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专题 13.1 垂直平分线中的几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上.
二、线段垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个）
◆ 典例分析
【典例1】如图，△ABC的两条高CD与AE交于点O，AB=BC=8，OC=6．
（1）求证：BD=BE；
（2）连结BO，试说明：BO是AC的垂直平分线；
（3）F是射线AB上一点，且BF=CO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点
A运动，同时动点Q从点C出发，沿射线CB以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点A时，P，Q两
点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△COP与△FBQ全等时，求t的值．【思路点拨】
（1）证明△AEB≌△CDB，即可得到BE=BD；
（2）先证明△ADO≌△CEO，得到OA=OC，进而得到点O在AC的垂直平分线上，再根据AB=BC得
到点B在AC的垂直平分线上，即可得到BO是AC的垂直平分线；
（3）当点F在AB延长线上时，设运动t秒，根据△COP≌△FBQ得到BF=OC，
∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，根据△COP≌△FBQ得到OP=BQ，进而得到t=8−3t
，求得t=2；当点F在AB之间时，设运动t秒，根据△COP≌△FBQ得到BF=OC，
∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，根据△COP≌△FBQ得到OP=CQ，进而得到t=3t−8
，求得t=4，问题得解．
【解题过程】
（1）证明：∵CD、AE是高，
∴∠AEB=∠CDB=90°，
在△AEB与△CDB中，
{∠AEB=∠CDB
)
∠ABE=∠CBD
AB=CB
∴△AEB≌△CDB(AAS)，
∴BE=BD；
（2）证明：∵AB=BC，BE=BD，
∴AB−BD=BC−BE，
∴AD=CE ，
∵CD、AE是高，
∴∠ADO=∠CEO=90°．
{∠AOD=∠COE
)
在△ADO与△CEO中， ∠ADO=∠CEO ，
AD=CE
∴△ADO≌△CEO(AAS)，
∴OA=OC，
∴点O在AC的垂直平分线上．
∵AB=BC，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴BO是AC的垂直平分线；（3）解：①如图1，当点F在AB延长线上时，
设运动t秒，P、Q分别运动到如图位置，△COP≌△FBQ．
∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，
∴当△COP≌△FBQ时，OP=BQ．
∵OP=t，CQ=8−3t，
∴t=8−3t，
解得t=2．
②如图2，当点F在AB之间时，
设运动t秒，P、Q分别运动到如图位置，△COP≌△FBQ．
∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，
∴当△COP≌△FBQ时，OP=CQ．
∵OP=t，CQ=3t−8，
∴t=3t−8，
解得t=4．
综上所述，t=2或4．
◆ 学霸必刷1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l ，l 相交于点O．若
1 2
∠OEB＝46°，则∠AOC＝（ ）
A．92° B．88° C．46° D．86°
【思路点拨】
根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=2∠ABC，再利用垂直的定义结合直角三
角形两锐角互余得到∠ABC=90°−∠OEB=90°−46°=44°，计算即可．
【解题过程】
解：如图，连接BO并延长至点P，l 与线段AB交于F，
1
∵l ，l 是AB、BC的垂直平分线，
1 2
∴OA=OB，OB=OC，∠ODE=∠OFA=90°，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO
∴∠AOP=2∠ABO，∠COP=2∠CBO，
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=2(∠ABO+∠CBO)=2∠ABC，
∵∠OEB＝46°，∠OFA=90°，
∴∠ABC=90°−∠OEB=90°−46°=44°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×44°=88°，
故选：B2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，△ABC中，AB=2AC,AD是∠BAC的角平分线，延长
AC至E，使得CE=AC，连接DE,BE．下列判断：①BD=ED；②BD=2CD；③ED平分∠CEB；
