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重难点突破10 圆锥曲线中的向量问题
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题型一：向量的单共线
例1．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知椭圆 的一个焦点为 ，点
在椭圆 上，点 满足 （其中 为坐标原点），过点 作一直线交椭圆于 、
两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 面积的最大值；
(3)设点 为点 关于 轴的对称点，判断 与 的位置关系，并说明理由.
【解析】（1）由 得 ，所以，椭圆方程为 .
（2）若直线 与 轴重合，则 、 、 三点共线，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，由 得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
由条件可知 ，即点 ，
，
当且仅当 时，等号成立，故 面积的最大值为 .
（3） 与 共线，理由如下：
易知点 ， ，
则
.
所以， 与 共线.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，与椭圆
C有相同焦点的双曲线 在第一象限与椭圆C相交于点P，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线 与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且 ．若椭圆C上存在点
E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．
【解析】（1）由题意，双曲线 的焦点为 ， ，
双曲线 与椭圆C有相同焦点且在第一象限交点为P，
又 ， ， ．
， ．
．椭圆C的方程为 ．
（2）设 ， ，则 ．
四边形OAED为平行四边形，
， ．
点A，B，E均在椭圆C上，
， ， ．
，
．
．
由 消去y，得 ．
显然 ．
， ．
．
，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 .
．
例3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆 的离心率为 ，过椭圆焦点
并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，若存在实数 ，使得 ，
求 的取值范围．
【解析】（1）因为该椭圆的离心率为 ，所以有 ，在方程 中，令 ，解得 ，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有 ，由 可得： ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）当直线 不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线 存在斜率时，设为 ，所以直线 的方程设为 ，
于是有 ，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有 ，
化简，得 ，
设 ，于是有 ，
因为 ，
所以 ，
代入 中，得 ，
于是有 ，
化简，得 ，代入 中，得
.变式1．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知椭圆 ，连接E的四个顶
点所得四边形的面积为4， 是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为 的直线 与椭圆E交于A，B两点，D为线段 的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，
使得 ，求三角形 的面积．
【解析】（1）由题意知连接E的四个顶点所得四边形的面积为 ，
又点 在E上，得 ，
解得 ， ，
故椭圆E的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ，
由 ，消去 得 ，
又 ，
得 ，设 ， ， ，则
， ．
由 ，可得 为三角形 的重心，
所以 ，且 ，， ，
故由 在椭圆E上，得 ，得 ，
，
又原点 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 ．
变式2．（2023·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知椭圆 ： 的左右焦点分别
为 ，过点 的直线 交椭圆 于不同的两点 .
（1）若直线 经过 ，求 的周长；
（2）若以线段 为直径的圆过点 ，求直线 的方程；
（3）若 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由椭圆定义知： ，
则 的周长 .
（2）当直线 斜率不存在时，直线 ，设 ， ，
则 ，符合题意；
当直线 斜率存在时，设直线 ， ， ，
联立直线与椭圆 得： ，，解得： ，
则 ， ，
又 ， ，
，
即 ，
，解得： ，满足 ，
直线 的方程为： 或 ；
（3）①当直线 斜率不存在时， 直线 ，
若 ， ，则 ， ， ，此时 ；
若 ， ，则 ， ， ，此时 ；
②当直线 斜率存在时，设直线 ， ， ，
又 ，即 ，故 ，
由（2）知： ，即
，
又 ，故 ， ， ，
即 ， 或 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
变式3．（2023·全国·高三专题练习）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆
反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆 的左､右焦点分别为
， ，从 发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点 ，这个过
程中光线所经过的总路程为8.
(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线 ，且满足 ，若 ，求实数m的取值范围.
【解析】（1）由椭圆的光学性质知 过椭圆左焦点 ，由椭圆定义知 ，即 ，
所以 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由已知 ，设 ，
则直线 方程为 ，联立方程组 可得 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，消去 可得 ，
， ，即 ，解得 ，
.
变式4．（2023·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）已知点 ，椭圆
的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点．
(1)求 的方程；
(2)设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，且 ，求 的面积及直线 的方程．
【解析】（1）设 ，因为直线 的斜率为 ，
所以 ，解得 ．
又 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 、 ，
由题意可设直线 的方程为： ，联立 ，消去 得 ，
当 ，所以 ，即 或 时，
， ，
由 ，得 ，代入上解得 ，即 ，
又
点 到直线 的距离 ，
所以 ，
此时直线 的方程为： 或 ．
变式5．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆 ， 是其左、右焦点， 是其左、右顶
点，过 的直线 交椭圆于 两点，且点 在 轴上方， 为坐标原点.
