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1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题07 线段垂直平分线与角平分线的四类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据线段垂直平分线的性质求解 题型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 题型三、根据角平分线的性质定理求解 题型四、角平分线的性质和判定综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及垂直平分线性质（到两端点等距）与判定，角平分线性质（到两边等距）与判定，常结 合全等、对称或求周长/角度。 - 解题方法：见垂直平分线连两端点构造等腰；见角平分线作双垂线或截边证等距；判定时先找距离相等 或等距点再逆用定理；常与三角形“三线合一”结合。 - 易错提醒：混淆“垂直平分线上的点到线段两端点等距”与“到角两边等距”的适用对象；角平分线作 垂线时误作斜线；角平分线判定中未说明点在角的内部；作图题遗漏作图痕迹说明。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据线段垂直平分线的性质求解 典例1 （25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中，边 的垂直平分线 分别交边 于点E，F， 是线段 的垂直平分线，若 的周长为38， ，则 的长为________． 【答案】 目 录 2 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得 ， ， ， ，进而得到 ， 结合三角形周长公式及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， 垂直平分 ， ， ， ， 是线段 的垂直平分线， ， ， ， 的周长为38， ， ， ， ． 题型模版 1.特征：已知某线段的垂直平分线，求点到线段端点距离相等，或证明角相等、线段相等。 2.方法：利用垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，列方程或证明全等。 变式1-1（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图， 的边 的长为 ，面积为 ， 边 的垂直平分线 交 于点 ，若 为 边上的动点， 为线段 上一个动点，则 的最小值 为________ ． 【答案】 3 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】由线段垂直平分线的性质可得 ，则 ，当点 ，点 ，点 共线且 时， 有最小值，即 有最小值为垂线段 的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接 ， ， 垂直平分 ， ， ， 当点 ，点 ，点 共线且 时， 有最小值，即 有最小值为垂线段 的长， 此时 ， ． 变式1-2（25-26 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 中， ， l 是 边的中垂线，点E 是直线l上动点．点F是直线 上动点，当 ， ， 时，则 的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出 ，将 转化为 ．根据垂线段最短可知当C、 E、F 三点共线且 时， 的值最小，最小值为点C 到直线 的距离，利用三角形面积公式即 可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵l 是 边的中垂线，点E 是直线l 上动点， ∴ ， ∴ ， ∵点F 是直线 上动点， ∴当C、E、F 三点共线且 时， 的值最小，最小值为点C 到直线 的距离， 设点C 到直线 的距离为h， 4 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ，且 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的值最小为 ． 变式1-3（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在 中，D 为 中点， 交 于F， ，则 的长为______ ． 【答案】3.9 【分析】由D 是 中点且 ，得 是 的垂直平分线，所以 ．由 ， 结合邻补角关系，推出E 在 的外角平分线上，所以E 到 的距离与E 到 的距离相等．过E 作 延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得 ，再证明 ， 得到对应边相等．根据 的长度，结合线段和差关系列等式，求解 的长度． 【详解】连接 ， ∵ 是 中点， ， ∴ 是 的垂直平分线， ∴ ． 过 作 ，交 的延长线于 ． 5 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ，且 ， ∴ ， 即 平分 ． 又 ， ， ∴ ，且 ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 代入 ， 得 ． 题型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 典例2 （25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， 是 上的一点，连接 ，作 交 于点 ， 交 于点 ，且 平分 ，连接 ． 6 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)证明： 垂直平分 ； (2)若 面积为 ，求 的周长． 【答案】(1)证明： ， ， ， 平分 ， ， 在 和 中， ， ， 点 和点 在 的垂直平分线上， 垂直平分 ； (2)30 【分析】（1）证明 ，可得 ，从而得到点 和点 在 的垂直平分线上 即可． （2）由三角形的面积可求出 ，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得 ， ， ， ， ， 的周长为30． 题型模版 1.特征：综合运用垂直平分线的性质（到两端点等距）与判定（到两端点等距的点在垂直平分线上）解题。 