文档文本内容
1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题06 角平分线的性质与判定 常考题型·精准突破 题型1 利用角平分线性质求解（重） 题型2 角平分线的实际应用 题型3 角平分线性质和判定的综合问题（高频） 题型4 作垂线与角平分线（尺规作图） 题型5 与角平分线有关的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用角平分线性质求解 1．（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在 ABC 中， 90 ACB = ，BE 平分 ABC ，交AC 于点E， DE AB ⊥ 于点D，如果 3 AE = ， 5 AC = ，那么DE 的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质．先根据线段的和差求出CE ，再由角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵ 3 AE = ， 5 AC = ， ∴ 5 3 2 CE AC AE = − = −= ， ∵ 90 ACB = ， ∴AC BC ⊥ ， ∵BE 平分 ABC ，DE AB ⊥ ， ∴ 2 DE CE = = ． 故答案为：2． 2．（25-26 八年级上·北京·期末）如图，AD是 ABC 的角平分线，BE 是 ABD △ 边AD上的中线，若 ABC 的面积是18． 6, 3 AB AC = = ，则ABE 的面积是 ． 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是 解题的关键．过点D 作DF AB ⊥ 于F，过D 作DG AC ⊥ 于G，利用角平分线的性质可得DF DG = ，然后 利用三角形的面积公式可得 2 ABD ACD S S = △ △ ， 从而可得 2 3 ABD ABC S S = △ △ ，求得 ABD S ，最后利用三角形的中线性 质可得 1 2 ABE ABD S S = △ △ ，进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示，过点D 作DF AB ⊥ 于F，过D 作DG AC ⊥ 于G， AD 是 ABC 的角平分线， DF DG = ， 6, 3 AB AC = = ， 1 6 2 2 1 3 2 ABD ACD AB DF S AB S AC AC DG × \ = = = = × ， ABC 的面积是18， 2 2 18 12 3 3 ABD ABC S S = = = ， ∵BE 是 ABD △ 边AD上的中线， 1 1 12 6 2 2 ABE ABD S S = = = ， 故答案为：6 ． 3．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，AD为 ABC 的中线，BE 为 ABD △ 的角平分线，在BED 中作 BD边上的高EM ． （1）若 40 BED = ， 25 BAD = ， ABD 的度数为 ； （2）在（1）的条件下，若 ABC 的面积为40， 5 BD = ，则EM 的长为 ． 3 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 30/30 度 40 21 / 19 121 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，三角形中线的性质，三角形外角的定义，等知识，掌握这 些知识是解题的关键． （1）由三角形外角的定义和性质得出 ABE ，再由角平分线的定义即可求出 ABD ． （2）过点A作AF BC ⊥ 于点F ，过点E 作EN AB ⊥ 于点N ．由三角形面积公式求出AF ，由含30 度直角 三角形的性质得出 16 AB = ，由角平分线的性质定理得出EM EN = ，最后根据 ABD BDE ABE S S S = + 即可求出 EM 的值． 【详解】（1）解： 40 BED = ， 25 BAD = ， 40 25 15 ABE BED BAD = − = − = ． BE 为 ABD △ 的角平分线， 2 30 ABD ABE = = ； 故答案为：30； （2）解：如图，过点A作AF BC ⊥ 于点F ，过点E 作EN AB ⊥ 于点N ． 5 BD = ，AD为 ABC 的中线， 2 10 BC BD = = ． 1 1 10 40 2 2 ABC S BC AF AF = = = △ ． 8 AF = ． 在Rt ABF 中， 30 ABF = ， 2 2 8 16 AB AF = = = ． BE 为 ABD △ 的角平分线，EM BC ⊥ ，EN AB ⊥ ， EM EN = ． ABD BDE ABE S S S = + △ △ △ ， ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 BD AF BD EM AB EN BD AB EM = + = + ， 即 ( ) 1 1 5 8 5 16 2 2 EM = + ． 40 21 EM = ． 故答案为：40 21 ； 4 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型2 角平分线的实际应用 4．（25-26 八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示， ABC 是一个正在修建 的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H ，使该凉亭到公路AB AC BC 、 、 的距离都相等，则凉亭H 是 ABC 的（ ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵ ABC 是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H ，使该凉亭到公路 AB AC BC 、 、 的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 5．（25-26 七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪ABC ，现要在草坪上建一凉亭供 大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A．ABC 三条中线的交点处 B．ABC 三条角平分线的交点处 C．ABC 三条高所在直线的交点处 D．ABC 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为 三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 6．