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专题10 巧构等腰三角形的基本模型的四类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：已知条件中无直接等腰，需通过平行线、角平分线、中线或翻折等手段构造等腰，导边导角。
- 解题方法：见角平分线+平行线出等腰；见中线倍长构造等腰；见垂线+截长补短造等腰；利用外角找等
角；利用对称性翻折造等腰。
- 易错提醒：辅助线添加不当导致新等腰与原条件关联断裂；构造后未验证等边或等角确实成立；角平分
线与平行线构造等腰时选错平行方向。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
典例1 （2026·山东滨州·一模）如图，在
中，
平分
，过线段
上一点
作
，
交
于点
，交
延长线于点
．
(1)求证：
为等腰三角形；
目 录
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(2)若
，
，求
的度数．
【答案】(1)
证明：
，
，
，
平分
，
，
，
∴
，
为等腰三角形；
(2)
【分析】（1）利用平行线性质得到角相等，结合角平分线定义推导出
，再根据等角对等边证明
为等腰三角形；
（2）先由角平分线定义求出
，再通过平行线性质得到
，接着利用等腰三角形性质
求出
，最后根据三角形内角和定理计算出
．
【详解】（1）略
（2）解：∵
平分
，
，
∵
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
在
中，
．
题型模版
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线
及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
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M
Q
'
O
O
N
P
1
2
3
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P 作PQ//ON. 结论：△OPQ 是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC 中，BD 是 ∠ ABC 的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE 是等腰三角形。
条件：如图3，在ABC
中，BO平分
ABC
，CO平分
ACB
，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相
交于点M，N．结论：△BOM、△CON 都是等腰三角形。
变式2-1（25-26 八年级下·江西新余·阶段检测）如图，在
中，
平分内角
，
平分外角
．
(1)若
，求证：
为等腰三角形．
(2)若
，求
的度数．
【答案】(1)
∵
平分外角
．
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
为等腰三角形．
(2)
【分析】（1）根据平行线得到
，
，结合角平分线得到
，最后根据等
角对等边得到等腰三角形；
（2）根据三角形的外角和角平分线得到
，据此求解即可．
【详解】（1）略
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（2）解：∵
平分内角
，
平分外角
．
∴
，
，
由三角形的外角可得
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
变式2-2（1）如图1，ABC
中，AB
AC
，ABC
，ACB
的平分线交于O 点，过O 点作EF
BC
∥
交AB ，
AC 于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：EF 与BE ，CF 之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若AB
AC
=
，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；EF 与BE ，CF 间的关系是 ；
（3）如图3，AB
AC
，若
ABC
的角平分线与
ABC
外角
ACD
的角平分线交于点O，过点O 作OE
BC
∥
交AB 于E，交AC 于F．图中有 个等腰三角形．EF 与BE ，CF 间的数量关系是 ．
【答案】（1）2， EF
BE
CF
=
+
，理由见解析．（2）5，EF
BE
CF
=
+
（3）2，BE
EF
CF
=
+
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行
线性质得到角相等，再进行等量代换得到
EBO
EOB
=
，
FCO
FOC
=
，再利用等角对等边，得到
BE
OE
=
，CF
OF
=
，即可解题．
（2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，
再进行等量代换得到
CBO
BCO
=
、
AEF
AFE
=
、
EBO
EOB
=
、
FCO
FOC
=
，再利用等角对
等边，得到对应线段相等，即可解题．
（3）本题解法与（1）类似．
【详解】（1）解： EF
BE
CF
=
+
，理由如下：
ABC
，
ACB
的平分线交于O 点，
EBO
CBO
=
，
FCO
BCO
=
，
EF
BC
∥
，
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EOB
CBO
=
，
FOC
BCO
=
，
EBO
EOB
=
，
FCO
FOC
=
，
BE
OE
=
，CF
OF
=
，
OEB
和
OFC
△
为等腰三角形，即图中有2 个等腰三角形．
EF
OE
OF
BE
CF
=
+
=
+
．
故答案为：2．
（2）解：AB
AC
=
，即
ABC
为等腰三角形，
A
ABC
CB
=
∠
，
ABC
，
ACB
的平分线交于O 点，
EBO
CBO
=
=
FCO
BCO
=
，
OB
OC
=
，即BCO
为等腰三角形，
EF
BC
∥
，
EOB
CBO
=
，
FOC
BCO
=
，
=
=
=
AEF
ABC
ACB
AFE ，
EBO
EOB
=
，
FCO
FOC
=
，AE
AF
=
，即
AEF
△
为等腰三角形，
BE
OE
=
，CF
OF
=
，
OEB
和
OFC
△
为等腰三角形，
EF
OE
OF
BE
CF
=
+
=
+
．
综上所述，共有5 个等腰三角形，
故答案为：5，EF
BE
CF
=
