文档内容
专题 1.3 轴对称全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 轴对称1．轴对称图形
（1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称
图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，
若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．
【注意】
（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．
（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．
（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．
2．轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线
（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做 对称 点 ．
3．轴对称和轴对称图形的区别与联系
名称
关系 轴对称 轴对称图形
意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形
图形个数 两个图形 一个图形
区 对称轴的 可能在两个图形的外部，也可能经过两
一定经过这个图形
别 位置不同 个图形的内部或它们的公共边（点）
对称轴的
只有一条 有一条或多条
数量
（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
联系
（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称
4．线段垂直平分线的定义及其性质
（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
（3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（4）线段垂直平分线的尺规作图：
已知线段AB，求作AB的垂直平分线
1
分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点.
2
作直线CD.CD就是所求作的直线.如右图.4．轴对称和轴对称图形的性质
（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线
段的垂直平分线．
（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角
（对折后重合的角）相等．
（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是
轴对称图形．
5．画图形的对称轴
如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对
对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.
同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.
【典例1】（2024春•碑林区校级期末）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个．
①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑤平行四边形；⑥正方形；⑦圆．
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形进行逐一判断即可．
【解答】解：①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑥正方形；⑦圆都是轴
对称图形，共6个．
故选：C．
【典例2】（2023秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一
次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案．
【解答】解：
可以瞄准点D击球．
故选：D．
【典例3】（2024春•肥乡区期末）将正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称
轴．正确的涂色位置是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．①③
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【解答】解：正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴．正确的涂色位置
是②③．
故选：C．
【典例4】（2024春•井冈山市期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点（网格线的交点）
上，要找一个格点 C，连接 AC，BC，使△ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点 C 的个数是
（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】画出△ABC为等腰三角形时C点位置即可．
【解答】解：C点落在网格中的4个格点使△ABC为等腰三角形，
所以符合条件的格点C的个数是4个．
故选：B．【典例5】（2024春•长安区校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
若AB＝4，BC＝9，则△AEF的周长为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．13
【分析】由垂直平分线的性质可知，AE＝BE，AF＝CF，进而得到△AEF的周长＝AC，即可得到答
案．
【解答】解：∵EG垂直平分AB，FH垂直平分AC，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∴△ABC的周长＝AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝9，
故选：C．
【典例6】（2024春•通川区期末）如图，在△ABC中，∠A＝32°，∠B＝36°，点D是边AB上一点，点B
关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．
【分析】利用平行线的性质得到∠ADB′＝∠A＝32°，则由平角的定义可得∠BDB′＝180°﹣∠ADB′
＝148°，然后根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可得∠CDB的度数，进而问题可求解．
【解答】解：∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝32°，
∴∠BDB′＝180°﹣∠ADB′＝148°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
1
∴∠CDB′=∠CDB= ×(360°−∠BDB′)=106°，
2
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝38°．故答案为：38°．
【典例7】（2024春•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平
分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为23，△DEC的周长为9，求AB的长；
（2）若∠ABC＝28°，∠C＝46°，求∠CDE度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形周长公式即可得到结
论；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝106°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可得
到结论．
【解答】解：（1）∵BD垂直平分AE，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为23，△DEC的周长为9，
∴AB+BE+AD+CD+CE＝23，CD+CE+DE＝9，
∴2AB＝23﹣9＝14，
∴AB＝7；
（2）∵∠ABC＝28°，∠C＝46°，
∴∠BAC＝106°，
∵AB＝BE，∠ABC＝28°，
152°
∴∠BAE＝∠AEB= =76°，
2
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAE＝106°﹣76°＝30°，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠CDE＝2∠DAE＝60°．
【典例8】（2024春•永寿县校级月考）如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，
E．
