文档文本内容
第07 讲 拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................2
高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式）..............................................................................2
高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余）...................................................................8
高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法））........................................................................18
高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余）......................................................26
第一部分：基础知识
1、中线：
在
中，设
是
的中点角
,
,
所对的边分别为
，
，
1.1 向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2 角形式：
核心技巧：
在
中有：
;
在
中有：
;
2、角平分线
如图，在
中，
平分
，角
,
,
所对的边分别为
，
，
2.1 内角平分线定理：
核心技巧：
或
2.2 等面积法
核心技巧
2.3 角形式：
核心技巧：
在
中有：
;
在
中有：
;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·山东聊城·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，向量
，
，
，若
，
，则AC 边上的中线BD 为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平行条件结合正弦定理得出
，再根据
即可求出.
【详解】由题意得，
，结合正弦定理得
，
因
，则
，则
，
若
，则
，与上式矛盾，故
，则
，
因
，则
，
因
为AC 边上的中线，则
，
则
，
则
.
故选：C
例题2．（2024·河北·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)已知
，求
边上的中线
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及
进行化简，得到
，从而得到
；
（2）利用余弦定理得到的值，由中线向量求得
的长.
【详解】（1）由正弦定理得
，
又因为
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，
因为
，所以
.
（2）在
中，由余弦定理得
，
代入数值得
，解得
（舍去）或
，
因为
是
的中点，所以
，
所以
，
所以
，即
边上的中线
的长为
.
例题3．（24-25 高一下·湖北襄阳·阶段练习）设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
、
(1)求角
的大小；
(2)若
，且
，求
边上中线
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出
，即可求解；
（2）利用余弦定理得出
，利用中线向量可得出
，利用平面向量数量积的运算
性质即可求解
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理得:
，
即
，
因为
，则
，即
，
可得
，故
．
（2）在
中，由余弦定理可得，
所以
，
因为
为
边上的中线，所以
，
所以
．
，故
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知
的内角
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积为
，中线
，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，利用两角和的正弦公式化简，转化为三角函数求角；
（2）首先根据三角形的面积公式，求得
，，根据中线向量关系，可得
，再根据余
弦定理即可求得.
【详解】（1）在
中，
，则
，
因为
，
则
，
由正弦定理得：
，
所以
，
所以
，
又
，得
，所以
，即
，
由
，解得
.
（2）因为
的面积为
，
所以
，
由（1）知
，故
，
因为
为中线，即
为
中点，
则
，又
，
则
，所以
，
解得
，
由余弦定理得
，
所以
.
2．（24-25 高三上·北京朝阳·开学考试）在△
中，内角
的对边分别为
．
(1)求
；
(2)若△
的面积为
，求
边上的中线
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合平面向量加法的几何意义、数量积的运算进行求解即可.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，因为
，
由余弦定理得：
，
又
，所以
．
（2）由
，所以
，
由（1）
，所以
，
因为
为
边上的中线，所以
，
则
，即
.
故
边上的中线
的长为
.
3．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期中）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)证明：
.
(2)已知C 为钝角，记
.
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）若BD 为AC 边上的中线，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
．
【分析】（1）先由正弦定理将条件化为
，然后利用余弦定理化简即可证明.
（2）（ⅰ）根据三角形三边关系列不等式求解即可；
（ⅱ）根据中线关系得
，结合数量积的运算律及将
化为
，根
据二次函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）由
，可得
，
由余弦定理可知
，所以
.
（2）（ⅰ）由
，可得
，
．
根据三角形三边关系，知
即
则
解得
，
所以
的取值范围为
．
（ⅱ）因为BD 为AC 边上的中线，所以
，
则
，
所以
．
令
，则
，因为
在
上单调递增，
所以
，故
的取值范围为
．
4．（23-24 高一下·山东聊城·期中）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
．
(1)若
，证明：
；
(2)若
，
是
的中线，求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得
，再根据余弦定理有
，两者联立即可证明；
（2）首先利用基本不等式和余弦定理得
，再利用向量中线长定理有
，则可求出
的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得
，即
，即
，
由余弦定理知
和
，
得
，即
，
即
，因为
，所以
.