+
．
（3）解：
ABC
的角平分线与
ABC
外角
ACD
的角平分线交于点O，
EBO
CBO
=
，
FCO
DCO
=
，
EF
BC
∥
，
EOB
CBO
=
，
FOC
DCO
=
，
EBO
EOB
=
，
FCO
FOC
=
，
BE
OE
=
，CF
OF
=
，
OEB
和
OFC
△
为等腰三角形，即图中有2 个等腰三角形．
BE
OE
EF
OF
EF
CF
=
=
+
=
+
．
故答案为：2，BE
EF
CF
=
+
．
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题型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
典例2 （25-26 八年级上·湖北黄石·期末）如图，BD是
ABC
的角平分线，DE
BC
∥
，交AB 于点E ．
(1)求证：DEB
是等腰三角形．
(2)当AB
AC
=
时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)CD
ED
=
，见解析
【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形
的判定及性质是解题的关键．
（1）由角平分线得
CBD
EBD
=
．再根据平行线的性质得
CBD
EDB
=
，进而
EBD
EDB
=
．即可
证明结论成立；
（2）由等边对等角及平行线的性质得
ADE
AED
=
，AD
AE
=
，从而CD
BE
=
．由（1）得
EBD
EDB
=
，
BE
ED
=
，从而CD
ED
=
．
【详解】（1）证明：证明：∵BD是ABC
的角平分线，
∴
CBD
EBD
=
．
∵DE
BC
∥
，
∴
CBD
EDB
=
，
∴
EBD
EDB
=
．
∴DE
EB
=
，
∴DEB
是等腰三角形；
（2）解：CD
ED
=
．理由如下：
∵AB
AC
=
，
∴
C
ABC
=
．
∵DE
BC
∥
，
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∴
,
ADE
C
AED
ABC
=
=
，
∴
ADE
AED
=
，
∴AD
AE
=
，
∴AC
AD
AB
AE
−
=
−
，即CD
BE
=
．
由（1）得
EBD
EDB
=
，
∴BE
ED
=
，
∴CD
ED
=
．
题型模版
模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.
条件：如图1，若AC=BC,过点D 作D 作DE//BC. 结论：△ADE 是等腰三角形.
条件：如图2，若AC=BC,过点D 作D 作DE//AB. 结论：△CDE 是等腰三角形.
变式1-1（25-26 八年级下·广东佛山·阶段检测）综合实践
数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但
只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出
来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边ABC
中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长
线上，且ED
EC
=
，试确定线段AE 与DB的大小关系，并说明理由．
小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答：
(1)【特殊情况，归纳猜想】如图1，当E 为AB 的中点时，确定线段AE 与BD的大小关系，请你直接写出你
的结论：AE BD（选填“”、“”或者“=”）；
(2)【特例启发，推理证明】如图2，当E 不是AB 的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所
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以他们尝试过点E 作EF
BC
∥
，交AC 于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来
的证明过程；
(3)【拓展延伸，问题解决】当点E 在BA的延长线上时，点D 在BC 边上，且CE
DE
=
，请自己画图，并探
究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】(1)=
(2)如图，过点E 作EF
BC
∥
交AC 于点F ，
则
60
AEF
ABC
=
=
，
∵
60
A
=
，
∴AEF
是等边三角形，
∴AE
FE
AF
=
=
，
60
AFE
=
，
∴
120
EFC
DBE
=
=
，
∵AB
AC
=
，AE
AF
=
，
∴BE
CF
=
，
∵EF
BC
∥
，
∴
ECB
CEF
=
，
∵ED
EC
=
，
∴
D
ECB
CEF
=
=
，
在DBE
和
EFC
中，
DBE
EFC
D
CEF
BE
FC
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
DBE
EFC
≌
，
∴BD
FE
=
，
∴BD
AE
=
；
(3)不发生变化，证明如下：
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如图，过点E 作EF
BC
∥
交CA 的延长线于点F ，
∴1
F
= ，
180
BCE
CEF
+
=
°，
∵
1
60
B
BAC
= =
=
，
∴
2
60
EAF
F
= =
=
，
∴AEF
是等边三角形，
∴AE
EF
=
，
60
F
B
= =
，
∵DE
CE
=
，
∴
3
BCE
=
，
∵
3
4
180
+=
，
∴
4
CEF
=
，
在BDE
与FEC
中，
4
CEF
B
F
DE
CE
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
BDE
FEC
≌
，
∴BD
EF
=
，
∴AE
BD
=
．
【分析】（1）证明
30
D
BED
=
=
，得到BD
BE
=
，即可求证；
（2 ）过点E 作EF
BC
∥
交AC 于点F ，可证AEF
是等边三角形，得到AE
FE
AF
=
=
，再证明
(
)
AAS
≌
DBE
EFC
，得到BD
FE
=
，即可求证；
（3）过点E 作EF
BC
∥
交CA 的延长线于点F ，同理（2 ）证明即可求证；
【详解】（1）解：∵ABC
是等边三角形，点E 为AB 的中点，
∴
60
A
ABC
ACB
=
=
=
，
30
BCE
ACE
=
=
，AE
BE
=
，