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，直线a b c 、、表示三条公路，现要建一个货物中转站，要 求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） 5 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作ABC 两内角的角平分线，交于点P ，即所求中转站地址； 理由： ABC 两内角的角平分线，交于点P ， PE PF = ，PD PF = ， PE PF PD = = ，即点P 到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作ABC 两外角的角平分线，交于点P ，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． ◆题型3 角平分线性质和判定的综合问题 7． （25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在ABC 中， 90 C = ，D是BC 上一点，若过点D作DF AB ⊥ ， 垂足为F，点E 在AC 上，DE BD = ，CE FB = ． (1)求证：AD 平分 BAC ； 6 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)请你判断AE AF BF ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) AE BF AF + = ，理由见解析 【分析】（1）先运用HL证明Rt Rt CDE FDB ≌ △ △ 可得CD DF = ，再根据角平分线的判定定理即可证明结 论； （2）先运用HL证明Rt Rt ACD AFD ≌ 可得AC AF = ，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵DF AB ⊥ ， ∴ 90 AFD BFD = = ， ∴ 90 C BFD = = ， ∵CE FB = ，DE BD = ， ∴ ( ) Rt Rt HL CDE FDB ≌ ， ∴CD DF = ， ∵ 90 C BFD = = ， ∴AD平分 BAC ． （2）解：AE BF AF + = ，理由如下： 在Rt ACD 与Rt AFD 中，CD FD = ，AD AD = ， ∴ ( ) HL Rt ACD Rt AFD ≌ ， ∴AC AF = ， ∴AE EC AC AF + = = ， ∴AE BF AF + = ． 8．（25-26 九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在ABC 中，点D 在BC 边上， 100 BAD = ， ABC 的平 分线交AC 于点E，过点E 作EF AB ⊥ ，垂足为F，且 50 AEF = ，连接DE ． (1)求 CAD 的度数； (2)求证：DE 平分 ADC ； (3)若 6 AB = ， 4 AD = ， 8 CD = ，且 12 ACD S = ，求ABE 的面积． 【答案】(1) 40 CAD = (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E 作EG AD ⊥ 于G，EH BC ⊥ 于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； 7 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）根据 1 1 · · 2 2 ACD ADE CDE S S S AD EG CD EH = + = + 求出EG ，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵EF AB ⊥ ， 50 AEF = ， ∴ 90 50 40 FAE = − = ， ∵ 100 BAD = ， ∴ 180 100 40 40 CAD = − − = ； （2）证明：过点E 作EG AD ⊥ 于G，EH BC ⊥ 于H， ∵ 40 FAE DAE = = ，EF BF ⊥ ，EG AD ⊥ ， ∴EF EG = ， ∵BE平分 ABC ，EF BF ⊥ ，EH BC ⊥ ， ∴EF EH = ， ∴EG EH = ， ∴DE 平分 ADC ； （3）解：∵ 12 ACD S = △ ， ∴ 1 1 · · 12 2 2 ADE CDE S S AD EG CD EH + = + = ， 即1 1 4 8 12 2 2 EG EG + = ， 解得 2 EG EH = = ， ∴ 2 EF = ， ∴ 1 1 · 6 2 6 2 2 ABE S AB EF = = = ． 9．（25-26 八年级上·福建厦门·期中）如图，在 ABC 中, , AB AC BAC = = ，点D 在AC 的右侧且满足 , BC BD DBC = = ，连接 , AD CD ，其中2 180 + = ． (1)求证： BAC BDC = ； (2)如备用图，延长CD至点M，使得CM BC = ． 8 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 求证：①AD平分 BDM ； ②点M 在线段BA的延长线上． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及三点共线的证明， 解题的关键是利用等腰三角形的角关系推导角度，结合全等三角形的判定得到线段相等，再通过角的数量 关系证明共线． （1）利用等腰BCD 的内角和求出 BDC ，结合已知2 180 + = ，证得 BAC BDC = ； （2）①作角两边的垂线，证ABK ACH ≌ 得到距离相等，判定AD平分 BDM ； ②证ABD ACM ≌ ，结合角的和为180，证明点M 在BA的延长线上． 