................................................................................................................................................6
题型1 直线与圆锥曲线的位置关系...................................................................................6
【方法技巧】判别式法
题型2 弦长问题...................................................................................................................7
【方法技巧】弦长公式
题型3 中点弦问题...............................................................................................................8
【方法技巧】点差法
【易错分析】焦点所在坐标轴
题型4 面积问题
............................................................................................................8
题型5 定点、定直线问题
..........................................................................................10
题型6 定值问题
...........................................................................................................11
题型7 综合问题
...........................................................................................................12
04
题
真
溯源·考向
知
感
........................................................................................................................13
05 课本典例·
考
高
素材........................................................................................................................15
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
了解直线与圆锥曲线位
置关系的判断方法；掌
握直线被圆锥曲线所截
的弦长公式；能利用方
程及数形结合思想解决
焦点弦、中点弦问题
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，18
题，17 分
全国二卷，16
题，15 分
天津卷，18 题
新课标I 卷：第16 题，
15 分
新课标
卷：第
Ⅱ
10 题，
6 分
新课标
卷：第
Ⅱ
19 题，
17 分
新课标I 卷：第22 题，12
分
新课标
卷：第
Ⅱ
21 题，
12 分
全国甲卷（理数）：第20
题，12 分
考情分析：圆锥曲线综合问题是高考数学的重难点内容。常见的考点有定点、定值、定直线、最值范围、证明及
存在性问题，以及三角形（四边形）面积问题，主要在解答题的第2 问中进行考查，难度较大。在今年的高考中
依旧是命题的热点方向
复习目标：
1.直线与圆锥曲线的位置关系及其应用；
2.曲线方程及曲线轨迹.
知识点1 直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系
将直线的方程
与椭圆的方程
联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的
一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0
直线和椭圆相交
直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0
直线和椭圆相切
直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0
直线和椭圆相离
直线和椭圆无公共点．
2.直线与椭圆的相交弦
设直线
交椭圆
于点
两点，则
=
=
同理可得
自主检测直线
与椭圆
的公共点个数为 ．
知识点2 直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程
与双曲线的方程
联立成方程组，消元转化为关于x 或y
的一元二次方程，其判别式为Δ.
若
即
，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若
即
，
①Δ＞0
直线和双曲线相交
直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0
直线和双曲线相切
直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0
直线和双曲线相离
直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线
交双曲线
于点
两点，则
=
=
同理可得
这里
的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用韦达定理或点差法求解
“
”
“
”
.
在双曲线
中，以
为中点的弦所在直线的斜率
；
自主检测双曲线
与直线
的公共点个数 ；
知识点3 直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线的位置关系
将直线的方程
与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元
二次方程，其判别式为Δ.
若
，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0
直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0
直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0
直线和抛物线相离，无公共点．
2.直线与抛物线的相交弦
设直线
交抛物线
于点
两点，则
=
=
同理可得
这里
的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
3.抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线
的焦点F 的直线交抛物线于A、B 两点。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
①焦点弦长
②
③
，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据
时，即AB 垂直于x 轴时，弦AB 的长最
短，最短值为2p。
自主检测已知直线
，抛物线
，l 与
有一个公共点的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．1 条、2 条或3 条
题型1 直线与圆锥曲线的位置关系
例1-1 直线
与椭圆
（
）的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
例1-2 若直线
与椭圆
没有公共点，则
的取值范围为 ．
方法技巧
(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
【变式训练1-1】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
与C 交于点A，B 两
点，若
面积是
的2 倍，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【变式训练1-2】已知双曲线
，过点
作直线与双曲线
有且只有一个交点，这样的直
线可以作 条（填条数）．
“
”
题型2 弦长问题
例2-1 已知斜率为1 的直线与椭圆
相交于
，
两点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2（2025 高三·全国·专题练习）已知抛物线C：
与
：
交于A，B 两点，
若
，则
．
方法技巧
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用距离公式求(过两点的直线的斜率存在且不等
于0).
