第07 讲 抛物线选填题型全归纳
目 录
题型01：抛物线定义的理解应用....................................................................................................................2
题型02：抛物线的方程..................................................................................................................................4
题型03：抛物线的简单几何性质....................................................................................................................8
题型04：直线与抛物线位置关系.................................................................................................................. 10
题型05：弦长问题....................................................................................................................................... 11
题型06：中点弦问题....................................................................................................................................14
题型07：焦半径公式....................................................................................................................................17
题型08：抛物线的焦点弦.............................................................................................................................21
题型09：抛物线中的面积问题......................................................................................................................30
题型10：抛物线中的定点定值定直线问题....................................................................................................34
题型11：抛物线中的最值问题......................................................................................................................38
题型12：抛物线中的切线及切点弦...............................................................................................................41
题型13：抛物线中的阿基米德三角形........................................................................................................... 43
题型14：抛物线中的四心.............................................................................................................................51
题型15：抛物线中的斜率问题......................................................................................................................55
题型16：抛物线与向量................................................................................................................................ 58
题型17：抛物线与导数................................................................................................................................ 61
题型01：抛物线定义的理解应用
【典型例题1】函数
的
域是（
值
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
形函数解析式得到
变
，
成点
问题转换
到点
和
的距离之和，
轴
即可求解.
【
解】将
详
形可得
变
，
设
，则
的
迹方程
轨
为
，设
，
则
表示抛物线
上的点到点
和
的距离之和，
轴
过
点作
于
轴
，过
点作
于
轴
，交抛物线
于点
，
故
， 所以
，故
：
选B.
【典型例题2】
点
动
足方程
满
，
点
则
M 的
迹是（
轨
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【解析】由
得
，
等式左
表示点
边
和点
的距离，等式的右
表示点
边
到直线
的距离，
整个等式表示的意
是点
义
到点
的距离和到直线
的距离相等，
且点
不在直线
上，所以其
迹
抛物
轨
为
线.
【典型例题3】已知抛物线
的焦点为
，准线为，与
平行的直
与
轴
线
l 和抛物线C 分
交于
别
两点，
且直线
的
斜角
倾
为
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．4
【答案】D
【分析】由直线AF 的
斜角
倾
为
得到
得到
等
三角形，
而得到
为
边
进
，由
，
得到答案.
【
解】由抛物
定
可知
详
线
义
，
因
直
为
线AF 的
斜角
倾
为
，
，
轴
，
所以
等
三角形，
为
边
故
，
，
所以
，
其中准线l 与
交点
轴
为
，则
，故
，
所以
.
故
：
选D.
【变式训练1-1】设
抛物
为
线
的焦点，点
在
上，且在第一象限，若
，
直
则
线
的
斜角
倾
为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】若抛物线
上的点
到其焦点的距离为9，
点
则
的坐
（
标为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】已知抛物线C：
的
点
顶
为O，
点
经过
，且F
抛物
为
线C 的焦点，若
，则p＝（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式训练1-4】已知抛物线
的焦点为F，准线为l，与y
平行的直
与
轴
线
l 和抛物线E 分
交于
别
A，B 两点，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．4
【变式训练1-5】已知抛物线
：
的焦点为
，点
为
上一点，
为
靠近点
的三等分点，若
，
则
点的
坐
（
纵
标为 ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式训练1-6】已知抛物线
的焦点为
，
为
上的
点，点
动
，则
取最小
，直
值时
线
的斜率
（
为
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-7】已知
，向量
足
满
，抛物线
的焦点为F，点P 在抛物
上，
线
则
的最小
（
值为 ）
A．4
B．
C．3
D．
【变式训练1-8】已知抛物线C：
的焦点为F，
点
过
作直线l；
的垂
，垂足
线
为
B，点P 是抛物线C 上的
点，
动
则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．14
D．
题型02：抛物线的方程
【典型例题1】已知抛物线
的
点
原点，
称
是
顶
为
对
轴
，与直
轴
线
相交所得
段的
线
长为12，则
的
准方程
标
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
抛物
设
线
，根据点
在
上，代入抛物
方程，求出
线
的
，即可得解
值
.
【
解】由
意，
抛物
详
题
设
线
，
因
抛物
与直
为
线
线
相交所得
段的
线
长为12，
所以点
在
上，所以
，
解得
，所以
的
准方程
标
为
．
故
：
选B
【典型例题2】已知抛物
以
线
圆
的
心
焦点，
其
准方程
（
圆
为
则
标
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件得到
心
圆
为
，可得
，再利用
准方程的形式，即可求解
标
.
【
解】因
详
为
的
心
圆
为
，所以
，得到
，
又焦点在
的正半
上，所以抛物
的
准方程
轴
轴
线
标
为
，
故
：
选D.
【典型例题3】若
与
动圆
圆
相外切，且与直线x=2 相切，
心的
迹方程是（
则动圆圆
轨
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
，
合抛物
定
确定
题设结
线
义
的
迹，
而写出
方程
轨
进
对应
.
【
解】
详
设圆
的
心
圆
，
心
动圆圆
的
，半径为，
作
直线
垂足，
为
圆
与
相切，故圆
到直线
的距离
，又
，
因此
到
与直线
的距离相等，
则
的
迹：焦点
轨
为
，准线
，
点
顶
为
且开口向左的抛物
，
线
所以
，方程为
.
故
：
选A
【典型例题4】已知
分别为
内角
的
，若
对边
，
，
点
动
足
满
的
大小与
的大小相等，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据降
公式
合余弦定理可得
幂
结
，根据面
可得
积
，可知点
在抛物
上，
合抛物
的
线
结
线
性
分析求解
质
.
【
解】因
详
为
，
整理可得
，则
，可知
等
三角形．
为
边
点
设
到直线
的距离为
，则
，可得
，
如
，
点
图过
作
，垂足为
，则
，
点
过
作
，垂足为
，可知点
在以
焦点，
为
所在直
准
的抛物
上，
线为
线
线
可知当点
抛物
点（即
为
线顶
为
的中点）
，
时
取得最小
，此
值
时
，
所以
的最小值为
．故
：
选C.
【变式训练2-1】已知点
抛物
为
线
：
的焦点，点
在抛物线
上，且
，
抛物
则
线
的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】抛物线
的
点
坐
原点，焦点在
顶
为
标
上，直
轴
线
交
于
，
两点，
的准
交
线
于点
轴
，
若
，则
的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物
上，点
线
到点
的距离与到直线
的距离相等，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练2-4】已知抛物线
的焦点为F，第一象限的点
在抛物
上，且
线
．若
，
抛物
则
线C 的准
方程
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-5】设圆
与y
交于
轴
A，B 两点（A 在B 的上方），过B 作圆O 的切线l，若
点
动
P 到A 的距
离等于P 到l 的距离，
点
则动
P 的
迹方程
（
轨
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-6】在平面直角坐
系
标
中，
，
一点
记
到直线
的距离为
，已知
，记
的
迹
轨
为
，
下列命
的
（）
则
题错误
为
A．当
，
时
是两条直线
B．当
，
时
是圆
C．当
，
时
是抛物线
D．当
，
时
不存在
【变式训练2-7】已知
心在
圆
上移
的
轴
动
圆经过
，且与
，
轴
分
交于
轴
别
两个
点，
动
过
分
作
别
，
轴
的垂
，两条垂
的交点
轴
线
线
记为
，
点
则
的
迹
（
轨
为 ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【变式训练2-8】已知点P 在正方体
的表面上，P 到三个平面
、
、
中的两个
平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，
足条件的点
则满
P 的个数
（
为 ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【变式训练2-9】已知点
足
满
，
，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-10】已知抛物线
的焦点为
，第一象限的
、
两点在抛物
上，且
足
线
满
，
.若
段
线
中点的
坐
纵
标为4，
抛物
的方程
则
线
为 .
【变式训练2-11】《九章算
》是我国古代内容极
丰富的数学著作，第九章“勾股”
述了勾股定理及一些
用，将
术
为
讲
应
直角三角形的斜
称
“弦”，短直角
称
“勾”，
直角
称
“股”，
点
边
为
边
为
长
边
为
设
F 是抛物线
的焦点．l 是该
抛物
的准
，
抛物
上一点
线
线过
线
A 作准
的垂
线
线AB，垂足为B，射线AF 交准线l 于点C，若
的“勾”
，“股”
，
抛物
的方程
则
线
为__．
【变式训练2-12】已知点
，直线
，两个
均
动圆
过A 且与l 相切，若
心分
圆
别为
､
，则
的
迹方
轨
程为 ；若
点
动
M
足
满
，则M 的
迹方程
轨
为 .
【变式训练2-13】已知点
足
满
，则
的最小值为________
【变式训练2-14】已知点
，
在
上，且
轴
，则
外心的
迹
轨
的方程 ；
【变式训练2-15】已知点F(0，2)，
点
过
且与y
垂直的直
轴
线为，
，交
轴
于点N，直线垂直平分
FN，交
于点M．
点
则
M 的
迹方程
轨
为 ．
【变式训练2-16】已知点
到定点
的距离比它到
的距离大
轴
，则
，点
的
迹点
轨
的方程为 ．
【变式训练2-17】如
，
抛物
图设
线
的焦点为F，不
焦点的直
上有三个不同的点
经过
线
A，B，C，其中点A，B 在
抛物
上，点
该
线
C 在y
上，若
轴
，
，则
_____
题型03：抛物线的简单几何性质
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，点
是抛物
上位于第一象限的点，若
线
，则
的面积为
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由抛物
的定
得出
线
义
的坐
，即可求出面
标
积.
【
解】根据
意，可知
详
题
，
因为
，所以由抛物
的定
可得点
线
义
的横坐标为
，故
，
所以
的面积为
，
故
：
选B.
【典型例题2】下列关于抛物线
的
法正确的是（
说
）
A．焦点在x
上
轴
B．焦点到准
的距离等于
线
10
C．抛物
上横坐
线
标为1 的点到焦点的距离等于
D．由原点向
焦点的某直
作垂
，垂足坐
可能
过
线
线
标
为
【答案】ACD
【解析】抛物线
的焦点在x
上，
轴
，
正确，
；
错误
设
是
上的一点，则
，所以
正确；
由于抛物线
的焦点为
，
焦点的直
方程
过该
线
为
，
若由原点向
直
作垂
，垂足
该
线
线
为
，
时则
，此
存在符合
意的垂
，所以
时
题
线
正确.
故
：
选ACD.