（1）若BC＝15，DE＝4，则AD+AE＝ ；（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数；
（3）设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，EA＝EC，则AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝
11；
（2）先由三角形内角和定理得到∠B+∠C＝80°，再由等边对等角得到∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，则
∠DAB+∠EAC＝80°，据此可得∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝20°；
（3）如图，连接OA，OB，OC，由线段垂直平分线的性质证明OB＝OC，即可证明点O在BC的垂直
平分线上．
【解答】解：（1）∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DB＝DA，EA＝EC．
∵BC＝15，DE＝4，
∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝15﹣4＝11，
故答案为：11；
（2）∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°．
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝100°﹣80°＝20°，
∴∠DAE的度数为20°；
（3）点O在BC的垂直平分线上．理由如下：
如图，连接OA，OB，OC，
∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上．
知识点2 画轴对称图形
1．画轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对
称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
画轴对称图形的方法：
（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；
（2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点；
（3）连——依次连接各对称点．
2．用坐标表示轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标特点：
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为 （ x ， - y ） ；
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为 （ - x ， y ） ．
已知两个点的坐标分别为P（x，y），P（x，y），若x=x，y+y=0，则点P，P 关于x轴对称；若
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
x+ x =0，y= y ，则点P，P 关于y轴对称．反之也成立．
1 2 1 2 1 2
在坐标系中画轴对称图形的方法：
（1）计算——计算对称点的坐标；
（2）描点——根据对称点的坐标描点；
（3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形．
【典例1】（2024春•南关区校级期末）点A（1﹣a，7）和点B（4，b+2）关于x轴对称，则a+b的值是（
）
A．﹣4 B．10 C．2 D．﹣12
【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案．
【解答】解：∵点A（1﹣a，7）和点B（4，b+2）关于x轴对称，
∴1﹣a＝4，b+2＝﹣7，
∴a＝﹣3，b＝﹣9，
∴a+b＝﹣12．
故选：D．【典例2】（2024春•泊头市月考）已知点P（1﹣2a，a﹣1）关于y轴的对称点在第一象限，则a的值不
可能是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．0
{1−2a＜0)
【分析】根据题意可得点P在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号可得不等式组 ，
a−1＞0
再解即可．
【解答】解：∵点P（1﹣2a，a﹣1）关于y轴的对称点在第一象限，
∴点P在第二象限，
{1−2a＜0)
∴ ，
a−1＞0
解得：a＞1，
即a的值不可能是0．
故选：D．
【典例3】（2024春•琼海校级期末）若点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于y轴对称，则a﹣b的值是（
）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．2
【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得a，b的值，进而可得答案．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣（﹣2）＝2，b＝1，
∴a﹣b＝2﹣1＝1．
故选：C．
【典例4】（2024春•新市区校级期中）若点P关于x轴的对称点为P （2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称
1
点为P （4﹣b，b+2），则P点的坐标为（ ）
2
A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3）
【分析】点P关于x轴的对称点为P （2a+b，﹣a+1），则点P的坐标是（2a+b，a﹣1），点P关于y
1
轴的对称点为P （4﹣b，b+2），则的P的坐标是（b﹣4，b+2），因而就得到关于a，b的方程组，从
2
而求出a，b，得出点P的坐标．
{2a+b=b−4)
【解答】解：根据题意得：
a−1=b+2
{a=−2)
解得：
b=−5
∴P点的坐标为（﹣9，﹣3）．故选：D．
【典例 5】（2024 春•陈仓区期末）如图，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上，请在图
①②③④中分别画出另一个三角形，使它与已知的三角形关于某条直线成轴对称，并画出对称轴．
【分析】根据画出的三角形与已知的三角形关于某条直线成轴对称，分别作图，即可作答．
【解答】解：如图所示：
【典例6】（2024春•宁远县期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A
（1，1），B（4，2），C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A B C ；并写出C 的坐标；
1 1 1 1
（2）在图中，若B （﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点
2
关于这条直线的对称点C 的坐标为 ；
2
（3）求△A B C 的面积．
1 1 1
【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C关于x轴的对称点A ，B ，C ，再顺次连接即可；
1 1 1
（2）利用轴对称的性质解决问题即可；（3）根据割补法求解即可．
【解答】解：（1）△A B C 即为所求作的三角形，如图所示：
1 1 1
点C 的坐标为（2，﹣3）．
1
（2）在图中，若B （﹣4，2）与点B（4，2）关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线x＝0，即
2
y轴，此时C点关于这条直线的对称点C 的坐标为（﹣2，3）；
2
1 1 1
（3）S =3×2− ×1×2− ×1×2− ×1×3=2.5．
△A 1 B 1 C 1 2 2 2
答：△A B C 的面积为2.5．
1 1 1
【典例7】（2024春•朝阳区校级月考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点
称为格点，小正方形边长为1，线段AB和CD的端点都在格点上．在给定的网格中按要求画图，仅用无
刻度直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中画DE∥AB，点E在格点上．
（2）在图②中作点C关于AB的对称点C′，点C'在格点上．
（3）在图③中作点D关于AB对称点D'，点D'不在格点上．
【分析】（1）利用网格，结合平行线的判定画图即可．
（2）根据轴对称的性质画图即可．（3）连接DB并延长，交格点于点E，过点E作AB的平行线EF，再过点D作EF的垂线，交EF于点
D'，则点D'即为所求．
【解答】解：（1）如图①，直线DE即为所求．
（2）如图②，点C'即为所求．
（3）如图③，连接DB并延长，交格点于点E，过点E作AB的平行线EF，再过点D作EF的垂线，
交EF于点D'，
则点D'即为所求．
知识点3 等腰三角形
1．等腰三角形的定义
有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与
腰的夹角叫做底角.顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形.