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∵ED
EC
=
，
∴
30
D
ECD
=
=
，
∵
EBC
D
BED
=
+
，
∴
30
D
BED
=
=
，
∴BD
BE
=
，
∴AE
BD
=
；
（2）略
（3）略
变式1-2（25-26 八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知
ABC
是等边三角形，点P 是边AC 上一点．
(1)如图1，过点P 作PF
BC
∥
，交AB 于点F ，图中有 个等边三角形；
(2)如图2，点P 在AC 上运动(不与A C
，重合)，点Q 是CB 延长线上一点，且BQ
AP
=
，过P 作PE
AB
⊥
于
E，连接PQ 交AB 于D ，试说明：在点P 运动的过程中，线段ED的长是定值(即
1
2
DE
AB
=
)；
(3)若将条件中“
ABC
是等边三角形”改为“
ABC
是等腰三角形，CA
CB
=
”，如图3 所示，（2）中的结论是
否还成立？请说明理由．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)还成立，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用．
（1）根据ABC
是等边三角形，PF
BC
，得出AFP
、ABC
是等边三角形即可；
（2）作PF
BC
交AB 于F ，先判定AFP
为等边三角形，再根据三线合一，得到AE
EF
=
，然后判定
(
)
AAS
QBD
PFD
≌
，得到FD
DB
=
，进而得到
1
2
DE
AB
=
；
（3）作QH
AB
⊥
于H ，先判定
(
)
AAS
APE
BQH
≌
，得到AE
BH
=
，QH
PE
=
，再判定
(
)
AAS
PED
QHD
≌
，
得到DE
DH
=
，进而得到（2）中的结论还成立．
【详解】（1）解：如图1，
ABC
是等边三角形
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60
A
ABC
=
=
，
PF
BC
，
60
AFP
ABC
=
=
，
AFP
为等边三角形，
AFP
、ABC
是等边三角形，共2 个
故答案为：2 ；
（2）线段ED的长是定值，即
1
2
DE
AB
=
，理由如下：
如图2 ，作PF
BC
交AB 于F ，
ABC
是等边三角形
60
A
ABC
=
=
，
PF
BC
，
60
AFP
ABC
=
=
，
AFP
为等边三角形，
PF
PA
=
，
又
PE
AB
⊥
，
AE
EF
=
，
QB
PA
=
，PF
PA
=
，
BQ
PF
=
，
180
120
DBQ
ABC
=
−
=
，
180
120
DFP
AFP
=
−
=
，
DBQ
DFP
=
，
在QBD
和PFD
中，
DBQ
DFP
QDB
FDP
BQ
PF
=
=
=
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(
)
AAS
QBD
PFD
≌
，
FD
BD
=
，
(
)
1
1
1
1
;
2
2
2
2
ED
EF
FD
AF
BF
AF
BF
AB
=
+
=
+
=
+
=
（3）（2）中的结论还成立．
理由：如图3，过点Q 作QH
AB
⊥
于H ，
,
CA
CB
=
ABC
QBH
=
,
A
ABC
QBH
=
=
在
APE
与BQH
中，
90
A
QBH
AEP
H
PA
QB
=
=
=
=
(
)
AAS ,
APE
BQH
≌
,
,
AE
BH QH
PE
=
=
在
PED
与
QHD
△
中，
QDH
EDP
QHD
PED
QH
PE
=
=
=
(
)
AAS
PED
QHD
≌
,
DE
DH
=
(
)
(
)
1
1
1
1
.
2
2
2
2
DE
EH
EB
BH
EB
AE
AB
=
=
+
=
+
=
题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
典例3 （25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，在
ABC
中，
2
ABC
C
=
，
BAC
的平分线AD交BC 于
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点D，过点B 作BF
AD
⊥
于点F ，延长BF 交AC 于点E ．
(1)求证：ABE
为等腰三角形；
(2)连接DE ，若
36
C
=
，求
EDC
的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)36
【分析】（1）证明
ABF
AEF
=
即可求证；
（2 ）由已知可得
72
ABC
=
，即得
180
72
BAC
C
ABC
=
−
−
=
∠
∠
∠
，进而得到
(
)
1 180
54
2
ABE
AEB
BAE
=
=
−
=
，再由AD垂直平分BE 得到DB
DE
=
，即得到
18
DEB
DBE
=
=
，
再根据三角形的外角性质即可求解；
本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质等，掌握等腰三角形的
判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：
AD
平分
BAC
，BF
AD
⊥
，
90
BAF
EAF
AFB
AFE
=
=
=
，
，
90
90
ABF
BAF
AEF
EAF
=
−
=
−
，
，
∴
ABF
AEF
=
，
即
ABE
AEB
=
，
ABE
为等腰三角形；
（2）解：
36
2
C
ABC
C
=
=
，
，
72
ABC
=
，
180
180
36
72
72
BAC
C
ABC
=
−−
=
−
−
=
由（1）得，ABE
为等腰三角形，
∴
(
)
(
)
1
1
180
180
72
54
2
2
ABE
AEB
BAE
=
=
−
=
−
=
，
∴
72
54
18
DBE
ABC
ABE
=
−
=
−
=
，
AD
BF
⊥
，ABE
为等腰三角形，
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∴BF
EF
=
，
∴AD垂直平分BE ，
DB
DE
=
，
∴
18
DEB
DBE
=
=
，
∴
18
18
36
EDC
DEB
DBE
=
+
=
+
=
．
题型模版
模型解析：如图， △𝐀𝐁𝐂中,AD 平分 ∠𝐁𝐀𝐂,𝐀𝐃⊥𝐁𝐂,由“ASA”易得 △𝐀𝐁𝐃≅△𝐀𝐂𝐃,从而得 𝐀𝐁= 𝐀𝐂,
𝐁𝐃= 𝐂𝐃.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.