【详解】（1）证明：∵ , BC BD CBD = = ， ∴ BDC BCD = ， 在 BCD △ 中， 180 BDC BCD CBD + + = ， ∴2 180 BDC + = ， ∵2 180 + = ， ∴ BDC = ， ∴ BAC BDC = ； （2）①如图1，过点A 作 , AH CM AK BD ⊥ ⊥ ，垂足分别为H，K， ∴ 90 AKB AHC = = ， 在 ABC 中， 180 ABC ACB BAC + = − ， 在 BCD △ 中， 180 DBC DCB BDC + = − ， ∵ BAC BDC = ∴ ABC ACB DBC DCB + = + ， ∴ ABD DBC ACB DBC ACB ACD + + = + + ， ∴ ABD ACD = ； 在ABK 和ACH 中， AKB AHC ABK ACH AB AC = = = ， 9 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ( ) AAS ABK ACH ≌ ， ∴AK AH = ， ∵ , AH CM AK BD ⊥ ⊥ ， ∴AD平分 BDM ； ②如图2，连接AM ，设AC 与BD交于点G， 在 ABD △ 和 ACM △ 中， AB AC ABD ACM BD CM = = = ， ∴ ( ) SAS ABD ACM ≌ ， ∴ BAD CAM = ， ∴ BAC DAM = = ， ∵AB AC = ， 1 90 2 BCG = − ， 由（1）知 BDC = ，且AD平分 BDM ， 1 90 2 ADG = − ， ∴ BCG ADG = 又∵ , AGB CAD ADG AGB CBD BCG = + = + ， ∴ CAD CBD = = ， ∴ 2 180 BAC DAM CAD + + = + = ， ∴A，M，B 三点共线． ∴点M 在线段BA的延长线上． ◆题型4 作角平分线（尺规作图） 10．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在Rt ABC △ 中， 90 , 50 BAC B = = ，AD BC ⊥ 于点D． 10 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)利用圆规和无刻度直尺作出 BAC 的平分线AE 交BC 于点E；（保留作图痕迹） (2)求 DAE 的度数． 【答案】(1)如图，AE 即为所求： (2)5 【分析】（1）以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，分别交 , AB AC 于点 , M N ，再分别以点 , M N 为圆心， 以大于1 2 MN 的长度为半径作弧，交于点P ，连接AP 并延长，交BC 于点E ，即可获得答案； （2）首先根据“直角三角形两锐角互余”解得 BAD 的度数，再根据角平分线的定义解得 BAE 的度数，然 后由 DAE BAE BAD = − 求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 50 B = ∠ ，AD BC ⊥ ， ∴ 90 40 BAD B = −= ， ∵AE 平分 BAC ，且 90 BAC = ， ∴ 1 45 2 BAE BAC = = ， ∴ 5 DAE BAE BAD = − = ∠ ∠ ． 11．（25-26 七年级下·广东清远·期末）如图，在Rt ABC △ 中， 90 A = ， 8 BC = ． (1)请用尺规作出 ABC 的平分线，交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)若 4 AD = ，求BCD 的面积． 【答案】(1)所作图形如图所示： 11 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)16 【分析】（1）以点B 为圆心，任意长为半径，画弧分别交AB ，BC 于点 , E F ，再以 , E F 为圆心，大于1 2 EF 长为半径画弧，交 ABC 内一点P，连接BP，交AC 于点D． （2）过点D 作DH BC ⊥ ，由题意易得 4 DH AD = = ，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点D 作DH BC ⊥ ，如图所示： 由作图可知：BD平分 ABC ， ∵ 90 A = ，DH BC ⊥ ， ∴ 4 DH AD = = ， ∴ 1 1 8 4 16 2 2 BCD S BC DH = = = ． 12．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，AB CD ∥ ，以点A为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ， AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于1 2 EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ， 交CD于点M ． (1)求证：AP 平分 CAB ； (2)若 114 ACD = ，求 MAB 的度数； (3)若CN AM ⊥ ，垂足为N ，求证： CAN CMN △ ≌△ ． 【答案】(1)证明：连接PE、PF ，如图， 12 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由作法得AE AF = ，PE PF = ， 而AP AP = ， ( ) SSS AEP AFP ≌ ， EAP FAP = ， 即AP 平分 CAB ； (2)33 (3)证明： CD AB ∥ ， BAM CMA = ， CAM BAM = ， CAM CMA = ， CA CM = ， CN AM ⊥ ， CNA CNM = ， 在 CAN △ 和CMN 中 CAN CMN ANC MNC AC CM = = = ( ) CAN CMN AAS ≌ ． 【分析】（1）作图步骤给出三组相等线段，思路是连接辅助线PE、PF ，利用SSS证明AEP 与 AFP △ 全 等，通过全等三角形对应角相等，直接证出AP 平分 CAB ； （2）已知AB CD ∥ ，同旁内角互补，可先由 ACD 算出 BAC 的度数；再结合第一问结论AM 是 CAB 角 平分线，所求 MAB 就是 BAC 的一半，代入数值即可求出角度． （3）先由平行线内错角相等得到 BAM CMA = ，结合角平分线推出 CAM CMA = ，等角对等边得 AC CM = ；又CN 垂直AM ，有两组直角相等，再搭配一组等角与一组等边，用AAS即可证明两个直角三 角形全等． 【详解】（1）略 （2） CD AB ∥ ， 180 BAC ACD + = ， 180 114 66 BAC = − = ， AP 平分 CAB ， 1 33 2 MAB BAC = = ； （3）略 ◆题型5 与角平分线有关的新定义型问题 13 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13．（24-25 八年级上·上海·期中）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； (2)如图，在四边形ABCD中，AC 平分 BAD ，AD AB ，ABC 与ACD 是友谊三角形，请探究 D 与 B 之间的关系． 