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2022—2023 学年九年级上学期期中测试卷（2）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（ ）
A．m＞0且m≠1 B．m≥0且n≠1 C．m＞0 D．m＜2
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＞0，
即4﹣4（m﹣1）＞0．
解得m＜2．
故选：D．
2．（4分）在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现
出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自
身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以
是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷6＝60°，
∴旋转角是60°的整数倍，
∴这个角的度数可以是60°．
故选：C．
3．（4分）已知a、b满足等式x＝a2+b2+5，y＝2（2b﹣a），则x、y的大小关系是（ ）
A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y
【分析】把x与y代入x﹣y中，判断差的正负即可得到大小关系．
【解答】解：∵x﹣y＝a2+b2+5﹣2（2b﹣a）＝a2+b2+5﹣4b+2a＝（a+1）2+（b﹣2）2≥0，
∴x≥y．
故选：D．4．（4分）已知二次函数y＝（x+1）2﹣m（m为常数），点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ）在
1 2 3
该函数图象上，则（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以判断y ，y ，y 的大小关系，本题得以解决．
1 2 3
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣m，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，函数有最小值，顶点坐标为
（﹣1，﹣m），
∵点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ）两点都在二次函数y＝（x+1）2﹣m的图象上，﹣1﹣
1 2 3
（﹣2）＝1，﹣1﹣（﹣1）＝0，1﹣（﹣1）＝2，
∴y ＜y ＜y ，
2 1 3
故答案为：D．
5．（4分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格六月底是7.5元/升，
八月底是8.4元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的
是（ ）
A．7.5（1+x2）＝8.4
B．7.5（1+x）2＝8.4
C．8.4（1﹣x）2＝7.5
D．7.5（1+x）+7.5（1+x）2＝8.4
【分析】利用该地92号汽油八月底的价格＝该地92号汽油六月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两
个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得7.5（1+x）2＝8.4，
故选：B．
6．（4分）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，
A的对应点是点C），若点A的坐标为（﹣1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为
（ ）
A．（1，1） B．（4，4）C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）
【分析】先按点A、点B的坐标确定坐标原点，画出平面直角坐标系，对应点A与C、B与D连线的垂
直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，
点E即为旋转中心，E（1，1），
故选：A．
7．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（m，0），B（m+4，0），顶点C的坐标为（x ，4），下
0
列说法中不正确的是（ ）
A．这个函数图象开口向下
B．若方程ax2+bx+c＝2的两根为p，q，则|p﹣q|＜4
C．a＝﹣1
D．若ax 2+bx ＞ax 2+bx ，x ＜x ，则x +x ＜2m+4
1 1 2 2 1 2 1 2
【分析】利用二次函数的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征和数形结合的方法对每个选项进
行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（m，0），B（m+4，0），
∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝ ＝m+2，
∴顶点C的坐标为（m+2，4），
∴ ，
整理得：a＝﹣1．
∵a＝﹣1＜0，
∴这个函数图象开口向下，
∴A的结论不符合题意；令y＝2，则ax2+bx+c＝2，即将AB向上平移2个单位得到，
∵方程ax2+bx+c＝2的两根为p，q，
∴p，q为直线y＝2与抛物线y＝ax2+bx+c的两个交点的横坐标，
∴|p﹣q|表示的是两个交点之间的距离，
∵抛物线开口向下，顶点的纵坐标为4，
∴越向上平行于x轴的直线被抛物线截得的线段越小，
∵AB＝4，
∴|p﹣q|＜4，
∴B的结论不符合题意；
∵a＝﹣1，
∴C的结论不符合题意；
由以上可知：函数图象开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝m+2，