【变式训练3-1】已知抛物线
：
的焦点为
，
点
过
的直线与
交于
，
两点，
下列
法正确的是
则
说
（ ）
A．焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为8
B．
C．若
的中点的
坐
纵
标为4，则
D．若
，则
【变式训练3-2】
抛物
记
线
的焦点为
，其准
与
线
交于点
轴
，过
作直线与
分
交于
别
两点，且
，若
的面积为
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式训练3-3】已知抛物线
，
焦点
过
的直线与抛物
交于
线
两点（
在第一象限）且
（
坐
原点），
当
为
标
则
，
时
的面
（ ）
积为
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-4】已知O
坐
原点，点
为
标
在抛物线C：
上，
点
过
的直
交抛物
线
线C 于
P、Q 两点：①抛物线C 的准线为
；②直线AB 与抛物线C 相切；③
；④
，以上
中正确的是（
结论
）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【变式训练3-5】已知抛物线
：
的焦点为
，
为
上一点，下列
法正确的是（
说
）
A．
的准
方程
线
为
B．直线
与
相切
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
的周
的最小
长
值为11
【变式训练3-6】已知抛物线
上有一点
到准
的距离
线
为
，点
到
的距离
轴
为
，
抛物
的焦点
则
线
坐标为 ．
【变式训练3-7】如
，曲
图
线
是以原点
中心，
为
、
焦点的
的一部分，曲
为
椭圆
线
是以
焦点的抛物
为
线
的一部分，
是曲线
和
的交点且
角，若
为钝
，
．求曲线
和
的方程．
题型04：直线与抛物线位置关系
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
且与抛物线
有唯一公共点的直
有（
线
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【分析】分斜率不存在，斜率为0 及斜率其他情况分
，
合
立方程
用判
式
算判断即可
类讨论结
联
组应
别
计
.
【
解】由抛物
的方程
详
线
为
知
．
当
点
过
的直
斜率不存在，即直
与
线
线
重合
，
足直
与地物
轴
时满
线
线
有唯一公共点．
当
点
过
的直
斜率
线
为0
，直
方程
时
线
为
，
足直
与抛物
满
线
线
有唯一公共点．
当
点
过
的直
斜率存在且不
线
为0
，
直
方程
时设
线
为
，
由
得关于
的方程
，
令
，解得
，此
足条件的直
有
时满
线
1 条．
上，
点
综
过
与抛物线
有唯一公共点的直
有
线
3 条，
故
：
选C．
【典型例题2】“
”是“直线
与抛物线
只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
立直
与抛物
的方程，可得
联
线
线
，分
和
，
方程只有一个解可得
讨论
或
，再由充分条件和必要条件的定
即可得出答案
义
.
【
解】若直
详
线
与抛物线
只有一个公共点，
方程
则
只有一个解，
即方程
只有一个解，
当
，
时
恒有一个解；
当
，
时
，得
，此
方程只有一个解．
时
即直线
与抛物线
只有一个公共点，可得
或
，
故“
”是“直线
与抛物线
只有一个公共点”的充分不必要条件，
故
：
选A．
【变式训练4-1】已知抛物线
，直线
点
过
且与抛物线
有且
有一个公共点，
直
仅
则
线的条数是
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练4-2】
点
过
且与抛物线
恰有一个公共点的直
的条数
（
线
为 ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式训练4-3】已知抛物线
：
与抛物线
：
，
（
则 ）
A．过
与
焦点的直
方程
线
为
B．
与
只有1 个公共点
C．与x
平行的直
与
轴
线
及
最多有3 个交点D．不存在直
与
线
和
都相切．
【变式训练4-4】
于抛物
对
线
，若点
足
满
，
直
则
线
与抛物线
（ ）
A．恰有一个公共点
B．恰有两个公共点
C．有一个或两个公共点
D．没有公共点
【变式训练4-5】已知直线
，抛物线
，l 与
有一个公共点的直
有（
线
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．1 条、2 条或3 条
题型05：弦长问题
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，过
且斜率大于零的直线与
及抛物线
的公共
点从右到左依次
点
为
、
、
，则
（ ）
A．
B． C． D．
【答案】C
【解析】如下
所示：
图
易知抛物线
的焦点为
，
直
设
线l 的方程为
，
因
直
为
线与抛物线
相切，
立
联
，可得
，
则
，因为
，解得
，
点
设
、
，
立
联
，可得
，
，
由
达定理可得
韦
，
，故
：
选C.
【典型例题2】已知抛物线C：
的焦点为F，准线为l，过F 的直
交抛物
线
线C 于A，B 两点，
的中垂
分
线
别
交l 与x
于
轴
D，E 两点（D，E 在
的两
）
侧.若四
形
边
菱形，
为
则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】由四
形
边
菱形，如下
示，
为
图
，
，
由抛物
性
知：
线
质
，则
，故
，
又
，故
，所以
.
公式
，
明如下：
证
令直线
（斜率存在）为
，代入
，则
，
整理得
，若
，
而
，若直
斜角
线倾
为
（不
直角），
为
则
，
所以
.故
：
选B
【典型例题3】已知抛物线
的焦点是
，直线
均
焦点
过
且互相垂直，则
的
是（
值
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由于所求
定
，可取特殊位置求解，
出两直
方程，分
代入抛物
方程，根据
达定理和弦
公式求
值为
值
设
线
别
线
韦
长
解
和
即可.
【
解】如
，由于两直
有很好的
称性，故可取特殊位置，
详
图
线
对
抛物
的焦点
该
线
，
因
直
为
线AB 和CD 均
焦点且互相垂直，
两直
斜率存在且不等于零，
过
则
线
设AB 的斜率为
，则CD 的斜率为
，
直线AB 的方程为
，
与抛物
立得：
线联
，
则
，
同理可得
，
因此，
故
：
选D.
【变式训练5-1】
抛物
设
线
的焦点为
，过
的直线与抛物线
交于
两点，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．1
C．2
D．3
【变式训练5-2】已知抛物线
的焦点为
，准
与
线
交于点
轴
，直线过
且与
交于
两点，若直
线
的斜率为
，则
（ ）
A．5
B．
C．
D．
【变式训练5-3】已知抛物线
点
过
，过
且与
．(
坐
原点
为
标
)垂直的直线与抛物
线
交于另一点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-4】
抛物
过
线
的焦点
的直线交
于
两点，其中点
在第一象限，且
，则
（ ）
A．
B．6
C．
D．8
【变式训练5-5】点A（与原点O 不重合）在抛物线
上，直线
与抛物
的准
交于点
线
线
B，
点
过
B 且平行于x
的直
交抛物
于点
轴
线
线
C，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．4
C．
D．8
【变式训练5--6】若直线l
抛物
经过
线
的焦点，与
抛物
交于
该
线
A，B 两点，且
段
线
AB 的中点的
坐
纵
标为3，
段
则线
AB 的长为 .
题型06：中点弦问题
【典型例题2】已知抛物线
，
点
过
的直
交抛物
线
线
于
两点，若
为
的中点，
直
则
线
的
方程为 .
【答案】
【分析】
出
设
，
的坐
，代入抛物
方程，利用作差法，
合中点坐
公式代入先求出直
的斜率，再利用点斜式方
标
线
结
标
线
程即可得到结论.
【
解】
详
设
，
，由
意
题
，
因为
，
在抛物
上，所以
线
，
，两式相减得，
，整理得，
，
即直线
的斜率
，
直线
的中点为
，
，
，
所以直线
的方程为
，化
得
简
.
故答案
：
为
.
【典型例题2】已知
抛物
为
线
上的两点，且
段
线
AB 中点的
坐
纵
标为2，
直
则
线AB 的斜率为 .
【答案】
/0.5
【分析】
出点
设
的坐
并代入抛物
的方程，即可求出直
标
线
线AB 的斜率.
【
解】由
意，
详
题
抛物
为
线
上的两点，且
段
线
AB 中点的
坐
纵
标为2，
设
，
段
线
AB 中点为
，
∴
，
，
∴
即
∴直线AB 的斜率
：
为
故答案
：
为
【典型例题1】已知斜率为2 的直
与曲
线
线
交于
两点，
段
则线
的中点
的
迹方程
（
轨
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用点差法，即可求得
，
直
设
线
的方程，与抛物
方程
立，运用
达定理求解取
范
线
联
韦
值
围.
【
解】
详
设
,则
，
两式相减得：
，
即
，
因
直
为
线
的斜率为2，所以
，所以
，
因为
，所以
.
直
设
线
的方程为
，由
,
可得：
，
，解得：
.
在直线
上，则
，
，所以
.
所以
.
故
：
选C
【变式训练6-1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q 在抛物线C 上，且
段
线
PQ 的中点
（
为﹣2，
4），
直
则
线PQ 的方程
（ ）
为
A．x+2y﹣6＝0
B．x+3y﹣10＝0
C．2x+y＝0
D．2x+3y﹣8＝0
【变式训练6-2】已知
点
动
P 到定点
的距离比它到直线
的距离大1，直线与
点
动
的
迹交于
轨
A， B
两点，且
段
线
AB 的中点为
，
直
则
线的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-3】已知抛物线
，
点
过
的直线l 与C 相交于A，B 两点，且M
弦
为
的中点，
直
则
线l 的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-4】已知抛物线
的
点
坐
原点，准
顶
为
标
线为
，直线与抛物线
交于
两点，若
段
线
的
中点为
，
直
则
线的方程为 ．
【变式训练6-5】已知直线l 交抛物线C : y
2=18 x于M，N 两点，且MN 的中点为(5,3)，
直
则
线l 的斜率
（
为 ）
A．9
5
B．3
2
C．3
D．18
5
【变式训练6-6】已知抛物线C：
，
点
过
的直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，若
，
直
则
线l
的斜率是（ ）
A．
B．4 C．
D．
【变式训练6-7】已知直线
与抛物线
相交于
、
两点，点
是抛物
线
的准
与以
线
直径的
的公共点，
下列
的是（ ）
为
圆
则
结论错误
A．
B．
C．
的面积为
D．
【变式训练6-8】
抛物
过
线
的焦点F，且
斜角
倾
为
的直
与抛物
交于
线
线
A，B 两点，若弦
的垂直
平分
点
线经过
，则p 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-9】
抛物
过
线C : y
2=2 px( p>0)的焦点的直
与抛物
线
线C 相交于A，B 两点，若
段
线
AB中点的坐标为
(4,2❑√2)，则p=（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式训练6-10】已知斜率为
的直线
抛物
过
线
的焦点，且与抛物线
交于
两点，抛物线
的准
上一点
线
足
满
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【变式训练6-11】已知抛物线
上的点
到其准
的距离
线
为
，直线交抛物
于
线
，
两点，且
的中点
为
，则
到直线的距离
（ ）
为
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【变式训练6-12】
抛物
过
线
的焦点的直
与
抛物
交于
线
该
线
两点，若
段
线
的中点的
坐
纵
标为1，则
（ ）
A．12
B．
C．
D．
【变式训练6-13】已知直线
与抛物线
相交于
、
两点，点
是抛
物线
的准
与以
线
直径的
的公共点，
下列
的是（ ）
为
圆
则
结论错误
A．
B．
C．
的面积为
D．
【变式训练6-14】
点
设经过
的直
与抛物
线
线
相交于
，
两点，若
段
线
中点的横坐标为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-15】直线
（
是参数）与抛物线
的相交弦是
，
弦
则
的中点轨
迹方程是 .
【变式训练6-16】已知抛物线
，直线
与抛物
相交于
线
两点，且
的中点为
，则
.
【变式训练6-17】已知抛物线
，直线
与抛物
相交于
线
，且
的中点为
，
则
．
【变式训练6-18】若直线
抛物
经过
线
焦点，且与抛物
相交于
线
两点，且
，则
的中点横坐标
为 .
【变式训练6-19】已知抛物线
，直线与抛物
交于
线
两点，
足
满
，
段
设线
的中点为
，则
到
的最小距离
轴
为 ．
【变式训练6-20】若A，B 是抛物线
上不同的两点，
段
线
AB 的垂直平分
交
线
x
于点
轴
，则
的最
大值为 ．
题型07：焦半径公式
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为F，准线为，点P 为C 上一点，过P 作的垂
，垂足
线
为A，若AF 的
斜
倾
角为
，则
（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【
解】由
意，得
详
题
，准
方程
线
为
，
准
与
设
线
交于点
轴
K，
，则
，如
，
图
因为AF 的
斜角
倾
为150°，所以
，
故
，所以
，
故
，解得
，
所以
.