④△ABD的面积=△EBD的面积，一定成立的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拨】
利用三角形的角平分线，中线和垂直平分线进行判断即可，
【解题过程】
解：如图，延长AD交BE于点F，过D作DG⊥AE于点G，
∵AB=2AC，CE=AC，
∴AB=AE，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴AF垂直平分BE，
∴BD=ED，故①正确；
∵AC=CE，
∴S =S ，S =S ，
△ACD △ECD △ACB △ECB
∴S −S =S −S ，即S =S ，故④正确；
△ACB △ACD △ECB △ECD △ABD △EBD
由题意可知DF与DG不一定相等，
则③不一定成立；
∵AC=CE，AF垂直平分BE，
∴S =S =2S ，
△ABD △AED △ADC∴BD=2CD，故②正确；
综上① ② ④正确；
故选：B．
3．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AD，AB边上，将∠A
沿EF折叠，使点A落在点G处，连接GE，GF．有下面四个结论：
①AF=GF；②直线EF是线段AG的垂直平分线；③∠B+∠C+∠D+∠G=360°；④
∠BFG=∠DEG+2∠A．
所有正确结论的序号为( )
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【思路点拨】
本题考查翻折变换，线段垂直平分线的判定，多边形内角和公式，三角形外角性质，掌握翻折不变性，以
及相关性质是解题的关键．
由翻折不变性，可判断①正确；由翻折不变性，可得AF=GF，AE=≥¿，可判断②正确；由多边形内角
和公式和翻折不变性，可判断③正确；由三角形外角性质和翻折不变性，可判断④正确；即可解答．
【解题过程】
解： ∵GF是由AF翻折得到的，
∴AF=GF，
故①正确；
∵GF是由AF翻折得到的，GE是由AE翻折得到的，
∴AF=GF，AE=≥¿，
∴点E，点F都在AG的垂直平分线上，
∴直线EF是线段AG的垂直平分线，
故②正确；
∵∠G是由∠A翻折得到的，
∴∠G=∠A
∵∠B+∠C+∠D+∠A=360°
∴∠B+∠C+∠D+∠G=360°故③正确；
设AD与GF交于点H，
∵∠G是由∠A翻折得到的，
∴∠G=∠A
∵∠BFG=∠FHA+∠A=∠DEG+∠G+∠A
∴∠BFG=∠DEG+2∠A
故④正确；
综上，正确的有：①②③④，
故选：D．
4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC中，AB＞AC，MN是边BC的垂直平分线，交
AB于G，过点F作FE⊥AB于点E，AF平分∠DAB交MN于F，连接BF，CF．下列结论：①
FB=FC②FB+FC＞AB+AC③AB−AC=2AE④∠BFC=∠BAC．其中正确的结论是
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【思路点拨】
根据线段垂直平分线的性质，得到FB=FC；过点F作FH⊥AC于点H，证明△FBE≌△FCH，得到
BE=CH，结合AF平分∠DAB，得到FE=FH，继而AE=AH，可证明AB−AC=2AE；利用斜边大
于直角边，证明FB+FC>AB+AC；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明．
【解题过程】
解：∵MN是边BC的垂直平分线，
∴FB=FC；
故①正确；
过点F作FH⊥AC于点H，
∵AF平分∠DAB，FE⊥AB，FH⊥AC，
∴FE=FH，
{FA=FA
)
∵ ，
FE=FH
∴△FAH≌△FAE(HL)，
∴AE=AH，
{FB=FC)
∵ ，
FE=FH
∴△FBE≌△FCH(HL)，
∴∠FBE=∠FCH，BE=CH，
∴AB−AC=BE+AE−(CH−AH)=BE+AE−BE+AH=2AE，
故③正确；
∵FB＞BE，FC＞CH，
∴FB+FC＞BE+CH，
∴FB+FC＞AB−AE+AC+AH，
∴FB+FC＞AB+AC，
故②正确；
∵∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB，∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，∴∠BAC=180°−∠FBC+∠FBE−∠FCB−∠FCH=180°−∠FBC−∠FCB，
∴∠BFC=∠BAC，
故④正确；
故选D．
5．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上
的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S :S =AD:FD；④若
△ABF △AFC
BF=2EC，则BC=AB．正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【思路点拨】
根据垂直定义可得∠ADB=∠ADC=90°，再利用∠ABC=45°，得到AD=BD，从而可证明