7 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2.方法：先由已知等距判定点在线段垂直平分线上，再利用性质得边相等，结合全等三角形综合推导。 变式2-1（25-26 八年级下·广东佛山·期中）如图，射线 在 内，点 为射线 上一点，过点 作 ， ，且 ． (1)求证： 是 的平分线； (2)连接 ，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由 、 得 ；结合已知 、公共边 ，用 定理证明 ，由全等三角形对应角相等，得 ，从而证出结论． （2）由（1）中 得 ，又已知 ，根据线段垂直平分线的判定定理，得 直线 是 的垂直平分线，因此 ． 【详解】（1）证明： ， ， ． 在 和 中， ． ， 平分 ． （2）由（1）知 ， ． 又 ， 点 、 都在 的垂直平分线上． ． 8 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式2-2（25-26 八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在 中，直线垂直平分边 ，分别交 于点 ，连接 ． (1)若 ， 的周长为 ，则 的长为______； (2)已知点 在线段 上，且点 在边 的垂直平分线上，连接 ，试判断点 是否在边 的垂直平 分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点 在边 的垂直平分线上，理由如下： 连接 、 ， 直线垂直平分边 ，点 在直线上， ， 点 在边 的垂直平分线上， ， ， 点 在边 的垂直平分线上． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到 ，得到 ，再利用三角形的周长 公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到 ，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解： 直线垂直平分边 ，分别交 ， 于点 ， ， ， ， 的周长为 ， 9 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， 即 ； （2）略 变式2-3（25-26 九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如图1，四边形 中， ， ， ，则称四边形 为直角筝形． (1)连接对角线 、 交于点 ，得到图2，请证明： 垂直平分 ； (2)在图2 中，若 ，点 在射线 上（不与点 重合），点 是平面内一点，以 、 、 、 为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的 的度数． 【答案】(1)证明： ， ∴点 在 的垂直平分线上； ， ∴点 在 的垂直平分线上， 垂直平分 ． (2) ， ， ， 【分析】（1）考查中垂线的定义；（2）关键点在于对点 位置的分类讨论，分四种情况选取不同的直角顶 点：①点 在线段 的延长线上， 是直角顶点；②点 在线段 的延长线上， 是直角顶点；③ 点 在线段 上， 是直角顶点；④点 在线段 上， 是直角顶点. 【详解】（1）略 （2）共有四种可能的情形， ①当点 在线段 的延长线上，如图， 10 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 此时 ， 故 ； ②当点 在线段 的延长线上，如图， 此时 ③当点 在线段 上，如图， 此时 , 平分 ， ④当点 在线段 上，如图， 此时 ， 故 . 11 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型三、根据角平分线的性质定理求解 典例3 （25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在 中，以顶点A 为圆心，以适当长为半径画弧， 分别交 于点M、N，再分别以M、N 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射 线 交边 于点D，作 于点E，若 ， ， 的面积为13，则 的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知 平分 ，过点 作 于点 ，利用角平分线的性质可得 ，再根据 列方程求解； 【详解】解：过点 作 于点 ， 由作图痕迹可知， 平分 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 题型模版 1.特征：已知角平分线，求角平分线上点到角两边距离相等，或求角度、线段长度。 2.方法：利用角平分线定理（角平分线上的点到角两边距离相等）作垂线，通过全等或勾股定理建立等式求 解。 12 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-1（25-26 八年级下·广东佛山·期末）如图，在 中， 是角平分线， 是中线， 交 于点 ．若 ， ， 的面积为8，则 的面积为_________． 【答案】3 【分析】根据题意得 和 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据角平分线得 ，则有 ，结合 ，解得 ，即可得 ． 【详解】解：∵ 是中线， ， ∴ ， ∵ 的面积为8， ∴ ， 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图， ∵ 是角平分线， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， 则 ， ∵ ， ∴ ， 13 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则 ． 变式3-2（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在 中， ， 的面积为12， 平分 交 于 ， ， 分别是 和 上的动点，连接 ， ，则 的最小值为________． 【答案】4 【分析】利用角平分线的轴对称性质作线段等量代换，借助两点之间线段最短、垂线段最短锁定最短路径， 套用三角形面积公式算出高线长度，得到所求最小值． 