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第13 章 轴对称（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点一】轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这
条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条
线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【要点二】作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，
就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称
点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
x y x x y x y y
点（ , ）关于 轴对称的点的坐标为（ ,－ ）；点（ , ）关于 轴对称的点的坐标为（－
x y x y x y
, ）；点（ , ）关于原点对称的点的坐标为（－ ,－ ）.
【要点三】等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 与 关于直线l对称，则 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，Rt 中， ，将其折叠，使点 落在边 上 处，折痕为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为
（ ）A．40° B．44° C．48° D．52°
5．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两
辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，正方形 的面积为16， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一
点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图所示，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为边BC延长线上一点，BD＝DE，DF⊥BE垂
足为点F．下列结论：①AD＝CE；②CE+CD＝AB；③∠BDE＝120°；④CF：BF＝1：3；⑤S CDE＝
△
S ABE．其中正确的有（ ）
△
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，已知等边三角形 的周长为a， ，则 等于（ ）A． B． C． D．
9．有一张长方形纸片 ，按下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，点E在边 上，沿 折叠，点B落在点 处；
第二步：如图②，沿 折叠，使点A落在 延长线上的点 处，折痕为 ．
有下列结论：（ ）
① 是等边三角形 ② ③ 垂直平分
A．只有②正确 B．只有①②正确
C．只有①③正确 D．①②③都正确
10．如图，两个灯笼的位置 的坐标分别是 ，将点 向右平移2个单位，再向上平移1个单
位得到点 ，则关于点 的位置描述正确是（ ）
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点 对称 D．关于直线 对称
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是 ．12．如图，BD⊥OA于点D，交射线OC于点P，PD=1，∠B=30°，若点P到OB的距离为1，则OP的长为
．
13．将长方形纸片按如图方式折叠， 为折痕，则 的度数为 ．
14．“已知点P在直线l上，利用尺规作图过点P作直线 ”的作图方法如下：①如图，以点P为圆
心，交直线l于A，B两点，B为圆心，以大于 ，两弧交于点Q；③作直线 ．则直线 ．这样
作图的理由是 ．
15．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝
BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是
．（填序号）16．如图，在 ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝4，CF＝1，则AC的长为 ．
△
17．如图所示，点P为 内一点，分别作出P点关于 的对称点 ，连接 交 于
M，交 于N， ，则 的周长为 ．
18．如图， 与 是等边三角形，连接 、 ，有以下结论
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）无论如何改变
的度数， 与 始终全等．其中正确结论的序号为
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，图1是一个轴对称图形，图2是一个轴对称图形的一半．
（1）画出图1的对称轴，并标出点A的对应点 ．
（2）请以虚线为对称轴，画出图2的另一半．20．（8分）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整
如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D．若
，求∠B的度数．
解：设∠CAD＝4x
∵ （已知）
∴∠BAD＝7x
∴______＝∠BAD＋∠CAD＝11x
∵DE是AB的垂直平分线（已知）
∴DB＝______（____________）
∴△ABD是等腰三角形
∴______＝∠BAD＝7x（____________）
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°（已知）
∴∠B＋∠BAC＝90°（____________）∴______＋______＝90°
∴x＝______
∴∠B＝______
21．（10分）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，在BC上取一点D，使得CD=AB，作∠ABC的
角平分线交AD于E，请先按要求继续完成图形：以A为直角顶点，在AE右侧以AE为腰作等腰直角
△AEF，其中∠EAF=90°．再解决以下问题：
（1）求证：B，E，F三点共线；
（2）连接CE，请问△ACE的面积和△ABF的面积有怎样的数量关系，并说明理由．
22．（10分）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如
图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝
（1）求证：△ABC≌△CDA ；
（2）求草坪造型的面积．
23．（10分）已知：如图1，△ABC中，AB=AC，P是BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是
D、E，过点C作直线AB的垂线，垂足是F．(1)若∠BAC=120°，求证：PD+PE=CF；
(2)若∠BAC=100°，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
(3)如图2，△ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，已知△ABC
的面积为15，AB=6，则PD+PE＝_____．
24．（12分）【发现问题】
小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：
如图1，AD是△ABC的中线，若AB＝8，AC＝6，求AD的取值范围．
【探究方法】
小强所在学习小组探究发现：延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE．可证出△ADC与△EDB，利用全等
三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个△ABE中，进而求出AD的取值范围．
方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这
种方法叫做倍长中线法．
【应用方法】
（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD的取值范围的过程；
【拓展应用】
（2）已知：如图2，AD是△ABC的中线，BA＝BC，点E在BC的延长线上，EC＝BC．写出AD与AE之
间的数量关系并证明．参考答案
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的
图形为轴对称图形即可求解．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称图形，熟知轴对称图形的概念，能找准对称轴，是解题的关键.