【答案】(1)是 (2) 180 B D + = ，证明见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新 定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在AD上取一点H ，使得AH AB = ，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． 【详解】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2） AC 平分 BAD ， BAC DAC = ， AC AC = ，AD AB ，ABC 与ACD 是友谊三角形， BC CD = ， 在AD上取一点H ，使得AH AB = ，连接CH ，如图 在BAC 和 HAC △ 中， AB AH BAC HAC AC AC = = = ， ( ) SAS BAC HAC ≌ ， 14 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 BC CH = ， B AHC = ， BC CD = ， CD CH = ， DHC D = ， 180 AHC DHC + = ， 180 B D + = ； 14．（25-26 八年级上·山东德州·期中）【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB AD = ， 180 B D + = ，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． (1)如图2，李明发现，连接CA ，则CA 为 BCD 的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； (2)如图3，王红发现，在等补四边形ABCD中，当AB BC ⊥ ，AD CD ⊥ ， 1 2 EAF BAD = 时，BE EF ， 与 FD之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2) EF BE FD = + ，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作AE BC ⊥ 交CB 延长线于点E ，作AF CD ⊥ 于点F ，利用“角角边”证明 ADF ABE △ ≌△ ，得出 AE AF = ，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出CA 为 BCD 的角平分线． （2）延长EB至F使BF DF = ，连接AF，利用“边角边”证明ADF ABF ≌ ，得到AF AF = ， 1 2 = ， 再通过角的等量代换得到 EAF EAF = ，再利用“边角边”证明EAF EAF ≌ ，得到EF EF = ，最后通过 角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下： 作AE BC ⊥ 交CB 延长线于点E ，作AF CD ⊥ 于点F ， 15 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 90 DFA AEB = = ， 已知 1 180 D += ，1 2 180 += ， 2 D = ． 在ADF 和ABE 中， 2 DFA AEB D AD AB = = = ， ( ) AAS ADF ABE ≌ ， AE AF = ， 又AE EC ⊥ ，AF CF ⊥ ， CA 为 BCD 的角平分线． （2）EF BE FD = + ，理由如下： 延长EB至F使BF DF = ，连接AF， AD CD ⊥ ，AB BC ⊥ ， 在ADF 和ABF 中， FD BF D ABF AD AB = = = ， ( ) SAS ADF ABF ≌ ， AF AF = ， 1 2 = ， 又 1 2 EAF BAD = ， 1 1 4 2 BAD += ， 1 2 4 2 EAF BAD EAF += = = ， 在EAF 和EAF 中， 16 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AE AE EAF EAF AF AF = = = ， ( ) SAS EAF EAF ≌ ， EF EF = ， 又EF BE BF BE FD = + = + EF BE FD = + ． 15．（25-26 八年级上·全国·期中）我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果 A = ， 180 C = − ， 对角线BD平分 ABC ，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” ABCD中，当 90 = 时，根据教材中一个重要性质直接可得 DA DC = ，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想DA与DC 的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰ABC 中， 100 BAC = ，BD平分 ABC ，求证：BD AD BC + = ． 【答案】(1)③； (2) DA DC = ，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2 中，作DE BA ⊥ 交BA延长线于点E，DF BC ⊥ 于点F，证明 DEA DFC ≌ △ △ 即可解决问题； （3）如图3 中，在BC 上截取BG BD = ，连接DG ，根据（2）的结论得到AD DG = ，根据等腰三角形的判 定定理得到GD GC = ，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵BD平分 ABC ， 90 BAD = ， 90 BCD = ， ∴DA DC = ， ∴根据角平分线的性质定理可知AD CD = ， 故答案为：③； （2）解：DA DC = ，理由如下： 如图2 中，作DE BA ⊥ 交BA延长线于点E，DF BC ⊥ 于点F， 17 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ∵BD平分 EBF ，DE BE ⊥ ，DF BF ⊥ ， ∴DE DF = ， ∵ 180 BAD C + = ， 180 BAD EAD + = ， ∴ EAD C = ， ∵ 90 E DFC = = ， ∴ ( ) AAS DEA DFC ≌ ， ∴DA DC = ； （3）证明：如图3，在BC 上截取BG BD = ，连接DG ， ∵AB AC = ， 100 A = ， 180 ABC C A ++= , ∴ 40 ABC C = = ， ∵BD平分 ABC ， ∴ 1 20 2 DBG ABC = = ， ∵BD BG = ， ∴ ( ) 1 180 80 2 BGD BDG DBG = = − = ， 即 180 A BGD + = ， 由（2）的结论得AD DG = ， ∵ BGD C GDC =+ ， ∴ 40 GDC C = = ， ∴DG CG = ， ∴AD DG CG = = ， ∴BD AD BG CG BC + = + = ． 