【详解】解：作点 关于 的对称点 ，作 边上的高 ，连接 ，如图： ∵ 平分 ， ∴点 必在 上， ∵点 关于 的对称点为 ， ∴ ， ∴ ， ∴当 ， ， 三点共线时， 有最小值，最小值为 ， ∵ ， ∴当 时， 有最小值，最小值为 ， ∵ 的面积是12， ， 边上的高为 ， ∴ ， 解得 ， 14 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 的最小值为4． 变式3-3（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图， 是 的角平分线， 于点 ， 是 的中线，动点 在 边上，连接 ．若 ， 的面积是3，则 的最小值为______________． 【答案】2 【分析】因为 是 的中线，所以 和 面积相等，可先求出 的面积．已知 的 面积和 的长度，结合 ，用三角形面积公式可求出 的长度．因为 是角平分线，根据角平 分线的性质，点D 到 和 的距离相等，可得D 到 的距离等于 ．因为G 在 上，根据垂线段 最短， 的最小值即为D 到 的距离． 【详解】解：∵ 是 的中线， ， ∴ ． ∵ ， ， ， ∴ ， 解得 ． ∵ 是 的角平分线， ∴点 到 的距离等于 ． 又∵点 在 上， ∴ 的最小值就是点 到 的距离， 即 ． 题型四、角平分线的性质和判定综合 典例4 （25-26 八年级下·山西运城·期末）如图，已知 ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ． 15 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)连接 ， ，若 ，求 的周长； (2)若 ，求证： 平分 ． 【答案】(1) 的周长 ； (2)证明： ， 垂直平分 ， 垂直平分 ， ， ， ， 平分 ． 【分析】（1）证明 ， ，进一步求解即可； （2）证明 ，结合角平分线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接 ， ∵ 垂直平分 ， ， 同理： ， 的周长 ． （2）略 题型模版 1.特征：综合运用角平分线性质（到两边等距）与判定（到两边等距的点在角平分线上）进行证明。 2.方法：先由等距判定角平分线，再利用性质作垂线得距离相等，结合全等三角形或面积法综合推导结论。 变式4-1（25-26 八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示， 于点E， 于点F， ． 16 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： ； (2)求证： 平分 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明 ，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵ 于点E， 于点F， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵ 于点E， 于点F， ， ∴ 平分 ． 变式4-2（25-26 八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在 中， ，点 、 分别在边 、 上，连接 、 ， ， ，在边 上截取 ，连接 ． (1)求证： 平分 ； (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1) 17 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 证明： ， ． ． 在 与 中， ， ， ． ． ， ． 平分 ． (2) 【分析】（1）证明 ，得出 ，根据角平分线的判定定理，即可解答； （2）证明 ，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：在 和 中， ， ， ． ． ． 变式4-3（24-25 八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P 为 内部一点， 于点E， 于点F，且 ，求证：点 P 在 的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在 中， ，点E 在边 上， ， 于点F， ． ①求证： 平分 ； ②若 ， ， 的面积是54，求线段 的长． 18 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1) 证明：连接 ，如图1， ∵ 于点E， 于点F， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴点P 在 的平分线上； (2) ①证明：∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 而 ， ， ∴ 平分 ； ②15 【分析】（1）连接 ，如图1，根据“ ”可证明 ，所以 ，从而得到 结论； （2）①先证明 ，得到 ，然后根据（1）的结论可判断 平分 ； ②利用三角形面积公式得到 ，由于 ， ，代入解方程即可． 19 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 解得 ． 即线段 的长为15． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1． （25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在ABC 中， 90 C = ， 8 BC = ，AD是ABC 的角平分线，DE AB ⊥ 于点E ，若 6 BD = ，则DE 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 先利用角平分线的性质确定DE DC = ，再通过线段长度计算DC ，进而得到DE 的长． 【详解】解：∵ 8 BC = ， 6 BD = ， ∴ 8 6 2 DC BC BD = − = −= ， ∵AD是ABC 的角平分线， 90 C = （DC AC ⊥ ），DE AB ⊥ ， ∴ 2 DE DC = = ， 故选：A． 2．（25-26 八年级上·湖北黄石·期末）如图，ABC 中， 8 AC = ， 5 BC = ，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点 D，交边AC 于点E ，则BCE 的周长为（ ） 20 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直 平分线的性质可得AE BE = ，进而等量代换求解BCE 的周长即可． 