当m+2＜x ＜x 时，即两点（x ，y ）与（x ，y ）在对称轴的右侧时，x ＜x ，y ＞y ，
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
∵ +bx +c， +c，
1
∴ +c，
∴ax 2+bx ＞ax 2+bx ，
1 1 2 2
显然x +x ＞2（m+2），
1 2
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
8．（4分）如图，在△AOB中，AO=1，BO＝AB＝ ．将△AOB绕点O逆时针方向旋转 90°，得到
△A'OB'，连接AA'，BB'，则BB'﹣AA'＝（ ）
A．1 B． C． D．【分析】由旋转性质可判定△BOB'和△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得BB'和AA'的长，
则可得出答案．
【解答】解：由旋转性质可知，OB＝OB'＝ ，∠AOA'＝90°，
则△BOB'为等腰直角三角形，
∴BB'＝ OB＝ × ＝ ，
由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝ ＝ ．
∴BB'﹣AA'＝ ＝ ．
故选：B．
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转
得到△A'B'C，此时点A'恰好在边AB上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．
【分析】由旋转的性质，可证△ACA'、△BCB'都是等边三角形，由勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：如图，连接BB'，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，CA＝CA'，
∵∠A＝60°，∴△ACA'是等边三角形，∠ABC＝30°，
∴∠ACA'＝60°，AB＝2AC，
∴∠BCB'＝60°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴BB'＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BC＝ ＝ ＝2 ，
∴BB'＝2 ，
故选：B．
10．（4分）某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，
销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨 a元与降b
元所获得的利润相同，则a与b满足（ ）
A．a﹣b＝4 B．a﹣b＝8 C．a+b＝4 D．a+b＝8
【分析】将利润用函数关系表达出来，由于涨价、降价时的销售量变化幅度一致，所以利润可用一元二
次函数表示，再利用一元二次函数的对称性解决即可．
【解答】解：由题意得，（4+a）（120﹣10a）＝（4﹣b）（120+10b），
解得a﹣b＝8，
故选：B．
11．（4分）如图，直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，直线m是过点A、B（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+bx+c
的对称轴，直线y＝﹣x+1与直线m交于点C，已知点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，作线段CD关于
直线m对称的线段CE，若抛物线与折线DCE有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．0＜a≤1
C．﹣ ＜a＜0或0＜a＜1 D．a≥1或a＜﹣
【分析】根据题意求得C、D、E的坐标，由对称轴为x＝﹣1，得出b＝2a，由抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，0）得出c＝3a，即可得出抛物线为y＝ax2+2ax﹣3a，然后分两种情况：（i）若a＞0，抛物线开
口向上且经过D（﹣4，5），求得a＝1，由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；
ii）若a＜0，抛物线开口向下且经过C（﹣1，2），求得a＝﹣ ；由对称性可知：当a＜﹣ 时，抛物
线与折线DCE有两个交点；据此即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，
∴A（1，0），D（﹣4，5），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，
∴y＝1+1＝2，
∴C（﹣1，2），
∵C、E关于直线x＝﹣1对称，
∴E（2，5），
∵ ＝﹣1，
∴b＝2a，
把A（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c得c＝﹣3a，
∴抛物线的解析式为：y＝ax2+2ax﹣3a
（i）若a＞0，抛物线开口向上且经过D（﹣4，5），把（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝1；
由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；
（ii）若a＜0，抛物线开口向下且经过C（﹣1，2），把C（﹣1，2）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝﹣
；
由对称性可知：当a＜﹣ 时，抛物线与折线DCE有两个交点；
综上所述：当a≥1或a＜﹣ 时，抛物线与折线DCE有两个交点；
故选：D．12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③a