(1)若 轴，求线段 的长；
(2)若 的中点为 ，且点 在以 为直径的圆上，求点 的坐标；
(3)若 ，求直线 的方程.
【解析】（1）由已知可得， ， ，所以 .
因为 轴，则 方程为 .联立直线 与椭圆的方程 ，可得 ，解得 ，
所以 ， ，
所以线段 的长为 .
（2）由已知可得， ， ， .
又点 在以 为直径的圆上，此圆心坐标为 ，半径为 ，
所以点 的坐标满足圆方程 ，.
与椭圆方程联立 ，消去 整理可得 ，
解得 或 .
当 时，可得点 的坐标为 ，满足；
当 时，可得点 的坐标为 ，不合题意，舍去.
所以点 的坐标为 .
（3）显然直线 的斜率不等于0，可设过 的直线 的方程为 ，
设 ， .
由 ，得 ，
恒成立，
由韦达定理可得 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
代入 可得， ，代入 可得， ，
所以有 ，整理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
所以直线 的方程为 .
变式6．（2023·山西吕梁·高三统考期末）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ,离心率
为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 经过点 ，且与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程.
【解析】（1）设椭圆方程为 ，因为 ，
所以 ，
所求椭圆方程为 .
（2）由题得直线 的斜率存在，设直线 方程为 ，
则由 得 ，且 .
设 ，则由 得 ，又 ，
所以 消去 解得 ，
所以直线 的方程为 .
变式7．（2023·河南驻马店·高二统考期末）已知圆 ， ，动圆 与圆
， 均外切，记圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)直线 过点 ，且与曲线 交于 两点，满足 ，求直线 的方程．【解析】（1）由题意可知：圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
由条件可得 ，即 ，
则根据双曲线的定义可知，点 是以 ， 为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则 ，可得 ，
所以曲线 的方程为 ．
（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
由于 且直线 的斜率不等于0，
不妨设 ， ， ，
则 ， ，
由 可得 ，
联立方程 ，消去x得
则 ，由韦达定理可得 ，
由 ，解得 ，
代入 可得 ，
解得 ，即 ，因此直线 ，即 .
题型二：向量的双共线
例4．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知双曲线 过点
，且焦距为 .
(1)求 的方程；
(2)已知过点 的动直线 交 的右支于 两点， 为线段 上的一点，且满足 ，证明：
点 总在某定直线上.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以，双曲线 的方程为 .
（2）设点 、 、 ，
因为 ，即 ，记 ，
又A、P、B、Q四点共线，则 ， ，
即 ， ，有 ， ，
得 ， ，
又因为 ，则 ，作差可得 ，
即 ，
得 ，即 ，
故点Q总在定直线 上.
例5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的离心率为2，焦点到一条渐近线的
距离为 ．
(1)求双曲线 的方程．
(2)若过双曲线的左焦点 的直线 交双曲线于 ， 两点，交 轴于 ，设 ．试判断
是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【解析】（1）不妨取双曲线的一条渐近线方程为 ，右焦点为 ，
因为焦点 到一条渐近线 的距离为 ，
所以 解得 .
又 ，且 ，解得 .
所以双曲线 的方程为 .
（2）由（1）可知左焦点 .
由题意可知，直线 的斜率存在，且不等于 .如图所示设直线 的方程为 则 .
因为 ，
所以
可得
由 ，消去 整理得
所以
所以 为定值 .
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ），椭圆的中心到直线
的距离是短半轴长，长轴长是焦距的 倍.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 ，过点 作斜率不为0的直线 交椭圆 于 ， 两点， ， 两点在直线 上且
， ，设直线 、 的斜率分别为 ， ，试问： 是否为定值？若是，求出该定
值.若不是，请说明理由.
【解析】（1）设 ，
因为椭圆的长轴长是焦距的 倍，所以 得到 ，
又椭圆中心到直线 的距离为短半轴长，
所以 ，解得 .
又 ，即 ，解得 .所以椭圆的方程为： .