变式3-1（25-26 八年级上·湖北武汉·月考）
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
．若D 为线段BC 上一点，
1
2
EDB
ACB
=
，BE
DE
⊥
，垂足为E ，DE 交AB 于F ．
(1)如图1，当D与C 点重合时，探究BE 、DF 的数量关系；
(2)如图2，当D不与C 重合时，线段BE 与DF 的数量关系是否发生变化，证明你的结论．
【答案】(1)
2
FD
BE
=
(2)
2
FD
BE
=
，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题
的关键．
（1）延长CA 与BE 交于点G ，证得
BDE
EDG
=
，进而证得
1
2
BE
EG
BG
=
=
，证得
(
)
ASA
ABG
ACF
≌
，
根据全等三角形的性质证得BG
CF
FD
=
=
，从而得到结论；
（2）过点D作DG
AC
∥
，与AB 交于H ，与BE 的延长线交于G ，根据题意易证得
(
)
ASA
DEB
DEG
≌
，
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根据全等三角形的性质证得
1
2
BE
EG
BG
=
=
，再证得
(
)
ASA
BGH
DFH
≌
，进而得到BG
FD
=
，从而得
到结论．
【详解】（1）解：
2
FD
BE
=
，理由如下：
如图，延长CA 与BE 交于点G ，
1
2
EDB
ACB
=
，
1
2
EDG
ACB
=
，
BDE
EDG
=
，
即DE 是
BCG
的平分线，
又
BE
DE
⊥
，
1
2
BE
EG
BG
=
=
，
90
BED
BAD
=
=
，
BFE
CFA
=
，
EBF
ACF
=
，
即
ABG
ACF
=
，
在ABG
和
ACF
△
中，
90
ABG
ACF
AB
AC
BAC
CAF
=
=
=
=
(
)
ASA
≌
ABG
ACF
，
BG
CF
FD
=
=
，
又
1
2
BE
BG
=
，
1
2
BE
FD
=
；
（2）解：
2
FD
BE
=
，理由如下：
如图，过点D作DG
AC
∥
，与AB 交于H ，与BE 的延长线交于G ，
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DG
AC
，
90
BAC
=
BDG
C
=
，
90
BHD
BHG
BAC
=
=
=
又
1
2
BDE
ACB
=
，
1
1
2
2
EDG
BDG
BDE
C
C
C
=
−
=
−
=
，
BDE
EDG
=
，
在DEB
和
DEG
△
中，
90
BDE
EDG
DE
DE
DEB
DEG
=
=
=
=
，
(
)
ASA
DEB
DEG
≌
，
1
2
BE
EG
BG
=
=
，
AB
AC
=
，
90
BAC
=
，
ABC
ACB
GDB
=
=
，
HB
HD
=
，
90
BED
BHD
=
=
，
BFE
DFH
=
EBF
HDF
=
，
即
HBG
HDF
=
，
在BGH
和DFH
中，
HBG
HDF
HB
HD
BHG
DHF
=
=
=
，
(
)
ASA
≌
BGH
DFH
，
BG
FD
=
，
又
1
2
BE
BG
=
，
1
2
BE
FD
=
．
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变式3-2 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP 平分
MON
．点A 为OM 上一点，过
点A 作AC
OP
⊥
，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可证得
AOC
BOC
≌
△
△
，则AO
BO
=
，AC
BC
=
．
【问题提出】
（1）如图②，在
ABC
中，CD平分
ACB
，AE
CD
⊥
于点E ，若
63
EAC
=
，
37
B
=
，通过上述构
造全等的办法，求
DAE
的度数；
【问题探究】
（2）如图③，在
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，CD平分
ACB
，BE
CD
⊥
，垂足E 在CD的延长
线上，试探究BE 和CD的数量关系；
【问题解决】
（3）如图④是一块肥沃的土地
ABC
，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形
土地
ADC
△
进行水稻试验，他进行了如下操作：
①作
ACB
的平分线CD；
②再过点A 作AD
CD
⊥
交CD于点D
已知
13
BC =
米，
10
AC =
米，
ABC
面积为20 平方米，求划出的ACD
的面积．
【答案】（1）
26
DAE
=
；（2 ）
1
2
BE
CD
=
，理由见解析；（3）
100
13
ACD
S
=
．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者
AAS）、等边对等角
【分析】（1）延长AE 交BC 于点F ，由已知可知AC
FC
=
，再由等腰三角形的在得
63
EFC
EAC
=
=
，
然后由三角形的外角性质即可得出结论；
（2 ）延长BE
CA
、
交于点F ，证
(
)
ASA
ABF
ACD
≌
，得BF
CD
=
，再由已知可知
1
2
BE
FE
BF
=
=
，即
可得出结论；
（3）延长AD交BC 于E ， 由已知可知AD
ED
=
，
10
EC
AC
=
=
，则
ACD
ECD
S
S
=
再由三角形面积关系得
10
200
13
13
ACE
ABC
S
S
=
=
，即可得出结论．
【详解】（1）如图2 ， 延长AE 交BC 于点F ，
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由已知可知AC
FC
=
，
∴
63
EFC
EAC
=
=
，
∵
EFC
B
DAE
= +
，
∴
63
37
26
DAE
EFC
B
=
−=
−
=
；
（2 ）
1
2
BE
CD
=
，证明如下：
如图，延长BE
CA
、
交于点F ，则
180
90
BAF
BAC
=
−
=
，
∵BE
CD
⊥
，
∴
90
BED
BAC
=
=
，
∵
BDC
ABF
BED
ACD
BAC
=
+
=
+
，
∴
ABF
ACD
=
，
又∵AB
AC
=
，
∴
(
)
ASA
ABF
ACD
≌
，
∴BF
CD
=
，
由已知可知，
1
2
BE
FE
BE
=
=
，
∴
1
2
BE
CD
=
；
（3）如图，延长AD交BC 于E ，
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由已知可知，AD
ED
=
，
10
EC
AC
=
=
，
∴
ACD
ECD
S
S
=
，
∵
20
ABC
S
=
，
∴
10
10
200
20
13
13
13
ACE
ABC
S
S
=
=
=
，
∴
1
100
2
13
ACD
ACE
S
S
=
=
．
题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
典例4 （25-26 八年级下·广东梅州·期中）阅读材料
“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边