﹣b+c＞0；④若ax 2+bx ＝ax 2+bx ，且x ≠x ，则x +x ＝2．其中正确的有（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．①②③ B．②④ C．② D．②③④
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x＝1，根据抛物线对称轴方程得到﹣ ＝
1，则可对②进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b＝﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在
x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在
点（0，0）与（﹣1，0）之间，则x＝﹣1时，y＜0，于是可对③进行判断；由ax 2+bx ＝ax 2+bx 得到
1 1 2 2
ax 2+bx +cax 2+bx +c，则可判断x＝x 和x＝x 所对应的函数值相等，则x ﹣1＝1﹣x ，于是可对④进行
1 1 2 2 1 2 2 1
判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣ ＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与x轴的交点到对称轴x＝1的距离大于1，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
当ax 2+bx ＝ax 2+bx ，则ax 2+bx +c＝ax 2+bx +c，
1 1 2 2 1 1 2 2
∴x＝x 和x＝x 所对应的函数值相等，
1 2
∴x ﹣1＝1﹣x ，
2 1
∴x +x ＝2，所以④正确；
1 2
故选：B．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应
的位置上）
13．（4分）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的一个根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为 ．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2＝﹣3m+2022，再用m表示m3得到m3＝2029m﹣6060，
然后利用整体代入的方法计算m3+2m2﹣2025m+2022的值．
【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的一个根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2＝﹣3m+2022，
∴m3＝m（﹣3m+2022）＝﹣3m2+2022m＝﹣3（﹣3m+2022）+2022m＝2031m﹣6066，
∴m3+2m2﹣2025m+2022＝2031m﹣6066+2（﹣3m+2022）﹣2025m+2022＝0．
故答案为：0．
14. （4分）实心球是一项以力量为基础，以动作速度为核心的投掷项目．如图，某次比赛中运动员站在O
处将实心球从B处抛出，它的运动路线可以看作是抛物线 y＝﹣ x2+bx+c的一部分．若实心球在运动过
程中最高离地面3米，此时与运动员的水平距离为4米，则该运动员投掷实心球的水平距离OA为
米．
【分析】根据抛物线解析式求出顶点坐标（4，3）和b的值，再把（4，3）代入解析式求得c的值，最
后令y＝0，求出x的值即可．
【解答】解：∵实心球在运动过程中最高离地面3米，此时与运动员的水平距离为4米，∴y＝﹣ x2+bx+c的顶点坐标为（4，3），
∴﹣ ＝4，
解得：b＝ ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+c，
将（4，3）代入得：﹣ ×42+ ×4+c＝3，
解得：c＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+ ，
令y＝0，可得﹣ x2+ x+ ＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣2（舍去），
1 2
∴OA的长是10米．
故答案为：10．
15．（4分）如图，△ABC是等边三角形，且AB＝4，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A顺时
针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是 ．
【分析】证明△ABE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质得出CD＝BE，由旋转的性质得出AD＝
AE，∠DAE＝60°，证明△ADE是等边三角形，则得出DE＝AD，当AD⊥BC时，DE最小，即△BED
的周长有最小值，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
又∵AD＝AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD＝BE，
∴△BED的周长＝BE+BD+ED＝CD+BD+ED＝BC+DE，
∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD，
当AD⊥BC时，DE最小，即△BED的周长有最小值，
∵AD⊥BC，BC＝4，
∴BD＝CD＝2，
∴AD＝ ＝2 ，
∴△BED的周长最小值是BC+DE＝4+2 ，
故答案为：4+2 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转
90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③若正方形的边长为2，则点
M在射线AB上运动时，CF有最小值 ．其中结论正确的是 ．
【分析】延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE＝EH，由直角三角