（2）依题意可设 ， ， ， ，
因为直线 过点 且斜率不等于0，故可设 ： .
联立 ，消去 并整理得 ， ，
所以 ， ，
又 ， ，
所以 ，
，
因为 ， ， ， ，
又因为 ， ，得 ，
因为 ，同理可得， ，
又 ， ，
所以 .
所以 是定值，且定值为 .
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是
拋物线 的焦点，离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 两点，交 轴于 点，若 ，求
证： .
【解析】设椭圆C的方程为 （ > > ）抛物线方程化为 ，其焦点为 ，则椭圆C的一个顶点为 ，即
由 ，∴ ，
椭圆C的方程为
（2）证明：右焦点 ，设 ，显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为
，
代入方程 并整理，得
∴ ，
又 ， ， ， ，
而 ， ，
即 ，
∴ ， ，
所以
变式9．（2023·黑龙江·高三校联考期末）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰
好是抛物线 的焦点，离心率为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 ， ，
求 的值.
【解析】（1）设椭圆C的方程为 ，
抛物线方程化为 ，其焦点为
则椭圆C的一个顶点为 ，即 ，
由 ，解得 ，∴椭圆C的标准方程为
（2）证明：∵椭圆C的方程为 ，
∴椭圆C的右焦点
设 ， ， ，由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为 ，代入方程 ，
并整理，得 ，
∴ ， ，
又 ， ， ， ，
而 ， ，
即 ， ，
∴ ， ，
∴ .
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左焦点为 ．
(1)设M是C上任意一点，M到直线 的距离为d，证明： 为定值．
(2)过点 且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且 ，
，O为坐标原点，证明： ．
【解析】（1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ，即 ，
设 ，则 ，即 ，
所以 ，故 为定值．
（2）依题意可知过点P的直线方程为 ， ， ，联立 得 ，
由 ，得 ，
， ．
依题意可设 ，由点Q在线段AB上，得 ，
所以 ，
由 ， ，得 ，即 ，
则 ，即 ，
将 ， 代入上式并整理得 ，解得 ，
所以 ．
又 ，所以 ．
变式11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知椭圆C： 的离心率 ，点
， 为椭圆C的左、右焦点且经过点 的最短弦长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于不同两点A，B， 与直线 交于点P，若
，且点Q满足 ，求 的最小值．
【解析】（1）由题意， ，解得 ， ，所以椭圆的方程为 ．（2）由（1）得 ，若直线 的斜率为0，则 为 与直线 无交点，不满足条件．
设直线 ： ，若 ，则 则不满足 ，所以 ．
设 ， ， ，
由 得： ， ， ．
因为 ，即 ，则 ， ，
所以 ，解得 ，则 ，即 ，
直线 ： ，联立 ，解得 ，
∴ ，当且仅当 或 时等号成立
∴ 的最小值为5．
变式12．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）已知 , 分别是椭圆 的
左右顶点, 为坐标原点, ,点 在椭圆 上.过点 ,且与坐标轴不垂直的直线 交椭圆 于
、 两个不同的点.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)当直线 的倾斜角 为锐角时,设直线 , 分别交 轴于点 、 ,记 , ,求 的
取值范围.
【解析】（1）因为 ,所以 ;
又点 在图像 上即 ,所以 ,所以椭圆 的方程为 ;
（2）设直线 , 、 ,
由 得 ,
,
解得 或 ①,
又因为倾斜角 为锐角,
,
设直线 的方程是: ,直线 的方程是: .
在直线 的方程 中,令 ,解得 ,
点 坐标为 ;
同理点 为 .
所以 , , ,
由 , ,可得: , ,
(*),
将 , 代入(*)式得:
,因为 ,所以 , ,
故 的范围是 .