相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、
角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
(1)如图①，在
中，
，
，
为
的角平分线，在
上截取
，连
接
．请写出线段
，
，
之间的数量关系并说明理由；
【拓展延伸】
(2)如图②，在
中，
，
，
为
的角平分线．请判断线段
，
，
之间的数量关系并说明理由；
(3)如图③，在
中，
，
，当
为
的补角的角平分线时，（2）中
，
，
之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段
，
，
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之间的新数量关系，不必说明理由．
【答案】(1)
，理由见详解
(2)
，理由见详解
(3)不成立，
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角公式，“等角对等边”
等知识，能够根据题目掌握“截长补短”是解题的关键．
（1）根据题意可推出
，根据
，推得
，即可求解；
（2）在
上截取
，连接
，证明
，同（1）即可求解；
（3）在
上截取
，连接
，证明
，同理可证明．
【详解】（1）解：
，理由如下，
∵
为
的角平分线，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
,
,
∵
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
故
；
（2）解：
，理由如下，
如图，在
上截取
，连接
，
∵
为
的角平分线，
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∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
,
，
∵
，
∴
，
，
则
，
故
；
（3）解：不成立，
，理由如下，
如图，在
上截取
，连接
，
∵
为
的角平分线，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
,
，
∵
，
∴
，
∴
，
则
，
故
．
题型模版
模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2 倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．
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条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD 平分∠ABC. 结论：△BDC 是等腰三角形.
条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB 到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC 是等腰三角形.
条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C 为角的顶点，CA 为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA 的
延长线于点D. 结论：△DBC 是等腰三角形.
变式4-1（25-26 八年级上·四川绵阳·期末）在
ABC
中，
2
ACB
B
= ．
(1)如图1，当
90
C
=
，AD为
BAC
的角平分线时，过D 作AB 的垂线DE ，垂足为E ，可以发现AB ，AC ，
CD存在的数量关系是___________；
(2)如图2，当
90
C
，AD为
BAC
的角平分线时，线段AB ，AC ，CD是否还存在（1）中的数量关系？
如果存在，请给出证明．如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) AB
AC
CD
=
+
(2)存在，证明见解析
【分析】本题考查了三角形的全等的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的
关键是掌握以上知识点．
（1）先证出
(
)
AAS
AED
ACD
≌
，得到ED
CD
=
，AE
AC
=
，然后得到EB
ED
=
，从而可得EB
CD
=
，
最后根据线段和差、等量关系即可得证；
（2）先根据SAS定理证出AED
ACD
≌
，根据全等三角形的性质可得ED
CD
=
，
AED
C
=
，再根据三
角形的外角性质可得
B
EDB
=
，然后根据等腰三角形的判定可得EB
ED
=
，从而可得EB
CD
=
，最后根
据线段和差、等量关系即可得证．
【详解】（1）解：∵AD为
BAC
的角平分线，
∴
EAD
CAD
=
，
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∵DE
AB
⊥
∴
90
AED
C
=
=
又∵AD
AD
=
，
∴
(
)
AAS
AED
ACD
≌
，
∴ED
CD
=
，AE
AC
=
，
∵
90
ACB
=
，
2
ACB
B
= ，
∴
45
B
=
，
∴
45
90
BDE
B
B
−
=
=
= ，
∴EB
ED
=
，
∴EB
CD
=
，
∴AB
AE
EB
AC
CD
=
+
=
+
；
（2）解：存在．
证明如下：如图所示，在AB 上取点E，使AE
AC
=
，
∵AD为
BAC
的角平分线时，
∴
EAD
CAD
=
，
又∵AD
AD
=
，
∴
(
)
SAS
AED
ACD
≌
，
∴
AED
C
=
，ED
CD
=
，
∵
2
ACB
B
= ，
∴
2
AED
B
= ，
又∵
AED
B
EDB
= +
，
∴
B
EDB
=
，
∴EB
ED
=
，
∴EB
CD
=
，
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∴AB
AE
EB
AC
CD
=
+
=
+
．
变式4-2（25-26 八年级上·广东珠海·期末）实验与探究：
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那
么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣
小组的同学们对此展开探究：
例如，如图1（1），在
ABC
中，AB
AC
，怎样证明
C
B
呢？
把AC 沿
A
的平分线AD翻折，因为AB
AC
，所以点C 落在AB 上的点C处（如图1（2））．由
AC D
C
=
，
AC D
B
，可得
C
B
．
【类比探究】
（1）如图2，在
ABC
中，
C
B
，类比上述的方法，请证明AB
AC
．
【方法运用】
（2）如图3，在
ABC
中，
2
C
B
= ，若AD
BC
⊥
，写出AC ，CD，BD之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析，（2）BD
AC
CD
=
+
，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内