形的性质可得AE＝EF＝EH，可判断①；由四边形内角和定理可求 2∠ADE+2∠EDF＝270°，可得
∠ADF＝135°，可判断②；连接FC，过点C作CF'⊥DF于F'，由∠CDF＝45°，知点F在DF上运动，即得当CF⊥DF时，CF有最小值为CF'的长度，而CF'＝ ，即CF有最小值为 ，可判断③正确．
【解答】解：延长AE交DC的延长线于点H，如图：
∵点E是CM的中点，
∴ME＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠MAE＝∠H，∠AME＝∠HCE，
∴△AME≌△HCE（AAS），
∴AE＝EH，
又∵∠ADH＝90°，
∴DE＝AE＝EH，
∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴AE＝DE＝EF，故①正确；
∵AE＝DE＝EF，
∴∠DAE＝∠ADE，∠EDF＝∠EFD，
∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD＝360°，
∴2∠ADE+2∠EDF＝270°，
∴∠ADF＝135°，
∴∠CDF＝∠ADF﹣∠ADC＝135°﹣90°＝45°，故②正确；
如图，连接FC，过点C作CF'⊥DF于F'，∵∠CDF＝45°，
∴点F在DF上运动，
∴当CF⊥DF时，CF有最小值为CF'的长度，
∵CD＝2，∠CDF＝45°，
∴CF'＝ ＝ ，即CF有最小值为 ，故③正确，
故答案为：①②③．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解
答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x ，x ，且（x +x ）2﹣4x x +m2＝21，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况得Δ＝4m+9≥0，即可求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，可得x +x ＝﹣（2m+1），x x ＝m2﹣2，根据（x +x ）2﹣4x x +m2＝21列
1 2 1 2 1 2 1 2
方程，即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵该方程有两个实数根，
∴Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）＝4m+9≥0，
解得m ；
（2）∵x +x ＝﹣（2m+1），x x ＝m2﹣2，
1 2 1 2
又∵（x +x ）2﹣4x x +m2＝21，
1 2 1 2
∴[﹣（2m+1）]2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理，得m2+4m﹣12＝0，
解得m ＝2，m ＝﹣6，
1 2
∵m ，
∴m＝2．18．（8分）已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为 18m．设AB长为xm，窗户的
总面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．
【分析】（1）根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式；
（2）根据题意可以得到关于x的不等式，从而求出x的范围，然后根据（1）中的函数解析式和二次函
数的性质即可解答．
【解答】解：（1）由题意可得，
S＝x• ＝﹣ x2+9x，
即S与x的函数表达式是S＝﹣ x2+9x；
（2）由题意可得，
2≤x＜ ，
解得：2≤x＜3.6，
∵S＝﹣ x2+9x＝﹣ （x﹣3）2+ ，
∵﹣ ＜0，对称轴是直线x＝3，且2≤x＜3.6，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝ ，
当x＝2时，S取得最小值，此时S＝﹣ （2﹣3）2+ ＝12，
答：窗户总面积S的最大值 m2，最小值是12m2．
19．（10分）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△ADC，分别过点A、点C作BC、AD边
上的高，交BC、AD于点E、F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接BD，若AB＝3，求BD的长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到 AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°，根据旋转的性质得到 AC＝
CD，∠ACD＝60°，得到△ACD是等边三角形，得到∠DAC＝60°，根据平行线的性质得到EA⊥AD，
根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）连接 BD 交 AC 于 O，由（1）知，△ACD 是等边三角形，推出四边形 ABCD 是菱形，得到
AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△ADC，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴EA⊥AD，
∴∠AEC＝∠EAF＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）解：连接BD交AC于O，
由（1）知，△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD＝AC＝AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，
∴AO＝ AB＝ ，
∴BD＝2BO＝2× ＝3 ．