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
【变式训练2-1】已知椭圆
，
是
的左、右焦点，
是过焦点
的弦，且
的面
积为32，求
．
【变式训练2-2·变考法】（2025 高三·全国·专题练习）已知直线过椭圆
的左焦点
，与椭圆相
交于
两点，且满足
，求直线的方程．
题型3 中点弦问题
例3-1（多选）已知椭圆C：
的焦点分别为
，
，设直线l 与椭圆C 交于M，N
两点，且点
为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C 的离心率为
B．椭圆
与椭圆C 共焦点
C．直线l 的方程为
D．椭圆C 的内部（含边界）共有10 个整数点
例3-2 已知椭圆
的右焦点为
，经过该焦点的直线交椭圆于
两点，若
中点
的坐标为
，则椭圆
的方程为 ．
方法技巧
(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系
数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代
入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和直线AB 的斜率有关的式子，可以
大大减少计算量.
【变式训练3-1】已知双曲线
的左､右焦点分别为
，过左焦点
作斜率为2 的直线与双曲线
交于
两点，
是
的中点，
为坐标原点，若直线
的斜率为
，则
的值是 .
【变式训练3-2】已知A，B 为双曲线
上的两点，且A，B 关于直线
对称，则线
段AB 中点的坐标为 ．
题型4 面积问题
例4-1（多选）已知
、
是椭圆
长轴上的两个顶点，
、
是椭圆C 的左右焦点，点
是
椭圆上异于
、
的任意一点，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．椭圆C 的离心率为
C．
面积的最大值为
D．椭圆C 与双曲线
有相同的焦点
例4-2 已知椭圆C：
的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，D 为线段AB 的中点，
且
，
（O 为坐标原点）.
(1)求
的面积；
(2)过F 的直线交C 于P，Q 两点，记点O，A 到直线PQ 的距离分别为
，
，则
是否存在最大值？
若存在，求出最大值及PQ 的方程；若不存在，请说明理由.
方法技巧
1、三角形面积问题
直线
方程：
2、焦点三角形的面积
直线
过焦点
的面积为
注意：
为联立消去
后关于
的一元二次方程的二次项系数
【变式训练4-1】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，P 是双曲线右支上一点，
且直线
的斜率为2，
是面积为8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
F2
F1
O
y
x
B
A
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2·变载体】已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，若C 的离心
率为2，点
在C 上，过
的直线l 交C 的右支于P，Q 两点．
(1)求直线AP，AQ 的斜率之积；
(2)若
的面积为
，求l 的方程．
题型5 定点、定直线问题
例5-1（2025·河北保定·三模）已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，以椭圆
的四
个顶点为顶点的四边形的面积为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设椭圆
的右顶点为
，若直线与椭圆
交于
两点，满足
，证明：直线过
定点．
例5-2（2025 高三·全国·专题练习）已知A，B 分别是双曲线C：
的左、右顶点，P
是C 上异于A，B 的一点，直线PA，PB 的斜率分别为
，
，且
．
(1)求C 的方程；
(2)已知过点
的直线l：
交C 的左、右两支于D，E 两点（异于A，B），直线AE 与直线BD
交于点Q，证明：点Q 在定直线上．
方法技巧
定点、定直线直线问题的处理技巧：
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程
的方法，如定义法、消参法、交轨法等
【变式训练5-1】已知
，
分别是双曲线
：
的上顶点，下焦点．
(1)求
的标准方程；
(2)过
的直线与
的上、下支分别交于
两点（
异于
），直线
平分线段
与
的下支交于点
，证明：直线
与直线
的交点在定直线上．
【变式训练5-2】在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点为
，过
的直线交
于
两点，
，直线
与
的另一个交点分别为
．
(1)判断直线
的斜率与直线
的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理
由．
(2)证明：直线
经过定点．
题型6 定值问题
例6-1 设
是双曲线
上任意一点，过点
作渐近线
和
的平行线，分别交另
一条渐近线于点
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 如图，已知椭圆
过点
，其左、右焦点分别为
，
，且左焦点为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若点
在椭圆上，直线
，
与椭圆的另一个交点分别为
，
，设
，
，求证：
为定值．
方法技巧