18 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1． （25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在ABC 中， 90 B = ，AD平分 BAC 交BC 于点D ， 10 BC = ， 点D到AC 的距离为4 ，则CD的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”进行求解． 【详解】解：如图，过点D 作DE AC ⊥ 于点E ， 点D到AC 的距离为4 ，即 4 DE = ， ∵AD平分 BAC 交BC 于点D ， 90 B = ， ∴ 4 BD DE = = ， ∴ 10 4 6 CD BC BD BC DE = − = − = − = ． 2．（25-26 七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，ABC 的三边 , , AB BC CA 的长分别为40，50，60，其三条角平 分线交于点O，则 : : ABO BOC CAO S S S （ ） A．1:1:1 B．4:5:6 C．3:4:5 D．5:4:6 【答案】B 【分析】分别过点O作OD AB ⊥ 于D ，OE BC ⊥ 于E ，OF AC ⊥ 于F ，由角平分线的性质可得OD OE OF = = ， 19 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即可得 : : : : ABO BOC CAO S S S AB BC AC = ，据此即可求解． 【详解】解：如图，分别过点O作OD AB ⊥ 于D ，OE BC ⊥ 于E ，OF AC ⊥ 于F ， ∵OA OB 、 为ABC 的角平分线， ∴OD OF = ，OD OE = ， ∴OD OE OF = = ， ∴ : : 40:50:60 4:5:6 : : ABO BOC CAO S S S AB BC AC = = = ． 3． （25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD中， 90 B C = = ，ADC 的平分线DE 与 DAB 的平分线AE 交于BC 边上的点E 处，EF AD ⊥ 于点F ．若 12 BC = ，则EF 的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件 90 B C = = 及 EF AD ⊥ ，可推导出EB EF = 且EC EF = ，进而得出 2 BC EF = ，代入数据求解即可． 【详解】解： 90 B = ， EB AB ⊥ ， AE 平分 DAB ，EF AD ⊥ ， EF EB = ， 同理， 90 C = ， EC DC ⊥ ， DE 平分 ADC ，EF AD ⊥ ， EF EC = ， 2 BC EB EC EF EF EF = + = + = ， 12 BC = ， 2 12 EF = ， 20 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 EF = ． 4．（25-26 八年级下·河北保定·期末）如图，Rt ABC △ 中， 90 C = ， 38 B = ，以点A为圆心，适当长为 半径画弧，交AB 于点E ，交AC 于点F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于1 2 EF 的长为半径画弧，两弧（所 在圆的半径相等）在 BAC 的内部相交于点P ，画射线AP 与BC 相交于点D ， 3 CD = ，下列结论正确的是 （ ） A．AC BD = B． 64 ADC = C． CAD B = D．B 到AD的距离是3 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得AP 为 CAB 的平分线， 90 C = ， 38 B = ， 90 90 38 52 CAB B = −= − = ， 1 26 2 CAD CAB = = ， CAD B ，故C 不正确； 90 90 26 64 ADC CAD = − = − = ，故B 正确； 如图，过点D作DG AB ⊥ ，垂足为G ， 由角平分线定理可得 3 DC DG = = ，无法推出AC BD = ，B 到AD的距离是3，故A、D 不正确． 5．（25-26 八年级下·河南郑州·期中）如图，在ABC 中， BAC 和 ABC 的平分线 , AE BF 相交于点O，过 点O 作OD BC ⊥ 于D，下列三个结论：① 1 90 2 AOB C = + ；②当 60 C = 时，AF BE AB + = ；③若 OD a = ， 2 AB BC CA b + + = ，则 ABC S ab = ．．其中正确的是（ ） 21 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解 AOB 和 C 的关系，进而判断①；根据 60 C = 得 120 BAC BCA + = ，根据角平分线和三角形内角和定理得 60 BOE = ，在AB 上取一点H，使BH BE = ， 利用SAS证明 E HBO BO ≌△ △ 可得 60 AOH AOF = = ，利用ASA 可证明 HAO FAO △ ≌△ 得AF AH = ，进而 可判断②；作OH AC ⊥ 于H，OM AB ⊥ 于M，根据题意得OH OM OD a = = = ，根据 2 AB BC CA b + + = ， 利用三角形面积即可判断③，即可得． 