20．（10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）若△ABC与△A B C 关于直线l成轴对称，点 A 是点A的对称点，请在图中画出对称轴 l和
1 1 1 1
△A B C ；
1 1 1（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A B C ；
2 2 2
（3）在直线l上画一点P，使△PB C 的周长最短．
2 1
【分析】（1）利用轴对称变换的性质作出对称轴直线l，再作出B，C的对应点B ，C 即可；
1 1
（2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可；
2 2 2
（3）连接BB 交直线l于点P，连接PC ，B C ，△PB C 即为所求．
2 1 2 1 2 1
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）如图，点P即为所求．
21．（12分）贫困户李大爷在某单位精准扶贫工作队的帮扶下，将一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，
经核算，种植成本为18元/千克．今年正式上市销售，通过30天的试销发现：①第1天卖出20千克，
以后每天比前一天多卖4千克：②销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间满足如下函数关系：y＝
，且第12天的售价为32元/千克，第23天的售价为25元/千克．
（1）填空：m＝ ，n＝ ；试销中销售量P（千克）与时间x（天）之间的函数关系式为 ；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润W最大？最大利润是多少元？
（3）求试销的30天中，当天利润W不低于870元的天数共有几天？
【分析】（1）根据第12天的售价为32元/千克可列关于m的方程求出m的值，由第23天的售价为25
元/千克可得n的值，根据第1天卖出20千克，以后每天比前一天多卖4千克，
可得P＝4x+16；
（2）结合（1）的结论，分段表示利润，即可求出利润的最大值；
（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数．
【解答】解：（1）∵第12天的售价为32元/千克，
∴12m﹣76m＝32，
解得m＝﹣ ，
∵第23天的售价为25元/千克，
∴n＝25，
∵第1天卖出20千克，以后每天比前一天多卖4千克，
∴销售量P（千克）与时间x（天）之间的函数关系式为P＝20+4（x﹣1）＝4x+16，
故答案为：﹣ ，25，P＝4x+16；
（2）①当1≤x＜20时，W＝（﹣ x+38﹣18）（4x+16）＝﹣2x2+72x+320＝﹣2（x﹣18）2+968，
∴当x＝18时，W 最大为968（元）；
②当20≤x≤30时，W＝（25﹣18）（4x+16）＝28x+112，
∵28＞0，W随x的增大而增大，
∴当x＝30时，W 最大为952（元），
综上可知，第18天的利润最大，最大利润为968元；
（3）当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320＝870，
解得x ＝25，x ＝11，
1 2
∵抛物线W＝﹣2x2+72x+320的开口向下，
∴11≤x≤25时，W≥870，
∴11≤x＜20，
∵x为正整数，
∴有9天利润不低于870元，当20≤x≤30时，令28x+112≥870，
解得x≥27 ，
∴27 ≤x≤30，
∵x为正整数，
∴有3天利润不低于870元，
∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．
22．（12分）先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
（1）求代数式x2﹣6x+12的最小值；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣8c+50＝0时，判断△ABC的形状
并说明理由．
【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式．
（2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式．
（3）先因式分解，判断字母a、b、c三边的关系，再判定三角形的形状．
【解答】解：（1）x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝﹣（x﹣2）2+3；
∴x2﹣6x+12的最小值是3．
（2）y＝﹣x2+2x﹣3，
y＝﹣x2+2x﹣1﹣2，
y＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴当x＝1的时，y有最大值﹣2．
故答案为：1，大，﹣2．
（3 ）a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣8c+50＝0，
a2﹣6a+9+b2﹣10b+25+c2﹣8c+16＝0，
（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣4）2＝0，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣4＝0，
解得a＝3，b＝5，c＝4．
∵32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形．
23．（12分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第112页的部分内容．
例2：如图19.2.6，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，对
角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的
长．（结果保留根号）
结合图①，写出求解过程．