【详解】解： DE 垂直平分AB ， AE BE = ， BCE 的周长为BC CE BE + + BC CE AE = + + BC AC = + 5 8 = + 13 = ． 故选：D． 3．（25-26 八年级上·山东德州·月考）如图， ABC 的外角 ACN ， MAC 的平分线CD、AD交于点D， DE AB ⊥ 于E，DF BC ⊥ 于F，点P 在BN 上， 180 ADP ABC + = ，则下列结论中错误的是（ ） A．BD平分 ABC B． : : DAB DBC S S AB BC = C．若 31 BDC = ，则 49 DAM = D． 2 BP AE AB − = 【答案】C 【分析】过点D 作DG AC ⊥ 于G ，由角平分线的性质得到DE DF = ，然后利用角平分线的判定定理即可得 到BD平分 ABC ，进而判断A；由DE DF = 结合三角形面积即可判断B；由角平分线的定义得到 2 ABC CBD = ， 2 ACF DCF = ，然后结合三角形外角的性质得到 180 118 EAC BAC = − = ，然后 21 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由AD平分 MAC 即可得到 1 59 2 DAM MAC = = ，即可判断C；证明出 ( ) AAS ADE PDF ≌ ，得到 AE PF = ，证明出 ( ) Rt Rt HL BDE BDF ≌ ，得到BE BF = ，然后等量代换即可判断D． 【详解】解：A．过点D作DG AC ⊥ 于G ， ∵AD平分 MAC ，DE AB ⊥ ，DG AC ⊥ ∴DE DG = ， 又CD平分 ACN ，DF BC ⊥ ，DG AC ⊥ ， ∴DF DG = ， ∴DE DF = ， 又DE AB ⊥ ，DF BC ⊥ ， ∴BD平分 ABC ，故A 正确； B．由①知DE DF = ， 1 1 : : : 2 2 DAB DBC S S AB DE BC DF AB BC = = ，故B 正确； C．∵BD平分 , ABC CD平分 ACN ， ∴ 2 ABC CBD = ， 2 ACF DCF = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 62 BAC ACF ABC DCF CBD DCF CBD BDC = − = − = − = = ∴ 180 118 EAC BAC = − = ∵AD平分 MAC ， ∴ 1 59 2 DAM MAC = = ，故C 错误； D．∵ 180 ADP ABC + = ， ∴ 180 BAD BPD + = 180 DAE BAD + = ， DAE DPF = ， 22 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又∵ 90 DEA DFP = = ，DE DF = ， ( ) AAS ADE PDF ≌ ， AE PF = ， 在 Rt BDE △ 和Rt BDF △ 中， BD BD DE DF = = ， ( ) Rt Rt HL BDE BDF ≌ ， BE BF = ， 2 BP AB BF PF AB BE AE AB BE AB AE AE AE AE − = + − = + − = − + = + = ， 2 BP AE AB − = ，故D 正确． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26 八年级上·重庆江津·期末）如图，在Rt ABC △ 中， 90 C = ，以顶点A为圆心，适当长度为半径 画弧，分别交AC ，AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于1 2 MN 的长为半径画弧，两弧交于 点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若 8 3 CD = ， 10 AB = ，则 ABD △ 的面积 ． 【答案】40 3 【分析】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，过D 作DE AB ⊥ 于点E ，由作图可 知，AP 平分 BAC ，由角平分线的性质可得 8 3 ED CD = = ，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练 掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过D作DE AB ⊥ 于点E ， 由作图可知，AP 平分 BAC ， 23 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 90 C = ， ∴CD AC ⊥ ， ∴ 8 3 ED CD = = ， ∴ ABD △ 的面积为1 1 8 40 10 2 2 3 3 AB DE = = ， 故答案为：40 3 ． 5．（25-26 八年级上·福建厦门·期末）如图，在 ABC 中，AB BC = ， 4cm AC = ， 2 8cm ABC S = ，边BC 的 垂直平分线为l ，点D是边AC 的中点，点P 是l 上的动点，则 PCD △ 的周长的最小值是 ． 【答案】6cm /6 厘米 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，连接BP、BD，由线段垂直平分线的性 质可得BP CP = ，则 PCD △ 的周长 PD PC CD PD BP CD BD CD = + + = + + + ，故当B 、P 、D 在同一直线 上时， PCD △ 的周长最小，为BD CD + ，由等腰三角形的性质可得BD AC ⊥ ， 1 2cm 2 CD AC = = ，再根据 三角形面积公式求出 4cm BD = ，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接BP、BD， ， ∵边BC 的垂直平分线为l ，点P 是l 上的动点， ∴BP CP = ， ∴ PCD △ 的周长 PD PC CD PD BP CD BD CD = + + = + + + ， ∴当B 、P 、D在同一直线上时， PCD △ 的周长最小，为BD CD + ， ∵AB BC = ，点D 是边AC 的中点， ∴BD AC ⊥ ， 1 2cm 2 CD AC = = ， 24 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 4cm AC = ， 2 8cm ABC S = ， ∴1 1 4 8 2 2 AC BD BD = = ， ∴ 4cm BD = ， ∴ PCD △ 的周长最小值为 ( ) 4 2 6 cm BD CD + = + = ， 故答案为：6cm． 