2．D
【分析】利用成轴对称的两个图形全等，即可得到解答．
【详解】解：∵ 与 关于直线l对称，
∴ ，∴ ．
故选：D．
【点拨】此题考查了成轴对称图形，熟练关于直线成轴对称的两个图形全等是解题的关键．
3．C
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，然后由折叠的性质求出 ，最后由外角的性质可
求出答案．
【详解】∵ ，
∴∠B=90° 55°=35°，
由折叠可知： =∠A=55°，
∴ =55° 35°=20°，
故选：C．
【点拨】本题考查轴对称的性质、三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4．C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形
的性质得到∠EAB＝∠B，结合图形计算即可．
【详解】解：在△ABC中，∠BAC＝114°，
则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，
∵EG是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理：∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，
故选：C．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相
等是解题的关键．
5．B
【分析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点 ，连接Q 交直线l于点
M，作图即可.
【详解】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点 ，连接Q 交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可，
故选：B．
【点拨】本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质
作图方法.
6．B
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为F，此时，FD+FE=BE最小，而BE
是等边三角形ABE的边，BE=AB，由正方形面积可得AB的长，从而得出结果．
【详解】解：由题意可知当点P位于BE与AC的交点时，有最小值．设BE与AC的交点为F，连接BD，
∵点B与点D关于AC对称
∴FD=FB
∴FD+FE=FB+FE=BE最小
又∵正方形ABCD的面积为16
∴AB=4
∵△ABE是等边三角形
∴BE=AB=4．
故选：B．
【点拨】本题考查的知识点是轴对称中的最短路线问题，解题的关键是弄清题意，找出相对应的相等线段．
7．D
【分析】首先证明∠CDE＝∠CED＝30°，可知①②③正确，再证明BC＝3CF，可得④正确，证明BC
＝2CE，可得⑤正确．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AD＝DC，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠DEC＝30°，∵∠ACB＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴CD＝CE＝AD，故①正确，
∵AB＝AC＝2CD，CD＝CE，
∴AB＝CD+CE，故②正确，
∵∠BDC＝90°，∠CDE＝30°，
∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝120°，故③正确，
∵DF⊥CB，
∴∠CDF＝30°，
∴CD＝2CF，BC＝2CD，
∴BC＝4CF，
∴BF＝3CF，故④正确，
∵BC＝2CE，
∴S BCD＝2S DEC，
△ △
∵AD＝DC，
∴S ABD＝S CBD＝2S CDE，S ADC＝S CDE，
△ △ △ △ △
∴S ABE＝6S CDE，故⑤正确．
△ △
故选：D
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，等
腰三角形的判定和性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据等边三角形的性质得出 ， ，再由含30度角的直角三角形
的性质求解即可．
【详解】解：∵等边三角形 的周长为a， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】题目主要考查等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握运用这两个性质是解题关键．
9．C
【分析】只要证明 ，即可推出 是等边三角形；只要证明 也是等
边三角形即可判断③； 的长度不确定，无法判断 与 的大小关系．
【详解】解：如图，
∵ ，又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，故①正确，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，故③正确，
由于 的长度不确定，所以 不一定等于 ，故②错误，
故选：C．
【点拨】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识，属于基础题，中考常考题型．
10．B
【分析】先根据平移方式求出 ，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解
即可．
【详解】解：∵将 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点 ，
∴ ，∵ ，
∴点 关于y轴对称，
故选B．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，正确根据平移方式求出 是解题的关键．
11．圆
【分析】写出每个图形的对称轴的数量即可得解.