【应用】（1）如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，过点A分
别作AE⊥AD，AF⊥AB，交BD于点E、F，连接CE，CF，若AB＝2 ，则四边形AECF的面积为
；
（2）如图③，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O，将其绕着点O顺时针
90°得到菱形A'B'C'D'，若AB＝1，则旋转前后两个菱形重叠部分图形的周长为 ．
【分析】【教材呈现】】根据四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，可得△ABC是等边三角形，∠ABO
＝30°，即得AC＝AB＝BC＝2，OA＝OC＝ AC＝1，在Rt△ABO中，得OB＝ OA＝ ，故BD＝
2OB＝2 ；
【应用】（1）根据四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，可得AC＝2OA＝2 ，在Rt△ADE中，AE＝ ＝2，DE＝2AE＝4，即知S△AEC ＝ AC•OE＝ ，同理S△AFC ＝ ，故四边形AECF的面积为2
，
（2）如图，由四边形ABCD是菱形，绕着点O顺时针90°得到菱形A'B'C'D'，知B'、A、C、D'共线，
A'、B、D、C'共线，可求出∠BEC'＝30°，BC'＝EC'，同理可得BC'＝HC'，AE＝AB'＝AF，A'F＝A'D＝
A'G，CG＝CD'＝CH，而 BC'＝OB﹣OC'＝ 有 C'E＝ ，即可得重叠部分图形的周长为
×8＝4 ﹣4．
【解答】解：【教材呈现】∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝2，∠BAC＝60°，AC⊥BD，
∴△ABC是等边三角形，∠ABO＝30°，
∴AC＝AB＝BC＝2，OA＝OC＝ AC＝1，
在Rt△ABO中，
OB＝ OA＝ ，
∴BD＝2OB＝2 ，
答：AC的长为2，BD的长为2 ；
【应用】（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝AD＝2 ，∠ADC＝60°，AC⊥BD，BD平分∠ADC，
∴∠ADO＝30°，
在Rt△ADO中，
OA＝ AD＝ ，OD＝ OA＝3，
∴AC＝2OA＝2 ，
在Rt△ADE中，
AE＝ ＝2，DE＝2AE＝4，
∴OE＝DE﹣OD＝4﹣3＝1，∴S△AEC ＝ AC•OE＝ ×2 ×1＝ ，
同理S△AFC ＝ ，
∴四边形AECF的面积为S△AEC +S△AFC ＝2 ，
故答案为：2 ；
（2）如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵绕着点O顺时针90°得到菱形A'B'C'D'，
∴B'、A、C、D'共线，A'、B、D、C'共线，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABD＝30°，∠A'C'B'＝60°，
∴∠BEC'＝30°，
∴BC'＝EC'，
同理可得BC'＝HC'，AE＝AB'＝AF，A'F＝A'D＝A'G，CG＝CD'＝CH，
在Rt△AOB中，
OA＝ AB＝ ＝OA＝OC'，OB＝ OA＝ ＝OB'，
∴BC'＝OB﹣OC'＝ ，
∴C'E＝ ，
同理AE＝AF＝A'F＝A'G＝GC＝CH＝C'H＝ ，∴重叠部分图形的周长为 ×8＝4 ﹣4，
故答案为：4 ﹣4．
24．（14分）如图，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B与点C关于该抛物线的对称轴
对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（3，0）及C点．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）当自变量x满足 时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值．
（3）在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S△ACP ＝S△ACB ？（点P不与点B重合）若存在，请求
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A坐标代入二次函数解析式求出m的值，将x＝0代入抛物线解析式可得点C坐标，
由点A，C坐标可得直线解析式．
（2）由抛物线开口方向及直线与抛物线交点坐标求解．
（3）由抛物线对称性求出点B坐标，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，求出直线BP解析式，进而求
解．
【解答】解：（1）将（3，0）代入y＝﹣（x﹣2）2+m得0＝﹣1+m，
解得m＝1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+1，
将x＝0代入y＝﹣（x﹣2）2+1得y＝﹣3，
∴点C坐标为（0，﹣3），
将（3，0），（0，﹣3）代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴一次函数解析式为y＝x﹣3．
（2）由图象可得图象在A，C之间的部分抛物线在直线上方，∴0≤x≤3时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值
故答案为：0≤x≤3．
（3）存在，理由如下，
∵点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，
∴点B坐标为（4，﹣3），
过点B作BP∥AC交抛物线于点P，连接AP，CP，
设直线BP解析式为y＝x+b，
将（4，﹣3）代入y＝x+b得﹣3＝4+b，
解得b＝﹣7，
∴直线BP解析式为y＝x﹣7，
令﹣（x﹣2）2+1＝x﹣7，
解得x ＝4，x ＝﹣1，
1 2
将x＝﹣1代入y＝x﹣7得y＝﹣8，
∴点P坐标为（﹣1，﹣8）．