变式13．（2023·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）已知椭圆 过点
离心率 ，左、右焦点分别为 ，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．
(1)若 ，求直线 的方程；
(2)延长 分别交椭圆C于点M，N，设 ，求 的最小值．
【解析】（1）由已知过点 ，得 ，①
由 ，②
由①、②，得 ，
故椭圆C的方程为 ，
若 ，
设直线 的方程为 ，设直线 的方程为 ，设 ，
由 ，得 ，解得 ，
故 ，
同理， ，
，则 ， ，
故直线 的方程为 ；
（2）设 ，
由 ，得 ，故 ，
代入椭圆的方程得 （3），
又由 ，得 ，
代入（3）式得， ，
化简得， ，即 ，
显然 ，故 ，
同理可得 ，
故 ，
所以 的最小值 ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的短轴长为 ，
是椭圆 上一点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 （ 为常数，且 ）的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，与 轴相交于点 ，
已知 ， ，证明： ．
【解析】（1）因为椭圆C的短轴长为2 ，所以 ，
又 是椭圆C上一点，所以 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）由题可知，直线l的斜率一定存在，可设l的方程为 ， ，则 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，， .
因为 ，所以 ，
则 ，
题型三：三点共线问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线方程
为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ，过 的直线 交 的右支于 两点，连结 交直线 于点 ，
求证： 三点共线．
【解析】解:（1）依题意可得 ， ，
解得 ， 故 的方程为 .
（2）易得 ，
显然，直线 的斜率不为0，设其方程为 ， ，
联立方程 ，消去 整理得 ，
所以 ， ．
直线 ，令 得 ，故
， ，
，（*）
又，即 的值为0．
所以 故A、Q、N三点共线．﹒
例8．（2023·山东滨州·高三校考阶段练习）已知双曲线 的离心率为 ，经过坐标原点O的
直线l与双曲线Q交于A，B两点，点 位于第一象限， 是双曲线Q右支上一点， ，
设
(1)求双曲线Q的标准方程；
(2)求证：C，D，B三点共线；
(3)若 面积为 ，求直线l的方程．
【解析】（1）由双曲线 的离心率为 ，所以 ，解得 ，
所以双曲线Q的标准方程为
（2）由 得 ,又 ，所以
, ，
由 得 ①，
由于 ， 在双曲线上，所以 ，
相减得 ②
由①②得 ③，
由于 ，所以 ，
将③代入得 ，
所以 ，因此C，D，B三点共线（3）设直线 的方程为 ，
联立直线 与双曲线的方程为： ，
故 ，
所以 ，
直线 的方程为 ，
联立 ，
所以
由于 轴， ，所以 ，
所以 ，
由于 ， 代入得
，
令 ，则 ，化简得 ，由于 ，
所以 ，
因此 ，解得 或由于 ，所以 ，
故直线 方程为
例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学
家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长
与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的面积为 ，两焦点与短
轴的一个顶点构成等边三角形.过点 的直线 与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线 交于点F，试证明B，Q，F三点共线.
【解析】（1）依题意有 ，解得 ，所以椭圆C的标准方程是 .
（2）（i）当直线 的斜率不存在，易知 ， ，或 ， ，
当 ， 时，直线PA的方程为： ，所以点 ，
此时， ， ，显然B，Q，F三点共线，
同理 ， 时，B，Q，F三点共线；
（ii）当直线 的斜率存在时，显然斜率 ，设直线 的方程： ，
设 ， ，
由 整理可得： ，
， ，
由（1）可得左右顶点分别为 ， ，
直线PA的方程为 ，又因为直线 与 交于F，所以 ，
所以 ， ，因为
，
又
，
所以 ，所以 ，所以B，Q，F三点共线；
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆Γ： ，点 分别是椭圆Γ与
轴的交点（点 在点 的上方），过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点．
(1)若椭圆 焦点在 轴上，且其离心率是 ，求实数 的值；
(2)若 ，求 的面积；
(3)设直线 与直线 交于点 ，证明： 三点共线．
【解析】（1）依题意， ，解得 （负数舍去）.
（2） 的直线经过 ，则直线方程为： ；
，则椭圆的方程为： .
设 联立直线和椭圆方程： ，消去 得到 ，解得 ，则 ，故 ，于是 .
依题意知， 为椭圆的下顶点，即 ，由点到直线的距离， 到 的距离为： .
故
（3）设 联立直线和椭圆方程： ，得到 ，由
，得到直线 方程为： ，令 ，解得 ，即
，又 ， ，为说明 三点共线，只用证 ，即证：
，下用作差法说明它们相等：
，而 ，
， ，于是上
式变为： .
由韦达定理， ，于是 ，故 ，命题得
证.