2．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都
是45°．
3．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有
判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性
质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
4．等边三角形概念及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
5．等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
6．含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不
能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角
转化后，再利用这个性质解决问题．
【典例 1】（2024春•景德镇期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 40°，则顶角的度数是
（ ）
A．50° B．40°或130° C．50°或130° D．40°或140°
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为 50°；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为130°．
【解答】：如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝40°，
∴∠A＝180°﹣90°﹣40°＝50°；
如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝∠ADB+∠ABD＝130°．
故选：C．
【典例2】（2024春•锦江区校级期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成 9cm和12cm两部
分，则等腰三角形的腰长为（ ）
A．6cm B．6cm或8cm C．8cm D．5cm或9cm
【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12和9两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线
分成的两部分的长，哪个是12，哪个是9，因此，有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，∴AD＝DC＝x，
①若AB+AD的长为12，则2x+x＝12，
解得x＝4，
∴等腰三角形的腰长为8cm，
②若AB+AD的长为9，则2x+x＝9，
解得x＝3，
∴等腰三角形的腰长为6cm，
故选：B．
【典例3】（2024•黄岩区一模）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC是钝角．点D在底边BC
上，连接AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC，根据三角形外角的性质得
∠ADC＝∠DAC＝∠B+∠BAD＝2∠B＝2∠C，设∠C＝x，在△ADC中，由三角形内角和定理得出方
程，解方程即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADC＝∠DAC＝∠B+∠BAD＝2∠B＝2∠C，
设∠C＝x，
在△ADC中，∠CAD+∠ADC+∠C＝180°，
即x+2x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠C＝36°，∴∠B＝36°，
故选：B．
【典例4】（2024春•栖霞市期末）如图，B、D两点在AE边上，C、F两点在AG边上，且AB＝BC＝CD
＝DF＝EF．若∠A＝20°，则∠EFG＝（ ）
A．100° B．90° C．86° D．80°
【分析】根据∠A＝20°，AB＝BC得到∠CBD＝2∠A＝40°，结合BC＝CD得到∠CBD＝∠CDB＝40°，
即可得到∠DCF＝∠CDB+∠A＝20°+40°＝60°，结合CD＝DF得到∠DCF＝∠DFC＝60°，即可得到
∠FDE＝∠DFC+∠A＝20°+60°＝80°，结合DF＝EF即可得到答案．
【解答】解：∵∠A＝20°，AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝20°，
∴∠CBD＝2∠A＝40°，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝40°，
∴∠DCF＝∠CDB+∠A＝20°+40°＝60°，
∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC＝60°，
∴∠FDE＝∠DFC+∠A＝20°+60°＝80°，
∵DF＝EF，
∴∠FDE＝∠FED＝80°，
∴∠EFG＝∠FED+∠A＝20°+80°＝100°，
故选：A．
【典例5】（2023秋•苍梧县期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A、B是两格
点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到
等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上
的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【典例6】（2024春•新郑市月考）如图，∠MON＝30°，点A ，A ，A ，…在射线ON上，点B ，B ，
1 2 3 1 2
B ，…在射线OM上，△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均为等边三角形．若OA ＝1，则△A B A 的
3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 6 6 7
边长为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【分析】根据等边三角形的性质得A1B1＝A1A2＝A2B1，∠A2A1B1＝60°，再根据∠MON＝30°及三角
形的外角定理得∠A B O＝30°，进而得A B ＝OA ＝1，由此得△A B A 的边长为1，同理：△A B A 的
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3
边长为2，△A B A 的边长为4，…，以此类推，△A B A 的边长为2n﹣1，根据此规律可得△A B A 的
3 3 4 n n n+1 6 6 7
边长．
【解答】解：∴△A B A 为等边三角形，
1 1 2
∴A B ＝A A ＝A B ，∠A A B ＝60°，
1 1 1 2 2 1 2 1 1