角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键．
（1）把
ABC
翻折，使点B 落在点C 上，折痕分别交AB、BC 于点D、E，由翻折可得：
CD
AD
AD
BD
AB
AC
+
=
+
=
，
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（2）在BD上取E ，使DE
CD
=
，连接AE ，可得
(SAS)
ADE
ADC
≌
△
△
，进而可得
2
AED
C
B
=
= ，
由此证明
B
BAE
=
， BE
AE
AC
=
=
，进而得出结论．
【详解】（1）证明：把
ABC
翻折，使点B 落在点C 上，折痕分别交AB 、BC 于点D 、E
由翻折的性质可知，CD
BD
=
，
AD
CD
AC
+
，
AD
BD
AB
AC
+
=
，即
;
AB
AC
［方法运用］
（2）解：BD
AC
CD
=
+
，理由如下：
如图（3），在BD上取E ，使DE
CD
=
，连接AE ，
DE
CD
=
，
90
ADE
ADC
=
=
，AD
AD
=
，
(SAS)
ADE
ADC
≌
，
AE
AC
=
，
2
AED
C
B
=
= ，
AED
B
BAE
= +
，
B
BAE
=
，
BE
AE
AC
=
=
，
BD
BE
DE
AC
CD
=
+
=
+
，即
;
BD
AC
CD
=
+
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、解答题
1．（25-26 八年级上·全国·期末）若过
的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的
平行线，如图所示，
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(1)此时，图中有几个等腰三角形？
(2)线段
与线段
三者又有何数量关系？
【答案】(1)图中共有2 个等腰三角形
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可证明
，得到
，则可证明
和
都是等腰三角形；
（2 由（1）得
，由线段的和差关系即可得到
．
【详解】（1）解：由题意得
平分
，
平分
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
和
都是等腰三角形，即图中共有2 个等腰三角形；
（2）解：由（1）得
，
∵
，
∴
．
2．（25-26 八年级上·全国·课后作业）【问题原型】
有这样一道问题：如图①，在
中，
为边
上的中线，且
．
求证：
为等边三角形．
小聪同学的解决办法是：延长
至点E，使
，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解
决问题．
【解决问题】
请你利用小聪的办法解决此问题．
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【答案】
解：如图②，延长
至点
，使
，连接
，
为边
上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
为等边三角形．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，解题关
键是添加辅助线利用二倍角的条件构造等腰三角形；延长
至点
，使
，连接
，根据
为
边
上的中线，且
，可得出
，再由
，可得
，
，
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即可证明
和
全等，进而可证得结论．
【详解】略
3．（25-26 八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）综合探究
问题情境：
是等边三角形，点D 是
上一点，点E 在
的延长线上，且
，连接
．
猜想证明：
(1)如图1，当点D 是
的中点时，
________
；（填“>”，“<”或“=”）
(2)若点D 为
边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与
全
等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图2，过点D 作
，交
于点F．（请完成余下的证明过程）
【答案】(1)=
(2)
证明：如图2，过点D 作
，交
于点F．
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，即
，
，
，
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，
，
在
和
中
，
，
．
【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，
理解题意，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质得出
，再由“三线合一”的性质及角平分线得出
，再由等角对等边即可证明；
（2）如图2，过点D 作
，交
于点F．证明
是等边三角形，可得
，证明
，可得结论，
【详解】（1）证明：在等边
中，
，
，
点是
的中点，
平分
，
，
，
，
，
；
（2）略
4．（25-26 八年级下·广东梅州·期中）如图1，在
中，
，
，
的平分线
交边
于点
．
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(1)求证：
为等腰三角形．
(2)若
的平分线
交边
于点
，如图2，求证：
．
(3)若
的外角平分线
交
的延长线于点
，请你探究（2）中的结论是否仍然成立．若成立，请证
明；若不成立，直接写出正确的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)结论不成立。正确结论：
【分析】
（1）由三角形内角和计算
，根据
是
的平分线得
，
从而
为等腰三角形得证；
（2）在
上截取
，连接
，证明
得
，证得
，即可证明结论；
（3）在
上截取
，连接
，根据
，
得
，
证明
，得
，根据等腰三角形的判定得
，最后根据线段间的数量关系
得出结论即可．
【详解】（1）证明：
中，
，
，
，
是
的平分线，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：如图，在
上截取
，连接
，
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∵
为等腰三角形，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：
，理由如下：
如图，在
上截取
，连接
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
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∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
．
5．（25-26 八年级下·山西晋中·期中）阅读下面材料：
在几何探究活动中，我们常通过“截长补短”的方法解决线段与角度的相关问题，阅读以下材料回答问题：
问题1：如图①，在
中，