变式16．（2023·青海西宁·统考一模）已知椭圆C： 的离心率为 ，右焦点
与抛物线 的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左焦点为 ，过点 的直线l与椭圆C交于 两点，A关于x轴对称的点为M，证
明： 三点共线.
【解析】（1）∵椭圆C的右焦点 与抛物线 的焦点重合，抛物线 的焦点为 ,∴ ,
又 ，∴ ,∴ ,
∴椭圆C的方程为 .
（2）证明：由（1）知椭圆C的左焦点为 ，
当直线l的斜率不存在时，其方程为： ，此时直线l与椭圆C没有交点，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ， ， ，
则 .
联立 ，消去y得 ，
∴ ，解得 ,
∴ ， ,
∵ ， ，
又 ， ，
∴
，
∵ 与 共线，而 与 有公共点 ,即 、 、 三点共线.
变式17．（2023·上海·高三校联考开学考试）已知椭圆 ： 的长轴长为 ，离心率
为 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点A，
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 的方程为： ，椭圆上点 关于直线 的对称点 （与 不重合）在椭圆
上，求 的值；
(3)设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，若点 ， 和点 三点共线，求 的值；
【解析】（1）椭圆 ： 的长轴长为 ，离心率为 ，
则 ， ，则 ，则
则椭圆 的方程为 ；
（2）设椭圆上点 关于直线 的对称点
则 ，解之得 ，则
由 在椭圆 上，可得 ，
整理得 ，解之得 或
当 时 与点M重合，舍去.则
（3）设 ，则
又 ，则 ，直线 的方程为
由 ，整理得
则 ，则
又 ，则 ，
则 ，则令则 ，直线 的方程为
由 ，整理得
则 ，则
又 ，则 ，
则 ，则
则
由点 ， 和点 三点共线，可得
则
整理得 ，则
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右顶点分别为 ，右焦点
为F（1，0），且椭圆C的离心率为 ，M，N为椭圆C上任意两点，点P的坐标为（4，t）（t≠0），且
满足 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：M，F，N三点共线.
【解析】（1）椭圆C的右焦点为 ，且离心率为 ，
∴a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，
∴椭圆C的方程为 .
（2）由（1）知， 的坐标分别为 ，设 ，∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ 三点共线， 三点共线，即 ，整理得 ，两边平方得
，①
又M，N在椭圆上，则 ，代入①并化简得 ，
又 ， ，
∴要证M，F，N三点共线，只需证 ，即 ，只需证 ，整理
得 ，
∴M，F，N三点共线.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，左、
右顶点分别为 ， ， ， .
（1）求椭圆 的方程.
（2）过 的直线与椭圆 交于 ， 两点（均不与 ， 重合），直线 与直线 交于 点，证明：
， ， 三点共线.
【解析】（1）由 ，即 ，又 ，即 .
∴ ，故椭圆 的方程为 .
（2）证明：可设直线 的方程为 ， ， ，
联立方程 ，得 且 ，
∴ ， ，而直线 的方程为 ，
∴令 ，得 ，则有 ， ，
又∵，
∴ ，而 ，
∴ ， ， 三点共线.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经
椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，
左､右顶点分别为A，B，一光线从点 射出经椭圆C上P点反射，法线(与椭圆C在P处的切线垂直
的直线)与x轴交于点Q，已知 ， .
（1）求椭圆C的方程.
（2）过 的直线与椭圆C交于M，N两点(均不与A，B重合)，直线 与直线 交于G点，证明：A，
N，G三点共线.
【解析】（1）由椭圆的定义知 ，则
由光学性质可知 是 的角平分线，所以 .
因为 ，所以 ，得 ，
从而 ，
故椭圆C的方程为 .
（2）证明：设直线 的方程为 ， ，
联立方程组 得 ，
则 ，因为直线 的方程为 ，
所以令 ，得 ，
因为 ， ，
又
.所以 .
因为 ，所以A，N，G三点共线.
变式21．（2023·全国·高三专题练习）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆
内壁反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，左、右顶点分别为 ， ．从 发出的一条光线，经椭圆上 ， 两点（均不与 ， 重合）各反
射一次后，又回到点 ，这个过程中光线所经过的总路程为 ．
（1）求椭圆 的长轴长；
（2）若椭圆 的焦距为 ，直线 与直线 交于点 ，证明 ， ， 三点共线．
【解析】(1)由已知及椭圆定义易得：光线所经过的总路程为 ， ，
所以椭圆的长轴长为 ．
(2)椭圆的焦距 ，所以 ， ，椭圆的方程为 ，
焦点 ， ，
因为直线 过点 ，可设直线 的方程为： ， ，
由 ，
可得 ，
所以 ， .