6．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在 ABC 中，AB AC = ， 90 BAC = ，BE 平分 ABC ， 3 AE = ，CD BE ⊥ ，与BE 的延长线交于点D，连接AD，F 为BC 边上一点，连接EF ，则以下结论： ① ACD CBD = ；② 180 ADC ADE + = ；③EF 的最小值为3；④ 2 BE CD = ，其中所有正确结论的序 号是： ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质等知识． 延长CD、BA交于点G ，可证明 ( ) ASA BGD BCD ≌ ，得GD CD = ，推导出 ( ) ASA ABE ACG ≌ ，则 ACD ABD CBD = = ， 2 BE CG CD = = ；根据垂线段最短结合角平分线的性质求得EF 的最小值为3； 作AH BD ⊥ 于点H ，AI CG ⊥ 于点I ，利用全等三角形的性质求得AH AI = ，推出DA平分 BDG ，即可判 断②说法正确． 【详解】（1）解：延长CD、BA交于点G ， BE 是 ABC 的角平分线，CD BE ⊥ 交BE 的延长线于点D ， 90 GBD CBD BDG BDC = = = ， ， 在 BGD △ 和 BCD △ 中， 25 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 GBD CBD BD BD BDG BDC = = = ， ( ) ASA BGD BCD ≌ ， GD CD = ， 2 CG CD = ， 90 BAC = ， 90 BAE CAG = = ， 90 ABE ACG G = = − ， 在ABE 和ACG 中， ABE ACG AB AC BAE CAG = = = ， ( ) ASA ABE ACG ≌ ， BE CG = ， ACD ABD CBD = = ，①说法正确； 2 BE CD = ，④说法正确； 当EF BC ⊥ 时，EF 有最小值， ∵ 90 BAC = ，BE 平分 ABC ， 3 AE = ， ∴ 3 EF AE = = ， ∴EF 的最小值为3，③说法正确； 作AH BD ⊥ 于点H ，AI CG ⊥ 于点I ， ∵ABE ACG ≌ ， ∴AH AI = ， ∴DA平分 BDG ， ∴ 180 ADC ADG ADC ADE + = + = ，②说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故答案为：①②③④． 三、解答题 7．（25-26 八年级上·全国·期末）如图，在 ABC 中，AC 的垂直平分线EF 交BC 于点E，交AC 于点F， 26 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AD BC ⊥ 于点D，连接AE ，且AB CE = ． (1)求证：DE DB = ； (2)若 18 BAD = ，求 C 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质． （1）连接AE ，根据垂直平分线的性质得到AE CE = ，得出AE AB = ，根据三线合一可知DE DB = ； （2）由（1）可知，AE CE = ，AB AE = ，根据等边对等角得到 EAC C = ，B AEB = ，求出 72 AEB = ， 根据三角形外角的性质得到 2 72 AEB EAC C C = + = = ，即可求出 C 的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接AE ， ∵EF 垂直平分AC ， ∴AE CE = ， ∵AB CE = ， AE AB = ， 又∵AD BC ⊥ ， DE DB = ； （2）解：由（1）可知，AE CE = ，AB AE = ， EAC C = ， B AEB = ， AD BC ⊥ ， 18 BAD = ， 90 18 72 AEB B = = − = ， 2 72 AEB EAC C C C C = + = + = = ， 36 C = ． 27 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 八年级上·重庆万州·期末）如图，在 ABC 中， BAC 的平分线与外角 CBM 的平分线相交于点 D，射线BD交AC 的延长线于点N，连接CD． (1)若 14 AB = ， 8 BC = ， 12 CN = ， BCN △ 的面积为20，求 ABD △ 的面积； (2)若BC 是AN 的垂直平分线，求 ADC 的度数． 【答案】(1)14 (2)30 【分析】（1）过D 作DE AM ⊥ 于E，过D 作DF BC ⊥ 于F，过D 作DG CN ⊥ 于G，由角平分线的性质 定理得出DE DF DG = = ，再结合 BCN BCD CDN S S S = + 计算得出 2 DE = ，即可得出结果； （2）由线段垂直平分线的性质可得AB BN = ，由等边对等角可得 ABC CBN = ，由角平分线的定义可得 CBN MBN = ，求出 30 BAC = ，再由角平分线的定义可得 1 15 2 DAC BAC = = ， 1 45 2 DCN BCN = = ，最后由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：过D 作DE AM ⊥ 于E，过D 作DF BC ⊥ 于F，过D 作DG CN ⊥ 于G， ∵AD平分 BAC ， ∴DE DG = ， ∵BN 平分 CBM ， ∴DF DE = ， ∴DE DF DG = = ， ∵ BCN BCD CDN S S S = + 1 1 2 2 BC DF CN DG = + 28 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 1 2 2 BC DE CN DE = + ， ∴1 1 8 12 20 2 2 DE DE + = ， ∴ 2 DE = ， ∴ 1 1 14 2 14 2 2 ABD S AB DE = = = ； （2）解：∵BC 是线段AN 的垂直平分线， ∴AB BN = ， ∴ ABC CBN = ， ∵BN 平分 CBM ， ∴ CBN MBN = ， ∵ 180 ABC CBN MBN + + = ， ∴ 60 ABC = ， ∴ 30 BAC = ， ∵AD平分 BAC ， ∴ 1 15 2 DAC BAC = = ， ∵DF DG = ， ∴CD平分 BCN ， ∴ 1 45 2 DCN BCN = = ， ∵ DCN DAC ADC = + ， ∴ 30 ADC DCN DAC = − = ． 