【详解】线段有2条对称轴；
圆有无数条对称轴；
等边三角形有3条对称轴；
正方形有4条对称轴；
角有1条对称轴；
故答案为圆.
【点拨】本题考查轴对称图形的定义：一个图形沿着某条直线折叠后直线两边的部分能够完全重合，这个
图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.
12．2
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，可得出PD=PE=1，则得出∠POD=∠POE，由直角三角形的性质得出答
案．
【详解】如图,过点P作PE⊥OB于点E，
∵点P到OB的距离为1,
∴PE=1，
∵PD=1,
∴PD=PE，
又∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴点P在∠AOB的平分线上,即∠POD=∠POE，
∵∠B=30°，BD⊥OA,
∴∠BOD=60°,
∴∠POE= ∠BOD=30°,
∴OP=2PE=2．
故答案为：2.
【点拨】本题考查了角平分线的判定，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．熟练掌握
几何图形的性质是解题的关键．
13． /90度
【分析】根据折叠的性质得到 ， ，然后根据平角为
求解即可．
【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠， 为折痕，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的
定义．
14．三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线
【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）或垂直平分线的定义即可得出结论．
【详解】解：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
故答案为：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
【点拨】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的定义和性质等知识，解题的关键是理解题意，
熟记等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义和性质．
15．①②③⑤
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【详解】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM＝BM，∠MAP＝∠MBP，∠ANM＝∠BNM，AP＝BP， AMP≌△BMP，
△∴①②③⑤正确，而④错误．
故答案为：①②③⑤．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16．5
【分析】根据线段垂直平分线得到AF＝BF＝4，即可求出AC＝AF+CF＝4+1=5．
【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝4，
∴AF＝BF＝4，
∴AC＝AF+CF＝4+1＝5，
故答案为：5．
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
17．15
【分析】根据轴对称的性质得到 ，据此利用三角形周长公式求解即．
【详解】解：∵P点关于 的对称点 ，
∴ ．
∴ 的周长为 ．
故答案为：15．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
18．（1）（2）（4）
【分析】根据 与 是等边三角形可得 ， ， ，继而得到
，可证 ， ， ， ，在改变
的度数时， 的度数也会发生变化，同时也会出现 、 、 三点共线情况，即可得到正确结
论．
【详解】解：∵ 与 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ；
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，∴故（1）正确；
∴ ， ，
∴结论（2）正确；
设 与 相交于点 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ；
∴结论（4）正确；
∵当 或 时， 、 、 三点共线，构不成三角形，
∴无论如何改变 的度数， 与 始终全等不成立；
∴结论（5）错误；
∵当 时， ，当 发生变化时， 的度数也会变化，
∴结论（3）错误；
故答案为：（1）（2）（4）．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关
键．
19．（1）见解析
（2）见解析
【分析】根据轴对称图形的定义进行作图即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．【点拨】本题主要考查了画轴对称图形，画对称轴和找轴对称图形的对应点，熟知轴对称图形的定义是解
题的关键：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图
形．
20．∠BAC；AD；线段垂直平分线的性质；∠B；等腰三角形的性质；直角三角形的的两个锐角互余；
7x；11x，；5°；35°
【分析】由∠CAD：∠BAD＝4：7，可设∠CAD＝4x，∠BAD＝7x，继而可得方程4x＋7x＋7x＝90，解此
方程即可求得答案．
【详解】解：设∠CAD＝4x，
∵∠CAD：∠BAD＝4：7（已知），
∴∠BAD＝7x．
∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝11x．
∵DE是AB的垂直平分线（已知）．
∴DB＝AD（线段垂直平分线的性质）．
∴△ABD是等腰三角形．
∴∠B＝∠BAD＝7x（等腰三角形的性质）．
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°（已知），
∴∠B＋∠BAC＝90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴7x＋11x＝90°．
