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第08 讲：拓展一：分离变量法解决导数问题
目录
类型一：恒成立（存在问题）求解参数
范围.......................................................................1
角度1：完全分离参数法..................................................................................................1
角度2：部分分离参数法..................................................................................................7
类型二：已知零点个数求解参数
范围................................................................................12
角度1：完全分离参数法................................................................................................12
角度2：部分分离参数法................................................................................................18
类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围
角度1：完全分离参数法
典型例题
例题1．（云南省2025 届高三下学期5 月新高考自主命题冲刺金卷数学试卷）已知函数
．
(1)求
的解析式；
(2)若
在
内有两个零点，求m 的取值范围；
(3)若对任意的
，不等式
恒成立，求整数k 的值组成的集合．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）求出导数并赋值求出
，进而求出解析式.
（2）求出
及其导数
，利用导数研究
在
上的单调性和最值，列出关于m
的不等式组，即可得出答案.
（3）利用分离变量法，分类讨论
，构造函数
，利用导数
研究
分别在x＜0，x＞0 的单调性和最值，即可得出答案.
【详解】（1）函数
，求导得
，
则
，
解得
，所以
的解析式为
.
（2）由（1）得
，则
，
求导得
，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，当
时，
取得最小值，
要使
在
内有两个零点，当且仅当
，即
，
解得
，
所以实数
的取值范围为
.
（3）对任意的
，不等式
恒成立，转化为对任意的
，
恒成立，
①当
时，
，显然成立，此时
；
②当
时，
恒成立，令
，
求导得
，而当
时，
恒成立，
由
得
；由
得
，
在
上单调递减，在
上单调递
增，
因此当
时，
取得最小值
，则
；
③当
时，
恒成立，令
，此时
，
求导得
，令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，又
，
由零点存在定理得存在
，使得
，即
，
由
，得
，由
，得
，
在
上递增，在
上递
减，
当
时，
取得最大值，且
，则
，
于是实数k 的取值范围为
，所以整数k 的值组成的集合为
.
例题2．（24-25 高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，求
的极值；
(3)当
时，
，求
的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
(2)极小值为，无极大值
(3)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间；
（2）利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值；
（3）当
时，不等式等价于
，然后利用导数求出右边的最大值即可.
【详解】（1）当
时
，定义域为
，又
，
当
时
，当
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）当
时，
，定义域为
，
，显然
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
故
在
时，取得极小值为
，无极大值；
（3）由题意得，不等式为
在
上恒成立，
①当
时，不等式为
，显然成立，符合题意，此时
；
②当
时，不等式等价于
，
令
，
则
.
令
，则
，令
，
而
，所以
，所以
在
上单调递减，
所以
，即
.
从而
在
上单调递减，
所以
，即
在
上恒成立.
所以当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减.
所以
在
处取得极大值，也是最大值，
.
因此
.
综上可得，实数
的取值范围是
.
精练高频考点
1．（24-25 高三下·广西河池·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的极值点个数；
(2)当
时，若
的图象在
图象的下方，求整数
的最大值（
）.
【答案】(1)答案见解析；
(2)1.
【分析】（1）直接求导得
，再分
和
讨论即可；
（2）转化为
，再设新函数
，求导后再次设分母为新函
数，再次求导并利用隐零点法即可求出最值.
【详解】（1）函数
定义域为
，
．
当
时，
在
上是增函数，无极值点；
当
时，由
，解得
，由
，解得
．
函数
在
上是单调递增，在
上是单调递减，有一个极值点，
综上，当
时，无极值点；
当
时，有一个极值点.
（2）由题意当
时，
，整理得
．
令函数
，
则
．
令
，则
．
当
时，
恒成立，
所以
在
单调递增．
又
，
，
所以
，使得
，
即
．
故
时，
；
时，
．
因此
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，
令函数
，则
，
所以
在
单调递增，因此
．
又
，
，
.