故
：
选A.
【典型例题2】若A，B，C 均在抛物线
上，直线
与此抛物
交于
线
M，N 两点，弦MN 中点为
的重心，则
（ ）
A．12
B．15
C．18
D．24
【答案】B
【分析】先求
中点横坐
，再利用重心性
求
标
质
A，B，C 横坐
之和，
合抛物
定
即可求解
标
结
线
义
.
【
解】抛物
详
线
，准线
，焦点
.
立
联
，得
，
中点横坐标
.
设
，由重心性
可知：
质
，得
.
所以
.故
：
选B.
【典型例题3】已知直线
与抛物线
相交于A，B 两点，且点
坐标为
，则
的取
范
（
值
围为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【
解】由
可知
详
题
,所以有
，
入
带
得
，
整理得
，判
式
别
恒成立，
设
，则
易知，点
抛物
的焦点，
为
线
所以
当且
当
仅
，等号成立，所以
时
的取
范
值
围为
.
故
：
选B
【变式训练7-1】已知A，B 是抛物线
（
）上不同两点，点F 是抛物
的焦点，且
线
（O
坐
原点）
为
标
的重心恰为F，若
，则
（ ）
A．8
B．
C．
D．
【变式训练7-2】设
是抛物线
的焦点，
，
是
上不同于
的
点的两点，以
顶
和
切点
为
的两条切
相交于点
线
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式训练7-3】
抛物
设
线
的焦点为F，过C 上一点A 作其准
的垂
，
垂足
线
线设
为B，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式训练7-4】已知抛物线
的焦点为
，其通径长为8，
直
动
线
点
过
且与抛物
交于
线
两点，
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-5】已知抛物线
的焦点是
，直线
均
焦点
过
且互相垂直，则
的
是（
值
）.
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-6】
点
过
且
斜角
倾
为
的直线交曲线
于
两点（点
在点
的上方），
为
的焦
点，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【变式训练7-7】已知抛物线
：
的焦点为
，
点
过
的直线与
交于
，
两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为8
B．
C．若
的中点的
坐
纵
标为4，则
D．若
，则
【变式训练7-8】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C 的焦点F 的直
交
线
C 于A，B 两点，交C 的准
于
线
P，且PB
→
=3
BF
→，|AF|＝3，则C 的方程
（ ）
为
A．y2＝x
B．y2＝2x
C．y2＝4x
D．y2＝6x
【变式训练7-9】如
，
图
是抛物线
上的一点，
是抛物
的焦点，以
线
始
、
为
边
的角
为终边
，则
.
【变式训练7-10】
直
设
线
与抛物线C：
相交于点A，B，点F
抛物
为
线C 的焦点.若
，
点
则
F 的坐标为 .
【变式训练7-11】已知抛物线
(其中
)的焦点为
，点
在抛物
上，若
线
，
且
的最小值为
，
点
则
到抛物线
的准
的距离
线
为
【变式训练7-12】已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F.
点
过
2,0
的直线l 与抛物
分
交于
线
别
A B
,
两点，则
4
AF
BF
的最小值为 .
【变式训练7-13】已知
抛物
为
线
：
的焦点，
，
，
为
上的三点，若
，则
.
【变式训练7-14】
抛物
过
线
的焦点
的直
交
抛物
于
线
该
线
两点，若
，则
= _____________．
【变式训练7-15】已知抛物线
的焦点为
，
焦点
过
的直
交抛物
与
线
线
两点，且
，
物
的准
方程
则拋
线
线
为________.
【变式训练7-16】已知抛物线
，其焦点为
，准线为，
焦点
过
的直
交抛物
线
线
于点
、
（其中
在
上方），
轴
，
两点在抛物
的准
上的投影分
线
线
别为
，
，若
，
，则
____________.
题型08：抛物线的焦点弦
【典型例题1】已知抛物线
：
的焦点为F，过F 且斜率大于零的直线l 与
及抛物线
：
的所有公
共点从右到左分
点
别为
A，B，C，则
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【解析】由
意可得
题
，
直
设
线的方程为
，
由
意可得直
题
线与抛物线
必有2 个交点，
与抛物线
相切，
立方程
联
组
，可得
，
所以
，解得
，故直线的方程为
，
与抛物线
方程
立
联
，得
，
设
，
，则
，所以
.故
：
选C.
【典型例题2】设
抛物
为
线
的焦点，
点
过
且
斜角
倾
为
的直
交
线
于
两点，
（ ）
A．12
B．10
C．9
D．6
【答案】A
【分析】
立直
与抛物
的方程可得
达定理，
而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二
求解
联
线
线
韦
进
级结论
.
【
解】方法一：由
意知抛物
焦点
详
题
线
，所以直线
.
由
得
.
设
，
,
由抛物
的几何性
，得
则
线
质
.
方法二：由于
，因为
，所以
.故
：
选A.
【典型例题3】已知抛物线
：
的焦点为
，准线与
的交点
轴
为A，
是抛物线
上的点.若
，
轴则
以
直径的
截直
为
圆
线
所得的弦长为( )
A．2
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】求出M 坐
及直
标
线AM 的方程，根据
的弦
公式即可求解．
圆
长
【
解】由
知，
详
题
，
，
，
∵
，∴
轴
，根据抛物
称性，不妨取
线对
，
则
，
原点O 到直线AM 的距离
：
为
，
∴以
直径的
截直
为
圆
线
所得的弦
：
长为
﹒
故
：
选B﹒
【典型例题4】已知抛物线
的焦点为
，
焦点
过
的直
交抛物
与
线
线
两点，且
，
物
的准
方程
则拋
线
线
为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据
意作出
形，
直
题
图
设
线
与
的
角
轴
夹
为
，不妨设
，
抛物
的准
与
设
线
线
的交点
轴
为
，
点
过
作准
与
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
点
过
分
作准
和
别
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
一步可以得到
进
，
而求出
进
，同理求出
，最后解得答案.
【
解】
详
直
设
线
与
的
角
轴
夹
为
，根据抛物
的
称性，不妨
线
对
设
，如
所示
图
.
抛物
的准
与
设
线
线
的交点
轴
为
，
点
过
作准
与
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
点
过
分
作准
和
别
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
.
由抛物
的定
可知，
线
义
，
同理：
,
于是，
，
抛物
的准
方程
：
则
线
线
为
.
故答案
：
为
.
【典型例题5】已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过F 的直线m 与C 交于A、B 两点，点A 在l 上的投影为D，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【分析】
合
像，分析出点
结
图
为
的中点，从而利用抛物
的定
即可求得
果
线
义
结
.
【
解】
点
详
过
作
，垂足为
，作
，垂足为
，如
，
图
.
又因为
，所以四
形
边
矩形，所以
为
，
因为
，
，所以点
为
的中点，
所以
，故
，
由抛物
的定
可得
线
义
，
，所以
，即
.
故
：
选B.
【典型例题6】已知抛物线
的焦点为
，圆
．如
，
点
图过
的直线与抛物
和
的
线
圆
交点依次为
，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，
，由抛物
焦半径公式可得：
线
，
再由
，
合基本不等式即可求解；
结
【
解】根据
意，
详
题
圆
，可得
，所以
的
心
该圆
圆
为
，所以
，
，所以
，
点
设
，
，易知
斜率不为0，设
方程
：
为
，
立抛物
方程消去
联
线
可得：
，所以
，又
，
两式相乘可得：
，所以
，
因
，当且
当
仅
等号成立．即
时
，
时
取得最小值
.
故
：
选B
【典型例题7】
斜角
倾
为
的直
抛物
线过
线
的焦点F，与
抛物
交于点
该
线
，且以
直径的
为
与直
圆
线
相切，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
意确定直
题
线
即
抛物
的准
，确定
为
线
线
,
直
方程
设
线
为
，代入
中可得根与
系数的关系，利用抛物
焦点的弦
公式即可求得答案
线过
长
.
【
解】
抛物
详
设
线
的准线为
，
点
过
分
作
别
l 的垂
，垂足
线
为
,设
的中点为M，作
，垂足为N，
则
,
即以
直径的
与
为
圆
相切，又以
直径的
与直
为
圆
线
相切，
故直线
即
抛物
的准
，∴
为
线
线
,
∴
，
直
方程
设
线
为
，代入
中，
∴
，即
，
设
，∴
，
∴
，
故
：
选B.
（一）单选题
【变式训练8-1】已知抛物线
的焦点
与
的一个焦点重合，
焦点
过
的直
与
线
交
于
，
两不同点，抛物线
在
，
两点
的切
相交于点
处
线
，且
的横坐标为4，
弦
则
长
（ ）
A．16
B．26
C．14
D．24
【变式训练8-2】已知抛物线
焦点为
，过
的直线与抛物
交于
线
两点（点
在第一象限），其准
与
线
交于点
轴
，若
段
线
的垂直平分
恰好
线
过
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式训练8-3】设
坐
原点，直
为
标
线
抛物
过
线
的焦点，且与
交于
两点，
为
的准
，
线则不正确的是（ ）
A．
B．
C．以
直径的
与
为
圆
相切
D．
的面积为
【变式训练8-4】已知抛物线
的焦点是
，直线
均
焦点
过
且互相垂直，则
的
是（
值
）.
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-5】已知抛物线
的焦点为
，准线为，点A，B 在上，直线AF 与抛物线
交于M，
N，
到准
的距离
线
为3，M，O，B 三点共
，若
线
，则
（ ）
A．1
B．9
C．1 或9
D．9 或18
【变式训练8-6】抛物线
的焦点为
，
焦点的直
过
线与抛物线
相交于
两点，
下列
则
法一定正确的是（
说
）
A．
的最小值为2
B．
段
线
直径的
与直
为
圆
线
相切
轴
C．
定
为
值
D．若
，则
【变式训练8-7】设
抛物
为
线
的焦点，
点
过
且
斜角
倾
为
的直
交
线
于
两点，
（ ）
A．12
B．10
C．9
D．6
【变式训练8-8】已知抛物线
：
的焦点为
，
点
过
的直线与
交于
，
两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为8
B．
C．若
的中点的
坐
纵
标为4，则
D．若
，则
【变式训练8-9】已知抛物线
，
焦点
过
的直
交抛物
于
线
线
两点（其中
在第一象限），且
足
满
，下列
法
的是（
说
错误
）
A．直线
的
斜角
倾
为
B．
C．
D．
【变式训练8-10】已知椭圆
的右焦点
是抛物线
的焦点，则过
作
斜角
倾
为45°的直线
分
交抛物
于
别
线
，
（
在
上方）两点，
轴
则
的
（
值为 ）
A．
B．
C．3
D．4
【变式训练8-11】已知直线
抛物
过
线
的焦点F，且与抛物
交于
线
A，B 两点，与抛物
的准
交于
线
线
C 点，
若
，则
等于（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【变式训练8-12】
斜角
设倾
为α 的直线l
抛物
经过
线C：
的焦点F，与抛物线C 交于A、B 两点，设A
在x
上方，点
轴
B 在x
下方．若
轴
，则
的
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-13】已知抛物线
的焦点为
，过
的直
与抛物
线
线C 交于点
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．12
D．
【变式训练8-14】直线/
抛物
经过
线C：
（
）的焦点F，与抛物线C 相交于A，B 两点，与y
相交于点
轴
M.
