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专题 13.1 轴对称（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】轴对称图形
轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对
称图形，该直线就是它的对称轴.
【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图
形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【知识点二】轴对称
1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对
应点，也叫做对称点
【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成
轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称
图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图
形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原
对称轴）对称.
【知识点三】轴对称与轴对称图形的性质
1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分
线；
2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【知识点四】线段的垂直平分线
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助
线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直
接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆
心——外心.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】轴对称图形的识别
【例1】（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形 中， ，点 分别
在 ， 上， ．
（1）判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）；
（2）求证： ．
【答案】(1)是 (2)见解析
【分析】（1）连接 ，证明 得到 ，证明 ，即可得到答案；
（2）由（1）得 ，即可得到答案．
解：（1）如图，连接 ，
在 和 中，
，，
，
在 和 中，
，
，
该图形沿直线 折叠后能够完全重合，
该图形是轴对称图形，
故答案为：是；
（2）证明：由（1）得 ，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称图形的定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关
键．
【变式1】下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，所以是轴对称图形，
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
不是轴对称图形．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不
是轴对称图形的是 ．
【答案】直角梯形
【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形概念进行分析即可；
解：线段、角、圆、等腰三角形和正方形都能找到一条(或多条) 直线，使图形沿一条直线折叠直线两旁
的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
直角梯形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是
轴对称图形；
所以不是轴对称图形的是直角梯形，
故答案为：直角梯形．
【题型2】成轴对称的两个图形的识别与判断
【例2】（23-24八年级上·吉林·期中）如图， 和 关于直线 对称， 与 的交点 在
直线 上．
（1）图中点 的对应点是点______， 的对应边是______；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】(1) ， (2)
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算．
（1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可．
（2）本题根据轴对称性质推出 ，从而得出 ，最后根据
即可解题．
（1）解：由题意可得：图中点 的对应点是点 ， 的对应边是 ，
故答案为： ， ．
（2）解： ，
，
，
．
【变式1】（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对
称的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直
线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，
折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．
解：A．图案不成轴对称，故不符合题意；
B．图案成轴对称，故符合题意；
C．图案不成轴对称，故不符合题意；
D．图案不成轴对称，故不符合题意；
故你：B．
【变式2】（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S ＝10，
ABC
△
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】5
【分析】根据轴对称的性质解决问题即可；
解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，
∴S CEF=S BEF，
△ △
∴阴影部分的面积= S ABC= ×10=5，
△
故答案为：5；
【点拨】本题考查轴对称的性质，轴对称的两个图形是全等图形；掌握轴对称的性质是解题关键．
【题型3】由轴对称的性质特征求值
【例3】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，O为 内部一点， ，P、R为O分别以直
线 、 为对称轴的对称点．（1）请指出当 是什么角度时，会使得 的长度等于7？并完整说明 的长度为何在此时等于7
的理由．
（2）承（1）小题，请判断当 不是你指出的角度时， 的长度小于7还是大于7？并完整说明你
判断的理由．
【答案】(1) 时， ．证明见解析 (2) 的长度小于7，理由见解析
【分析】本题考查轴对称的性质、三角形的三边关系，（1）连接 、 ，根据轴对称的性质可得
， ，然后判断出点P、B、R三点共线时 ，再根据平角的定义求解；（2）根据三
角形的任意两边之和大于第三边解答．
解：（1）如图， 时， ，证明如下：
连接 、 ，
∵P、R为O分别以直线 、 为对称轴的对称点，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴点P、B、R三点共线，
∴ ；
（2） 的长度小于7，理由如下：
当 ，则点P、B、R三点不在同一直线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 的长度小于7．【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点 是 外的一点，点 ， 分别是
两边上的点，点 关于 的对称点 恰好落在线段 上，点 关于 的对称点 落在 的延长线上．
若 ， ， ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关
键．
利用轴对称图形的性质得出 ， ，结合图形即可求解．
解： 点 关于 的对称点 恰好落在线段 上，点 关于 的对称点 落在 的延长线上，
， ，
， ，
， ，
，
∵
∴ ，
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在 中， ，点 是边 上
一点，点 关于直线 的对称点为 ，当 时，则 的度数为 ．【答案】 / 度
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用平行线的性质得到
，则由平角的定义可得 ，然后根据轴对称的性质得到
，则可得∠CDB的度数，进而问题可求解．
解：∵
∴ ，
∴ ,
∵点B关于直线 的对称点为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： .