△BDF≌△ADC，进而得到FD=CD，即可判断①；根据AB≠BC，BE⊥AC，即可判断②，根据三角
S BD
形面积公式和它们有一条公共边可得 △ABF = ，即可判断③，若BF=2EC，根据△BDF≌△ADC可
S CD
△AFC
以得到BF=AC，从而可得E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分
线的性质即可判断④．
【解题过程】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=90°−∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠C=90°，
∵∠EBC+∠BFD=90°，∴∠BFD=∠C，
∴△BDF≌△ADC(AAS)，
∴DF=CD，
∴∠FCD=∠DFC=45°，故①正确；
∵AB≠BC，BE⊥AC，
∴AE≠EC，故②不正确；
1
AF⋅BD
S 2 BD
∵ △ABF = = ，
S 1 CD
△AFC AF⋅CD
2
∴S :S =AD:FD，故③正确；
△ABF △AFC
∵△BDF≌△ADC，
∴BF=AC
∵BF=2EC，
∴AC=2EC，
∴E为AC的中点，
∵BE⊥AC，
∴BE为线段AC的垂直平分线，
∴BA=BC，故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：D．
6．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△ABC中，AC=BC，点M，N分别在AC，AB上，将
△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），下列结论：①直线MN
垂直平分AD；②AD=CD；③∠CDM=∠BND；④若M是AC中点，则AD⊥BC．其中一定正确的
是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【思路点拨】
①根据将△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），证明直线MN
垂直平分AD，故①正确；
②证明∠C与∠CAD不一定相等，得到AD与CD不一定相等，故②错误；
③先由①得，直线MN垂直平分AD，则AN=DN，AM=DM，再根据”等边对等角“证明
∠NAD=∠NDA，∠MAD=∠MDA，则∠AMD=180°−2∠MAD，再根据∠AMD是△CDM的一
个外角，∠BND是△NAD的一个外角，证明∠AMD=∠C+∠CDM，
∠BND=∠NAD+∠NDA=2∠NAD，进一步证明∠CDM=180°−2∠MAD−∠C，根据AC=BC
，得到∠CAB=∠B，则∠C=180°−2∠CAB，然后根据∠CAB=∠MAD+∠NAD，证明
∠CDM=2∠NAD，从而得到∠CDM=∠BND，故③正确；
④先根据M是AC的中点，证明AM=CM，再由①得，直线MN垂直平分AD，则AM=DM，再证明
AM=DM=CM，最后证明∠ADC=90°，即AD⊥BC，故④正确．
【解题过程】
解：①∵将△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），
∴直线MN垂直平分AD，
故①正确；
②∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∴∠C=180°−∠B−∠CAB=180°−2∠CAB
又∵∠CAD=∠CAB−∠BAD，
∴180°−2∠CAB与∠CAB−∠BAD不一定相等，
∴∠C与∠CAD不一定相等，
∴AD与CD不一定相等，
故②错误；
③由①得，直线MN垂直平分AD，
∴AN=DN，AM=DM，
∴∠NAD=∠NDA，∠MAD=∠MDA，
∴∠AMD=180°−∠MAD−∠MDA=180°−2∠MAD
∵∠AMD是△CDM的一个外角，∠BND是△NAD的一个外角，
∴∠AMD=∠C+∠CDM，∠BND=∠NAD+∠NDA=2∠NAD
∴∠C+∠CDM=180°−2∠MAD，∴∠CDM=180°−2∠MAD−∠C，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∴∠C=180°−∠B−∠CAB=180°−2∠CAB
又∵∠CAB=∠MAD+∠NAD，
∴∠C=180°−2(∠MAD+∠NAD)=180°−2∠MAD−2∠NAD
∠CDM=180°−2∠MAD−(180°−2∠MAD−2∠NAD)
即∠CDM=2∠NAD，
又∵∠BND=2∠NAD(已证)，
∴∠CDM=∠BND，
故③正确；
④∵M是AC的中点，
∴AM=CM，
∵AM=DM，
∴AM=DM=CM，
∴∠MAD=∠MDA，∠MDC=∠C，
又∠MAD+∠MDA+∠MDC+∠C=180°，
∴∠MDA+∠MDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
故④正确；
综上所述，一定正确的有①③④，
故选：D．
7．（22-23八年级上·重庆巴南·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满