∵∠A A B ＝∠MON+∠A B O＝60°，∠MON＝30°，
2 1 1 1 1
∴∠A B O＝30°，
1 1
∴△OA B 为等腰三角形，
1 1∴A B ＝OA ＝1，
1 1 1
即△A B A 的边长为1，
1 1 2
同理：△A B A 的边长为2，△A B A 的边长为4，
2 2 3 3 3 4
…，以此类推，△A B A 的边长为2n﹣1，
n n n+1
∴△A B A 的边长为26﹣1＝25＝32．
6 6 7
故选：D．
【典例7】（2023秋•婺城区期末）我们知道等边三角形的每个内角都是60°如图，将三个大小不同的等边
三角形的一个顶点重合放置．若∠1＝10°，∠2＝20°，则∠3的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据等边三角形的性质得∠2+∠5+∠3＝∠3+∠4+∠5＝60°，∠1+∠4+∠3＝∠4+∠3+∠5＝
60°，由此可得出∠2＝∠4＝20°，∠1＝∠5＝10°，据此可求出∠3的度数．
【解答】解：如图所示：
∵∠1＝10°，∠2＝20°，
又∵∠2+∠5+∠3＝∠3+∠4+∠5＝60°，∠1+∠4+∠3＝∠4+∠3+∠5＝60°，
∴∠2＝∠4＝20°，∠1＝∠5＝10°，
∴∠3＝60°﹣∠2﹣∠5＝60°﹣20°﹣10°＝30°，
故选：C．
【典例8】（2024春•威海期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线
上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（ ）3 5
A．3 B． C．2 D．
2 2
1
【分析】过点E作EF⊥BC于F．先在Rt△BEF中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出 BF=
2
BE＝4，于是CF＝BC﹣BF＝2，再根据等腰三角形三线合一的性质得出 DC＝2CF＝4，然后根据BD＝
BC﹣DC即可求解．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于F．
在Rt△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∵AB＝3，AE＝5，
1 1 1
∴BF= BE= （AB+AE）= ×（3+5）＝4，
2 2 2
∵BC＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝6﹣4＝2．
∵ED＝EC，EF⊥BC于F，
∴DC＝2CF＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝6﹣4＝2．
故选：C．
【典例9】（2023秋•三台县期末）如图，在等边三角形 ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作
DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）3 5 4
A．1 B． C． D．
2 4 3
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE
的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
1 1
∴AF= AD，CE= CF，
2 2
∵点D是AB的中点，
∴AD＝1，
1 3 3
∴AF= ，CF= ，CE= ，
2 2 4
3 5
∴BE＝BC﹣CE＝2− = ，
4 4
故选：C．
【典例10】（2024春•河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边
上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）由 AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明
△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出
∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
{
BE=CF
)
∠ABC=∠ACB ，
BD=CE
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
1
∴∠B= （180°﹣40°）＝70°
2
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【典例11】（2023秋•甘州区校级期末）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD
平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．【分析】（1）首先根据平行线的性质可得∠FDC＝∠DCB，再根据角平分线的定义可得∠FCD＝
∠BCD，可得∠FCD＝∠FDC，据此即可证得；
（2）同理（1）可得DE＝BE，根据△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AB+AC，求解即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠DCB，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FD＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵AC＝6cm，AB＝8cm，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF
＝AE+ED+FD+AF
＝AE+EB+FC+AF
＝AB+AC
＝8+6
＝14（cm）．
【典例12】（2023秋•东营区校级期中）如图△ABC是等边三角形．
（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，求证：BD＝CE．【分析】（1）先由等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝60°，再由平行线的性质得到∠ADE＝∠B＝60°，
由此即可证明结论；
（2）利用等边三角形的性质得到 AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，进而得到∠BAD＝
∠CAE，由此证明△BAD≌△CAE（SAS），即可证明BD＝CE．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
【典例13】（2024春•青岛期中）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，
垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）BF与AE有怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）根据AD垂直平分BC得AB＝AC，再根据EF⊥AB，∠E＝30°得∠BAC，由此即可得出结论；