若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-15】已知抛物线C：
（
）的焦点为F，直线l 与C 相交于A、B 两点，与y
相交于点
轴
E．已
知
，
，若
的面
是
积
面
的
积
2 倍，
抛物
则
线C 的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-16】已知
抛物
过
线
的焦点
的直
与
抛物
相交于
线
该
线
两点，若
的面
与
积
（
坐
原点）的面
之比是
为
标
积
2，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-17】已知抛物线
的焦点为
为
上一点，且
在第一象限，直线
与
的准
交于点
线
，
点
过
且与
平行的直
与
轴
线
交于点
，若
，
段
则线
的
度
（
长
为 ）
A．4
B．
C．2
D．
【变式训练8-18】已知
抛物
过
线C：y2＝4x 的焦点F 的直线l 与C 交于M，N 两点，若MF
→
= 4 F N
→，
点
则
M 的横坐标
（ ）
为
A．2
B．4
C．5
D．6
【变式训练8-19】已知抛物线
的焦点为
，准线为，
点
过
作斜率为
的直
与
线
相交
于
两点，
弦
为
的中点，
于点
，
为
与
的交点，则不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，且
，则
的取
范
值
围为
【变式训练8-20】已知抛物线
：
的焦点为
，准线为，
、
是
上异于坐
原点的两点，若
标
，
过
的中点
作的垂
，垂足
线
为
，则
的最小
（
值为 ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式训练8-21】如
，
抛物
图过
线
焦点
的直线与抛物
交于
线
两点，且与圆
交
于
两点，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．1
C．
D．
【变式训练8-22】已知抛物线
：
的焦点为
，圆
：
，
点
过
的直线与抛物线
交于
，
两点，与圆
交于
，
两点，且点
，
在同一象限，则
的最小
（
值为 ）
A．8
B．12
C．16
D．20
【变式训练8-23】已知
抛物
过
线
的焦点F 的
直
交抛物
动
线
线C 于A，B 两点，Q
段
为线
的中
点，P
抛物
为
线C 上任意一点，若
的最小值为6，则
（ ）
A．2
B．3
C．6
D．
（二）多选题
【变式训练8-1】（多选）抛物
有如下光学性
：由其焦点射出的光
抛物
反射后，沿平行于抛物
称
线
质
线经过
线
线对
轴
的方向射出；反之，平行于抛物
称
的入射光
抛物
反射后必
抛物
的焦点．已知抛物
线对
轴
线经
线
过
线
线
的焦点为
坐
原点，一束平行于
为
标
的光
轴
线从点
射入，
抛物
上的点
经过
线
反射后，再
抛物
经
上另一点
线
反射后，沿直线
射出，
下列
中正确的是（
则
结论
）
A．
B．若点
，则
C．直线与
的距离最小
间
值为2
D．直线与直线
相交于点
，则
三点共线
【变式训练8-2】（多选）已知
是抛物线
上两
点，
动
抛物
为
线
的焦点，
（
则 ）
A．直线
焦点
过
，
时
最小值为4
B．直线
焦点
过
且
斜角
倾
为
（点
时
在第一象限），
C．若
中点
的横坐标为3，则
最大值为8
D．点
坐标
，且直线
斜率之和为
与抛物
的另一交点
线
为
，
直
，
则
线
方程
：
为
【变式训练8-3】已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，过F的直
与
线
C交于A ,B两点，且| AB|=10，AB的
中点到x
的距离
轴
为3，
下列
法正确的是（）
则
说
A．p=2
B．x1+ x2= 4 ❑√3
C．直线AB的斜率为±
❑√3
3
D．∆AOB的面积为2❑√3
【变式训练8-4】若直线
抛物
过
线
的焦点
，且与抛物线
交于
、
两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．
重心的横坐
的最小
标
值为
C．
D．以
段
线
直径的
被
为
圆
截得的弦
定
轴
长为
值
【变式训练8-5】（多选）已知抛物线
，焦点为
，过
的直
交
线
于点
，
，其中
在第一象
限，
在第四象限，
坐
原点，
接
为
标
连
交抛物
的准
于点
线
线
，
下列
法正确的是（ ）
则
说
A．
的最小
是
值
4
B．
C．直线
平行于
轴D．
的面
的最大
积
值为
【变式训练8-6】（多选）已知
，
是抛物线
上的两点，若直线
抛物
的焦
过
线
点
且
斜角
倾
为
.
下列命
正确的是（
则
题
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-7】（多选）已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
的直
与
线
交于
，
两点，
分别过
，
作的垂
，垂足
线
为
，
，
，
，
为
中点，
下列
正确的是（
则
结论
）
A．直线
的斜率为
B．
等腰直角三角形
为
C．
D．
，
，
三点共线
【变式训练8-8】（多选）已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
的直
交抛物
于
线
线
两点，线
段
的中点为
，
在上的射影分别为
，下列
正确的
（
结论
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-9】（多选）已知
，
是抛物线
上的两点，若直线
抛物
的焦
过
线
点
且
斜角
倾
为
.
下列命
正确的是（
则
题
）
A．
B．
C．
D．
（三）填空题
【变式训练8-1】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
且斜率为
的直线交抛物线
于
两点，则
段
线
的长为 ．
【变式训练8-2】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
且不与
垂直的直
与
轴
线
交于
两点，过
的中
点
作
的平行
交
轴
线
于
点，则
.
【变式训练8-3】
抛物
经过
线
的焦点
，
斜角
倾
为
的直线与
交于
，
两点，若
段
线
的中点
的横坐标为7，那么
__________．
【变式训练8-4】若圆
与抛物线
相交于A，B 两点，且弦AB
抛物
的焦点
过
线
F，则
___________.
【变式训练8-5】已知抛物线
的焦点为
，过
的直线与抛物线
交于
两点（
在第一象限），若
，
直
则
线的斜率为_______.
【变式训练8-6】
抛物
过
线
的焦点F 且斜率为
的直线l 交抛物
于点
线
A、B.若
，且
λ∈(
1
3 , 1
2)，则k 的取
范
值
围为 .
【变式训练8-8】
点
过
作抛物线
的两条切
，切点分
线
别为
和
，又直线
物
经过拋
线
的焦点
，那么
的最小值为_________．
题型09：抛物线中的面积问题
【典型例题1】已知抛物线
：
，过
作两条斜率存在的直
分
与
线
别
有一个公共点，公共点分别为
，
，则
的面
（
积为 ）
A．
B．5
C．2
D．
【答案】A
【分析】设
，
，由
数的几何意
求出点
导
义
的切
方程，同理可得
处
线
的切
方程，
处
线
即可求出直线
的方程，与
立，求出
联
，再由点到直
的距离公式求出点
线
到直线
的距离，即可求
出
的面积.
【
解】
详
设
，
，由
，得
，所以
，
所以在点
的切
方程
处
线
为
，即
，
又因
点
为
在
上，所以
，
所以得到点
的切
方程
处
线
为
，即
，
又因
点
为
的切
点
处
线过
，故
，
所以
，同理可得
，
所以直线
的方程为
.
立
联
整理得
，所以
，
，
所以
，
点
到直线
的距离为
，
所以
.
故
：
选A.
【典型例题2】如
，抛物
图
线
的焦点为
，
点
过
且斜率为1 的直
交抛物
线
线
于
两点，
段
线
的
中点为
，其垂直平分
交
线
于点
轴
于点
轴
，
四
形
则
边
的面
等于（
积
）
A．12
B．8
C．6
D．7
【答案】D
【分析】根据抛物
焦点坐
即可确定直
线
标
线
的方程，设
，根据直
斜率的坐
关系可
线
标
得
，所以
，作
于点
轴
，确定
的
，从而可得四
形
值
边
的面积.
【
解】抛物
详
线
的焦点
，
直
则
线
的方程为
，
因
四
形
为
边
梯形，且
为
，
设
，则
，
所以
，所以
，
作
于点
轴
，则
，
因
直
为
线
的斜率为1，所以
等腰直角三角形，
为
故
，
所以
，
所以四
形
边
的面积为
.
故
：
选D.
【典型例题3】（多选）
抛物
设
线
的焦点为
，直线
与抛物
相交于
线
，
两点，与
交于点
轴
，
，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．
C．
D．
与
的面
之比
积
为
【答案】BCD
【分析】先由抛物
焦半径公式
合
意得到
线
结
题
则
在第二象限，
在第一象限，且
，接着
立直
与抛物
方程
联
线
线
合
达定理求出
结
韦
和p 即可判断选项AB；
而求出点
进
A 和B 和C 即可
算求解判断
计
CD.
【
解】由
得
详
题
且
，
则
在第二象限，
在第一象限，且
，
立
联
，
则
，
所以
或
（舍去），
所以抛物线
，
，
，
所以可得
，
，
所以
，
直线
与
交于点
轴
，
所以
，
所以
.
所以A
，
错误BCD 正确.
故
：
选BCD.
【变式训练9-1】已知抛物线
的焦点为
，
焦点
过
的直
与抛物
线
线
交于点
．若
（
坐
为
原点），
标
则
的面
（
积为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2】已知抛物线
的焦点
到准线的距离为2，点
，
是直线与
的
轴
交点，
是
上一点，
点
过
作
于点
，
与
交于点
．若
为
的重心，则
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-3】已知抛物线
，其中
，
是
物
焦点
过拋
线
的两条互相垂直的弦，直线
的
斜角
倾
为
，当
，如
所示的“蝴蝶形
案（阴影区域）”的面
（
时
图
图
积为 ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【变式训练9-4】已知
斜角
倾
为
的直线
抛物
经过
线
的焦点，且与
交于不同的两点
，过
分
作直
别
线
的垂
，垂足分
线
别为
，若梯形
的面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-5】（多选）如
抛物
图
线
的
点
顶
为
，焦点为
，准线为，焦准距为
；抛物线
的
点
顶
为
，焦点也
为
，准线为
，焦准距为．
和
交于
两点，分别过
作直
与两准
垂直，垂足分
线
线
别为
，过
的直
与封
曲
线
闭
线
交于
两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．四
形
边
的面积为
C．
D．
的取
范
值
围为
【变式训练9-6】已知抛物线
的焦点为
，点
抛物
上的点，点
为
线
其准
上的点，且
足
为
线
满
．
若
，则
的面积为 ．
题型10：抛物线中的定点定值定直线问题
【典型例题1】已知直线l 与抛物线
交于不同的两点A，B，O
坐
原点，若直
为
标
线
的斜率之积为
，
直
则
线l 恒
定点（
过
）
A．
B．
C．
D．
【解析】
直
方程
设
线
为
，
立
联
，整理得：
，
需
足
满
，即
，则
，
由
，得：
，
所以
，即
，故
，
所以直线l
：
为
，当
，
时
，即直线l 恒
定点
过
，故
：
选A.
