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专题8 几何作图题与最短路径问题（解析版）
类型一 尺规作图
1．（2022秋•镇原县期中）已知等腰三角形的底边长为 a，底边上的高为h，如图所示，利用尺规作图，
求作这个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．
【思路引领】根据题目要求画出线段a、h，再画△ABC，使AB＝a，△ABC的高为h；首先画一条射线，
再画垂线，然后截取高，再画腰即可．
【解答】解：作图：①画射线AE，在射线上截取AB＝a，
②作AB的垂直平分线，垂足为O，再截取CO＝h，
③再连接AC、CB，△ABC即为所求．
【总结提升】此题主要考查了复杂作图，掌握垂线的画法，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作是解决此类题目的关键．
2．（2022•凉州区模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），作∠ABC的角平分线交AD于点E；
（2）F为CD中点，连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
【思路引领】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线即可；
（2）先根据等腰三角形的性质得到AE＝DE，再根据线段垂直平分线的性质得到DF＝CF，则可判断
EF是△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质得到EF与AC的关系．
【解答】解：（1）如图，BE为所作；1
（2）∴EF= AC，EF∥AC．
2
理由如下：
∵BD＝BA，BE是∠ABC的平分线，
∴AE＝DE，
∵MF是DC垂直平分线，
∴DF＝CF，
∴EF是△ADC的中位线，
1
∴EF= AC，EF∥AC．
2
【总结提升】本题考查了作图﹣基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何
图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和三角形中位线性
质．
3．（2017秋•重庆月考）尺规作图：如图，某区拟在新竣工的四边形广场的内部修建一个音乐喷泉 M，现
设计要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到自行车道AD、步行栈道DC的距离也
相等，请在图中找出M的位置．（不写已知、求作、作法，保留作图痕迹）
【思路引领】作线段AB的垂直平分线EF，作∠ADC的平分线DO，射线OD交EF于M，点M即为所
求．
【解答】解：如图点M即为所求．【总结提升】本题考查角平分线及线段垂直平分线的基本作图；掌握基本作图的作法是解决本题的关键．
类型二 无刻度作图
4．（2021•前郭县三模）如图，在小正方形的边长均为1的正方形网格中，点A、B、C都是格点，仅用无
刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图①中，作线段AB的垂直平分线；
（2）在图②中，作∠ABC的平分线．
【思路引领】（1）取格点E，F，作直线EF即可．
（2）连接AC，取AC的中点P，作射线AP即可．
【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求作．
（2）如图，思想BP即为所求作．
【总结提升】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，
解题的关键是学会用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
5．（2021•江西模拟）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作
图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作△ABC的高AM．
（2）在图2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）
【思路引领】（1）取格点T，连接AT交BC于M，线段AM即为所求作．
（2）取格点R，点Q，连接CQ，BR交于点I，连接AI，延长AI交BC于N，线段AN即为所求作．
【解答】解：（1）如图，线段AM即为所求作．
（2）如图，线段AN即为所求作．
【总结提升】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的高等知识，解题的关键是学会利用数形结合的
思想解决问题，属于中考常考题型．
6．（2023春•抚州期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，G，P，Q均在格点上，请用无刻度直
尺按下面要求作图．
（1）在图1中，以D为顶点，作∠EDF＝∠ABC；
（2）在图2中，作△GPQ的对称轴GH．
【思路引领】（1）把线段AB向右平移5个单位得到DF，点A的对应点为D，点B的对应点为F点；
把线段BC平移到DE的位置，C点的对应点为D，B点的对应点为E点，则∠DEF满足条件；（2）利用网格特点作出PQ的中点H，则直线GH满足条件．
【解答】解：（1）如图，∠EDF为所作；
（2）如图，GH为所作．
【总结提升】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平
移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
类型三 网格作图或画图
7．（2023春•农安县期末）如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
（3）在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小．
【思路引领】（1）根据轴对称的性质即可画△ABC关于直线MN的对称图形；
（2）根据网格上的每个小正方形的边长为1，即可求△ABC的面积；
（3）根据两点之间线段最短即可在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；1 1 1
（2）△ABC的面积＝4×5− ×1×4− ×1×4− ×3×5＝20﹣2﹣2﹣7.5＝8.5．
2 2 2
（3）如图，点P即为所求．
【总结提升】本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的
性质．
8．（2023春•渝中区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（﹣3，2）．请按要求分别完
成下列各小题：
（1）把△ABC向下平移6个单位得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）画出A B C 关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
（3）在y轴上找一点P，使得它到点A和点B的距离和最小（不要求写作法）．【思路引领】（1）依据平移的方向和距离，即可得到△A B C ，即可得出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）依据轴对称的性质，即可得到△A B C ，进而得出点C 的坐标；
2 2 2 2
（3）作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，与y轴交点即为点P，依据两点之间，线段最短，即可得
到点P到点A和点B的距离和最小．
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示，△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）如图所示，点P即为所求，点P到点A和点B的距离和最小．
【总结提升】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题的关键．凡是涉及
最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的
对称点．
9．（2023春•西乡塘区校级月考）按要求完成作图：（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A B C ；
1 1 1
（2）在x轴上画出点Q，使△QAC的周长最小；
（3）判断△ABC的形状，并说明理由．
【思路引领】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接A C，交x轴于点Q，连接AQ，此时AQ+CQ的值最小，即△QAC的周长最小．
1
（3）利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求.