（2）因为
，
，所以
，
故
，当且仅当
，即
时等号成立，
故
；
由
是
的中线，得
，
即得
，
即得
，故
的最大值为
.
高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知
的内角
的对边分别为
，且
边上中
线
长为1，则
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程
求出
，然后利用基本不等式求出最值即可.
【详解】由题意得
，
所以
，
又
，且D 是
的中点，所以
，
在
中，
，
在
中，
，
所以
，
即
，得
，当且仅当
取等号，
故选：A
例题2．（24-25 高一下·四川攀枝花·期末）已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，且
．
(1)求
；
(2)若
，
①求
周长的取值范围；
②若
为
边上的中线，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）法一：利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得
，进而可求
；法二：利
用余弦定理角化边可得
，利用余弦定理求得
，进而可求
；
（2）(
)
ⅰ
法一：由正弦定理可得
，
，利用三角恒等变换可求得
周
长的取值范围；法二：利用余弦定理，结合基本不等式与三边关系定理可求得
周长的取值范围；
(
)
ⅱ由余弦定理可得
，利用
，结合余弦定理可得
，进而可
求面．
【详解】（1）法一：由正弦定理得
．
从而
，即
，
又
中
，∴
，
又
，所以
．
法二：由余弦定理得
，
化简得
，
则
，
又
，所以
．
（2）(
)
ⅰ法一：由正弦定理得
，
则
，
，∵
，∴
．
的周长为
．
又∵
，∴
，故
，
∴
周长的取值范围是
．
法二：由余弦定理得
，
所以
．
∵
，∴
，
∴
(当且仅当
时取得等号)．
又∵
，
∴
周长的取值范围是
．
(
)
ⅱ在
中，由余弦定理得
，即
．
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
．
∵
，∴
，∴
．
所以
，
．
例题3．（23-24 高三上·辽宁·阶段练习）已知
的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点M
在边AB 上，
，
，且
，______．
在①CM 为
的一条中线；②CM 为
的一条角平分线；③CM 为
的一条高线
这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
(1)求边长AB；
(2)若
外接圆的面积为
，内切圆的面积为
，求
的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得
，若选择①：
，利用余弦定
理结合
可得
，在
中，利用余弦定理运算求解；若选择②：因为
，利用余弦定理可得
，根据勾股定理结合等腰三角形分析求解；若选择③：
根据勾股定理结合等腰三角形分析求解.
（2）利用正弦定理求外接圆的半径，利用等面积法求内切圆的半径，进而可得结果.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
由倍角公式可得
，则
，
又因为
，则
，
所以
，即
．
且
，则
，可得
，
又因为
，所以
．
若选择①：若CM 为
的中线，设
，
由余弦定理可得
，
，
因为
，可得
，
即
，整理得
，可知
，
又因为
，解得
或
（舍去），
所以
；
若选择②：若CM 为
的角平分线，则
，
在
中，由余弦定理得
，即
，
可知
，即
，可知
，
所以
；
若选择③：若CM 为
的高线，则
，
则
，即
，则
，
可知
，可知
所以
．
（2）设
外接圆的半径为R，由正弦定理可得
，解得
，
所以
，
由题意可知：
，所以
的周长
，
所以
的面积
．
设
内切圆的半径为r，则
，解得
，
可得
，所以
．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·北京西城·期末）已知函数
，且
.
(1)求a 的值和函数
的最小正周期；
(2)求不等式
的解集；
(3)在
中，
，
，AD 为BC 边上的中线，设
，
，请直接写出
的值和BC 的长.
【答案】(1)
，
.
(2)
，
.
(3)
，
【分析】（1）根据
可求
的值，利用二倍角公式及三角恒等变换公式，化简函数
的解析
式，利用
求函数的最小正周期.
（2）结合函数
的性质解不等式
.
（3）利用余弦定理解三角形即可.
【详解】（1）因为
.
由
.
所以
.
所以函数
的最小正周期为：
.
（2）由
，
.
，
.
所以不等式
的解集为
，
.
（3）因为
，所以
.
由题意：
，所以
，
所以
.
如图：
设
，
，
，
在
中，由余弦定理得：
①
在
中，由余弦定理得：
②
①
②得：
.