足AC=AD，点E为BC上一点，连接AE，∠CAD=2∠BAE，下列结论：①∠ACB=∠ADE；②
AC⊥DE；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE−BE=BE+CE．正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
延长EB至G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EAD，且AE＝AG
，利用SAS证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以①是正确的，通过线段的等
量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE＝x，则∠DAC＝2x，因为CD∥AB，所以
∠BAC＝∠ACD＝90°−x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE＝90°，故③是正确的，当
∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故②是错误的．
【解题过程】
解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥≥¿，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE，
1
∴∠BAE= ∠GAE，
2
1
∵∠BAE= ∠CAD，
2
∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
¿，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴①是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴②是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
1
∴∠ACD＝∠ADC= ×（180°−2x）＝90°−x，
2
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°−x，
∴∠CAE＝∠BAC−∠EAB＝90°−x−x＝90°−2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°−2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+≥＝CE+2BE，
∴DE=CE+2BE，
∴DE−BE=BE+CE
∴④是正确的，
故选：C．
8．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，
∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于点F，AC=6，BC=9，则BF的长为 ．【思路点拨】
连接AE，过点E作EN⊥AC，交AC的延长线于N，由∠ACE+∠BCE=180°，可得∠BCE=∠NCE
；由D为AB中点，DE⊥AB，则可得AE=BE；证明△EFC≌△ENC，再证明△BEF≌△AEN即可求
得结果．
【解题过程】
解：连接AE，过点E作EN⊥AC，交AC的延长线于N，如图，
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ACE+∠ECN=180°，
∴∠BCE=∠NCE；
∵D为AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE；
∵EF⊥BC，EN⊥AC，
∴∠EFC=∠ENC=90°，
∵EC=EC，
∴△EFC≌△ENC，
∴EF=EN,CF=CN；
∵EF⊥BC,EN⊥AC，AE=BE，EF=EN，
∴△BEF≌△AEN，
∴BF=AN，
∴BC−CF=AC+CN，即9−CF=6+CN，
3
∴CF= ．
2
3 15
∴BF=BC−CF=9− =
2 2
15
故答案为： ．
2
9．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC，AC
边上的高，AD，BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；
③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有 (写出所有正确结论的
序号)
【思路点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性
质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
延长CF交AB于H，先利用“ASA”证明△DBF≌△DAC，得出BF=AC，DF=DC，可判断①符合题
意；由∠FDC=90°，得出∠DFC=∠FCD=45°，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由
∠ABC=45°，∠FCD=45°，得出∠BHC=180°−∠ABC−∠FCD=90°，得出CF⊥AB，可判断