【详解】解：∵ BAC 和 ABC 的平分线AE ，BF 相交于点O， ∴ 1 2 OBA CBA = ， 1 2 OAB CAB = ， ∴ 180 AOB OBA OAB = − − 1 1 180 2 2 CBA CAB = − − ( ) 1 180 2 CBA CAB = − + ( ) 1 180 180 2 C = − − 1 90 2 C = + ，故①正确； ∵ 60 C = ， ∴ 120 BAC ABC + = ， ∵AE ，BF 分别是 BAC 和 ABC 的平分线， ∴ ( ) 1 60 2 OAB OBA BAC ABC + = + = ， ∴ 120 AOB = ， ∴ 60 AOF = ， ∴ 60 BOE = ， 如图所示，在AB 上取一点H，使BH BE = ， 22 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵BF 是 ABC 的角平分线， ∴ HBO EBO = ， 在△HBO和EBO 中， BH BE HBO EBO BO BO = = = ∴ ( ) SAS HBO EBO ≌ ， ∴ 60 BOH BOE = = ， ∴ 60 AOH = ， ∴ 60 AOH AOF = = ， 在HAO 和FAO 中， HAO FAO AO AO AOH AOF = = = ∴ ( ) ASA HAO FAO ≌ ， ∴AF AH = ， ∴ + + AB BH AH BE AF = = ，故②正确； 如图所示，作OH AC ⊥ 于H，OM AB ⊥ 于M， ∵ BAC 和 ABC 的平分线相交于点O， ∴点O 在 C 的平分线上， ∴OH OM OD a = = = ， ∵ 2 AB BC CA b + + = ， ∴ 1 1 1 2 2 2 ABC S AB OM AC OH BC OD = + + △ 23 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 1 2 AB AC BC a = + + ab = ，故③正确； 综上，其中正确的有①②③． 二、填空题 6．（25-26 七年级下·江苏常州·期末）如图，AB CD ，作一条直线，分别交AB ，CD于点E ，F ，以点F 为圆心，任意长为半径作弧，分别交FE，FD于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于1 2 MN 的长为 半径作弧，两弧相交于点G ，作射线FG ，交AB 于点H ．若1 30 = ，则 HEF 的大小为__________． 【答案】120 【分析】由尺规作图痕迹可知FH 为 EFD 的角平分线，根据平行线的性质可得 1 30 HFD = = ，进而求 出 EFD 的度数，最后利用平行线的性质即可求出 HEF 的大小 ． 【详解】解：由题意可得，FH 为 EFD 的角平分线， 1 2 EFH HFD EFD = = ， AB CD ∥ ， 1 30 HFD = = ， 2 60 EFD HFD = = ， AB CD ∥ ， 180 EFD HEF + = ， 180 60 120 HEF = − = ． 7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，连接AD， 5 CD BD = ，CI 平分 ACB 交AD于点I ，IH AC ⊥ 于点H ，若 6, 8, 2 ABD BC AC S = = = ，则IH 的长为_____． 24 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】20 13 / 7 113 【分析】过点I 作IE BC ⊥ 于点E，根据角平分线的性质得到IE IH = ，根据 5 CD BD = 得到 5 CD = ， 10 5 ACD ABD S S = = ，根据 ACD ACI DCI S S S = + 求解即可． 【详解】解：过点I 作IE BC ⊥ 于点E， CI 平分 ACB 交AD于点I ，IH AC ⊥ 于点H ， IE IH = ， 5 CD BD = ， 6, 2 ABD BC S = = ， 5 5 6 CD BC = = ， 10 5 ACD ABD S S = = ， ACD ACI DCI S S S = + ， 8 AC = ， 1 1 10 2 2 AC IH CD IE + = ， 1 1 8 5 10 2 2 IH IH + = ， 解得 20 13 IH = ． 8．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图，BD是ABC 的角平分线，DE AB ⊥ 于点E ，AF 是ABD 的中 线，动点G 在BC 边上，连接DG ．若 6 AB = ， ABF △ 的面积是3，则DG 的最小值为______________． 【答案】2 【分析】因为AF 是ABD 的中线，所以ABF 和AFD 面积相等，可先求出ABD 的面积．已知ABD 的 面积和AB 的长度，结合DE AB ⊥ ，用三角形面积公式可求出DE 的长度．因为BD是角平分线，根据角平 分线的性质，点D 到AB 和BC 的距离相等，可得D 到BC 的距离等于DE ．因为G 在BC 上，根据垂线段 最短，DG 的最小值即为D 到BC 的距离． 【详解】解：∵AF 是ABD 的中线， 3 ABF S = ， 小学 初中 25 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 6 ABD ABF S S = = ． ∵ DE AB ⊥ ， 6 AB = ， 1 2 ABD S AB DE = ， ∴ 1 6 6 2 DE = ， 解得 2 DE = ． ∵ BD是ABC 的角平分线， ∴点D到BC 的距离等于 2 DE = ． 又∵点G 在BC 上， ∴DG 的最小值就是点D 到BC 的距离， 即 2 DG = 最小 ． 9．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC 中，AD是ABC 的角平分线，BE是ABD 的中 线，过点D分别作DF AB ⊥ ，DH AC ⊥ ，垂足分别为点F ，H ，若BED 的面积为2 ，AB 的长为4 ，则DH 的长为___________． 【答案】2 【分析】根据BE是ABD 的中线，可得ABD 的面积是BED 面积的两倍，再利用ABD 的面积求出DF ， 然后根据角平分线的性质得DH DF = ． 【详解】解：∵BED 的面积为2 ，BE是ABD 的中线， ∴ABD 的面积为4， ∴1 4 2 AB DF = ， ∵AB 的长为4 ， ∴ 2 DF = ， ∵AD是ABC 的角平分线，DF AB ⊥ ，DH AC ⊥ ， ∴ 2 DH DF = = ． 10．（25-26 七年级下·安徽宿州·期末）在锐角三角形ABC 中， 60 BAC = ，BE、CD分别为ABC 的角平 分线，BE、CD相交于点F ． 26 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）则 BFC 的度数为________； （2）若FG 平分 BFC ，当 3 BD = ， 2 CE = ，BFC 的面积为2.5 时，则BCD 的面积为________． 【答案】 120/120度 4 【分析】过点F 作FM AB ⊥ 于点M ，过点F 作FN BC ⊥ 于点N ，根据角平分线性质定理得FM FN = ，结 合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出 60 BFG BFD = = ，再通过ASA 证明 BDF BGF △ ≌△ ，CEF CGF ≌ ，则BD BG = ，CE CG = ， 5 BC BG CG BD CE = + = + = ，根据三角形面积公 式求出 1 FN FM = = ， 1 3 2 2 BDF S BD FM = = ，再根据BCD 的面积= BDF BFC S S + 求解即可． 