在
，由余弦定理得：
.
所以
，因为
，所以
.
所以
，即
.
2．（24-25 高一下·安徽亳州·期末）已知向量
，
，
，
.设
的最小值为
.
(1)求
的值；
(2)在
中，
为其中线，且
，
.设
，
，求
关于
的函数关系
式，并求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
，其中
，
【分析】（1）根据向量的坐标运算求出
的表达式，结合三角恒等变换和二次函数的性质求出其最小值
；
（2）利用向量的平行四边形法则和余弦定理求出
关于
的函数关系式，最后根据函数性质求出
的最小
值.
【详解】（1）因为
，
所以
.
当
时，
的最小值
.
（2）由（1）知，
，
.
在
中，
，
，
，则
.
在
中，
，
，
，则
.
因为
，所以
.
整理得，
，
，其中
.
因为
，所以当
时，y 取最小值
.
3．（24-25 高一下·贵州六盘水·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
.
(1)证明：
；
(2)求
；
(3)若
，边
上的中线
，求边
的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
或
【分析】（1）利用正弦定理将角转化为边即可得证；
（2）利用余弦定理即可求解；
（3）在
和
中有
，利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）证明：由正弦定理得：
，
即
.
（2）因为
，
即
.
则
，
因为
，
所以
.
（3）因为
，由余弦定理知：
，
，
即
，
，
故
，
解得：
或
.
4．（23-24 高一下·重庆长寿·阶段练习）已知
，角
、
、
的对边分别为
、
、，
、
均在
线段
上，
为中线，
为
的平分线．
(1)若
，求证
；
(2)在（1）的条件下，若
，求
；
(3)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据
，可得
，再由正弦定理证明即可；
（2）结合（1）可得
，从而得到
，再利用余弦定理计算可得；
（3）先根据双余弦定理及角平分线定理求出
的关系及
，再根据
，再化简即可得出答
案.
【详解】（1）设
边
上的高为．
因为
，即
，所以
，
又因为
为
的平分线，所以
，
在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
又
，所以
，
所以
，即
，即
.
（2）因为
，
为
的中点，所以
，
又
，
所以
，即
，
又
，
故
；
（3）在
中，
，
在
中，
，
又
，所以
，
两式相加得
，
因为
，
，
，
在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
又
，则
，
所以
，则
，
又
，即
，所以
，
所以
，
由
，
因为
，所以
，
，
设
，则
，即
，
解得
或
，
所以
或
所以
或
，
所以
或
，
所以
．
高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法））
典型例题
例题1．（24-25 高二上·云南曲靖·期末）在
中，三个内角A,B,C 所对边分别为a,b,c，
的角平
分线为CM 交AB 于M 且
,
,
，则线段
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由余弦定理求出
，再由
，代入三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】由余弦定理可得：
，
因为
，所以
，
因为
为
的角平分线，所以
，
且
，
，
则
，
可得：
.
故选：B.
例题2．（24-25 高一下·吉林长春·期末）已知
的内角A，B，C 的对边为a，b，c，且
(1)求角A；
(2)若
的面积为
.
①已知E 为BC 的中点，且
，求
中线AE 的长；
②求内角A 的角平分线AD 长的最大值.
【答案】(1)
(2)①
，②
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到
，求出
；
（2）①由三角形面积求出
，从而得到
，
或
，
，根据中线得到
，两边平方，结合向量数量积运算法则求出
；②根据
求出
，由基本不等式求出
长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得
，即
.
由余弦定理得
.
因为
，所以
.
（2）①
，
.
且
，解得
，
或
，
.
由于
，
所以
，
；
②由
，
得
.
解得
，
由于
，当且仅当
时，取等号，
故
,当且仅当
时，取等号，即
的最大值为
.
例题3．（24-25 高一下·安徽淮南·阶段练习）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的角平分线交
于点
，且
，求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）利用等面积法结合
、
可得出
，利用基本不等式可求得
的
最小值，结合三角形的面积公式可求得
面积的最小值.
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，
由于
，则
，所以
，即
，
又
，所以
.