9．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）如图，在 ABC 中，AB AC = ，D 为BC 中点，连接AD，EF 垂直平 分AC 交AB 于点E，交AD于点O，交AC 于点F，连接OB ，OC ． (1)若 20 CAD = ，求 BEF 的度数； 29 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)求证： AOB 是等腰三角形． 【答案】(1)130； (2)见详解． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以 上知识点是解题的关键． （1）先根据垂直定义可得 90 AFE = ，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得AD平分 BAC ，从而可 得 2 40 EAF BAC CAD = = = ，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可求解； （2）利用等腰三角形的三线合一性质可得AD是BC 的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得 OA OB = ，即可求证； 【详解】（1）解：∵EF 是AC 的垂直平分线， ∴ 90 AFE = ， ∵AB AC = ，D 为BC 中点， 20 CAD = ， ∴AD平分 BAC ， ∴ 2 40 EAF BAC CAD = = = ， ∴ 40 90 130 BEF EAF AFE = + = + = ； （2）证明∵AB AC = ，D 为BC 中点， ∴AD BC ⊥ ， ∴AD是BC 的垂直平分线， ∴OB OC = ， ∵EF 是AC 的垂直平分线， ∴OA OC = ， ∴OA OB = ∴ AOB 是等腰三角形 10．（25-26 八年级上·河北衡水·期中）如图，在 ABC 中，直线l 垂直平分边BC ，分别交AC BC ， 于点D， E，连接BD． 30 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若BD AC ⊥ ，求 DBC 的度数； (2)若 ABD △ 的周长是19， 10 AC = ，求AB 的长； (3)在线段DE 上有一点P，其恰好也在边AC 的垂直平分线上，求证：点P 在边AB 的垂直平分线上． 【答案】(1)45 (2)9 (3)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的周长公式、三 角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由垂直的定义可得 =90 BDC ，由线段垂直平分线的性质得BD CD = ，再根据等边对等角以及三角 形内角和定理即可解答； （2）由线段垂直平分线的性质得BD CD = ，再根据 ABD △ 的周长为19，即AC AD DC = + ，进而求得AB 的 长； （3）由线段垂直平分线的性质得PB PC = 、PA PC = ，即PA PB = ，从而证明结论． 【详解】（1）解：∵BD AC ⊥ ， ∴ =90 BDC ， ∵直线l 垂直平分边BC ， ∴BD CD = ， ∴ 45 ACB DBC = = ． （2）解：∵直线l 垂直平分边BC ， ∴BD CD = ， ∵ ABD △ 的周长为19， ∴ 19 AB BD AD + + = ，即 19 AB AD DC AB AC + + = + = ． ∵ 10 AC = ， ∴ 9 AB = ． （3）证明：如图：连接PA PB PC ， ， ， 31 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵直线l 垂直平分边BC ，点P 在直线l 上， ∴PB PC = ， ∵点P 在边AC 的垂直平分线上， ∴PA PC = ， ∴PA PB = ， ∴点P 在边AB 的垂直平分线上． 11．（25-26 八年级上·福建厦门·期中）如图，在 ABC 中, , AB AC BAC = = ，点D 在AC 的右侧且满足 , BC BD DBC = = ，连接 , AD CD ，其中2 180 + = ． (1)求证： BAC BDC = ； (2)如备用图，延长CD至点M，使得CM BC = ． 求证：①AD平分 BDM ； ②点M 在线段BA的延长线上． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及三点共线的证明， 解题的关键是利用等腰三角形的角关系推导角度，结合全等三角形的判定得到线段相等，再通过角的数量 关系证明共线． （1）利用等腰BCD 的内角和求出 BDC ，结合已知2 180 + = ，证得 BAC BDC = ； （2）①作角两边的垂线，证ABK ACH ≌ 得到距离相等，判定AD平分 BDM ； ②证ABD ACM ≌ ，结合角的和为180，证明点M 在BA的延长线上． 【详解】（1）证明：∵ , BC BD CBD = = ， 32 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ BDC BCD = ， 在 BCD △ 中， 180 BDC BCD CBD + + = ， ∴2 180 BDC + = ， ∵2 180 + = ， ∴ BDC = ， ∴ BAC BDC = ； （2）①如图1，过点A 作 , AH CM AK BD ⊥ ⊥ ，垂足分别为H，K， ∴ 90 AKB AHC = = ， 在 ABC 中， 180 ABC ACB BAC + = − ， 在 BCD △ 中， 180 DBC DCB BDC + = − ， ∵ BAC BDC = ∴ ABC ACB DBC DCB + = + ， ∴ ABD DBC ACB DBC ACB ACD + + = + + ， ∴ ABD ACD = ； 在ABK 和ACH 中， AKB AHC ABK ACH AB AC = = = ， ∴ ( ) AAS ABK ACH ≌ ， ∴AK AH = ， ∵ , AH CM AK BD ⊥ ⊥ ， ∴AD平分 BDM ； ②如图2，连接AM ，设AC 与BD交于点G， 33 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在 ABD △ 和 ACM △ 中， AB AC ABD ACM BD CM = = = ， ∴ ( ) SAS ABD ACM ≌ ， ∴ BAD CAM = ， ∴ BAC DAM = = ， ∵AB AC = ， 1 90 2 BCG = − ， 由（1）知 BDC = ，且AD平分 BDM ， 1 90 2 ADG = − ， ∴ BCG ADG = 又∵ , AGB CAD ADG AGB CBD BCG = + = + ， ∴ CAD CBD = = ， ∴ 2 180 BAC DAM CAD + + = + = ， ∴A，M，B 三点共线． ∴点M 在线段BA的延长线上． 