平分
，且
．求证：
．
小亮通过思考，给出了两种辅助线思路：
思路1：如图②，在
上截取
，使得
，连接
，利用全等三角形证明．
思路2：如图③，延长
到点
，使得
，连接
，构造等腰三角形证明．
(1)根据以上材料，任选一种思路完成证明：
；
(2)问题2：如图④，在
中，
为
的平分线，
，线段
，
，
有怎样的数
量关系?请说明理由．
【答案】(1)
证明：按照思路1：
平分
，
，
在
和
中，
，
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，
，
，
，
,
是等腰三角形，
，
，
∴
．
按照思路2：
，
是等腰三角形，
，
，
，
平分
，
在
和
中，
，
，
．
(2)
，
，
三者之间的关系是：
．
理由如下：
在射线
上截取线段
，使
，
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平分
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角
的性质．重点在于利用材料里的“截长补短”法，构造全等三角形．
（1）先通过证明
，证得
，再证明
是等腰三角形，
，所
以
；
（2）在射线
上截取线段
，使
，先证明
，证得
，
，
然后再证明
，
，最后证得
【详解】（1）略
（2）略
6．（25-26 八年级下·山西晋中·期中）在七年级下册第五章《图形的轴对称》中，我们初步认识了角平分
线，并从轴对称的视角直观探究了角平分线的性质；进入本学期，我们对这一性质完成了严谨的逻辑证明，
并进一步探究了其逆定理．在系统学习等腰三角形、直角三角形相关知识后，我们又对角平分线所蕴含的
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轴对称特征有了深入的理解．为了贯通思维梳理知识、提炼方法，深化对知识本质的理解，促进数学思维
生长，我们进行了知识的梳理、回顾与深化总结．
复习目标：理解角平分线与轴对称的联系，掌握构造轴对称图形的方法并灵活解题．
问题：如图，
平分
，点
是角平分线
上一点，你能联想到什么数学知识？
学生生成：可以想到角平分线的性质、角平分线的判定定理、等腰三角形、直角三角形等；
(1)追问：你能添加辅助线，构造出轴对称图形吗？
学生生成：
过角平分线
上一
点
向角两边作垂线
（如图
）可以得到
（根据
__________）构造轴对
称图形
过角平分线
上的
一点
作角平分线
的垂线，与角的两
边分别交于点
和
（如图），构造对称
图形下的等腰
过角平分线
上的
一点
作
的平行
线，与角的另一边
交于点
，构造对称
图形中的等腰
（如图
）
(2)追问
：尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）在角平分线的图形中，你还可以构造出其他轴对称图形
吗？学生生成：如图
(3)灵活应用：如图
在
中，
平分
，
，
，
，请直接写出
的长．
【答案】(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
(2)
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(3)
的长为
．
【分析】（）根据角平分线的性质即可求解；
（
）以点
为圆心，任意长度为半径画弧，分别交
于点
，连接
即可构造轴对称图
形；
（）在
上截取
，连接
，证明
，则
，
，然后
通过三角形外角性质可得
，所以
，再由线段的和与差即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
，
平分
，
∴
（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等），
故答案为：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）解：略；
（3）解：如图，在
上截取
，连接
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
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∴
的长为
．
7．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）小明最近学习了等腰三角形的相关知识，他发现，在一些几何题中，
经常需要通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题．
(1)【方法初探】如图①，在
中，
，
，
于点
，
，
，
求
的长．
小明发现，在该三角形中，有两个内角存在
倍关系，若延长
至点
，使
，连接
（如图②），
即可构造等腰三角形
，利用倍角关系，可证出
也是等腰三角形，再利用“等腰三角形的三线合
一”的性质可以解决问题．根据以上分析，可求出
的长为____
(2)【拓展延伸】如图③，在
中，
，
平分
，交
于点
．求证：
．
以下是小明的部分证明过程：
证明：延长
至点
，使
，连接
．
，
，
，
，
，
，
．
请你帮助小明补全上述证明过程．
(3)【综合应用】如图④，在四边形
中，
，
，
．连接
、
，
若
，
，则
________．
【答案】(1)
(2)
平分
，
，
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，
，
，
∴
，
，
，
．
(3)
【分析】（1）延长
至点
，使
，连接
，则
，证明
是等腰三角形，
根据等腰三角形三线合一即可求解；
（2）根据角平分线的定义得
，证明
，则
，即可得证；
（3）延长
，
，交于点
，则
，
，
都是等腰三角形，再利用等面积法即可求出
的长．
【详解】（1）解：延长
至点
，使
，连接
．
∴
，
，
，
，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
（2）略
（3）解：如图，延长
，
，交于点
，
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设
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
8．（25-26 八年级上·河南开封·期末）综合与实践
【问题情境】补短法在非遗手作（如滚灯竹架拼接、醒狮角架制作）的尺寸校准中应用广泛，其核心思路
为：将手作中的某条竹条（或木杆）延长，使延长段与特定竹条（或木杆）长度相等，再利用全等三角形
的性质，验证待备部件的长度关系是否符合制作标准．
例：如图①，在同学们制作非遗滚灯的竹制外框四边形
中，
（符合滚灯旋转时的受力均衡
要求），
是
的中点（滚灯框架的核心节点），
平分
（优化框架受力角度），试判断该滚灯外框
的竹条
之间的等量关系，确保框架拼接合规．
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小颖的手作验证方法：如图②，延长加固竹条
与竹条
的延长线相交于点F，构造全等竹架三角形
和等腰三角形
（由
即可判断
）
【问题解决】（1）按照小颖的滚灯手作验证方法，
，
之间的数量关系是_____；
【自主探究】（2）如图③，同学们制作非遗醒狮的木质主角架，在
中（醒狮角架为三角形结构，保证
造型挺拔），
是木质主杆
