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专题13.5 线段垂直平分线（分层练习）
一、单选题
1．如图所示，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点D，交 于点E，则
的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．如图，在 中， 、 的垂直平分线分别交 于点 、 ，若 ， ， ，
则 的周长为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．3
3．下列条件中，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线的是（ ）
A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥AB
C．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB
4．到三角形各顶点距离相等的点是（ ）
A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点
C．三条中线交点 D．三条高交点
5．如图，根据尺规作图的痕迹，计算 的度数为（ ）A． B． C． D．
6．如图，在长方形中， ，依据尺规作图的痕迹，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知点O是 ABC的两边AB和AC的垂直平分线OD,OE的交点，且∠A=50°，则 的
度数为（ ） △
A．100° B．110° C．120° D．125°
8．如图，在锐角三角形 中，直线l为 的中垂线，射线 为 的角平分线，且直线l与
射线 相交于点P．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，我们都知道长方形的对边相等并且每个角都是直角，小微做折纸游戏，她将长方形纸片
折叠，使点B落在 边上，压平后得到折痕 ，下列结论正确的有（ ）个．①连接 ，则线段 被 所在直线垂直平分；
②E点一定是 中点；
③ ；
④ ；
⑤ ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成
功找到此点的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，锐角 按下列步骤图：①在射线 上取一点 ，以点 为圆心， 长为半径作圆
弧 ，交射线 与点 ，连接 ；②以点 为圆心， 长为半径作弧，交弧 于点 ；③连
接 ， ．作射线 ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A． B． C． 垂直平分 D．
12．如图， 中， ， ， ， 于点D， 是 的垂直平分线，
交 于点E，交 于点F，在 上确定一点P，使 最小，则这个最小值为( )
A． B．4 C． D．5
13．如图，在 ABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧分别
△
交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点
E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线BP恰好经
过点D，则∠A的大小是（ ）
A．30° B．32° C．36° D．42°
14．如图， 中， 平分 ， 是 的中点，过点 作 的垂线交 于点 ，连接
，若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
15．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝
50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
二、填空题
16．如图， 垂直平分 ， 垂直平分 ．若 ， ，则 的周长为 ．
17．如图， 中， 垂直平分 ，交 于点D，交 于点F，交 的延长线于点E，若
，则 的长为 .18．线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端 相等的点在线段的垂直平分线上．角
平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边 相等的点，在这个角的平分线上．
19．如图，已知线段 长为4．现按照以下步骤作图：①分别以点 ， 为圆心，大于 长为半
径画弧，两弧分别相交于点 ， ；②过 ， 两点作直线，与线段 相交于点 ．则 的长为
．
20．在△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线 BC 于 D，若∠BAD﹣∠DAC=22.5°，则∠B 的度数是
21．如图， 周长为16cm， ， 垂直平分 ，则
cm．22．如图，在 中， ， 垂直平分 ，交 于点G，交 于点D，P为直线
上一动点（不在 的延长线上），连接 ，则 周长的最小值是 ．
23．如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，以相同的长（大于 ）为半径作弧，两弧相交
于点 和点 ，作直线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 的面积为 ，
的面积为 ，则四边形 的面积为 ．
24．如图， 是 的角平分线， 、 分别是 和 的高，则下列结论：
① 垂直平分 ；② ；③ ；④ 为 的中点．其中一定正确的是
（填序号）25．如图，在 中， ，分别以点 、 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于
， ，作直线 ， 为 的中点， 为直线 上任意一点，若 ， 面积为 ，则
长度的最小值为 ．
26．如图，在 中， ，点D是 内部一点， ，点E是边 上一点，若
平分 ， ，则 的度数为 ．
27．如图，在 中， ，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于
点P， ．若 的周长是 ， ，则 的长是 ．28．点 在 的内部，点 、 分别是点 关于直线 、 的对称点，线段 交 、
于点 、 ，若 的周长是 ，则线段 的长是 .