因此整数
的最大值为1．
2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数
．
(1)证明：
；
(2)证明：
在其定义域内为减函数；
(3)若在
的定义域内，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令
，利用导数与函数的单调性间的关系，求出
的单调区间，进可求得
的最小值，即可求解；
（2）对
求导，得到
，利用（1）中结果可得
恒成立，
即可求解；
（3）根据条件得到
，令
，利用导数求出
的
单调区间，进而求出
的最大值，即可求解.
【详解】（1）令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
则
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
，故
.
（2）因为
，易知
，则
，
令
，由（1）知
，
则
在区间
上恒成立，又
，
所以
恒成立，故
在其定义域内为减函数.
（3）易知
，由
，得到
，即
，
令
，则
，
由（1）知
，当且仅当
时取等号，
所以当
时，
，当
时，
，
即
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
，故
，得到
，
所以实数
的取值范围为
.
角度2：部分分离参数法
典型例题
例题1．（24-25 高二下·内蒙古包头·阶段练习）已知不等式
恰有1
个整数解，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】不等式可转化为
，设
，
，作出
与
的图象，结合图象分类讨论即可得解.
【详解】由不等式
，
，可得
，
设
，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
取极大值1；
又
，且
时，
，
时，
，
直线
恒过点
，
当
时，作出
与
的图象如下所示，
恰有1 个整数解，只需要满足
，解得
，
当
时，显然
有无穷多个整数解，不满足条件，
所以，a 的取值范围为
.
故选：D.
例题2．（24-25 高二下·北京·期中）设函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
在区间
内单调递增；
(3)若关于x 的不等式
在区间
内恰有一个整数解，直接写出k 的取值
范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
．
【分析】（1）先求导数代入切点横坐标可得切线斜率，然后利用点斜式可得切线方程；
（2）只需证明
在
上恒成立，根据
和
，依次判断即可得出结
果；
（3）设
，
，当
时满足不等式，
时不满足不等
式，计算即可得出结果.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，又
，所以切线方程为
；
（2）
，
，
当
时，
，
，所以
，
当
时，
，又
，所以
，
所以
，所以
在区间
内单调递增；
（3）由洛必达法则可知，
，
由（2）可知，
在区间
内单调递增，因为
恒过
点，画出
的草图，如图所示，
设
，
，
，
，
要使得
在区间
内恰有一个整数解.
只需满足
由
得
；由
得
.
所以
的取值范围是
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·福建龙岩·阶段练习）不等式
解集中有且仅含
有两个整数，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】构造
，
，求导，研究
的单调性，
的图象恒过点
，在同一坐标系内作出
的图象，数形结合得到
2 和1 为符合要求的整数，从而得到
.
【详解】
，设
，
，
，
令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
其中
，
，
，
，
的图象恒过点
，在同一坐标系内作出
的图象，如下：
要想不等式解集中有且仅含有两个整数，显然2 为一个符合要求的整数，
当
经过点
时，
，解得
，
故
，此时
，1 为另一个符合要求的整数，
故
，
故答案为：
2．（2024 高三上·江苏·专题练习）设函数
，其中
，若存在唯一负
整数
，使得
，则实数
的取值范围是
【答案】
，
【分析】由已知可得
解集中只有一个负整数
，结合不等式特点构造函数
，然后结合导数分析
的性质，结合两函数图象可求．
【详解】由
可得
，
所以
解集中只有一个负整数
，
令
，则
，
易得，当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，当
时，
，
只有一个零点
，
图象为直线，过定点
，其大致图象如图所示，
结合图像可知，
，
解得，
．
故答案为：
．
3．（24-25 高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数
.
(1)若
只有2 个正整数解，求a 的取值范围；
【答案】(1)
【详解】（1）当
时，
，不等式
恒成立；
在同一平面直角坐标系下画出函数
与直线
的图象，如下图所示.