（2）过点C作CH⊥EF于H，设BF＝a，AB＝x，则AF＝AB﹣BF＝x﹣a，证△BFD和△CHD全等得
BF＝CH＝a，进而得CE＝2a，AE＝x+2a，再根据AE＝2AF得x+2a＝2（x﹣a），即x＝4a，则AE＝
x+2a＝6a，据此可得出BF与AE的数量关系．
【解答】（1）证明：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵EF⊥AB，∠E＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
1
（2）BF与AE的数量关系是：BF= AE，理由如下：
6
过点C作CH⊥EF于H，如图所示：
设BF＝a，AB＝x，则AF＝AB﹣BF＝x﹣a，
由（1）可知：△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝x，
∵EF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CHD＝90°，
∵AD垂直平分BC，
∴BD＝CD，
在△BFD和△CHD中，
{BFD=∠CHD=90°
)
∠BDF=∠CDH ，
BD=CD
∴△BFD≌△CHD（AAS），
∴BF＝CH＝a，
在Rt△ECH中，∠E＝30°，
∴CE＝2CH＝2a，∴AE＝AC+CE＝x+2a，
在Rt△AEF中，∠E＝30°，
∴AE＝2AF，
即x+2a＝2（x﹣a），
∴x＝4a，
∴AE＝x+2a＝6a，
∵BF＝a，
1
∴BF= AE．
6
知识点4 最短路径问题
（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即
为
所求的位置．
点A，点B分别是直线l异侧的两个点,在l上找到一个点C，使CA+CB最小，这时点C是直线l与AB的
交点，如图1所示.
（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称
点，
连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
点A ，点B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C,使CA+CB最小.这时先作点A关于直线l的
对称点A'，则点C是直线l与A'B的交点；或者先作点B关于直线l的对称点B'，则点C是直线l与直线
AB'的交点，如图2所示.
【典例1】（2024春•大东区期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区 A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边
关系解题即可．
【解答】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，
∴A′C＝AC，
∴AC+BC＝A′B，
在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，
∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，
在△A′C′B中，两边之和大于第三边，
∴A′C′+BC′＞A′B，
∴AC′+BC′＞AC+BC，
∴点C到两小区送奶站距离之和最小．
故选：C．
【典例2】（2024春•皇姑区期末）如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到
Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据轴对称得出最短路径即可．
【解答】解：使牧马人所走路径最短的是 ，
故选：D．
【典例3】（2024春•东阳市期末）如图，直线l 、l 表示一条河的两岸，且l ∥l ，现要在这条河上建一座
1 2 1 2
桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（
）
方案一： 方案二：
①
①
将点A向上平移d得到A'；
连接AB交l 于点M；②过点
1
②连接A'B交l
1
于点M；③
M作MN⊥l ，交l 于点N．
1 2
过点M作MN⊥l
1
，交l
2
于点
MN即桥的位置．
N，MN即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可利
用平移解决问题．
【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可．
∵AA'垂直于河岸l ，AA′＝d，
2
连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l ，
1
由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA，
根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短．
故方案一符合题意，
故选：A．
【典例4】（2024春•揭西县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，且S△ABC ＝15，AD，BE是△ABC的两条高线，P是AD上一动点，则PC+PE的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】如图连接PB，只要证明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E
共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
【解答】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
∵AB＝AC＝6，S△ABC ＝15，BE⊥AC，
1
∴ AC⋅BE=15，
2
∴BE＝5，
∴PC+PE的最小值为5，
故选：B．
【典例5】（2024•石门县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF
分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最
小值为（ ）A．10 B．9 C．8 D．6
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面
积公式求出AD的长，再判断出点M在AD上时，AM+CM最小，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
1 1
∴S△ABC =
2
BC•AD =
2
×4×AD＝14，解得AD＝7，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
当点M在AD上时，DM+CM最小，最小值为AD，
1 1
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝7+ ×4＝7+2＝9．
2 2
故选：B．