1 1 1
（2）如图，点Q即为所求．
（3）△ABC为等腰直角三角形．
理由：由勾股定理得，AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝32+12＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
【总结提升】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路径问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质
以及勾股定理是解答本题的关键．
10．请在网格中完成下列问题：
（1）如图①，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出△ABC与△DEF
的对称轴l；（2）如图②，请在图中作出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A'B'C'；
（3）在直线MN上找一点E，使BE+CE最小．
【思路引领】（1）连接AD，作线段AD的垂直平分线即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（3）连接BC′交直线MN于E，连接EC，此时EC+EB的值最小．
【解答】解：（1）如图直线l即为所求．
（2）如图△A'B'C'即为所求．
（3）如图点E即为所求．
【总结提升】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
类型四 坐标系里画图
11．（2022秋•西青区期末）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（﹣2，
1），B（﹣4，3），C（﹣5，2）（Ⅰ）请在平面直角坐标系内画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，其中，点A，B，C的对应点分别为
1 1 1
A ，B ，C ，并写出△ABC上任意一点D（x，y）关于y轴对称的点D 的坐标．
1 1 1 1
（Ⅱ）请在平面直角坐标系内画出△ABC关于关于直线m（直线m上各点的纵坐标都为﹣1）对称的
△A B C ，其中，点A，B，C的对应点分别为A ，B ，C ．
2 2 2 2 2 2
【思路引领】（Ⅰ）根据轴对称的定义分别作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（Ⅱ）根据轴对称的定义分别作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得．
【解答】解：（Ⅰ）如图所示，△A B C 即为所求，
1 1 1
任意一点D（x，y）关于y轴对称的点D 的坐标为（﹣x，y）；
1
（Ⅱ）如图所示，△A B C 即为所求．
2 2 2
【总结提升】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得
出变换后的对应点．
类型五 最短路径问题
12．（2023春•小店区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，
△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
5
A． B．3 C．4 D．5
2
【思路引领】连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，当点M与点N重合时，BM+MD长度
最小，最小值即为AD的长，结合已知条件求出AD即可．
【解答】解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，
由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG，EF⊥AB，
∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC＝4，△ABC面积为10，
1
∴ ×4×AD=10，
2
解得AD＝5．
故选：D．
【总结提升】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路
径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路径问题是解答本题的关
键．
13．如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设置一个方案，把两个加油站设在何处，可使油车从油库出发，经过一个加油站，再到另
一个加油站，最后回到油库所走的路程最短．
【思路引领】利用关于直线对称点的性质得出P点关于AO的对称点P′，以及P点关于BO的对称点
P″，连接P′P″得出即可．
【解答】解：如图所示：C、D点即为所求．
【总结提升】此题主要考查了应用作图与设计，利用关于直线对称点的性质得出是解题关键．
14．如图所示，某条护城河在CC′处直角转弯，河宽均为5m，从A处到达B处，须经过两座桥（桥宽不
计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，恰当地造桥可使从A到B的路程最短，
请确定两座桥的位置．
【思路引领】由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接转化为线段，需要
构造平行四边形将AD、BE平移至D′F、E′B'，即可得到桥所在位置．
【解答】解：如图，作AF⊥CM，作BB'⊥CN，截取AF＝BB'＝5m，连接B'F交两河岸为D'，E'，作
D'D⊥CM于D，作E'E⊥CN于E，连接AD，BE，则折线 ADD′E′EB 的长度等于折线 AFD′E′B′B 的长度，等于折线 FD′E′B′的长度
+AF+BB′．而折线FD′E′B′以线段FB′最短，
∴确定两座桥的位置是线段DD'和BB'．
【总结提升】此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是构造平行
四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．