12．（24-25 八年级上·河北邯郸·期末）（1）如图1，在 ABC 中，AD平分 BAC 交BC 于D ，DE AB ⊥ 于 E ，DF AC ⊥ 于F ．求证：AE AF = ； （2）如图2，在（1）的情况下，如果 MDN EDF = ， MDN 的两边分别与 , AB AC 相交于 , M N 两点， 其他条件不变，请探究 , , AM AN AF 三条线段的等量关系．并加以证明； （3）如图3，在Rt ABC △ 中， 90 , 60 , 6 C BAC AC = = = ，AD平分 BAC 交BC 于D ， 120 MDN = ， ND AB ∥ ，求四边形AMDN 的周长． 34 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）见解析；（2） 2 AM AN AF + = ，证明见解析；（3）20 【分析】（1）由角平分线的性质可得DE DF = ，再利用“ HL ”证明Rt Rt AED AFD ≌ ，即可证明结论； （2）由（1）可知，AE AF = ，证明 ( ) ASA EDM FDN ≌ ，得到EM FN = ，即可得出结论； （3）过点D作DE AB ⊥ 于点E ，利用等角对等角，得到AN DN = ，根据30 度角所对的直角边等于斜边一 半，得到 2 DN CN = ，从而求出 2 CN = ， 4 DN AN = = ，同（1）理可证， 6 AE AC = = ，同（2）理可证明 ( ) ASA DEM DCN ≌ ，得到 2 EM CN = = ， 4 DM DN = = ，即可求出四边形AMDN 的周长． 【详解】（1）证明： AD 平分 BAC ，DE AB ⊥ ，DF AC ⊥ ， DE DF = ， 90 AED AFD = = ， 在Rt AED 和Rt AFD 中， DE DF AD AD ì = ïí = ïî ， ( ) Rt Rt HL AED AFD ≌ ， AE AF = ； （2）解： 2 AM AN AF + = ，证明如下： 由（1）可知，AE AF = ， MDN EDF = ， MDN EDN EDF EDN − = − ， EDM FDN = ， 在 EDM △ 和FDN 中， DEM DFN DE DF EDM FDN = = = ， ( ) ASA EDM FDN ≌ ， EM FN = ， 35 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AM AE EM = + ， ( ) 2 AM AF FN AF AF AN AF AN = + = + − = − ， 2 AM AN AF + = ； （3）解：如图，过点D作DE AB ⊥ 于点E ， 90 , 60 C BAC = = ，AD平分 BAC ， 30 BAD CAD = = ， 30 B = ， ND AB ∥ ， 60 CND BAC = = ， 60 ADC = ， 30 CDN = ， 30 ADN CAD = = ， AN DN = ， 在Rt CDN △ 中， 30 CDN = ， 2 DN CN = ， 6 AC = ， 2 3 6 AN CN DN CN CN CN CN + = + = + = = ， 2 CN = ， 4 DN AN = = ， 同（1）理可证， 6 AE AC = = ， 90 BED = ， 30 B = ， 120 EDC MDN = = ， 同（2）理可证明 ( ) ASA DEM DCN ≌ ， 2 EM CN = = ， 4 DM DN = = ， 8 AM AE EM = + = ， 四边形AMDN 的周长 8 4 4 4 20 AM AN DN DM = + + + = + + + = ． 13．（25-26 八年级上·广西南宁·月考）如图，在 ABC 中， 90 BAC ，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点E ，F ，AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点M ，N ，直线EF 与直线MN 交于点P ，已知AFN 的 周长为13cm ． 36 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求线段BC 的长； (2)求证：点P 在线段BC 的垂直平分线上； (3)①已知 52 FAN = ，则 FPN 的度数为______； ②若 FAN = ，则 FPN =______．（用含的式子表示） 【答案】(1)13cm (2)见解析 (3)①64；② 1 90 2 − 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题关键是 熟练掌握线段的垂直平分线的性质． （1）先根据相等垂直平分线的性质得AF BF = ，AN CN = ，再根据BC BF FN NC AF FN AN = + + = + + 即 可得出答案； （2）连接BP，AP ，PC ，根据线段垂直平分线的性质证明PB PC = ，从而证明结论即可； （3）①先根据相等垂直平分线的性质证明AF BF = ，AN CN = ， 90 AEP AMP = = ，进而得 ABC BAF = ， ACB CAN = ．由三角形的内角和得 64 ABC ACB + = ，再求得 180 EPM CAB + = ， 180 ABC ACB CAB + + = ，从而即可得解； ②用①的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵EF 垂直平分AB ，MN 垂直平分MN ， ∴AF BF = ，AN CN = ， ∵AFN 的周长为13cm ， ∴ ( ) 13 cm BC BF FN NC AF FN AN = + + = + + = ； （2）证明：如图，连接BP，AP ，PC ． 