由于不等式
只有2 个正整数解，
结合图象可知：当
时，
时函数
的图象恒在直线
上方，
即与不等式有无数个正整数解，不符合题意，舍去；
当
时，
，
，此时不等式
恒成立，
故要使原不等式只有2 个正整数解，结合图象可知
，即
.
综上，若
只有2 个正整数解，则a 的取值范围为
.
类型二：已知零点个数求解参数范围
角度1：完全分离参数法
典型型例题
例题1.（24-25 高二下·浙江·期中）已知定义在
上的函数
.
(1)若
，判断
的单调性；
(2)若
存在两个零点，求m 的取值范围.
【答案】(1)
在
上单调递增.
(2)
【分析】（1）根据题意，求导可得
，然后令
，再对函数
求导，即
可判断单调性；
（2）参变分离得到
，问题转换成
与
恰有两个交点，对
求导确定单调性，极值，即可求解；
【详解】（1）若
，则
，则
，
，
令
，则
，
因为
，则
，所以
，即函数
在
上单调递增，
则
，
即
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增.
（2）令
，可得
，
所以
与
恰有两个交点，
设
，则
，
令
可得
，
当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
当
时，
；当
时，
，
的取值范围是
.
例题2．（24-25 高二下·重庆·期中）已知函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若函数
有3 个不同的零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过求导，利用导数的几何意义可得结果.
（2）问题转化为函数图象与直线交点个数问题，分析函数
的单调性，画出函数大致
图象数形结合可得结果.
【详解】（1）由题意得，函数
的定义域为
，
，
，
∴
，
∴切点坐标为
，切线斜率为
，
∴
在
处的切线方程为
.
（2）若函数
有3 个不同的零点，则函数
的图象与直线
有3 个不
同的交点.
由（1）得，
，
由
，得
或
，由
，得
，
∴
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
∴
在
时取得极大值
，在
时取得极小值
.
∵当
时，
，
，故
，
当
时，
，
∴函数
的大致图象如下：
根据图象可得实数
的取值范围为
.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·福建三明·期中）已知函数
，e 是自然对数的底
数.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若关于
的方程
有两个不等实根，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出导函数，分
和
分类讨论计算函数的单调性；
（2）把方程
有两个不等实根转化为
与
有2 个交点，结合导函数
得出函数的单调性及最值，计算求出参数范围.
【详解】（1）
，
，
若
，则
恒成立，所以
在
上单调递增，
若
，
，得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
综上可知，
时，
的增区间是
，
当
时，
的减区间是
，增区间是
；
（2）方程
，显然当
时，方程不成立，则
，
，
若方程有两个不等实根，即
与
有2 个交点，
，
当
时，
，
在区间
和
单调递减，
并且
时，
，当
时，
当
时，
，
单调递增，
时，当
时，
取得最小值，
，
如图，函数
的图象，
与
有2 个交点，则
.
2．（24-25 高二下·重庆·期中）已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且函数
有三个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导后，分
，
，
三种情况讨论导数的正负，从而可求
出函数的单调区间；
（2）求导，利用导数研究
的单调性，结合函数值的符号画出
示意图，将零点问
题转化为函数
与直线
有三个交点，数形结合即可求解.
【详解】（1）因为
的定义域为
，且
，
当
时，
恒成立，
当且仅当
时等号成立，所以
在
上单调递减；
当
时，
，令
，解得
或
，
令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，令
，解得
或
，
令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递
减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）若
，由（1）得
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
且当
无限趋向于正无穷大时，
无限趋向于0，且
，
当
无限趋向于负无穷大时，
无限趋向于正穷大，
因为函数
有三个零点，则方程
有三个根，
所以函数
与直线
有三个交点，
又
，由图可知：
，即
的取值范围为
.
3．（24-25 高二下·云南昆明·期中）已知函数
(1)若
，求
的最小值
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个不同的零点
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）求出导数，判断单调性，可求最小值；
（2）求导，分类讨论，结合导数符号可判断单调性；
（3）化简函数解析式，分离参数，研究函数性质，结合公共点的个数可得答案.