29．如图，在 中，D为 中点， ， ， 于点F，
， ，则 的长为 ．
30．如图，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延长线上，边AC的垂直平分线DE与∠ABG的角
平分线 交于点M，与AB交于点D，与AC相交于E，MN⊥AB于N．已知AB=13，BC=9，MN=3，
则△BMN的面积是 ．三、解答题
31．如图，已知在 中， ， ．请用尺规作图法，在 上确定一点D，使得
．（保留作图痕迹，不写作法．）
32．如图， 与 相交于点O， ， ， ，连接 ，求证；
垂直平分 ．
33．如图， 为 的角平分线， ，求证： 是 的垂直平分线小高证明如下：
证明：
平分 ，
，
又 点 在 上， ．
∴ 是 的垂直平分线．小高的证法正确吗？若不正确，请写出正确的证明过程．
34．如图，四边形 中， ，E为 的中点，连结 并延长交 的延长线于点F．
(1) 与 全等吗？请说明理由．
(2) 连结 ，当 ， ， 时，求 的长．
35．如图， ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为
F、G．
(1) 求证：BG＝CF；
(2) 若AB＝18，AC＝6，求AF的长度．
(3) 直接写出∠ADB、∠ADC、∠ADG之间的数量关系．36．【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线 的一点，连接 ， ，
若 ，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
(1)【理解运用】如图2，在 中，D为 上一点，点D，E关于直线 对称，连接 并延长至
点F，判断点B是否为点D，F关于直线 的“等角点”，并说明理由；
(2)【拓展提升】
如图2，在（1）的条件下，若 ， ，点Q是射线 上一点，且点D，Q关于直线
的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出 的度数；
(3)【拓展提升】
如图3，在 中， ， 的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边
，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接 ， ，当 时， 的值为 ．参考答案
1．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 ，再根据三角形周长公式进行求解即可．
解：∵ 的垂直平分线 交 于点D，交 于点E，
∴ ，∵ ， ，
∴ 的周长 ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是
解题的关键．
2．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，根据三角形的周长公式计算，得到答
案．
解： 是线段 的垂直平分线，
，
同理， ，
的周长 ，
故选：B．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的
距离相等是解题的关键．
3．C
【分析】根据垂直平分线的概念逐个判断即可．
解：A、CA=CB，DA=DB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合
题意；
B、CA=CB，CD⊥AB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合题意；
C、CA=DA，CB=DB，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，符合题意；
D、CA=CB，CD平分AB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合
题意．
故选：C．
【点拨】此题考查了垂直平分线的概念，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的概念．
4．A
【分析】根据线段垂直平分线的判定，即可求解．
解：∵到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线交点．
故选：A
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
5．A
【分析】根据图像，明确 是线段 的中垂线和 的角平分线相交构成的锐角即可解题．
解：由图可知， 是线段 的中垂线和 的角平分线相交构成的锐角，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A
【点拨】本题考查了尺规作图，属于简单题，熟悉尺规作图的方法是解题关键．
6．C
【分析】如图所示，可知 是 的角平分线， 是线段 的垂直平分线，即 ，垂
足为 ，射线 与直线 交于点 ，根据长方形的性质可得 ，根据角平分线的性质可得
，根据垂直平分线的性质可得 ，再根据三角形内角和定理可得 的度
数，根据对顶角相等即可求解．
解：如图所示，可知 是 的角平分线， 是线段 的垂直平分线，即 ，垂足为
，射线 与直线 交于点 ，
∵四边形 是长方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，∵ 是线段 的垂直平分线，即 ，垂足为 ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ 的度数是 ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查长方形与三角形的综合，掌握长方形的性质，角平分线的画法及性质，垂直平
分线的画法及性质，三角形内角和定理等值的综合运用是解题的关键．
7．A
【分析】连接 ，可利用垂直平分线的性质得到 的值，进一步可求出∠BOC的度数．
解：连接 ，如图所示：
由题意得：
又
故选：A
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点．掌握数学中的整体思想是解
题关键．
8．A
【分析】根据直线l为 的中垂线得 ，即 ，根据射线 为 的角平分
线得 ，即可得 ，根据三角形内角和定理和 进
行计算即可得．解：∵直线l为 的中垂线，
∴ ，
∴ ，
∵射线 为 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了中垂线，角平分线，三角形的内角和，解题的关键是掌握这些知识点．
9．C
【分析】如图所示，连接 ，证明M、N都在线段 的垂直平分线上，即可判断①；根
据折叠的性质得到 ，再根据长方形的性质得到 ，由此即
可判断③④⑤；根据现有条件无法证明②．
解：如图所示，连接 ，
由折叠的性质可知 ，
∴M、N都在线段 的垂直平分线上，
∴直线 垂直平分线 ，故①正确；
由折叠的性质可知 ，
由长方形的性质可知 ，
∴ ，故③，④正确；
∴ ，故⑤正确；
根据现有条件无法证明E点是 中点，故②错误；
∴正确的一共有4个，
故选C．【点拨】本题主要考查了折叠的性质，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，灵活运用所学知
识是解题的关键．
10．B