（2）因为
的角平分线交
于点
，且
，
，
根据三角形面积公式可得
，
又
，得
，得
，当
时等号成立，
所以
，
即
的面积最小值为
．
例题4．（24-25 高一下·江苏·阶段练习）如图，在四边形
中，
与
相交于点
，且
为
的角平分线，
，
.
(1)求
；
(2)若
，求四边形
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由余弦定理得出
，再由正弦定理得出
，再结合二倍角公式即可
求解；
（2）先由平方关系以及差角公式求出
，再由正弦定理求出
，进而由三角形面积公式得出四
边形的面积．
【详解】（1）在
中，
，
，
由余弦定理可得
，所以
，
再由正弦定理
，可得
，
又因为
为
的角平分线，所以
，
所以
，
所以
.
（2）
中，
，
，
，
所以
，
从而
，
由正弦定理
可得
，
而
.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）△ABC 中， AB=3，AC=2，∠BAC=60°， 中线AM 长为m，角平
分线AD 的长为n，则
【答案】
【分析】中线用向量
即可求
的值；角平分线用
即可求
的值.
【详解】AM 为中线，则
，则
，则
，
AD 为角平分线，则
，即
，
得
，
则
故答案为：
2．（24-25 高一下·浙江·期中）已知
的内角
，
，
的对边为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
；
①
为
的中点，求
底边
上中线
长的最小值；
②求内角
的角平分线
长的最大值.
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出
，即可得解；
（2）①由面积公式求出
，再由
，利用数量积的运算律及基本不等式求出
的最小
值，即可得解；②由等面积法得到
，再由基本不等式求出
的最大值.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，即
，
由余弦定理
，因为
，所以
，
所以
；
（2）①由（1）知
，
因为
的面积为
，所以
，解得
，
由
为
的中点，所以
，
所以
，当且仅当
时，等号取得到，
所以
，则
，故
的最小值为
；
②因为
为角
的角平分线，所以
，
由于
，
所以
，
所以
，
又
，所以
由于
，当且仅当
时，等号取得到，
故
，故
，故
的最大值为
3．（24-25 高一下·山东枣庄·阶段练习）已知在
中，
．
(1)求
的大小；
(2)若角
的角平分线交边
于点
，
，
的周长为15，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）利用余弦定理求出
，再由
及面积公式计算可得.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
即
，
又
，所以
，所以
，
又
，所以
；
（2）因为
，
，
由余弦定理得
，
即
，解得
.
为角
的角平分线，
，
∵
，
∴
，
∴
，得
.
4．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求角
的大小：
(2)若
，
，
，求
的值；
(3)设
是边
上一点，
为角平分线且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可：
（2）先利用余弦定理解出
，
，然后利用正弦定理计算出角
与角
，然后利用两角和差公式计
算即可；
（3）先利用等面积法得到
，因为
，再由正弦定理可知
，然后计算出
的值即可.
【详解】（1）由题意及正弦定理可得：
，
可得
，即
，
在
中，
，所以
，
因为
，所以
；
（2）因为
，
，
，
由余弦定理得
，
所以
，即
，
所以
，
，由正弦定理可得：
，
可得
，
因为
，则
，则
，
可得
，
且
，
所以
；
（3）因为
，
是角平分线，即
，
因为
，
所以
，由正弦定理可知
，
所以
，所以
，
整理可得
，
又因为
，且
，
即
，解得
.
高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（23-24 高一下·江苏无锡·阶段练习）在
中，
为
上一点，
①
为
的中线，则
；②
为
的角平分线，则
.
【答案】
【分析】若
为
的中线，由于
，所以在
与
中，由余弦定理联立即可
求得
，若
为
的角平分线，由
，即可求得
.
【详解】如图：
在
中，
，
由余弦定理得：
，
所以
，
若
为
的中线，所以
为
的中点，
故
，设
，在
与
中，
分别由余弦定理得：
，
，
所以
，解得
.
若
为
的角平分线，则
，
由
得：
，
解得
.
故答案为：
；
例题2．（24-25 高一·全国·假期作业）在
中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知
，
，点D 在
上，
是
的平分线，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意作图，根据角平分线性质可得线段比例，设出线段长，由三角形三边关系建立不等式组，
可得线段长的取值范围，利用余弦定理，建立方程，结合二次函数性质，可得答案.