【题型4】利用轴对称的性质求最值
【例4】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在 内．
（1）如图①，点P关于射线 的对称点分别是G、H，连接 ．
①若 ，则 是什么特殊三角形？为什么？
②若 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若 ， A、B分别是射线 上的点， 于点B，点P、Q分别为
上的两个定点，且 ， ，在 上有一动点E，试求 的最小值．
【答案】(1)① 是等边三角形，理由见解析；② ，理由见解析(2) 的最小值为5．
【分析】（1）①由轴对称的性质可得 ， ， ．根据“有
一个角是 的等腰三角形是等边三角形”即可得出 是等边三角形；②当 时，
，G、O、H在同一直线上，由此可得 与 的数量关系；
（2）过Q作 的对称点 ，连接 ，交 于点E，连接 ，则 的最小值为 ，由已知
条件可得 ，易得 ， ，由此可得 是等边三角形，即可得 的长，即
的最小值．
解：（1）① 是等边三角形，
∵点P关于 对称的点为G，
∴ ， ，
同理 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
② ，
当 时， ，
∴G、O、H在同一直线上， ．
∵ ，
∴ ；
（2）过Q作 的对称点 ，连接 ，交 于点E，连接 ，
∴ 最小值为 ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵点Q与 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
即 的最小值为5．
【点拨】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴
对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·山东日照·期中）已知 ，点P是 内部任意一点，点M，N
分别在 上，当 的周长取得最小值时， ，则 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理．根据轴对称的性质和等腰
三角形的性质可证 ， ，然后证明 ，利用四边形内角和可得答
案．
解：作P关于 的对称点C、D，连接CD交 于N、M．
此时 周长有最小值；∵P关于 的对称点C、D，
∴OB垂直平分 垂直平分PD，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在四边形 中，可得： ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， ，
， ， 是 的角平分线，若 分别是 和 边上的动点，则 的最小
值是 ．
【答案】
【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，全等三角形的性质和判定，能够利用轴对称将线段和的最小
值转化为线段长求解是关键．在 上截取 ，连接 ， ，可证 ，根据全
等三角形的性质可知点 和点 关于 对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答
案．解：如图，在 上截取 ，连接 ， ，
是 的平分线，
在 与 中
点 和点 关于 对称，连接 ， 与 交于 点，连接 ，此时 ，
是动点，
也是动点，当 与 垂直时， 最小，即 最小．
此时，由面积法得 ．
故答案为： ．
【题型5】折叠问题
【例5】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，点M，N分别在长方形纸条 的边 和 上，
将长方形纸条 沿 折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点 ， ，折叠后 与 相交于
点E．
（1）若 ，求 的度数；
（2）设 ， ．
①请用含α的代数式表示β；②当α的值为_________时， 是等边三角形；当α的值为______时， 是直角三角形．
【答案】(1) (2)① ② ， 是等边三角形； 时， 是直角三角
形．
【分析】（1）根据题意，得长方形纸条 ，折叠性质，得 ， ，结合
，利用平行线的性质求 的度数即可；
（2）①根据(1)得 ，根据折叠的性质，得 即 ，
解答即可．
②根据 是等边三角形，得到 ，结合 ，解得 ；当 是直角三角形时，
．
解：（1）∵将长方形纸条 进行折叠，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）①根据(1)得 ，根据折叠的性质，得 即 ，
故 ．
②解：根据 是等边三角形，得到 ，又 ，
解得 ；
当 是直角三角形时， ．
故答案为： ．【点拨】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，平行线的性质，特殊三角形的性质，熟练掌握折叠性
质，平行线性质是解题的关键．
【变式1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，在四边形纸片 中， ， ，将纸片
折叠，使点C，D落在 边上的点 ， 处，折痕为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理，折叠的性质，根据四边形内角和定理
得到 ，进而由折叠的性质得到 ，再由平角的定义得到
，由此利用三角形内角和定理即可求出答案．
解：∵四边形 中， ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【变式2】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸
建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片 沿 折叠，
，则 °．【答案】
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，平角的定义解答即可．本题考查了折叠的性质和平行线的性
质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键．
解：根据折叠的性质，得 ，
故 ；
由长方形纸片 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：70．
【题型6】线段垂直平分线的性质
【例6】（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在 中， ， 的平分线 交
于点 ， 垂直平分 ，垂足为点 ．
（1）请说明： ；
（2）若 的面积为4， 求 的面积．
【答案】(1)见详解 (2)8
【分析】（1）先利用角平分线的定义可得 ，再利用线段垂直平分线的性质可得 ，
从而可得 ，然后利用等量代换可得 ，即可解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得 ， ，然后利用 证明 ，再
利用 证明 ，从而可得 ，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
解：（1） 平分 ，
，
垂直平分 ，
，
，
；
（2） 垂直平分 ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
的面积为4，
的面积 的面积 ，
的面积为8．
【变式1】（2024·吉林·三模）如图，在 中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确
的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是尺规作角平分线和垂直平分线，熟知角平分线的作法和垂直平分线性质是解答此
题的关键．
根据题意得到 是 的角平分线， 垂直平分 ，进而求解即可．
解：由作图知， 是 的角平分线，
∴ ，故A不符合题意；