【典型例题2】
抛物
经过
线
的焦点
的直
交此抛物
于
线
线
，
两点，抛物
在
线
，
两点
的切
相交
处
线
于点
，
点
则
必定在直线 上．（写出此直
的方程）
线
【解析】抛物线
中
，焦点为
，
直
设
线
方程为
，代入抛物
整理得
线
，设
，
，则
，
．
由
得
，∴过
点切
斜率
线
为
，切
方程
线
为
，即
，同理过
点切
方程
线
为
，两式相除得
，整理得
，
解得
，所以点
在准线
上．
即点
在直线
上.
【典型例题3】已知抛物线
和直线
，点
直
为
线上的
点（不在
动
上），以点
轴
心且
原点
为圆
过
的
与直
圆
线交于
，
两点，若直线
，
与
的另一个交点分别为
，
，
直
记
线
，
的斜率分别为
，
，则
．
【解析】如
，
直
图设
线
，
的方程分别为
，
，则
，
，
，
因为
的直径，
为圆
，所以
．
立
联
，消去
得
，
，
，同理可得
，
，
，
，
．
【变式训练 8-2】已知点
，
不垂直于
设
的直
轴
线与抛物线
交于不同的两点
、
，若
是
轴
的角平分
，
直
线则
线一定
点（
过
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练 8-3】已知抛物线
，
其准
上的点
过
线
作
的两条切
，切点分
线
别为A、B，下列
法正确的是（
说
）
A．
B．当
，
时
C．当
，直
时
线AB 的斜率为2
D．直线AB
定点
过
【变式训练10-2-2】已知
、
、
是抛物线
上三个不同的点，且抛物
的焦点
线
是
的重心，
若直线
、
、
的斜率存在且分别为
、
、
，则
（ ）
A．3
B．
C．1
D．0
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物
上（异于
点），
线
顶
（点
坐
原点），
点
为
标
过
作直线
的垂
与
线
交于点
轴
，则
（ ）
A．6
B．
C．4
D．
【解析】法一：依
意，
题
设
，由
，得
为
的中点且
，
则
，易得直线
的垂线
的方程为
.
令
，得
，故
，由抛物
的定
易知
线
义
，
故
，故选:A.
法二：特殊
法
值
.不妨设
，则
，则
，易得直线
的垂线
的方程为
.令
，
得
，故
，又
，故
.故选:A.
【变式训练10-1】已知抛物线
的焦点为
，过
且不与
垂直的直
与抛物
相交于
轴
线
线
、
两点，
为
上一点，
足
轴
满
，则
（ ）
A．
定
为
值
B．
定
为
值
C．不是定
，最大
值
值为
D．不是定
，最小
值
值为
【变式训练10-2】
抛物
过
线
的焦点
的直线l 交抛物线
于
两点，若点P 关于x
称的点
轴对
为M，
直
则
线QM 的方程可能为
A．
B．
C．
D．
【变式训练 10-3】（多选）已知抛物线
的焦点为
，准线为，
、
是
上异于点
的两点（
坐
为
标
原点）
下列
法正确的是（
则
说
）
A．若
、
、
三点共
，
线则
的最小值为
B．若
，则
的面积为
C．若
，
直
则
线
定点
过
D．若
，过
的中点
作
于点
，则
的最小值为
【变式训练10-4】（多选）如
，
点
图过
作两条直线
和：
（
）分
交抛物
别
线
于
，
和
，
（其中
，
位于
上方），直
轴
线
，
交于点
．
下列
法正确的（
则
说
）
A．
，
两点的
坐
之
纵
标
积为
B．点
在定直线
上
C．点
与抛物
上各点的
中，
线
连线
最短
D．无论
旋
到什么位置，始
有
转
终
【变式训练10-5】（多选）已知抛物线
，
为
正半
上一点，
（
轴
轴
则 ）
A．存在点
，使得
点
过
任意作弦
，
有
总
定
为
值
B．不存在点
，使得
点
过
任意作弦
，有
定
为
值
C．存在点
，使得
点
过
任意作弦
，
有
总
定
为
值
D．不存在点
，使得
点
过
任意作弦
，有
定
为
值
【变式训练 10-6】设A、B
抛物
为
线
上的点，且
（O
原点），
直
为
则
线
必
的定点坐
过
标为
．
【变式训练10-7】已知AB，CD 是
抛物
过
线
焦点F 且互相垂直的两弦，则
的值为
.
题型11：抛物线中的最值问题
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，若
，
是抛物
上一
点，
线
动
则
的最小
（
值为 ）
A．
B．2
C．
D．3
【解析】根据
意
题
,作
如下：
图
点
设
P 在其准线x=-1 上的射影为A,由抛物
的定
得
线
义
:
.
所以要使
取得最小值,只需
最小.
因为
(当且
当
仅
M,P,A 三点共
取“
线时
=”),此
点
时
P 的
坐
纵
标为1,
其横坐
设
标为x0.
因为P(x0,1)
抛物
为
线
上的点,
有
则
，解得：
.
当P 为(
,1)时,
取得最小值2.故
：
选B．
【典型例题2】已知抛物线C：
的焦点为F，P 为C 上一点，下列
法正确的是（
说
）
A．抛物线C 的准
方程
线
为
B．直线
与C 相切
C．若
，则
的最小值为4
D．若
，则
的周
的最小
长
值为11
【解析】抛物线C：
，即
，
，
，设
，
对选项A：抛物线C 的准
方程
线
为
，正确；
对选项B：
，整理得到
，方程有唯一解，故相切，正确；
对选项C：
，
取等号，
；
时
错误
对选项D：
点
过
作
垂直于准
于
线
，
，当
共
等号成立，正确
线时
.
故
：
选ABD
【典型例题3】在平面直角坐
系
标
中，已知点
，
点
动
P
足：
点
满
过
作直线
的垂
，垂足
线
为
，且
，则
的最小值为 ．
【解析】设
点坐标为
，则
，
，又因为
，所以
，
由
，得
，所以
，
是抛物线
上的点，
设
，则
,
因为
，所以当
，
时
取最小
，此
值
时
．
【变式训练11-1】已知
是抛物线
上三个
点，且
动
的重心
抛物
的焦点
为
线
，若
，
两点均在
上方，
轴
则
的斜率的最小
（
值为 ）
A．1
B．
C．
D．
【变式训练11-2】已知
是抛物线
上的一个
点，
点
动
则
到直线
和
的距离之
和的最小
是（
值
）
A．3
B．4
C．
D．6
【变式训练11-3】
抛物
设
线
的准线为，定点
，
准
过
线上任意一点
作抛物
的切
线
线
，
切点，
原点
为
过
O 作
，垂足为H．
段
则线
MH
的最大
（
长
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-4】
，
是抛物线
上的两个
点，
动
坐
原点，当
为
标
，
时
的最小值为
（ ）
A．
B．4
C．8
D．64
【变式训练11-5】已知
抛物
过
线
焦点
的直线
交抛物
于
线
M、N 两点，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．6
【变式训练11-6】直线与抛物
：
线
交于
，
两点，
坐
原点，直
为
标
线
，
的斜率之积为-1，以
段
线
的中点
心，
为圆
半径的
与直
为
圆
线交于
，
两点，则
的最小
（
值为 ）
A．16
B．20
C．32
D．36
【变式训练11-7】（多选）已知抛物线C：
的焦点F 到准线l 的距离为4，
焦点
过
F 的直
与抛物
线
线
相交于
，
两点，
下列
中正确的是（
则
结论
）
A．抛物线C 的准线l 的方程为
B．
的最小值为4
C．若
，点Q
抛物
为
线C 上的
点，
动
则
的最小值为6
D．
的最小值
【变式训练11-8】（多选）已知点
在抛物线C：
上，过P 作圆
的两条
切
，分
交
线
别
C 于A，B 两点，且直线AB 的斜率为
，若F 为C 的焦点，
为C 上的
点，
动
N 是C 的准
与坐
线
标
的交点，
（
轴
则 ）
A．
B．
C．
的最大
是
值
D．
的最大
是
值
【变式训练11-9】（多选）已知
坐
原点，
为
标
抛物
为
线
上一点，直线
与
交于
两
点，过
作
的切
交于点
线
，
下列
正确的是（
则
结论
）
A．
B．若点
为
，且直线
与
斜角互
，
倾
补则
或
C．点
在定直线
上
D．设
点为
，则
的最小值为3
【变式训练11-10】已知
是抛物线
的焦点，
抛物
上的
点，且点
为
线
动
的坐标为
，则
的最大
是
值
.
【变式训练11-11】已知点
，
点
动
在函数
的
像上，
点
图
动
在以
心半径
为圆
为2 的圆
上，则
的最小值为 .
题型12：抛物线中的切线及切点弦
【典型例题1】抛物
有一个重要的性
：从焦点出
的光
抛物
上的一点反射后，反射光
平行于抛物
的
线
质
发
线经过
线
线
线
称
，此
反射面
抛物
在
点
的切
对
轴
时
为
线
该
处
线.
抛物
过
线
上的一点
（异于原点
）作
的切线，过
作
的平行
交
线
（
为
的焦点）于点
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据
意，反射光
题
线
，和
轴
，得到
，即
，列出方程，求得
的
，
值
即可求解.
【
解】由抛物
详
线
，可得焦点为
，
如
所示，由光学性
，入射光
图
质
线
，
反射光
则
线
，所以
轴
，
又因为
，所以
，
因为
，
轴
，则
，所以
，
即
，所以
，解得
.故
：
选A
【典型例题2】（多选）已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物
上，
线
，设
直线
抛物
为
线
在点
的切
，
点
处
线过
作
的垂
交抛物
于另一点
线
线
，若
，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．直线
的斜率为
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物
定
判断
线
义
A，根据
数的几何意
求切
斜率可判断
导
义
线
B，
立直
与抛物
方程，由根与系数的关
联
线
线
系判断C，根据不等式的性
及抛物
的定
判断
质
线
义
D.
【
解】
于
详
对
选项A，因为
，解得
，所以选项A
，
对
因为
，即
，则
，
所以抛物
在点
线
的切
方程
处
线
为
，
直线
的斜率为
，所以选项B
；
错
由
，消
得到
，
则
，得到
，所以选项C 正确；
于
对
选项D，因为
，
得到
，所以当
，
时
，
又
，所以
，则
，故选项D 正确．
故
：
选ACD
【典型例题3】已知点
是抛物线
的焦点，点
抛物
为
线
的
称
与其准
的交点，
对
轴
线
过
作抛物线
的切
，切点
线
为
，若点
恰好在以
、
焦点的双曲
上，
双曲
的离心率
为
线
则
线
为__________
【分析】由抛物
方程得到
线
坐
；
标设过
的抛物线
的切
方程
：
线
为
，
立直
与抛物
的方程，利用判
式得出
联
线
线
别
的
，不妨
值
设
，
利用抛物
焦半径公式求得
线
，勾股定理求出
；由双曲
定
可知
线
义
，又焦距
，可求得离心率.
【
解】由
意，得
详
题
、
，设过
的抛物线
的切
方程
：
线
为
，
立得：
联
，得
，令
，得
，
即
，不妨设
，由双曲
的定
得
线
义
，
，
双曲
的离心率
则该
线
为
，．
【点睛】关
点睛：本
考
双曲
离心率的求解，涉及到抛物
焦半径公式的
用、
某一点曲
切
的求解、双曲
键
题
查
线
线
应
过
线
线
定
的
用等知
；关
是利用
立直
与抛物
的方程，利用判
式得出
线
义
应
识
键
联
线
线
别
的
，从而得到所需的焦半径的
度
值
长
.