的中点（醒狮角架的核心固定节点），点
在辅杆
上（角架的辅助支撑部
件），连接加固木杆
交主杆
于点
，制作要求中明确辅杆
（保证角架受力均匀），请结合补
短法说明：该醒狮角架的主杆
与加固木杆
长度相等，即
．
【拓展延伸】（3）如图④，在同学们制作非遗滚灯的竹制内框四边形
中（滚灯内框为四边形支撑结
构，保证框架稳固），
，点F 在
上且满足
，请直接
写出竹条
_____．
【答案】（1）
；
（2）延长
至点G，使得
，连接
．
∵点D 是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
（3）3
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的面积，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，
掌握补短法，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据小颖的方法即可得到
；
（2）延长
至点G，使得
，连接
．证明
得到
，
，
再证明
，得到
，即可得到
；
（3）过点A 作
于点N，连接
，并延长交
于点G，延长
至点H，使得
，连接
．根
据三角形的面积公式，结合
得到
，从而可证
，得到
，
，因此
．证明
得到
，
，从而
，因此
．
【详解】解：（1）延长
，
相交于点F，
∵点E 是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
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∴
，
∵
，
∴
．
故答案为：
．
（2）略
（3）过点A 作
于点N，连接
，并延长交
于点G，延长
至点H，使得
，连接
．
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
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故答案为：3．
9．
（25-26 八年级上·河南洛阳·期中）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，
平分
，
点A 为
上一点，过点A 作
，垂足为C，延长
交
于点B，则
．
(1)【初步感知】
如图1，根据以上条件，容易发现
与
的数量关系为： ；
(2)【类比解答】
如图2，在
中，
是
的角平分线，
于E，若
，
，通过上述构造
全等的方法，可求得
的度数为 ；
(3)【拓展应用】
①如图3，在
中，
，
，
平分
，
，垂足E 在
的延长线上，试
探究
和
的数量关系，并证明你的结论；
②如图4，在
中，
，
，点F 在线段
上，
，
，垂足为E，
与
相交于点D．若
的面积为36，请直接写出
的长 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
①
．理由如下：
延长
，
交于点F．
∵
，
∴
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∴
∴
．
∵
，
∴
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
平分
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
②6
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，由条件证得
是
解题的关键．
（1）根据
证明
与
全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据互余得出
的度数，进而利用角平分线的定义和三角形的内角和解答即可；
（3）①延长
，
交于点F，根据
证明
解答即可；
②过F 作
交
的延长线于H，交
于G，根据①的结论得出
，进而利用三角形面积
公式解答即可．
【详解】（1）解：∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
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在
与
中，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
，
∴
，
∵
是
的角平分线，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）解：① 略
②过F 作
交
的延长线于H，交
于G，
∴
是等腰三角形，
由①可知
，
∵
的面积为36，
∴
，
∴
，
故答案为：6．
10．（25-26 九年级下·陕西咸阳·阶段检测）探究以下问题：
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【问题提出】
(1)如图①，在
和
中，点
在边
上，
是边
的中点，
．探究
与
之间
的数量关系．
小明在组内经过合作交流，得到解题方法；如图②，过点
作
，交
的延长线于点
，构造
即可判断，则
与
之间的数量关系是________；
(2)如图③，在
中，
，
，
是
的中线，过点
作
，且
，
，
求
的长；
(3)【问题解决】为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，某校在校园内建造了一处劳动实践基地
（如图④），
米，
为
的中点，
于点
，将
区域作为工具房，点
在
上，
米，
，
，将
和
区域作为展示区．求展示区的边
的长．
【答案】(1)
(2)6 米
(3)80 米
【分析】（1）证明
，得出
，
，结合题意可得
，由等腰
对等角得出
，即可得解；
（2）过点
作
，交
的延长线于点
，证明
，得出
，
．再证明出
是线段
的垂直平分线，即可得解；
（3）过点
作
，交
的延长线于点
，先证明
．得出
，
，
再证明
，得出
，
，从而可得
，求出
米，即可得
解．
【详解】（1）解：如图②，过点
作
，交
的延长线于点
，
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则
，
∵
是边
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：如图③，过点
作
，交
的延长线于点
．
∴
，
．
∵
是
的中线，
∴
．
在
和
中，
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，
∴
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
∴
，即
，
，
三点共线．
∵
，即
，
∵
，
∴
是线段
的垂直平分线．
∴
．
（3）解：如图④，过点
作
，交
的延长线于点
．
∴
．
∵
为
的中点，
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
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∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
，
．
∴
．
∵
米，
∴
米．
∴
米．
∴
（米）．
∴展示区的边
的长为80 米．