【详解】
由角平分线性质定理，
，所以
，
设
，
，则
，由
得：
，
由图可知
，所以
，
即
，化简得：
，
因为
，所以
.
故答案为：
.
例题3．（23-24 高一下·四川绵阳·期中）在锐角
中，内角
，
，
所对边分别为
，
，，
．
(1)求角
；
(2)设
是角
的平分线，与
边交于
，若
，
，求
，；
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）方法一：由余弦定理代入计算，即可得到结果；方法二：由正弦定理的边角互化代入计
算，即可得到结果；
（2）分别在
中与
中，结合正弦定理代入计算，即可得到
，再由余弦定理代入计算，即
可得到结果.
【详解】（1）法一：在锐角
中，
，
由余弦定理得
，化简得
，
可得
，又
，得
．
法二：在锐角
中，
，由正弦定理得
，
即
，
可得
，
又
，
，得
，又
，得
．
（2）在
中，由正弦定理有
，
在
中，由正弦定理有
，
因为
是角
的平分线，故
，
又
，故
，
所以
，
设
，
，
在
中，由余弦定理，有
，
解得
，所以
（负值舍去），
所以
，
．
精练高频考点
1．（23-24 高一下·江西·期中）在
中，点
在边
上，
是
的内角
的角平分线，
，
，则
的面积是 ．
【答案】
/
【分析】由角平分线的性质可得
，设
，则
，
，利用余弦
定理可得
，求解可得
，可利用余弦定量求得
，可求得
的面积.
【详解】因为
是
的内角
的角平分线，所以
.
设
，则
.
在
中，由余弦定理可得
，
即
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
.
因为
，所以
，
所以
，解得
，所以
.
在
中，
，
，
，
则
，从而
，
故
的面积
.
故答案为：
.
2．（23-24 高一下·广东·阶段练习）在锐角
中，内角
，
，
所对边分别为
，
，，
.
(1)求角
；
(2)设
是角
的平分线，与
边交于
，若
，
，求
，；
(3)若
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
，
；
(3)
.
【分析】（1）法一：利用余弦定理得到
，再由余弦定理计算可得；法二：利用正弦定理将
边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）利用正弦定理及角平分线的性质得到
，设
，
，再在
中利用余弦
定理求出
，即可得解；
（3）首先得到
，利用正弦定理得到
，再根据
的范围及正切函数的性
质计算可得.
【详解】（1）法一：在锐角
中，
，
由余弦定理得
，化简得
，
可得
，又
，得
.
法二：在锐角
中，
，由正弦定理得
，
即
，
可得
，
又
，
，得
，又
，得
.
（2）在
中，由正弦定理有
，
在
中，由正弦定理有
，
因为
是角
的平分线，故
，
又
，故
，
所以
，
设
，
，
在
中，由余弦定理，有
，
解得
，所以
（负值舍去），
所以
，
.
（3）因为
，
由正弦定理
，
得
，
在锐角
中，
，
，
，
即
，可得
，
则有
，
，
，
，
即
，得
，
所以
面积的取值范围为
.
3．（2023·四川·模拟预测）在①
；②
这两个条件中任选一个作为已知条件，补
充在下面的横线上，并给出解答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知
中，角
的对边分别为
，点D 为
边的中点，
，且________．
(1)求a 的值；
(2)若
的平分线交
于点E，求
的周长．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得B，再利用余弦定理即可求得
答案；
选②，设
，则
，分别在
中和在
中，由余弦定理列出等式即可求得答案；
（2）结合（1）的结论，利用三角形面积求出
，利用余弦定理求得
的长，即可得答案.
【详解】（1）若选①：由
可得
,
又
,
故
,
而
，故
，
又
，所以
；
设
，则
，
在
中，由余弦定理得
,
即
，
在
中，由余弦定理得
,
即
，和
联立解得
，
则
；
若选②：
，设
，则
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
因为
，所以
，
即
，解得
，
故
.
（2）由（1）可知，选①可得
；选②可得
，则
，
故由
，
可得
，
解得
，
故在
中，
，
即
,
故
的周长为
.