【详解】（1）
时，
，
，
令
得
或
（舍），
当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数；
所以
的最小值为
.
（2）
，
当
时，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
当
时，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
当
时，
，且不恒为0，
在定义域内单调递增；
当
时，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
综上，
时，
时，
单调递减，
时，
单调递增；
时，
时，
单调递增，
时，
单调递减，
时，
单调递增；
时，
在定义域内单调递增；
时，
时，
单调递增，
时，
单调递减，
时，
单调递增.
（3）
，
令
可得，
，令
，
，
时，
，
为增函数，
时，
，
为减函数，
有最大值
.
又
，
无限趋近
时，
趋近于0，简图如下，
所以
，解得
，即
的取值范围为
.
角度2：部分分离参数法
典型例题
例题1．（24-25 高三上·山东·开学考试）已知函数
有4 个不同
的零点，则
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【分析】转化为方程
有4 个不同的根，且方程
的2 个根为
，从而方程
有2 个不同的根，且
，进一步转化为函数
与
函数
的图象有两个交点，利用导函数与切线斜率的关系求解.
【详解】由题意可得方程
有4 个不同的根.
方程
的2 个根为
，
所以方程
有2 个不同的根，且
，
即函数
与函数
的图象有两个交点.
当直线
与函数
的图象相切时，设切点为
，
因为
，所以
解得
.
要使函数
与函数
的图象有两个交点，只需直线
的斜率大于
，
即
.
设
（
），则
，
由
，
，
所以
在
上单调递增，在
单调递减，
所以
的最大值为
.
所以
.
故
的取值范围为
,
故选：A.
例题2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题
为假命题，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由命题
为假命题，得到
为真命题.方法
一：参数分离
，并构造函数
，通过导数求函数单调性求解；
方法二：将
转化为直线
与曲线
没有交点，通过导数求切
斜方程即可.
【详解】法一：由题可得
为真命题，
易知
满足
，符合题意，此时
；
当
时，
可变形为
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
，
当
时，
单调递减，且
；当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
所以当
时，
，
作出函数
的图象如图①所示，
由题可知直线
与函数
的图象没有交点，数形结合可得
.
法二：由题可得
为真命题，
即直线
与曲线
没有交点.
设直线
与曲线
切于点
，
由
，得
，则
，
所以
，
所以直线
与曲线
相切，
若直线
与曲线
没有交点，如图②所示，则
.
故选：D.
精练高频考点
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
有且仅有3 个零点，则m 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义将问题转化为直线
与函数
的图象有3 个公共点求解。再借助导数探讨单调性并作出图象，数形结合求
出范围.
【详解】由
，得
，令函数
，其定义域为
，
，函数
为奇函数，
依题意，直线
与函数
的图象有且仅有3 个交点，
求导得
，函数
在
上单调递减，
曲线
在点
处的切线方程为
，令
，
求导得
，函数
在
上单调递减，
当
时，
；当
时，
，
即当
时，
；当
时，
；当
时，
，
作出
的图象，如图：
观察图象知，当
时，直线
与函数
的图象有且仅有3 个交点，
所以m 的取值范围是
.
故选：B.
2．（24-25 高二上·河北保定·期末）已知函数
，若方程
在
上有且仅有一个实数根，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将方程
有且仅有一个实数根转化为两个函数
和
只有
一个交点的问题，然后通过求
在
处的切线斜率，结合函数图象来确定
的
取值范围.
【详解】已知
在
上有且仅有一个实数根，可化为
.
方程
有且仅有一个实数根，等价于函数
和
的图象在
上只有一个交点.
.
将
代入到导数中，可得
，即
在
处的切线的斜率为
.
直线
恒过原点
.
为了使
和
在
上只有一个交点，结合函数图象可知，当直线
的斜率
满足
或
时满足条件.
解不等式
，可得
；解不等式
，可得
.
所以
的取值范围是
.
故选：A.