又 ， ，直线 的方程为
令 ，得则 ，
所以
所以 ，又 ， 相交于点 ，所以 ， ， 三点共线．
题型四：向量中的数量积问题
例10．（2023·高三课时练习）已知双曲线的中心在原点 ，右焦点为 ， 是双曲线右支上一点，
且 的面积为 .
(1)若点 的坐标为 ，求此双曲线的渐近线方程；
(2)若 ，当 取得最小值时，求此双曲线的方程.
【解析】（1） ， ，
所以， ，
， ，所以，该双曲线的渐近线方程为 ，即 .
（2）设点 ，其中 ， ，
， ，则 ，可得 ，
，则 ，即点 ，
所以， ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，
此时，点 、 ，
由双曲线的定义可得 ，
， ，
因此，该双曲线的方程为 .例11．（2023·陕西咸阳·高三校考开学考试）已知椭圆 ： 的左、右焦点为 ， ，点 是椭
圆 的上顶点，经过 的直线 交椭圆 于 ， 两个不同的点.
(1)求点 到直线 的距离；
(2)若直线 的斜率为 ，且 ，求实数 的值.
【解析】（1）椭圆 ： ，则 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以点 到直线 的距离 .
（2）依题意直线 的斜率存在，则直线 的方程为 ，
由 ，消去 整理可得 ，
则 ，即 ，
且 ， ，
因为 ，所以 ， ， ，
即 ，
整理可得 ，
即 ，
即 ，
整理可得 ，
解得 或 ，都符合 ，
所以 的值为 或 ．例12．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知 分别是
椭圆 的左焦点和右焦点.
(1)设 是椭圆 上的任意一点，求 取值范围；
(2)设 ，直线 与椭圆 交于 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 的
方程.
【解析】（1）在椭圆 中， ，
设 ，则有 ，即 ，
于是 ，
显然 ，所以 的取值范围是 .
（2）①显然直线 不垂直于 轴，当直线 垂直于 轴时，由对称性知，点 关于 轴对称，不妨令点
在 轴右侧，因为 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则直线 方程为： ，由
消去 得： ，于是得 ，点 ，直线 的方程为 ，
（2）当直线 与坐标轴不垂直时，设直线 的方程为 ，设 ，
由 消去 得： ，
则 ，即 ， ，可得
因为 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，有 ，
而 ，于是 ，即 ，整理得 ，
从而 ，
化为 ，解得 ，
又线段 的中垂线过点 及点 ，因此 ，即 ，
解得 ，而当 时， 成立，即 ，
因此直线 的方程为 .
变式22．（2023·四川·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，A，B分别为椭
圆的左、右顶点， ， 分别为椭圆的左、右焦点，点M是以AB为直径的圆上除去A，B的任意一点，
直线AM交椭圆C于另一点N．点N关于x轴的对称点为点Q．当点N为椭圆C的短轴端点时，原点O到
直线 的距离为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求 的最小值．
【解析】（1）由题意得 ，当点N为椭圆C的短轴端点时，
不妨设 ，故直线 的方程为 ，
故原点O到直线 的距离为 ，
又 ，解得 ，
故椭圆C的标准方程为 ，（2）点M是以AB为直径的圆上除去A，B的任意一点，故直线 与直线 的斜率均存在，
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
由 得 ，则 ，
由 得 ，
设 ，则 ，故 ， ，
即 ，故 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .变式23．（2023·天津和平·统考二模）在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦
点分别为 、 ，椭圆与 轴正半轴的交点为点 ，且 为等腰直角三角形．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)已知斜率为 的直线 与椭圆 相切于点 ，点 在第二象限，过椭圆的右焦点 作直线 的垂线，垂足
为点 ，若 ，求椭圆 的方程．
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，由已知得点 ，
因为 为等腰直角三角形，且 为 的中点，所以 ，即 ，
所以 ，有 ．
（2）由（1）知 ，设椭圆 方程为 ，
因为切点 在第二象限，且直线 的斜率为 ，
设直线 的方程为 ，设点 ，
因为直线 与椭圆 相切，联立 可得 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以， ， ，所以 ，
因为直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，即点 ，
又因为 、 ，有 ， ，
．
所以 ，所以椭圆 的方程为 ．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知圆心为H的圆 和定点 ，B是圆上任意
一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求 的取值范围
【解析】（1）由 ，得 ，所以圆心为 ，半径为4，
连接MA，由l是线段AB的中垂线，得 ，
所以 ，又 ，
根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，
所以 ， ， ，所求曲线C的方程为 ；
（2）由直线EF与直线PQ垂直，可得 ，
于是 ，
①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，
此时可不妨取 ， ， ， ，
所以 ，
②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得 ，
③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为 ，
， ， ， ，则直线EF的方程为 ，
将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得， ，
所以 ， ，
于是
，
将上面的k换成 ，可得 ，
所以 ，
令 ，则 ，于是上式化简整理可得，
，
由 ，得 ，所以 ，
综合①②③可知， 的取值范围为 ．
变式25．（2023·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知双曲线 的右焦点为 ，
渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，过 的左顶点 作 的垂线，垂足为 ，求证：
.