③符合题意；由BF=2EC，BF=AC，可证明BE垂直平分AC，得出AF=CF，BA=BC，得出△FDC
的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，可判断④符合题意；即可得
出答案．
【解题过程】
解：如图，延长CF交AB于H，∵AD，BE分别为BC，AC边上的高，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=180°−∠ABC−∠ADB=45°，
∴∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠DAC+∠ACB=∠DBF+∠ACB=90°，
∴∠DAC=∠DBF，
在△DBF和△DAC中，
¿，
∴△DBF≌△DAC(ASA)，
∴BF=AC，DF=DC，故①符合题意；
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DFC>∠DAC，
∴∠FCD>∠DAC，故②不符合题意；
∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠BHC=180°−∠ABC−∠FCD=90°，
∴CF⊥AB，故③符合题意；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周长=FD+FC+DC
=FD+AF+DC
=AD+DC
=BD+DC
=BC
=AB，故④符合题意．
故答案为：①③④．10．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上
一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线
上，且DE：BN＝1：7，S ABD＝15，则S ABE＝ ．
△ △
【思路点拨】
过点F作FG⊥BN于点G，根据已知条件证明△ABD≌△BFG，可得BD＝FG，AD＝BG，再证明
△BDE≌△FGN可得DE＝GN，根据DE：BN＝1：7，可得GN：BN＝1：7，设ED＝x，DE：BG＝1：6，
可得AD＝BG＝6x， AE＝5x，然后根据S ABD＝15，进而可得S ABE．
△ △
【解题过程】
解：如图，过点F作FG⊥BN于点G，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∵MN⊥FB，
∴∠FBN+∠FNB＝90°，
∵点M恰在BN的垂直平分线上，
∴MB＝MN，
∴∠ABN＝∠FNB，
∴∠ABN+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠FBN，
∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF，
∴BA＝BF，
在△ABD和△BFG中，
∠ADB=∠BGF
{∠BAD=∠FBG ，
AB=BF
∴△ABD≌△BFG（AAS），
∴BD＝FG，AD＝BG，
∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BED＝∠ABD＝∠BFG=∠FNG，
在△BDE和△FGN中，
∠BDE=∠FGN
{∠BED=∠FNG，
BD=FG
∴△BDE≌△FGN（AAS），
∴DE＝GN，
∵DE：BN＝1：7，
∴GN：BN＝1：7，
设ED＝x，
∴DE：BG＝1：6，
∴AD＝BG＝6x，
∴AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x，
∵S ABD＝15，
△
5 5 25
∴S ABE＝ S = ×15= ．
△ 6 △ABD 6 2
25
故答案为： ．
2
11．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线
AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF
交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①
∠CDA=45°；②AF−CG=CA；③DE=DC；④CF=2CD+EG；其中正确的有 ．（填序号）【思路点拨】
①利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可；
②③延长GD与AC交于点I，利用全等三角形的判定与性质求解即可；
④在DF上截取DM=CD，利用垂直平分线的性质以及全等三角形的性质，求解即可．
【解题过程】
解：设∠GCD=x，∠DAC= y，
∵CD平分∠MCB，AP平分∠CAB，
1
∴∠BCD=∠MCD，∠CAD= ∠CAB
2
{ ∠MCD=x= y+∠ADC )
由三角形外角的性质可得：
∠MCB=2x=2y+∠ABC
1
∴∠ADC= ∠ABC=45°①正确；
2
延长GD与AC交于点I，如下图：
∵DE⊥CF
∴∠CDG=∠CDI=90°
∵CF平分∠GCI∴∠GCD=∠ICD
又∵CD=CD，
∴△GCD≌△ICD(ASA)
∴CG=CI
∵∠ADC=45°