【详解】解：（1） 60 BAC = ，BE，CD分别为ABC 的角平分线， 1 1 1 (180 ) 60 2 2 2 EBC DCB ABC ACB BAC + = + = − = ， 180 ( ) 120 BFC EBC DCB = − + = ； （2）如图，过点F 作FM AB ⊥ 于点M ，过点F 作FN BC ⊥ 于点N ， ∵ 120 BFC = ，FG 平分 BFC ， 180 60 BFD BFC = − = ， 1 60 2 BFG BFC BFD = = = ， 在BDF 和BGF 中， BFD BFG BF BF DBF GBF = = = ， ( ) BDF BGF ASA ≌ ， BD BG = ， 同理可得 ( ) CEF CGF ASA ≌ ， CE CG = ， 27 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 BC BG CG BD CE = + = + ， 3 BD BG = = ， 2 CE CG = = ， 5 BC BD CE = + = ， BFC 的面积 2.5 = ， 1 2.5 2 BC FN = ， 1 FN = ， BE 为ABC 的角平分线，FN BC ⊥ ，FM AB ⊥ ， 1 FM FN = = ， 1 1 3 3 1 2 2 2 BDF S BD FM = = = ， BCD 的面积 3 = 2.5 4 2 BDF BFC S S + = + = ． 三、解答题 11． （25-26 七年级下·陕西渭南·期末）如图，AD为ABC 的中线，BE为ABD 的角平分线，过点E 作EN AB ⊥ 于点N ，EM 为BED 的高． (1)若 140 BEA = ， 25 BAD = ，求 ABD 的度数； (2)若 16 AB = ， 8 BD = ， 64 = ABC S ，求EM 的长． 【答案】(1)30 (2) 8 3 【分析】（1）由三角形内角和定理可得 15 ABE = ，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得ABD 的面积为32，再根据角平分线的性质可得NE ME = ，再根据 32 ABD ABE BDE S S S = + = 列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ 25 BAD = ， 140 BEA = ， ∴ 180 180 140 25 15 ABE BEA BAD = − − = − − = ， ∵BE为ABD 的角平分线， ∴ 2 30 ABD ABE = = ． （2）解：∵AD为ABC 的中线， 64 = ABC S ， ∴ABD 的面积为32， 28 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵BE为ABD 的角平分线，EN AB ⊥ ，EM 为BED 的高， ∴NE ME = ， ∵ 32 ABD ABE BDE S S S = + = ， ∴1 1 32 2 2 AB NE BD ME + = ， ∵ 16 AB = ， 8 BD = ，NE ME = ， ∴1 1 16 8 32 2 2 ME ME + = ， 解得： 8 3 ME = ． 12．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）已知OM 是 AOB 的平分线，点P 是射线OM 上一点，点C ，D 分别 在射线OA，OB 上，连接PC ，PD． 【发现问题】 (1)如图①，当PC OA ⊥ ，PD OB ⊥ 时，则PC 与PD的数量关系相等吗？说明理由． 【探究问题】 (2)如图②，点C ，D 在射线OA，OB 上滑动，且 90 AOB = ，当PC PD ⊥ 时，PC 与PD在【发现问题】 中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】(1)解：PC PD = ，理由： OM 是 AOB 的平分线， , PC OA PD OB ⊥ ⊥ ， PC PD = ； (2)解：成立，理由： 如图，过点P 作PE OA ⊥ 于E ，PF OB ⊥ 于F ， 29 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 90 PEC PFD = = ， OM 是 AOB 的平分线， PE PF = ． 90 AOB = ， 90 CPD = ∠ ， 360 90 90 180 PCE PDO + = − − = ． 180 PDF PDO + = ， PCE PDF = ． 在PCE 和PDF 中， PCE PDF PEC PFD PE PF = = = ( ) AAS PCE PDF ≌ ， PC PD = ． 【分析】（1）根据“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”即可判断； （2）根据（1）的解题方法，首先过点P 作PE OA ⊥ 于E ，PF OB ⊥ 于F ，进而有PE PF = ，再证明 PCE PDF △ ≌△ 即可． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50 页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平 分线上”完整的证明过程． 已知：点P 在OC 上，PD OA ⊥ ，PE OB ⊥ ，垂足分别为D 、E ，且______． 求证：OC 是 AOB 的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2， 90 B C = = ，E 是BC 的中点，AE 平分 BAD ．求证：DE 是 ADC 的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，ABC 中，点D 在BC 边上，BE平分 ABC ，DE 平分 ADC ．若 6 AB = ， 3 AD = ， 5 CD = ， 30 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 ACD S = △ ，请求出ABE 的面积．( 提示：过点E 作AB 的垂线) 【答案】（1）PD PE = ． 