37 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵EF 垂直平分AB ，MN 垂直平分MN ， ∴PA PB = ，PA PC = ， ∴PB PC = ， ∴点P 在线段BC 的垂直平分线上； （3）解：①∵ AF BF = ，AN CN = ， 90 AEP AMP = = ， ∴ ABC BAF = ， ACB CAN = ， ∵ 180 ABC ACB CAB + + = ， 52 FAN = ， ∴2 2 52 180 ABC ACB + + = ， ∴( ) 2 128 ABC ACB + = ， ∴ 64 ABC ACB + = ， ∵ 360 PEA PMA EPM CAB + + + = ， 180 PEA PMA + = ， ∴ 180 EPM CAB + = ， 180 ABC ACB CAB + + = ， ∴ 64 FPN EPM ABC ACB = = + = ， 故答案为：64； ②∵ ABC BAF = ， ACB CAN = ， 180 ABC ACB CAB + + = ， FAN = ， ∴2 2 180 ABC ACB + + = ， ∴( ) 2 180 ABC ACB + = − ， ∴ 1 90 2 ABC ACB + = − ， ∵ 360 PEA PMA EPM CAB + + + = ， 180 PEA PMA + = ， ∴ 180 EPM CAB + = ， 180 ABC ACB CAB + + = ， ∴ 1 90 2 FPN EPM ABC ACB = = + = − ， 故答案为： 1 90 2 − ． 14．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形ABCD中， 180 B D + = ，BC CD = ． 38 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：AC 平分 BAD ； (2) E 在AB 边上，连接DE ，若 2 AED ACD = ，求证：BE DE = ； (3)在（2）的条件下， 60 BAD = ，DF AC ⊥ 交CE 于F ，G 在AD边上，DG DF = ，GK BC ∥ 交AC 于 K ，过F 作FH BC ⊥ 于H ，若 6 CF KG − = ， 9 BH = ，求线段CH 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 5 CH = 【分析】（1）延长AD，过点C 作CM AB ⊥ ，CN AD ⊥ ，证 ( ) BMC DNC AAS ≌ ，得到CM CN = ，即可得 到AC 平分 BAD ． （2）延长AD至点N，连接BD，通过角度转化，得到 ABC CDN EDC = = ，由BC CD = 得到 CBD CDB = ， 则 EBD EDB = ，得到EB ED = ． （3）连接FG ，延长FE、GK 交于点T，过点F作CD 的平行线交KG的延长线于点Q，设 = HC m，则 2 FC m = ， 9 CB CD m = = + ， 2 6 GK m = −，先证TFQ 是等边三角形，得到FQ TF = ，证 ( ) GTF FCD AAS ≌ ，得到 9 TF CD m = = + ， 2 TG CF m = = ，再证 ( ) FQN DCN ASA ≌ ，得到FN DN = ，再证BG AC ∥ ，得到 2 6 QG GK m = = −，根据TF TQ TG QG = = + 列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长AD，过点C 作CM AB ⊥ ，CN AD ⊥ ， 180 180 B ADC CDN ADC + = + = ， ， B CDN = ， 39 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又 90 BC DC BMC DNC = = = ， ， ( ) BMC DNC AAS ≌ ， CM CN = ， AC 平分 BAD ． （2）如图，延长AD至点N，连接BD， 由（1）可知 1 2 BAC DAC BAD = = ， 2 AED ACD = ， 2 2 2 EDN BAD AED DAC ACD CDN = + = + = ， 1 2 CDN EDC EDN = = ， 180 180 ABC ADC ADC CDN + = + = ， ， ABC CDN EDC = = ， 又 BC CD = ， CBD CDB = ， EBD EDB = ， EB ED = ． （3）如图，连接FG ，延长FE、GK 交于点T，过点F 作CD 的平行线交KG的延长线于点Q，设 = HC m， 则 2 FC m = ， 9 CB CD m = = + ， 2 6 GK m = −， 40 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由（1）可知 1 30 2 BAC DAC BAD = = = ，由（2）可知 60 ECB ECD = = ， KG BC ， 60 T ECB = = ， FQ CD ∥ ， 60 EFQ ECD = = ， TFQ 是等边三角形， TQ TF FQ = = ， DF AC ⊥ ， 90 60 ADF DAC = − = ， 又 DF DG = ， DFG 是等边三角形， 60 DF FG GFD = = ， ， 120 DFC TFG + = ， 60 FCD = ， 120 DFC CDF + = ， TFG CDF = ， ( ) GTF FCD AAS ≌ ， 9 TF CD m = = + ， 2 TG CF m = = ， FQ CD ∥ ， QFN CDN FQN DCN = = ， ， 又 FQ TF CD = = ， ( ) FQN DCN ASA ≌ ， FN DN = ， DFG 是等边三角形， 1 30 2 DGN DGF = = ， 30 DGN DAC = = ， BG AC ∥ ， 41 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 BG 是QKC 的中位线， 2 6 QG GK m = = − ， TF TQ TG QG = = + ， 9 2 2 6 m m m + = + −，解得 5 m = ， 5 CH = ．