∴∠ADI=∠ADF=135°
又∵∠FAD=∠IAD，AD=AD
∴△AFD≌△AID(ASA)
∴AF=AI
∴AF−CG=CA②正确；
同理可得：△ACD≌△AED(ASA)
∴DE=DC，③正确；
在DF上截取DM=CD，则DE是CM的垂直平分线，如下图：
∴CE=EM
∵△AFD≌△AID(ASA)
∴∠I=∠DFE，AF=AI
又∵∠CDI=∠EDF=90°
∴∠DCG=∠≝¿
∵∠ECG=∠GCD−45°，∠MEF=∠≝−45°
∴∠MEF=∠ECG
∵△ACD≌△AED(ASA)∴AC=AE
∴EF=CI
又∵CI=CG
∴EF=CG
又∵EM=CE
∴△EMF≌△CEG(SAS)
∴FM=≥¿
∴CF=2CD+EG④正确
故答案为：①②③④
12．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：
（1）如图1，在BC上求作点D，使S =S ；
△ABD △ACD
（2）如图2，若点D在AB边上，在BC上求作点E，使S =S ．
△BDE 四边形ADEC
【思路点拨】
（1）作BC的垂直平分线与BC的交点即为所求；
1 1
（2）如图：由题意得，只要作S = S ❑ 即可，由第（1）问得，S = S ❑ ，只要作
△BDE 2 △ ABC △ABP 2 △ ABC
S =S ❑ 即可．
△BDE △ ABP
【解题过程】
（1）解：如图：作BC的垂直平分线与BC交于D点，
∴BD=CD，
∵△ABD与△ACD高相同，
∴S =S ．
△ABD △ACD
如图1：点D即为所求；
（2）如图：
1
由题意得，只要作S = S ❑ 即可，
△BDE 2 △ ABC
作BC的垂直平分线交BC于P点，
1
由第（1）问得，S = S ❑ ，
△ABP 2 △ ABC
故只要作S =S ❑ 即可，
△BDE △ ABP
连接D、P，要使得S =S ❑ ，只要作S =S ，
△BDE △ ABP △ADP △EDP
根据“夹在平行线之间的垂线段相等”，即，高相等，
只要作AE∥DP，
根据“同位角相等，两直线平行”，作∠BAE=∠BDP，交BC于E点，
如图2：点E即为所求．13．（2023·江苏扬州·模拟预测）尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．
（1）过点A作一条直线，使其平分△ABC的面积．
（2）在BC上求作一点E，使△ACE与△ACD面积相等．
（3）过点D作一条直线，使其平分△ABC的面积．
【思路点拨】
（1）作出线段BC的垂直平分线，垂足为T，作直线AT即可；
（2）作∠BDE=∠A，DE交BC与点E，点E即为所求；
（3）根据（1）的方法作出中线AT，连接DT，根据（2）的方法作AF∥DT，AF交BC与点F，作直线
DF即可．
【解题过程】
（1）解： 如图直线AT即为所求；
（2）解： 如图，点E即为所求；
∵∠BAC=∠BDE，
∴AC∥DE，
∴S =S ，
△ACD △ACE（3）解：如图，直线DF即为所求．
理由如下，
∵AT是△ABC的中线，
∴S =S ，
△ABT △ATC
∵AF∥DT，
∴S =S ，
△DTA △DTF
1
∴ S =S =S +S =S +S =S ，
2 △ABC △ABT △BDT △DTA △BDT △DTF △BDF
∴直线DF平分△ABC的面积．
14．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边
AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．（1）若AB=5，则△CMN的周长为 ；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【思路点拨】
本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的内角和，即
可．
（1）根据垂直平分线的性质，则AM=CM，CN=BN，根据AB=AM+MN+BN=5，△CMN的周长
为：CM+MN+CN，即可；
（2）垂直平分线的性质，则∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，根据三角形内角和，则
∠NMF+∠MNF=110°，再根据对顶角相等，则∠AMD+∠ENB=110°，根据三角形内角和，则
∠A=90°−∠AMD，∠B=90°−∠ENB，最后根据∠A+∠ACM+∠MCN+∠BCN+∠B=180°
，即可．
【解题过程】
（1）∵DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，
∴AM=CM，CN=BN，
∵AB=5，
∴AB=AM+MN+BN=5，
∵△CMN的周长为：CM+MN+CN，
∴C ❑=AM+MN+BN=5，
△CMN
故答案为：5．
（2）∵DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∵∠MFN=70°，
∴∠NMF+∠MNF=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠ENB=∠MNF，
∴∠AMD+∠ENB=110°，
∵∠A=90°−∠AMD，∠B=90°−∠ENB，∴∠A+∠B=180°−(∠AMD+∠ENB)=70°，
∴∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴∠A+∠ACM+∠MCN+∠BCN+∠B=180°，
∴∠MCN=180°−2(∠A+∠B)=180°−140°=40°．
15．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC．
（1）若∠ADB=48°，求∠A的度数；
（2）若AB=5cm，△ABC与△ABD的周长之差为8cm，且△ADB的面积为10cm2，求△DBC的面积．
【思路点拨】
（1）由线段垂直平分线的性质结合三角形外角的性质易求出∠DBC=∠C=24°，再根据角平分线的定
义即得出∠ABD=∠DBC=24°，最后根据三角形内角和定理求解即可；
（2）由线段垂直平分线的性质结合△ABC与△ABD的周长之差为8cm，即可求出BC=8cm．过点D作
DH⊥AB于H．由△ADB的面积为10cm2，AB=5cm，可求出DH=4cm，结合角平分线的性质定理可
得出DE=4cm，即可计算S ．
△DBC
【解题过程】
（1）解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C．
∵∠ADB=∠DBC+∠C=48°，
∴∠DBC=∠C=24°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=24°，
∴∠A=180°−∠ABD−∠ADB=108°；
（2）解：∵DE垂直平分BC，
1
∴BE=CE= BC，DE=BC，BD=CD，
2
∵C −C =8cm，C =AB+BC+AC，C =AB+BD+AD，
△ABC △ABD △ABC △ABD
∴AB+BC+AC−(AB+BD+AD)=8cm，
∴AB+BC+AC−(AB+CD+AD)=8cm，∴AB+BC+AC−(AB+AC)=8cm，即BC=8cm．
过点D作DH⊥AB于H．
1
∵△ADB的面积为10cm2，且S = AB⋅AD，AB=5cm，
△ADB 2
1
∴10= ×5DH，
2
∴DH=4cm．
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DH=4cm．
1 1
∴S = BC⋅DE= ×8×4=16cm2 ．
△DBC 2 2
16．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长．
【思路点拨】
（1）在CA上截取CF＝CB，然后分别以C、F为圆心，AB、AC为半径画弧，两弧的交点为D，从而得到
满足条件的△DCF；
（2）先利用全等三角形的性质得到DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，作FP的垂直平分
1
线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图，证明MN＝ DF＝BC，再证明△PMN≌△PCB，所以PC
21
＝PM，从而得到PC＝ CF．
3
【解题过程】
（1）解：如图，△DCF为所作；
（2）解：如图2，∵△DCF≌△ABC，
∴DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，
∴DF∥BC，
作FP的垂直平分线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图，
∴NP＝NF，MP＝MF，
∴∠NPF＝∠NFP，
∴∠NDF＝∠NFD，
∴ND＝NF，
∴FH＝DH
∵FH＝MN，
∴MN＝FH＝DH＝2，
∴MN＝BC，
∵MN∥DF，
∴MN∥BC，
∴∠PMN＝∠PCB，在△PMN和△PCB中，
{∠MPN=∠CPB
)
∠PMN=∠PCB ，
MN=CB
∴△PMN≌△PCB（AAS），
∴PC＝PM，
而PM＝MF，
1 2
∴PC＝ CF＝ ．
3 3
17．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射线AD、
AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连接CG．
（1）如图1，若射线AD、AE都在∠BAC的内部，且点B与点B′关于AD对称，求证：CG=B′G；
（2）如图2，若射线AD在∠BAC的内部，射线AE在∠BAC的外部，其他条件不变，求证：
CG+2GF=BG；
14
（3）如图3，若射线AD、AE都在∠BAC的外部，其他条件不变，若CG= GF，AF=3，S =7.5
5 △ABG
，求BF的长．
【思路点拨】
（1）先判断出AC=AB′，再用等式的性质判断出∠BAF=∠B′ AF，进而判断出△CGA≌△B′GA，即
可得出结论；
（2）先判断出∠GAF=∠G′ AF，再判断出∠GAC=∠G′ AB，进而得出△GAC≌△G′ AB，即
CG=G′B，即可得出结论；
（3）同（2）的方法判断出CG=G′B，最后用面积建立方程求出k的值，即可得出结论．