类型六 作图与计算或说理的综合
15．（2022秋•潜江期末）如图，若△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝5，∠BCD＝15°，P为CD上的
动点，则|PA﹣PB|的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路引领】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA﹣PB|的值最大的点，
|PA﹣PB|＝A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，根
据三角形的内角和得到∠ACD＝75°，于是得到∠CAA′＝15°，根据轴对称的性质得到A′C＝BC，
∠CA′A＝∠CAA′＝15°，推出△A′BC是腰三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA﹣PB|的值最大的点，
|PA﹣PB|＝A′B，
连接A′C，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝5，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°，
∴∠CAA′＝15°，
∵AC＝A′C，
∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，
∴∠ACA′＝150°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A′CB＝60°，
∴△A′BC是等边三角形，
∴A′B＝BC＝5．
故选：C．
【总结提升】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性
质，正确的作出图形是解题的关键．
16．（2023春•竞秀区期末）如图，△ABC，
（1）在△ABC中，按要求完成尺规作图；
①求作BC边上一点D，使∠BAD＝∠DAC；
②已知点A，C关于直线l对称，求作直线l，交AD于点G；
③连接GC；
（要求：在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法；铅笔完成作图后，用黑色水笔描画，以保证阅卷
扫描清晰）
（2）（1）中得到的图形中；
①若∠B＝45°，∠BCA＝55°，求∠AGC的度数；
②若∠B＝ ，∠BCA＝ ，则∠AGC＝ + ．
α β α β【思路引领】（1）①作∠BAC的角平分线交BC于D，D即为所求；
②作AC的垂直平分线即可；
（2）①根据三角形的内角和、角平分线的性质及线段的垂直平分线的性质求解；
②根据三角形的内角和、角平分线的性质及线段的垂直平分线的性质求解．
【解答】解：（1）如下图：
①点D即为所求；
②直线l即为所求；
（2）①∵∠B＝45°，∠BCA＝55°，
∴∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝∠DAC＝40°，
∵点A，C关于直线l对称，
∴AG＝CG，
∴∠GAC＝∠ACG＝40°，
∴∠AGC＝100°；
②∵∠B＝ ，∠BCA＝ ，
∴∠BAC＝1α80°﹣ ﹣ β
α β 1
∴∠BAD＝∠DAC＝90°− （ + ），
2
α β
∵点A，C关于直线l对称，
∴AG＝CG，
1
∴∠GAC＝∠ACG＝90°− （ + ），
2
α β1
∴∠AGC＝180°﹣2[90°− （ + ）]＝ + ，
2
α β α β
故答案为： + ．
【总结提升α】本β 题考查了作图﹣轴对称，掌握三角形的内角和、角平分线的性质及线段的垂直平分线的
性质是解题的关键．
17．（2023春•连城县期末）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC，用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求
写作法）；
（2）连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是 平行 ，并证明你的结论．
【思路引领】（1）根据轴对称的性质画出图形，
（2）进而解答即可．
【解答】（1）如图所示，△A′BC即为所求：
（2）直线A′D与l的位置关系是平行，
证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，{ AB=DE )
，
∠ABC=∠≝¿BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
∵翻折，
∴△A′BC≌△DEF，
∴A′D∥l．
故答案为：平行．
【总结提升】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明三角形全等解答．
18．（2023•龙岩模拟）如图，已知△ABC中，∠DAB＝∠ABC，AC＝BD．
（1）求作点D关于直线AB的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下连接AE，BE，求证：∠AEB+∠C＝180°．
【思路引领】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据轴对称的性质得到∠DAB＝∠EAB，BD＝BE，根据平行线判定定理得到AE∥BC，推出四边
形ACBE是等腰梯形，得到∠CAE＝∠BEA，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】（1）解：如图所示；
（2）证明：∵点D关于直线AB的对称点是E，
∴∠DAB＝∠EAB，BD＝BE，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，
∵AC＝BD，
∴AC＝BE，
∴四边形ACBE是等腰梯形，
∴∠CAE＝∠BEA，
∵∠C+CAE＝180°，
∴∠C+∠AEB＝180°．【总结提升】本题考查了作图﹣轴对称变换，等腰梯形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握
轴对称的性质是解题的关键．