【变式训练12-1】已知点P 在抛物线
上，
点
过
P 作抛物线
的切线，
，切点分别为M，
N，若
，且
，则C 的准
方程
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-21】设
，
，
，
抛物
为
线
上不同的四点，点
，
关于
抛物
的
称
称，
该
线
对
轴对
平
行于
抛物
在点
该
线
的切
处
线，
点
设
到直线
和直线
的距离分别为
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-3】已知P
直
为
线
上一
点，
点
动
过
P 作抛物线
的两条切
，切点
线
记为A，B，
原
则
点到直线
距离的最大
（
值为 ）
A．1
B．
C．
D．2
【变式训练12-4】已知抛物线
2
:
2
(
0)
E x
py p
，O
坐
原点，点
为
标
A 在直线
2
y
p
上，
点
过
A 作E 的两条切
，
线
切点分别为P，Q，若AP，AQ 分
交
别
x
于
轴
B，C 两点，则
|
| |
|
OB
OC
（ ）
A．
2
p
B．
2
2p
C．
2
2
p
D．
2
4
p
【变式训练12-5】已知
点
过
的直
交抛物
线
线
于
，
两点，
点
过
，
分
作抛物
别
线
的切
，
线
两条切
交于点
线
，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-6】已知抛物线
的焦点为
，准线为
抛物
上一点，
点
为
线
过
作直线
于点
，且
的内心
，则
内切
的面
（
圆
积为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-7】（多选）已知抛物线
2
4
y
x
的焦点为F，C 是直线
2
x 上一点，
点
过
C 作抛物
的两条切
与
线
线
抛物
分
切于点
线
别
A，B，
接
连
AF，BF，
直
设
线AB 与x
交于点
轴
P，直线CF 与直线AB 交于点D，（ ）
A．
2,0
P
B．
AF
CF
CF
BF
C．
AF
AD
BF
BD
D．
AC
AP
BC
BP
【变式训练12-8】抛物线
：
的焦点为
，点
在抛物线
上，且
，点
在直线：
上，过
向抛物线
引两条切线PQ，PR，切点分别为
，
，
点
过
引直线QR 的垂
，垂足
点
线
为
，
直
则
线FH 的斜率的取
范
是
值
围
.
【变式训练12-9】写出与椭圆
和抛物线
都相切的一条直
的方程
线
为 .
题型13：抛物线中的阿基米德三角形
【典型例题1】阿基米德（Archimedes，公元前287 年-公元前212 年），出生于古希腊西西里
叙拉古（今意大利西西
岛
里
上），
大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛
并称
世界三大数学家．有一
三角形叫做
岛
伟
顿
为
类
阿基米德三角形
（
抛物
的弦与
弦端点的两切
所
成的三角形），他利用“通近法”得到抛物
的弦与抛物
所
成的封
形
过
线
过
线
围
线
线
围
闭图
的面
等于阿基米德三角形面
的
积
积
（即右
中阴影部分面
等于
图
积
面
的
积
）．若抛物
方程
线
为
，且直线
与抛物
成封
形的面
线围
闭图
积为6，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】D
【分析】根据
目所
条件可得阿基米德三角形的面
，再利用三角形面
公式即可求解
题
给
积
积
.
【
解】由
意可知，当
焦点的弦垂直于
详
题
过
x
，即
轴时
，
时
，即
，
故
：
选D．
【典型例题2】
抛物
过
线
的焦点
作抛物
的弦与抛物
交于
线
线
、
两点，
为
的中点，分别过
、
两点作抛物
的切
线
线
、
相交于点
.
又常被称作阿基米德三角形.下面关于
的描述：
①
点必在抛物
的准
上；
线
线
②
；
③设
、
，则
的面积
的最小值为
；
④
；
⑤
平行于
轴.
其中正确的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作出
形，
点
图
设
、
，
直
设
线
的方程为
，将直线
的方程与抛物
方程
立，
线
联
列出
达定理，求出直
韦
线
、
的方程，求出点
的坐
，可判断①的正
；利用直
标
误
线
、
斜率的关系可判断②的
正
；
算出
误计
的面积
的表达式，可判断③的正
；利用直
误
线
、
的斜率关系可判断④的正
；求出直
误
线
的斜率，可判断⑤的正误.
合可得出
综
结论.
【
解】先
明出抛物
详
证
线
在其上一点
的切
方程
处
线
为
.
明如下：
证
由于点
在抛物线
上，则
，
立
联
，可得
，即
，
，
所以，抛物线
在其上一点
的切
方程
处
线
为
.
如下
所示：
图
设
、
，
直
设
线
的方程为
，
立
联
，消去
得
，
由
达定理可得
韦
，
，
于命
①，抛物
对
题
线
在点
的切
方程
处
线
为
，即
，
同理可知，抛物线
在点
的切
方程
处
线
为
，
立
联
，解得
，所以点
的横坐标为
，
即点
在抛物
的准
上，①正确；
线
线
于命
②，直
对
题
线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
，
所以，
，②正确；
于命
④，当
对
题
垂直于
，由抛物
的
称性可知，点
轴时
线
对
抛物
的准
与
为
线
线
的交点，此
轴
时
；
当
不与
垂直
，直
轴
时
线
的斜率为
，
直线
的斜率为
，
，则
.
上，
综
，④正确；
于命
③，
对
题
，
，
所
以
，
，
当且
当
仅
，等号成立，③
；
时
错误
于命
⑤，当
对
题
垂直于
，由抛物
的
称性可知，点
轴时
线
对
抛物
的准
与
为
线
线
的交点，此
直
轴
时
线
与
轴
重合，⑤错误.
故
：
选B.
【典型例题3】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形．阿基米德三角形有
线
过
线
围
为
一些有趣的性
，如：若抛物
的弦
焦点，
弦的端点的两条切
的交点在其准
上．
抛物
质
线
过
则过
线
线
设
线
，
弦AB
焦点，
过
其阿基米德三角形，
为
则
的面
的最小
积
值为 ．
【答案】
【分析】设
，
直
设
线
的方程
：
为
，代入抛物
方程，由
达定理可得
线
韦
，
点
设过
的切
方程
线
为
，与抛物
方程
立，利用判
式得
线
联
别
，则
点
过
A 的切
方程分
：
线
别为
，同理可得
点
过
的切
斜率
线
为
，
点
过
B 的切
方程
：
线
为
，可得
，可
得
证
，则
的面积
，
合
形特征，可得
结
图
面
的最小
．
积
值
【
解】
详
设
，直线
，
立
联
，整理得
，则
．
点
设过
的切
方程
线
为
，
立
联
，整理得
，
由
，可得
，
点
则过
A 的切
方程分
：
线
别为
，即
，即
，即
，
同理可得
点
过
的切
斜率
线
为
，
点
过
B 的切
方程
：
线
为
，
因
两条切
的交点
为
线
在准
上，所以
线
，
两式相减得
，
，
，可得
，
，又因
直
为
线
的斜率为
，
（
也成立），
如
，
准
与
图设
线
的交点
轴
为
，
的面积
，
当
，
轴时
最短（最短为
），
也最短（最短为
），
此时
的面
取最小
积
值
．
故答案
：
为
．
【变式训练13-1】抛物
上任意两点
线
，
的切
交于点
处
线
，称
“阿基米德三角形”，当
段
为
线
抛物
经过
的焦点
线
，
时
具有以下特征：
①
点必在抛物
的准
上；②
线
线
．
若
抛物
经过
线
的焦点的一条弦为
，“阿基米德三角形”为
，且点
的
坐
纵
标为4，
直
则
线
的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-2】已知抛物线
：
的焦点为
，准
与
线
交于点
轴
，点
在第一象限且在抛物线
上，
当
则
取最大
，直
值时
线
方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-3】
曲
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形叫做阿基米德三角形，
抛物
焦点
圆锥
线
过
线
围
过
线
作
抛物
的弦，与抛物
交于
线
线
，
两点，分别过
，
两点作抛物
的切
线
线
，
相交于点
，那么阿基米德三角形
足以下特性：①点
满
必在抛物
的准
上；②
线
线
直角三角形，且
为
直角；③
为
，已知
为
抛物线
的准
上一点，
阿基米德三角形
线
则
面
的最小
（
积
值为 ）
A．
B．
C．2
D．1
【变式训练13-4】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形．阿基米德三角形
线
过
线
围
为
有一些有趣的性
，如：若抛物
的弦
焦点，
弦的端点的两条切
的斜率之
定
．
抛物
质
线
过
则过
线
积为
值设
线
，弦AB
焦点，△
过
ABQ
阿基米德三角形，
△
为
则
ABQ 的面
的最小
（
积
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-5】已知直线
与抛物线
交于A，B 点，若
，
抛物
的“阿基米德三角形”
则
线
的面
（ ）
积为
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-6】（多
）
选抛物
的弦与
弦端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形，阿基米德三
线
过
线
围
为
角形有一些有趣的性
，如：若抛物
的弦
焦点，
弦的端点的两条切
的交点在其准
上．
抛物
质
线
过
则过
线
线
设
线
，
弦
焦点
过
为
的中点，
坐
原点，
为
标
其阿基米德三角形，
（
为
则 ）
A．存在点
，使得
B．任意点
，都有
C．任意点
，都有
D．
面
的最小
积
值为4
【变式训练13-7】（多选）抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物
线
过
线
围
线
，阿基米德三角形
，弦
过
的焦点
，其中点
在第一象限，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．点
的
坐
纵
标为
B．
的准
方程
线
为
C．若
，则
的斜率为
D．
面
的最小
积
值为16
【变式训练13-8】（多选）古希腊著名数学家阿波
尼斯（
公元前
罗
约
262 年至前190 年）与欧几里得､阿基米德
名
齐
，
著有《
曲
》八卷．他
平面内到两个定点的距离之比
定
圆锥
线论
发现
为
值
的点所形成的
形是
．后来人
将
图
圆
们
这
个
以他的名字命名，称
阿波
尼斯
．已知在平面直角坐
系
圆
为
罗
圆
标
中，
．点
足
满
，设
点
的
迹
曲
轨
为
线
，下列
正确的是（
结论
）
A．曲线
的方程为
B．曲线
的周长为
C．曲线
上的点到直线
的最小距离为
D．若点
抛物
为
线
上的
点，抛物
动
线
的焦点为
，则
的最小值为2
【变式训练13-9】（多选）阿基米德是
大的物理学家，更是
大的数学家，他曾
高中教材中的抛物
做
系
伟
伟
经对
线
过
而深入的研究，定
了抛物
阿基米德三角形：抛物
的弦与弦的端点
的两条切
成的三角形称
抛物
阿基
统
义
线
线
处
线围
为
线
米德三角形.
抛物
设
线
：
上两个不同点
横坐
分
标
别为
，
，以
切点的切
交于
为
线
点.