【解题过程】（1）证明：如图1，连接AB′，
∵B，B′关于AD对称，
∴BB′被AD垂直平分，
∴AB′=AB，
∵AC=AB，
∴AC=AB′，
∵AF⊥BG，
∴∠BAF=∠B′ AF，
∵∠GAF=55°，
∴∠B′ AF+∠GAB′=55°，
∵∠CAB=110°，
∴∠CAG+∠FAB=55°，
∴∠B′ AF+∠GAB′=∠CAG+∠FAB，
∵∠BAF=∠B′ AF，
∴∠GAB′=∠CAG，
∵AG=AG，
∴△CGA≌△B′GA(SAS)，
∴CG=B′G；
（2）证明：如图2，在FB上截取FG′=GF，连接AG′，∵BF⊥AD，
∴AG=AG′，
∴∠GAF=∠G′ AF，
∴∠GAG′=2∠GAF=110°，
∵∠CAB=110°，
∴∠GAG′=∠CAB，
∴∠GAG′−∠CAG′=∠CAB−∠CAG′，
∴∠GAC=∠G′ AB，
∵AC=AB，
∴△GAC≌△G′ AB(SAS)，
∴CG=G′B，
∵FG′=GF，
∴CG′=2GF，
∵GB=GG′+G′B，
∴GB=2GF+CG，
∴CG=GB−2GF；
即CG+2GF=BG；
（3）解：如图3，延长BF至点G′，使G′F=GF，连接AG′，∵BF⊥AD，
∴AG=AG′，
∴∠GAF=∠G′ AF，
∴∠GAG′=2∠GAF=110°，
∵∠CAB=110°，
∴∠GAG′=∠CAB，
∴∠GAG′−∠CAG′=∠CAB−∠CAG′，
∴∠GAC=∠G′ AB，
∵AC=AB，
∴△GAC≌△G′ AB(SAS)，
∴CG=G′B，
14
∵CG= GF，
5
∴设GF=5k，CG=14k，
∴G′F=5k，BG′=14k，
∴BG=4k，
∵AF=3，S =7.5，
△ABG
1
∴ BG⋅AF=7.5，
2
1
∴ ×4k×3=7.5，
2
∴k=1.25，
∴BF=9k=11.25．
1
18．（23-24八年级上·辽宁·期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，射线AD，AE的夹角为 α，过
2点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连接CG．
（1）如图1，射线AD，AE都在∠BAC内部．
①若α=120°，∠CAE=20°，则∠CBG= °；
②作点B关于直线AD的对称点H，在图1中找出与线段GH相等的线段，并证明．
（2）如图2，射线AD在∠BAC的内部，射线AE在∠BAC的外部，其它条件不变，探究线段
BF，BG，CG之间的数量关系，并证明．
【思路点拨】
（1）①先根据角的运算得出∠BAD的度数，根据三角形内角和求出∠ABC的度数；再根据直角三角形两
锐角互余可得出∠ABG的度数，作差可得结论；
1 1
②连接AH，可得出AB=AH=AC，再根据∠BAC=α，∠DAE= α，可得出∠BAF+∠CAE= α，
2 2
1
∠HAF+∠HAG= α，所以∠CAE=∠HAG；进而可得△AGH≌△AGC(SAS)，再由全等三角形的
2
性质可得结论；
（2）在BG延长线上取点H，使HF=BF．连接AH．由垂直平分线的性质可得AB=AH，
∠BAF=∠HAF；设∠CAD=x，∠CAE= y，所以∠DAE=x+ y，由此表达
∠BAC，∠BAF，∠HAF，由∠HAE=∠DAE+∠HAE，可得x+2y=x+ y+∠HAE，所以
∠HAE= y，即∠HAE=∠CAE；由此可得△ACG≌△AHG(SAS)，所以CG=HG，由此可得结论．
【解题过程】
1
（1）解：①∵∠BAC=α=120°，∠DAE= α=60°，∠CAE=20°，
2
∴∠BAD=120°−60°−20°=40°，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF=90°−40°=50°，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=30°，
∴∠CBG=∠ABF−∠ABC=50°−30°=20°，
故答案为：20；
②GH=GC，理由如下：
证明：如图1，连接AH，
，
∵点B与点H关于直线AD对称，AF⊥BH，
∴BF=HF，
∴AD是BH的垂直平分线，
∴AB=AH，∠BAF=∠HAF，
∵AB=AC，
∴AH=AC，
1
∵∠BAC=α，∠DAE= α，
2
1 1
∴∠BAF+∠CAE= α，∠HAF+∠HAG= α，
2 2
∴∠CAE=∠HAG，
∵AG=AG，
∴△AGH≌△AGC(SAS)，
∴GH=GC；
（2）解：BG=2BF−CG，
证明：如图2，在BG延长线上取点H，使HF=BF，连接AH，，
∵AF⊥BH，BF=HF，
∴AB=AH，∠BAF=∠HAF，
设∠CAD=x，∠CAE= y，
∴∠DAE=x+ y，
1
∵∠DAE= ∠BAC，
2
∴∠BAC=2x+2y，
∴∠BAF=∠BAC−∠CAD=2x+2y−x=x+2y，
∴∠HAF=∠BAF=x+2y，
∵∠HAE=∠DAE+∠HAE，
∴x+2y=x+ y+∠HAE，
∴∠HAE= y，即∠HAE=∠CAE，
∵AB=AC，AB=AH，
∴AC=AH，
∵AG=AG，
∴△ACG≌△AHG(SAS)，
∴CG=HG，
∵BG=BH−GH，BH=2BF，
∴BG=2BF−CG．