【分析】根据角平分线的作图，三角形的高的作图，线段的垂直平分线的作图，逐一分析各选项即可．
解：∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，
∴选项B中的作图是作的三角形的两边的垂直平分线，符合题意，
选项A中的作图，作的一个内角的平分线，作的一边的垂直平分线，不符合题意；
选项C中的作图作的是两个内角的平分线，不符合题意，
选项D中的作图作的一边的垂直平分线，作的一边上的高，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质再判断作图是解本题的关键．
11．D
【分析】由作法得 ，则可对 选项进行判断；根据全等三角形的性质可得
，则可对B选项进行判断；由线段垂直平分线的判定可对C选项进行判断；利用三角形三
边的关系得到 ，则可对D选项进行判断．
解：由作法得 ， ，
故选项A正确，不符合题意；
又∵ ，
∴
∴ ，
故选项B正确，不符合题意；
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
故选项C正确，不符合题意；
， ，，所以 选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直
平分线的性质和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握基本作图．
12．B
【分析】在 上取一点P，连接 ， ， ，由垂直平分线的性质可知 ，从而得到
，点D是定点，由两点之间线段最短可知， 最小值为 的长，再利用三角形
的面积公式求 即可．
解：在 上取一点P，连接 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
点D是定点，由两点之间线段最短可知：点P在 上时， 最小值为 的长，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小值为4，
故选：B．
【点拨】本题考查三角形的面积公式，两点之间线段最短，垂直平分线的性质等知识，推导出
最小值即为 的长是解题的关键．
13．B
【分析】根据题中作图知：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，利用三角形内角和定理计算即可．
解：由题意得：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，
∵DM垂直平分AB，∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C= ，∠C＝84°，
∴∠A= ，
故选：B．
【点拨】此题考查线段垂直平分线作图及性质，角平分线作图及性质，三角形的内角和定理，根据题
意得到DM垂直平分AB，BD平分∠ABC是解题的关键．
14．B
【分析】根据已知条件得到 垂直平分 ，求得 ，根据等腰三角形的性质得到
，求得 ，得 ，根据角平分线的性质得到
，根据三角形的内角和定理即可得到 ．
解： 是 的中点，过点 作 的垂线交 于点 ，
垂直平分 ，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
故选： ．
【点拨】本题考查三角形的性质定理，关键要掌握中垂线的性质．
15．B
【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接
BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知， ，
即BE+EF的值最小为 ，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求
出AE′B′即可．解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接
BE′，如图：
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
在△ABG和△AB′G中，
，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G， AB＝AB′，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
在△ABE′和△AB′E′中，
，
∴△ABE′≌△AB′E′（SSS），
∴∠AE′B＝AE′B′，
∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°，
∴∠AE′B＝115°．
即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°．
故选B．【点拨】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外
角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置．
16．7
【分析】由垂直平分线的性质得到 ， ，即可得到 的周长．
解：∵ 垂直平分 ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ． ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
故答案为：7
【点拨】此题主要考查了垂直平分线的性质和三角形的周长，熟练掌握线段垂直平分线上的点到这条
线段两端的距离相等是解题的关键．
17．8
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 ，结合图形计算即可．
解：∵ 垂直平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
是解本题的关键．
18． 距离 距离
【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，以及角的内部，到角两边距离相等的
点，在这个角的平分线上，进行作答即可．
解：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
故答案为：距离，距离．
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理以及角平分线性质定理的逆定理．熟练掌握到
线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，是解题的
关键．
19．2
【分析】根据作图得出 是线段 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质即可得出结论．解： 分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 和点 ，
， ，
是线段 的垂直平分线，
．
故答案为2．
【点拨】本题考查了作图 基本作图以及线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线作法是解答此题的
关键．
20．37.5°或 67.5°．
【分析】求出AD=BD,推出∠B=∠DAB，∠B+∠BAC=90°， 分为两种情况并画出图形后，根据三角形内
角和定理求出即可.