关于阿基
则
米德三角形
的
法正确的有（
说
）
A．若
抛物
的焦点，
过
线
则
点一定在抛物
的准
上
线
线
B．若阿基米德三角形
正三角形，
其面
为
则
积为
C．若阿基米德三角形
直角三角形，
其面
有最小
为
则
积
值
D．一般情况下，阿基米德三角形
的面积
【变式训练13-10】(多选）若
点
过
可以作抛物
的两条切
，切点分
是
线
线
别
，
称
则
“阿基米德三角形”
为
．
已知抛物线
的焦点为
，过
的直线交
于
两点，以
点的“阿基米德三角形”
为顶
为
，则
（ ）
A．点
的横坐标为
B．
C．
D．
面
的最小
积
值为16
【变式训练13-11】(多选）抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形称
阿基米德三角形
线
过
线
围
为
.
抛物
设
线
，弦
焦点
过
其阿基米德三角形，
下列
一定成立的是（
为
则
结论
）
A．存在点
，使得
B．
C．
于任意的点
对
，必有向量
与向量
共线
D．
面
的最小
积
值为
【变式训练13-12】(多选）
曲
的弦与
弦端点的两条切
所
成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如
圆锥
线
过
线
围
图
是抛物线
（
）的阿基米德三角形，弦
焦点
经过
，（其中
点在
点上方），
，
均
垂直于准线，且
，
垂足，
下列
法正确的有（
为
则
说
）
A．以
直径的
必与准
为
圆
线相切
B．
定
为
值4
C．
点
设
，则
周
的最小
长
值为
D．若弦
的
斜角
角，
倾
为锐
则
的最小值为
【变式训练13-13】(多选）如
，
图
阿基米德三角形
为
.抛物线
上有两个不同的点
，以A，B
切点的抛物
的切
为
线
线
相交于点P.
出如下
，其中正确的
（
给
结论
为 ）
A．若弦
焦点，
过
则
直角三角形且
为
B．点P 的坐
是
标
C．
的边
所在的直
方程
线
为
D．
的边
上的中
与
线
y
平行（或重合）
轴
【变式训练13-14】(多选）抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形，
三角
线
过
线
围
为
该
形以其深刻的背景、丰富的性
生了无
的魅力．
抛物
质产
穷
设
线
（
），弦
焦点
过
，
其阿基米
为
德三角形，
下列
一定成立的是（
则
结论
）
A．点
在抛物线
（
）的准线
上
B．存在点
，使得
C．
D．
面
的最小
积
值为
【变式训练13-15】(多选）抛物
的弦与弦的端点
的两条切
形成的三角形称
阿基米德三角形，
三角形以其
线
处
线
为
该
深刻的背景､丰富的性
生了无
的魅力
质产
穷
.设
是抛物线
上两个不同的点，以
切
为
点的切
交于
线
点.若弦
点
过
，
下列
法正确的有（ ）
则
说
A．
B．若
，则
点
的切
方程
处
线
为
C．存在点
，使得
D．
面
的最小
积
值为4
【变式训练13-16】(多选）双曲
具有以下光学性
：从双曲
的一个焦点
出的光
，
双曲
反射后，反射光
线
质
线
发
线经
线
线
的反向延
双曲
的另一个焦点．由此可得：
双曲
上任意一点的切
平分
点与两焦点
的
角．已知
长线经过
线
过
线
线
该
连线
夹
O
坐
原点，
为
标
分
双曲
别为
线
的左、右焦点，过C 右支上一点
作双曲
的切
线
线
交x
于点
轴
，
（
则 ）
A．
B．平面上点
的最小值为
C．若
左焦点
经过
的入射光
点
线经过
A，且
，
入射光
与反射光
的
角
则
线
线
夹
为
D．
点
过
作
，垂足为H，则
【变式训练13-17】阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的
用．在
曲
中，
曲
应
圆锥
线
圆锥
线
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物
过
线
围
线
的焦点为
，
点
顶
为
，斜率为
的直线
点
过
且与
交于
两点，若
阿基米德三角形，
为
则
．
【变式训练13-18】抛物
的弦与
弦端点的两条切
所
成的三角形被称
阿基米德三角形．
抛物
线
过
线
围
为
设
线为
，
弦AB
焦点，
过
阿基米德三角形，
为
则
的面
的最小
积
值为 ．
题型14：抛物线中的四心
【典型例题1】已知
是抛物线
上三个
点，且
动
的重心
抛物
的焦点
为
线
，若
，
两点均在
上方，
轴
则
的斜率的最小
（
值为 ）
A．1
B．
C．
D．
【解析】依
意，
题
设
，
，
，由
，
在
上方，故
轴
，
，
因
抛物
为
线为
，所以
，
则
，所以
，则
，
注意到
，故
，即
，
又
，代入可得
，
故
，即
，解得
，
当且
当
仅
，等号成立，因而
时
.故
：
选B.
9．在平面直角坐
系
标
xOy 中，
点
过
的直线l 与抛物线C：
交于A，B 两点，点
段
为线
AB 的中点，且
，
下列
正确的
（
则
结论
为 ）
A．N 为
的外心
B．M 可以为C 的焦点
C．l 的斜率为
D．
可以小于2
【解析】
由
可得
，则N 为
的外心，A 正确；
易得直线斜率不为0，设
，
，
立
联
可得
，
，则
，则
，由
可得
，
即
，则
，
焦点
则
为
，B
；
错误
由
作差得
，即
，C 正确；
，则
，D 错误.
故
：
选AC.
【典型例题2】已知
是抛物线
上的两个点，O
坐
原点，若
为
标
且
的垂心恰是抛
物
的焦点，
直
线
则
线
的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由点
是抛物线
上的两点，且
，
根据抛物
的
称性，可得
线
对
关于
称，
轴对
直
设
线
的方程为
，则
，
因为
的垂心恰好是抛物
的焦点
线
，
所以
，可得
，即
，
解得
，即直线
的方程为
.故
：
选C.
【变式训练14-1】已知F
抛物
为
线
的焦点，A，B，C
抛物
上的三点，
为该
线
O
坐
原点，
为
标
，
，
面
分
积
别为
，若F 为
的重心，且
，
抛物
的方程
（
则该
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练14-2】抛物线
的焦点为
，点
、
、
在
上，且
的重心为
，则
的取值
范围为
A．
B．
C．
D．
【变式训练14-3】已知抛物线
上有三点
，
，
，
的垂心在
上，
轴
，
两点的
坐
分
纵
标
别为
，
，
点
则
的
坐
（
纵
标为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练14-4】
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在直线
上的射影为
，若
的垂心在抛物线
上，则
的面
（
积为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练14-5】（多选)已知
抛物
为
线
上的三个点，焦点F 是
的重心．
直
记
线AB，
AC，BC 的斜率分别为
，
（
则 ）
A．
段
线
BC 的中点坐标为
B．直线BC 的方程为
C．
D．
【变式训练14-6】（多选)已知
的三个
点
顶
均在抛物线
上，
下列命
正确的有（
则
题
）
A．若直线BC
点
过
，
存在点
则
A 使
直角三角形；
为
B．若直线BC
点
过
，
存在
则
使抛物线
的焦点恰为
的重心；
C．存在
，使抛物线
的焦点恰为
的外心；
D．若边AC 的中线
，
轴
，则
的面积为
【变式训练14-7】（多选)
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在准
上的射影
线
为
，
下列
正确的有（
则
结论
）
A．点
的中点在
上
轴
B．
的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物
上
线
C．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
D．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
等
三角形
为
边
【变式训练14-8】（多选)已知抛物线
的焦点为
，点
，
，
抛物
上不与
为
线
重合的
点，
动
坐
原点，
下列
法中，正确的有（
为
标
则
说
）
A．若
中点
坐
纵
标为2，则
的斜率为2
B．若点
恰为
的垂心，则
的周长为
C．若
与
的
斜角互
，
倾
补则
的斜率恒为
D．若
，则
点
坐
的取
范
是
纵
标
值
围
【变式训练14-9】（多选)
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在准
上的射影
线
为
，
下列
正确的有（
则
结论
）
A．点
的中点在
上
轴
B．
的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物
上
线
C．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
D．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
等
三角形
为
边
【变式训练14-10】已知
的
点
顶
，
，
点
顶
A 在抛物线
上运
，
动则
的重心G 的
迹
轨
方程为 ．
【变式训练14-11】已知抛物线
上三点
足：
满
的重心是
，
直
则
线
的斜
率之和
为 ．
【变式训练14-12】已知抛物线
，
定点
过
的
直
动
线与抛物线
交于
两点，
是坐标
平面内的
点，且
动
的重心
坐
原点
为
标
.若
的最小值为1，则
.
【变式训练14-13】在直角坐
系
标
xOy 中直线
与抛物线C：
交于A，B 两点．若D
直
为
线
外
一点，且
的外心M 在C 上，则M 的坐
标为 ．
题型15：抛物线中的斜率问题
【典型例题1】已知
抛物
为
线
的焦点，过
的直线与抛物
交于
线
，
两点，若在
半
上存在一点
轴负
轴
，使得
角，
为锐
则
的取
范
（
值
围为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由
意知
题
，
直
设
线
的方程为
，由
，
得
．设
，
，
则
，
，所以
，
．
因为
角，所以
为锐
恒成立，即
，
整理得
，所以
，
而
，所以
于任意
对
恒成立，所以
．
由
，解得
，所以
的取
范
值
围为
．故选:A．
【典型例题2】已知点
，抛物线
的焦点为F，过F 的直线l 交C 于P，Q 两点，
（
则 ）
A．
的最大值为
B．
的面
最小
积
值为2
C．当
取到最大
，直
值时
线AP 与C 相切
D．当
取到最大
，
值时
【解析】抛物线
的焦点
，准
方程
线
为
，设
，
然直
显
线不垂直于
，
直
轴设
线的方程
：
为
，
由
消去x 得：
，则
，
于
对
A，
然
显
，
，
当且
当
仅
取等号，
时
A 正确；
于
对
B，
的面积
，
当且
当
仅
取等号，
时
B
；
错误
于
对
C，由选项A 知，当
最大
，点
时
，此
直
时
线
方程为
，
由
消去x 得：
，
，直线AP 与C 相切，C 正确；
于
对
D，由选项C 知，当
最大
，
时
，
然
轴显
，
即
，
，D 错误.
故
：
选AC
【典型例题3】已知
是抛物线
上一点，
是抛物
的焦点，若点
线
足
满
，则
的取
范
是
值
围
．
【解析】由
可知，抛物
题
线
的焦点坐标
，且
，
由于
是抛物线
上一点，则
，
，
，
，
且
，解得：
，
所以
的取
范
是
值
围
.