∴x＝5°．
∴∠B＝35°，
故答案为：∠BAC，AD，线段垂直平分线的性质，∠B，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，7x，
11x，5°，35°．
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思
想与方程思想的应用．21．（1）见解析
(2)△ACE的面积和△ABF的面积相等．理由见解析
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠CAD=∠CDA=67.5°，利用角平分线的性质得到
∠ABE=∠DBE=22.5°，∠BEA=135°，即可推出∠BEA+∠AEF=180°；
（2）证明Rt AEG≌Rt AFH，利用全等三角形的性质得到EG= FH，则△ACE和△ABF等底等高，即可
证明结论． △ △
【详解】（1）证明：∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，AB=AC，
∵CD=AB，则CD=AC，
∴∠CAD=∠CDA= =67.5°，
∴∠BAE=90°-∠CAD=22.5°，
∵AD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE=22.5°，
∴∠BEA=180°-∠ABE-∠BAE=135°，
∵△AEF是等腰直角三角形，且∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠F=45°，
∴∠BEA+∠AEF=180°，
∴B，E，F三点共线；
（2）解：△ACE的面积和△ABF的面积相等．理由如下：
过点E作EG⊥AC于点G，过点F作FH⊥BA交BA延长线于点H，∵∠HAF=180°-∠BAE-∠EAF=180°-22.5°-90°=67.5°，∠CAE=67.5°，
∴∠HAF=∠CAE，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
∴Rt AEG≌Rt AFH，
∴EG△= FH， △
∵AB=AC，
∴△ACE和△ABF等底等高，
∴△ACE的面积和△ABF的面积相等．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记
各图形的性质并准确识图是解题的关键．
22．（1）见解析
（2）草坪造型的面积为
【分析】（1）根据“SSS”直接证明三角形全等即可；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，利用含30°的直角三角形的性质求出 的长度，继而求出 的面积，
再由全等三角形面积相等得出 ，即可求出草坪造型的面积．
【详解】（1）在 和 中，
，
；（2）
过点A作AE⊥BC于点E，
，
，
，
，
，
，
，
草坪造型的面积 ，
所以，草坪造型的面积为 ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关
键．
23．（1）证明见解析
（2）成立，理由见解析
(3)5
【分析】（1）根据AB=AC，∠BAC=120°，可得∠ABC=∠ACB==30°，根据直角三角形的性质可得PD=
BP，同理可得PE= CP，CF= BC，即可求证；
（2）连接AP，根据S ABC=S ABP＋S ACP，即可求解；
△ △ △
（3）连接AP，根据S ABC=S ABP＋S ACP，即可求解．
△ △ △
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB= （180°-120°）=30°，
在 中，
∵∠ABC=30°，
∴PD= BP，
同理可证PE= CP，CF= BC，
∴PD+PE= BP+ CP= (BP+CP)= BC=CF，
即PD+PF=CF；
（2）解：PD+PF=CF仍然成立，理由如下：
如图，连接AP，
∵S ABP= AB·PD，S ACP= AC·PE，
△ △
∴S ABC=S ABP＋S ACP＝ AB·PD＋ AC·PE，
△ △ △
∵AB=AC，
∴S ABC= AB(PD+PE) ，
△
又∵S ABC＝ AB·CF，
△
∴PD+PE＝CF；
（3）解：如图，连接AP ，∵S ABC=S ABP＋S ACP，PD⊥AB，PE⊥AC，
△ △ △
∴ ，
∵AB=AC，△ABC的面积为15，AB=6，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角
形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
24．（1）1＜AD＜7；（2）2AD=AE．理由见解析
【分析】（1）延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA（SAS），得出AC=BE=6，由三
角形三边关系可得出答案；
（2）延长AD至F，使DF=AD，由SAS证明△BDF≌△CDA，利用已知条件推出∠FBA=∠ACE，再由SAS
证明△ACE≌△FBA即可得到2AD=AE．
【详解】（1）证明：延长AD至E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴AC=BE=6，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7；
（2）2AD=AE．理由如下：
证明：延长AD至F，使DF=AD，∵AD是BC的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（SAS），
∴AC=BF，∠CAD=∠F，
∴AC∥BF，
∴∠FBA+∠BAC=180°，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠ACE+∠BCA=180°，
∴∠FBA=∠ACE，
∵BA=BC，EC=BC，
∴BA=EC，
在△ACE和△FBA中，
，
∴△ACE≌△FBA（SAS），
∴AE=AF，
∵2AD=AF，∴2AD=AE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题
的关键．