解：∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD= BD,
∴∠B=∠DAB,
∵∠ACB= 90°，
∴∠B+∠BAC= 90°,
分为两种情况:①如图1,∵∠B+∠BAC= 90,∠BAD-∠DAC= 22.5°，
∴∠B=∠DAB=∠DAC+ 22.5°
∴∠DAC+ 22.5°+∠DAC+ 22.5° +∠DAC= 90°,∠DAC= 15°
∴∠B= 15°+ 22.5°= 37.5°
②如图2，∵∠B+∠BAC= 90° ,∠BAD-∠DAC= 22.5°
∴∠B=∠DAB=∠DAC+ 22.5°，
∴∠DAC+ 22.5° +∠DAC+ 22.5°- ∠DAC= 90° ，
∴∠DAC= 45° ,∴∠B=45°+ 22.5°= 67.5°
【点拨】本题考查中垂线性质和三角形内角和定理，中等难度，分类讨论是解题关键.
21．5
【分析】由三角形的周长求出 ，根据线段垂直平分线的性质得出 ， ，
推出 ，由此求出 ，由此求出 ．
解：∵ 周长为16cm， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴
∵ 垂直平分 ，
∴
∴
∴ ，
∴
故答案为：5．
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离
相等，熟练线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
22．14
【分析】利用线段的垂直平分线的性质得到 ，再利用两点之间线段最短即可求解．
解：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ 的周长= ，
故答案为14．
【点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质和两点之间线段最短，解题关键是理解相关概念并正确转化．
23．
【分析】先利用基本作图得到 垂直平分 ，则 ，在根据三角形面积公式得到
，接着计算出 ，然后计算 即可．
解：由作法得 垂直平分 ，
，
，
，
，
四边形 的面积 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了作图 中垂线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题
的关键．
24．②③④
【分析】如果 ，则 ， ， ，即可判断①．根据 ，判断
出 ， ，即可判断出 成立，即可判断③；然后根据全等三角形的判定
方法，判断出 ，即可判断出 ， ，即可判断②④．
解：如果 垂直平分 ，
则点O是 的中点，
∵ 分别是 和 的高，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，不符合题意；
∴①不正确；
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴③正确；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的中点，
∴④正确．
又∵ ，
∴ 是 的中垂线，
∴ ，
∴②正确；
综上，正确的是：②③④．
故答案为：②③④．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定和性质，准
确分析判断是解题的关键．
25．6
【分析】如图，连接 ， ，则 ，利用三角形的面积公式求出 ，再根据垂线段最短，
线段的垂直平分线的性质判断即可．
解：如图，连接 ， ，
∵ ， 为 的中点，
∴∵ ，
∴ ，
∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查线段的垂直平分线的作法及性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键
是学会利用垂线段最短解决最值问题．
26．
【分析】如图所示，取 的中点F，连接 ，则可证明 在 的垂直平分线上，得到
，证明 得到 ，同理可得 ，设
，则 ，由三角形外角的性
质得到 ，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
解：如图所示，取 的中点F，连接 ，
∵ ，
∴ 在 的垂直平分线上，
∴ 三点共线，且 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，同理可得 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂
直平分线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
27． /8厘米
【分析】先根据垂直平分线的性质得到 ， ， ，再求出
， ，即可求出 ．
解：∵ ， ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的周长是 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，∴ ．
故答案为：
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进
行线段的转化是解题关键．
28．
【分析】根据“点 、 分别是点 关于直线 、 的对称点”可知 ， ，再根
据 的周长即可求出MN的长度.
解：∵点 、 分别是点 关于直线 、 的对称点，
∴ ， ，
∵ 的周长是 ，即 .
∴ .
【点拨】本题考查的是对称的性质，中垂线的性质，能够判断出 ， 是解题的关键.