【变式训练15-1】若抛物线
上存在不同的两点关于直线
称，
数
对
则实
p 的取
范
是
值
围
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-2】已知抛物线
的焦点
与双曲线
的右焦点重合，斜率为
的直线与
的
两个交点为
，
.若
，则
的取
范
是（
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-3】在平面直角坐
系
标
中，若抛物线
的准
与
线
圆
相切于点
，直
线
与抛物线
切于点
，点
在圆
上，则
的取
范
（
值
围为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-4】已知抛物线
的焦点为
，过
的直线交
于点
，分
在点
别
作
处
的两条切线，
两条切
交于点
线
，则
的取
范
是（
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-5】已知点
在抛物线
上，且抛物
上存在不同的两点
线
，
，使得直线
，
的斜率
，
足
满
，若
段
线
的中点为
，
坐
原点，
直
为
标
则
线
的斜率的取
范
是
值
围
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-6】已如抛物线
的焦点是
，点
是其准
上一个
点，其中
线
动
．
点
过
且斜率为
的直线
与抛物线
交于A，
两点，
点
过
的直线
交抛物线
于
，
两点．若
，
直
则
线
的斜率
的取
范
（
值
围为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-7】（多选）已知
是抛物线
内一
点，直
动
线
点
过
且与抛物线
相交于
两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
，
时
的最小值为
B．的取
范
是
值
围
C．当点
是弦
的中点
，直
时
线
的斜率为
D．当点
是弦
的中点
，
时
上存在一定点
轴
，都有
【变式训练15-8】（多选）已知抛物线C：
的焦点为F，P，Q 为C 上两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．若
，则
的最小值为4
B．若
，记
，则
C．
点
过
与C 只有一个公共点的直
有且
有两条
线
仅
D．以PQ
直径的
与
为
圆
C 的准
相切，
直
线
则
线PQ 过F
【变式训练15-9】（多选）设
是抛物线
：
上的两点，
是坐
原点，下列
成立的是（
标
结论
）
A．若直线
抛物
的焦点
过
线
，则
的最小值为1
B．有且只有两条直
点
线过
且与抛物线
只有一个公共点
C．若
，则
定
为
值
D．若
，则
【变式训练15-10】已知斜率为
的直线与抛物线
交于
上方不同的两点
轴
、
，
直
记
线
、
的斜率分别为
、
，则
的取
范
是
值
围
.
【变式训练15-11】已知抛物线
方程为
，
其焦点，
点
为
过
的直线与抛物线
交于
、
两点，且抛物
在
线
、
两点
的切
分
交
处
线
别
于
轴
、
两点，则
的取
范
值
围为 ．
【变式训练15-12】如
，已知抛物
图
线
，点
抛物
上一
点，以
为
线
动
C
心的
为圆
圆过
定点
，且
与x
交于
轴
M，N 两点（M 点在N 点的左
），
侧
则
的取
范
是
值
围
．
题型16：抛物线与向量
【典型例题1】抛物线
的焦点为
，
点
过
的直
交抛物
于
线
线
两点，点
平面上任意一点，
为
坐
为
标
原点，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【解析】由
意易知直
题
线
的斜率存在，设
，
，
因
抛物
为
线
的焦点为
，所以不妨
直
设
线
的方程为
，
立
联
，消去
，得
，则
，故
，
，
则
，
所以
.故
：
选B.
【典型例题2】已知抛物线C 的方程为
，过C 焦点F 的直
与
线
C 交于M，N 两点，直线MO 与C 的准
交于
线
Q
点（其中O
坐
原点），
为
标
P 为C 准
上的一个
点，下列
正确的是（
线
动
选项
）
A．当直线MN 垂直x
，弦
轴时
MN 的
度最短
长
B．
定
为
值
C．当PM 与C 的准
垂直
，必有
线
时
D．至少存在两个点P，使得
【解析】如
所示，由抛物
图
线
，可得焦点
，准
方程
线
为
，
设
，直线
的方程为
，
立方程
联
组
，整理得
，可得
，
，
于
对
A 中，由
，
当且
当
仅
，即
时
，等号成立，此
时
时
垂直于
，所以
轴
A 正确；
于
对
B 中，由
，所以B 正确；
于
对
C 中，直线
的方程为
，令
，可得
，
所以
，所以
，所以C
；
错误
于
对
D 中，由抛物
的定
知，直角梯形
线
义
的中位线
，
即以
直径的
与抛物
的准
相切于点
为
圆
线
线
，所以
足
满
的点恰好有一个，所以D 错误.
故
：
选AB.
【典型例题3】已知抛物线
的焦点为F，过F 的直线与抛物
交于
线
A，B 两点，且
，O
坐
原
为
标
点，则
的面积为 .
【解析】由已知得
，
直
设
线的方程为
，
代入
整理得
，设
，
，
故
①，
②，
又
，故
③，由①②③解得
，
此
，
时
，点O 到直线
的距离为
，
故
的面积为
.
【变式训练16-1】已知直线
与抛物线
交于
两点，与圆
交于
两点，
在
的同
，
轴
侧则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练16-3】已知抛物线
的焦点为
，
点
动
在
上，圆
的半径为1，
点
过
的直
与
线
圆
相
切于点
，则
的最小
（
值为 ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式训练16-4】在平面直角坐
系
标
中，若抛物线
的准
与
线
圆
相切于点
，直
线
与抛物线
切于点
，点
在圆
上，则
的取
范
（
值
围为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练16-5】已知
抛物
过
线
的焦点F 的直线l 交抛物
于
线
A，B 两点，若D
段
为线
AB 的中点，
接
连
OD 并延
交抛物
长
线C 于点M，若
，则
的取
范
是（
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练16-6】已知抛物线
，直线
交抛物线
于
两点，
是
的中点，过
作
的
轴
垂
交抛物
线
线
于点
，且
，若
，则k
（
为 ）
A．
B．
C．
D．2
【变式训练16-7】（多选)已知点A 是抛物线
上的
点，
动
坐
原点，
为
标
焦点，
为
，且
三点
排列，
（
顺时针
则 ）
A．当点
在
上
，
轴
时
B．当点
在
上
，点
轴
时
A 的坐标为
C．当点A 与点
关于
称
，
轴对
时
D．若
，
点
则
A 与点
关于
称
轴对
【变式训练16-8】（多选)抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形称
阿基米德三角形
线
过
线
围
为
.
抛物
设
线
，弦
焦点
过
其阿基米德三角形，
下列
一定成立的是（
为
则
结论
）
A．存在点
，使得
B．
C．
于任意的点
对
，必有向量
与向量
共线
D．
面
的最小
积
值为
【变式训练16-9】已知F 是抛物线
的焦点，M 是C 上一点，FM 的延
交
长线
y
于点
轴
N，若
，
则
【变式训练16-10】已知抛物线C：
的焦点为F，准线为，
点
经过
F 的直
与抛物
线
线C 相交A，B 两点，与x
相交于点
轴
M，若
，
，则
.
【变式训练16-11】已知抛物线
与圆
，
抛物
的焦点
过
线
作斜率为
的直线与抛物
交于
线
两点，与
交于
圆
两点（
在
的同一
），若
轴
侧
，则
的
是
值
．
题型17：抛物线与导数
【典型例题】（多
）
点
选过
P(2,0)的直
与抛物
线
线C：y
2= 4 x交于A ,B两点．抛物线C在点A
的切
与直
处
线
线x =−2
交于点N，作NM ⊥AP交AB于点M，
（
则 ）
A．直线NB与抛物线C 有2 个公共点
B．直线MN恒
定点
过
C．点M的
迹方程是
轨
(x−1)
2+ y
2=1(x≠0)
D．|MN|
3
|AB|
的最小值为8 ❑√2
【答案】BCD
【分析】
出直
设
线AB的方程为x =ty +2，代入y
2= 4 x，然后写出切
方程，
合
达定理可判断
线
结
韦
AB；根据B 可得M的
迹方程，从而判断
轨
C；利用弦
公式及点到直
的距离公式表示出
长
线
|MN|
3
|AB|
，然后利用
数的知
求出最
而判断
导
识
值进
D.
【
解】
直
详
设
线AB的方程为x =ty +2，A(
y1
2
4 , y1),B(
y2
2
4 , y2)
立
联
¿，消去x得y
2−4 ty −8=0，则y1+ y2= 4 t , y1 y2=−8，
于
对
A：抛物线C在点A
的切
处
线为y1 y =2(x + y1
2
4 )，
当x =−2
得
时
y = y1
2 −4
y1
= y1
2 −4
−8
y2
= y1
2 + y2
2 =2t，即N (−2,2t )，
所以直线NB的方程为y −y2=
y1
2 −4
y1
−y2
−2−y2
2
4
(x−y2
2
4 )，整理得y =−y1
4 x−4
y1
，
立
联
¿，消去x的y
2+ 16
y1
y + 64
y1
2 =0，解得y =−8
y1
，即直线NB与抛物线C 相切，A
；
错误
于
对
B：直线MN的方程为x +2=−1
t
( y −2t )，整理得x =−y
t
，此
直
时
线MN恒
定点
过
(0,0)，B 正确；
于
对
C：又选项B 可得点M在以
段
线
OP
直径的
上，点
为
圆
O除外，故点M的
迹方程是
轨
(x −1)
2+ y
2=1(x ≠0)，C 正
确；
于
对
D
：
|MN|=|−2−2t
2−2|
❑√1+t
2
= 2(t
2+2)
❑√1+t
2 ，
|AB|=
❑√1+t
2❑√( y1+ y2)
2−4 y1 y2=
❑√1+t
2❑√16t
2+32= 4
❑√1+t
2❑√t
2+2
则|MN|
3
|AB| = (
2(t
2+2)
❑√1+t
2 )
3
4
❑√1+t
2❑√t
2+2
= 2(t
2+2)
5
2
(1+t
2)
2
，
令❑√t
2+2=m,m≥❑√2，
则|MN|
3
|AB| =
2m
5
(m
2−1)
2，
设f (m)=
2m
5
(m
2−1)
2 ,m≥❑√2，
则f
' (m)= 10m
4(m
2−1)
2−8m
6(m
2−1)
(m
2−1)
4
= 2m
4(m
2−1)(m
2−5)
(m
2−1)
4
，
当m>❑√5
，
时f
' (m)>0，f (m)
增，当
单调递
❑√2<m<❑√5
，
时f
' (m)<0，f (m)
减，
单调递
所以f (m)min= f (❑√5)= 2×❑√5
5
(5−1)
2 = 25 ❑√5
8
，D 错误.
故
：
选BC.
【点睛】方法点睛：直
与抛物
立
线
线联
问题
第一步：
直
方程：有的
条件已知点，而斜率未知；有的
条件已知斜率，点不定，都可由点斜式
出直
方
设
线
题设
题设
设
线
程．
第二步：
立方程：把所
直
方程与抛物
方程
立，消去一个元，得到一个一元二次方程．
联
设
线
线
联
第三步：求解判
式
别
Δ：
算一元二次方程根的判
式
计
别
Δ＞0.
第四步：写出根之
的关系，由根与系数的关系可写出．
间
第五步：根据
条件求解
中的
．
题设
问题
结论
【变式训练17-1】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左，右
点分
顶
别为A1, A2, P是双曲
上不同于
线
A1，A2
的一点，
直
设
线A1 P , A2 P的斜率分别为k1,k2，
当
则
a
b +ln(k1k2)取得最小
，双曲
值时
线C的离心率
（
为 ）
A．
❑√5
2
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【变式训练17-2】（多
）太极
是由黑白两个
形
成的
案，俗称阴阳
，太极
展
了一种相互
化，相互
选
图
鱼
纹组
图
鱼
图
现
转
统
一的和
美．定
：能
将
谐
义
够
圆O的周
和面
同
等分成两部分的函数称
长
积
时
为圆O的一个“太极函数”下列有关
法中正
说
确的是（ ）
A．对圆O: x
2+ y
2=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能
偶函数；
为
B．函数f ( x)=sin x +1是圆O: x
2+( y −1)
2=1的一个太极函数；
C．存在圆O，使得f ( x)=e
x+1
e
x−1
是圆O的太极函数；
D．直线(m+1)x−(2m+1) y −1=0所
的函数一定是
对应
圆O:( x −2)
2+( y −1)
2= R
2( R>0)的太极函数．