【解析】（1） 的右焦点为 ，渐近线方程为 ，
，
，
的方程为： ；
（2）设 方程为 ，
联立 得： ，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
直线 与直线 垂直，
在 中 ，
，
，
即 .变式26．（2023·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为 ，右焦点为 ，
右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 时，求直线l的方程.
【解析】（1）双曲线 的渐近线 化为 ，设双曲线 的方程为 ，
即 ，又双曲线 的右焦点 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
（2）由（1）知， ，设直线 的方程为 ，显然 ，
由 消去 整理得 ，显然 ， ，
而 ，则
，
化简得 ，即 ，而 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .变式27．（2023·校考模拟预测）已知F是双曲线C： 的右焦点，过F的直线l交双曲线右支于
P，Q两点，PQ中点为M，O为坐标原点，连接OM交直线 于点N．
(1)求证： ；
(2)设 ，当 时，求三角形 面积S的最小值．
【解析】（1）由题知，在双曲线 中， ， ， ，
所以 ，因此 .因为过F的直线l交双曲线右支于P，Q两点，
故可设PQ的方程为 ，设 ， ，
由 得
， ，
， ，得
∴ ，得直线OM的方程为 ，从而得
由 ， ， 得
，
所以即 ，故
（2）因直线PQ与双曲线右支交于两点，得
由 ， ，得
又因 ，得 ，
，
得 ，又因 ，
得 ， ， ，
由 ， ，
不妨设 ，
令 ， ，
在该区间内单调递增，
故 .
变式28．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆
过点 ，且椭圆的离心率为 .直线 与椭圆 相交于 两点，线
段 的中垂线交椭圆 于 两点.(1)求 的标准方程；
(2)求线段 长的最大值；
(3)证明： 为定值，并求此定值.
【解析】（1）根据题意得， ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）设 ，
由 ，整理得 ，
所以 ，解得 ，
设 的中点 ，则 ，
所以 的中垂线方程为： ，即直线 的方程为 ，
由 ，整理得 ，
所以 ，
所以
，
又因为 ，所以当 时， ；
（3）由（2）可知， ，
所以.
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量
例13．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 ，过椭圆 上第一象限的点 作椭圆
的切线与 轴相交于 点， 是坐标原点，作 于 ，证明： 为定值.
【解析】证明：不妨设切线 方程为 ， ，
联立切线方程和椭圆方程 ，
消去 得 ，
所以 ，得 ，
解方程可得 ，所以 ，
又点 坐标为 ，故 为定值．
例14．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，已知抛物线 ，过点 且斜率为
的直线 交抛物线于 ， 两点，抛物线上的点 ，设直线 ， 的斜率分别为 ，
.
(1)求 的取值范围；(2)过点 作直线 的垂线，垂足为 .求 的最大值.
【解析】（1）直线 的方程为 ，代入抛物线 得：
，解得 或 ，所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
则有 ，
又 ，则有 ，故 的取值范围是 .
（2）由（1）知 ， ，
所以 ， ，
，
令 ， ，
则 ，
由于当 时， ，当 时， ，
故 ，即 的最大值为 .