29．
【分析】连接 ，过点E作 ，交 的延长线于N，由 ，可得
；由D为 中点， ，则可得 ；证明 ，再证明
即可求得结果．
解：连接 ，过点E作 ，交 的延长线于N，如图，
∵ ， ，
∴ ；
∵D为 中点， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这两个性质是关键．
30．3
【分析】连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K．先证明△MBK≌△MBN，Rt△AMN≌Rt△CMK，得到，
BK=BN，AN=CK，通过线段的代换求出BN，利用三角形的面积公式即可求解．
解：如图，连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K，
∵ME为AC的垂直平分线，
∴AM=MC，
∵BM平分∠ABG，MN⊥AB，MK⊥CG，
∴∠MBK=∠MBN，∠MKB=∠MNB=90°，
又∵MB=MB，
∴△MBK≌△MBN，
∴MN=MK，BK=BN，
∴Rt△AMN≌Rt△CMK，
∴AN=CK，
∴AN=CK=BC+BK=BC+BN，
∴BN=AN-BC=AB-BN-BC，
∴2BN=AB-BC=13-9=4，
∴BN=2，∴△BMN的面积为 ．
故答案为： ．
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质、角平分线等知识，根据题意
添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
31．见分析
【分析】作 的垂直平分线交 于点 ，则根据线段垂直平分线的性质得到 ，所以
，然后根据三角形外角性质可得到 ．
解：如图，作 的垂直平分线交 于点 ，则 点为所作．
【点拨】本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图
形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
32．见分析
【分析】先证明 得到 ，再由 即可证明 垂直平分 ．
解：证明：在 和 中，
，
，
又 ，垂直平分 ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，证明 得
到 是解题的关键．
33．不正确，见分析
【分析】根据小高过程中 不是已知条件，可得小高证明方法不正确；通过证明
，得出 ，即可求证．
解：∵ 不是已知条件，
∴小高证明方法不正确，
证明： 平分 ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线．
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握垂直平分
线的判定方法．
34．(1)全等，理由见分析；(2)3
【分析】（1）由“ ”可证 ；
（2）由全等三角形的性质可得BE=EF，BC=DF，由中垂线的性质可得AB=AF，可得结论．
解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为3．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明 是本题
的关键．
35．(1)证明见分析；(2)AF=6；(3)
【分析】（1）连接BD、CD，然后结合垂直平分线定理得到BD=CD，角平分线定理得到DG=DF，进
而得证 DBG DCF，最后得到BG=CF；
（2）结合全等三角形的性质得到BG=CF，然后证明 DGA DFA得到AG=AF，进而利用已知条件
求出AF的长；
（3）先根据全等三角形的性质求出 ， ，再根据等量代换求解即可．
解：（1）证明：连接BD、CD，
∵ ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，
∴BD=CD，DG=DF，∠DGB=∠DFC=90°，
∴Rt DBG Rt DCF（HL），
∴BG=CF．
（2）解：∵AD平分∠BAF，
∴∠DAG=∠DAF，
∵DF⊥CA，DG⊥AB，∴∠DGA=∠DFA=90°，DG=DF，
∴ DGA DFA（AAS），
∴AG=AF，
∵BG=AB AG，CF=AF+AC，CF=BG，
∴AB AF=AF+AC，
∵AC=6，AB=18，
∴18 AF=AF+6，
∴AF=6．
（3）解：∵ DBG DCF，
∴ ，
∵ DGA DFA，
∴ ，
∵ ，
∴
=
=
= ．
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定与性质，解题的
关键是连接BD、CD构造全等三角形．
36．(1)点B是点D，F关于直线AB的“等角点”；(2) ；(3)
【分析】（1）D、E关于 对称，得出 ，角的等量替换可得 即可证明．
（2） ，求出 ，根据等角点求出 ，再求出 ；
（3）连接 ，直线l垂直平分 ，求出 ，点P为点O，B关于直线“等角点”， 证
得O、P、C共线，作 于D， 平分 ， 平分 ，即可证得．
解：（1）点B是点D，F关于直线 的“等角点”，理由如下：
∵D、E关于 对称，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴点B是点D，F关于直线 的“等角点”；
（2）如图2，
∵ ，
，
∴ ．
∵点D，Q关于直线 ， 的“等角点”分别为点B和点C，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图3，
连接 ，
∵直线l垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，∵点P为点O，B关于直线“等角点”，
∴ ，
∴ ，
∴O、P、C共线，
∴ ，
作 于D，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了角平分线、垂直平分线、角和线段的等量代换，解题的关键是熟知角平分线、垂
直平分线、角和线段的等量代换的知识并会作辅助线．