由作图知 垂直平分 ，
∴ ， ，故C，D不符合题意；
无法证明 ，故B符合题意，
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在 中， 边的垂直平分线 ，分别交 ，
于点D，E两点，连接 ， ， ，则 的度数是 ．【答案】85
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出
，再根据角的和差关系即可得出 ，最后根据三角形内角和
定理即可得出 的度数．
解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：85．
【题型7】线段垂直平分线的判定
【例7】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交
， 于点E，F， 的垂直平分线分别交 ， 于点M，N，直线 ， 交于点P．
（1）求证：点P在线段 的垂直平分线上；
（2）已知 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个
知识点是解题的关键．
（1）连接 、 ，根据线段垂直平分线的性质和判定即可；
（2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
解：（1）证明：连接 、 ，
垂直平分 ， 垂直平分 ，， ，
点P在线段 的垂直平分线上；
（2）解： 垂直平分 ， 垂直平分 ，
， ， ，
， ，
在 中， ， ，
，
即， ，
在四边形 中， ，
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边
形 是一个筝形，其中 ， ，点O为对角线 、 的交点，在探究筝形性质时，
我们得到以下结论：①图中有三对全等三角形．② 互相平分．③ ．其中错误的
结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积．根据 可
证明 ，从而得到 ，可证明 ， ；
再由线段垂直平分线的判定定理可得 垂直平分 ；再由三角形的面积公式可得 ，
即可．解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴图中有三对全等三角形，故①正确；
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
根据题中的条件无法得到 平分 ，故②错误；
∵ ，
∴ ，故③错误；
故选：C
【变式2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形 边 的中点，连接 并延长与 延
长线交于点G，则 的度数为 ．
【答案】 /18度
【分析】连接 ， ，根据正多边形的性质可证 ，得到 ，进而得到 是
的垂直平分线，即 ，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到
，再根据三角形的内角和定理即可解答．
解：连接 ， ，
∵五边形 是正五边形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点F是 的中点，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵在正五边形 中， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点拨】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内
角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形 中， ， ， ， ．
以点 为圆心，以 长为半径作图，与 相交于点 ，连接 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，
分别与 ， 相交于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在
的内部相交于点 ，作射线 ，与 相交于点 ，则 的长为 （用含 的代数式表
示）．
【答案】
【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的
关键．
利用基本作图得到 ， 平分 ，，接着证明 得到 ，然后利用 求解．
解：由作法得 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【例2】（2024·四川南充·中考真题）如图，在 中，点D为 边的中点，过点B作 交
的延长线于点E．
（1）求证： ．
（2）若 ，求证：
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到 ，由 ，得到 ，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到 ，进而推出 垂直平分 ，即可得证．
解：（1）证明： 为 的中点，
．
；
在 和 中，；
（2）证明：
垂直平分 ，
．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片 ，点E，F分别在边 和
上，且 ，H和G分别是边 和 上的动点，现将点A，B，C，D分别沿 、 折叠至
点N，M，P，K处，若 ，则 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论：当 在 上方时，延长 ， 相交于Q点，证明 ，则
，求出 ，则可得 的度数；当 在 下方时，延长 交 于Q点，证
明 ，则 ．求出 ，则可得 的度数．
本题考查了矩形中的折叠问题，分类讨论，掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．
解：①如图， 在上 方时，
延长 ， 相交于Q点，
由折叠知： ， ，，
，
，
，
，
， ，
，
由折叠知： ，
，
，
；
②如图， 在 下方时，
延长， 交 于Q点，
由折叠知： ， ，
，
又 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
由折叠知： ，
，
．
故答案为： 或【例2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在三角形 中，点D，E是边 上两点，点F在
边 上，将三角形 沿 折叠得三角形 ， 交 于点H，将三角形 沿 折叠恰好得
到三角形 ，且 ．下列四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤若 ，则 ．
其中，一定正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】由折叠的性质可得 ；由折叠的性质可得 ， ，则
， ， ，由 ，可得 ，
，则 ，由 ，可得
，则 ，进而可判断②的正误；由题意知
，无法判断 与 的关系，进而可判断③的正误；由
，则 ， ，可得 ，
即 ，进而可判断④的正误；根据 ，可得
，整理得 ，即
，则 ，进而可判断⑤的
正误；
解：由折叠的性质可得 ；①正确，故符合要求；
由折叠的性质可得 ， ，
∴ ， ， ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，②正确，故符合要求；
∵ ，无法判断 与 的关系，③错误，故不符合要求；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，④正确，故符合要求；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，⑤正确，故符合要求；
综上：①②④⑤正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知
识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