定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般
情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
【变式训练6-1】已知椭圆
的右顶点和上顶点为
为椭圆上的一点，直线
与
轴相交于
点
，直线
与
轴相交于点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2】已知椭圆
的左、右顶点分别为
、
，上、下顶点分别为
、
，
离心率为
，且经过点
．
(1)求椭圆
的方程及长轴长；
(2)点
是椭圆
上一动点，且不与顶点重合，点
满足四边形
是平行四边形，过点
作
轴的垂
线交直线
于点
，连接
交
于点
，求证：
．
题型7 综合问题
例7-1 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不
可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的．下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：
已知角
的顶点为
，在
的两边上截取
，连接
，在线段
上取一点
，使得
，记
的中点为
，以
为中心，C，D 为顶点作离心率为2 的双曲线
，以
为圆心，
为半径作圆，与双曲线
的左支交于点
（射线
在
内部），则
．在上述过
程中，以
为原点，直线
为
轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)若
，求双曲线
的方程以及其渐近线方程；
(2)若
，点
在
轴的上方，过点
且与
轴垂直的直线交
轴于点
，点
到直线
的距离为
．
证明
①
为定值；
②
．
例7-2 设动点
到坐标原点
的距离和它到直线的
距离之比是一个常数
，记点的轨迹为
曲线
．
(1)求曲线
的方程，并讨论
的形状与
值的关系；
(2)若
时，得到的曲线为
，将曲线
向左平移一个单位得到曲线
，过点
的直线
与曲线
交于不同的两点
，
，过
的直线
分别交曲线
于
，设
，
，求
的取值范围．
【变式训练7-1】已知
是双曲线
的右焦点，过点
的直线交
的右支于不同的两点
，
过点
且垂直于直线
的直线交
轴于点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】椭圆
的上顶点为
，右焦点为
，点
在椭圆
上.
(1)若存在点
，使线段
被直线
平分，求椭圆
的离心率的取值范围；
(2)求证：存在椭圆
，使线段
被直线
垂直平分.
【变式训练7-3】椭圆Γ：
与双曲线C：
的离心率分别为
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)当
时，设点
，若对于直线l：
，椭圆Γ 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，
且
，求
的取值范围．
1．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
与C
交于A，B 两点，若
面积是
面积的2 倍，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B 为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·北京·高考真题）若直线
与双曲线
只有一个公共点，则
的一个取值为
．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线
与抛物线
交于
两点，且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆
的离心率是
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，证明：线段
的中点为
定点．
6．（2025·天津·高考真题）已知椭圆
的左焦点为F，右顶点为A，P 为
上一点，
且直线
的斜率为
，
的面积为
，离心率为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P 的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF 平分
.
7．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照如下方式依次构造点
：过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意正整数
，
.
1.如图，已知直线
和椭圆
．m 为何值时，直线l 与椭圆C：
(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
2.已知直线
与抛物线
相交于A，B 两点，且O 为坐标原点．
(1)求弦长
；
(2)判断
是否成立，并说明理由．
3.已知直线
与椭圆
，分别求直线l 与椭圆C 有两个公共点、只有一个公共点和没
有公共点时m 的取值范围．
4.判断直线
与椭圆
是否有公共点．如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以这
两个公共点为端点的线段长．
5.已知过抛物线
的焦点F 的直线交抛物线于
，
两点.求证：
(1)
，
；
(2)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
6.设F 为抛物线
的焦点，过F 且倾斜角为
的直线交C 于A，B 两点，求
及
的面积.