证明：在Rt PDO △ 和Rt PEO 中， PD PE = ，OP OP = ， ( ) HL Rt PDO Rt PEO ≌ ， DOP EOP = ， OC 是 AOB 的平分线． （2）证明：如图，过点E 作EF AD ⊥ 于F ， 90 B C = = ， BE AB ⊥ ，EC CD ⊥ ， AE 平分 BAD ， EB EF = ， E 是BC 的中点， EC EB = ， EC EF = ， 又 EF AD ⊥ ，EC CD ⊥ ， DE 是 ADC 平分线． （3） 12 ABE S = △ 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积． （1）证明 ( ) Rt Rt HL PDO PEO ≌ ，即可得出结论； （2）过点E 作EF AD ⊥ 于F ，先由角平分线的性质得到EF EB = ，从而可证得EC EF = ，根据角平分线的 判定，即可得证． （3）过点E 作EF BA ⊥ 交BA延长线于F ，作EG AD ⊥ 于G ，作EH CD ⊥ 于H ，根据角平分线的性质可 得EF EH EG = = ，进而根据三角形的面积公式即可求解． 31 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点E 作EF BA ⊥ 交BA延长线于F ，作EG AD ⊥ 于G ，作EH CD ⊥ 于H ，如图， BE 平分 ABC ，DE 平分 ADC ， EF EH = ，EG EH = ， EF EH EG = = ， ( ) 1 1 1 2 2 2 ACD ADE CDE S S S AD GE CD EH EF AD CD = + = + = + △ △ △ ， 3 AD = ， 5 CD = ， 16 ACD S = △ ， 4 EF = ， 1 12 2 ABE S AB EF = = △ ． 14．（25-26 八年级上·全国·期末）如图，点M 为BC 的中点，DM 平分 ADC ． (1)若 90 B C = = ． ①求证：AM 平分 BAD ． ②猜想线段CD，AB ，AD之间的数量关系，并证明． (2)若 75 B = ，请你思考 C 应该满足什么条件，能使得（1）②中结论依然成立，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②AD CD AB = + ，见解析 (2) 105 C = ，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理及判定定理等；添加恰当的辅助线构 建全等三角形是解题的关键． （1）①过点M 作ME AD ⊥ 交于E ，由角平分线的性质得CM EM = ，再由角平分线的判定定理即可得证； ②由HL可判定Rt Rt DEM DCM ≌ ，由全等三角形的性质即可得证； （2）在AD上截取DF DC = ，连接MF ，过点M 作MH AD ⊥ 交于H ，作MG AB ⊥ 交于G ，由SAS判定 MDF MDC ≌ ，结合全等三角形的性质，再由AAS判定MHF MGB ≌ 、AFM ABM ≌ ，由全等三角形 的性质即可得证． 32 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）①证明：过点M 作ME AD ⊥ 交于E ， DM 平分 ADC ， 90 C = ， CM EM = ， 点M 为BC 的中点， CM BM = ， EM BM = ， 90 B = ，ME AD ⊥ ， AM 平分 BAD ； ②AD CD AB = + ， 证明： EM CM = ，DM DM = ， Rt Rt DEM DCM ≌ △ △ （HL）， ED CD = ， 同理可证AE AB = ， AD AE ED = + CD AB = + ； （2）解： 105 C = ， 理由如下：在AD上截取DF DC = ，连接MF ，过点M 作MH AD ⊥ 交于H ，作MG AB ⊥ 交于G ， 90 MHF MGB = = ， DM 平分 ADC ， MDF MDC = ， DM DM = ， MDF MDC ≌ （SAS）， MF MC = ，FD CD = ， 105 DFM C = = ， 180 105 75 AFM = − = ， 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AFM B =， 点M 为BC 的中点， CM MB = ， MF MB = ， MHF MGB ≌ （AAS）， MH MG = ， AM 平分 BAD ， FAM BAM = ， AM AM = ， AFM ABM ≌ （AAS）， AF AB = ， AD FD AF = + CD AB = + ． 故 105 C = 时，能使得（1）②中结论依然成立． 15．（24-25 八年级上·广东中山·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角 形”． (1)如图1，ABC 和ADE 互为“友好三角形”， 其中 , , AB AC AD AE BAC DAE = = = ， 连接 , CE BD ， 求证：CE BD = ； (2)点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B，C 重合），以AD为边向右构造ADE ，使得ABC 和ADE 互 为“友好三角形”，其中 , , AB AC AD AE BAC DAE = = = ，连接EC ， 点F 在线段EC 右上方， 且点 E， C， F 三点共线． ①如图2， 当点 D 在线段BC 的左侧时， 求证： ACF ACB = ； ②如图3，当点D 在线段BC 上时， ACF 与 ACB 的数量关系是否发生改变，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵ BAC DAE = ， . EAC BAC BAE DAE BAE DAB = − = − = 在EAC 与 DAB △ 中， 34 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 , , , AE AD EAC DAB AC AB = = = (SAS) EAC DAB △ ≌△ CE BD = ； (2) ① 证明：分别过点A 作AM EC ⊥ 于点M，AN DB ⊥ 于点N， 由（1）得 EAC DAB ≌ △ △ ，CE BD = ， EAC DAB S S = △ △ ， 1 1 2 2 CE AM BD AN = ， AM AN = ， 又∵AM EC ⊥ ，AN DB ⊥ ， ACF ACB = ； ② ACF 与 ACB 的数量关系不变， ACF ACB = ，理由如下： ∵ DAE BAC = ， EAC DAE CAD BAC CAD DAB = − = − = . 在EAC 与 DAB △ 中， AE AD EAC DAB AC AB = = = ， (SAS) EAC DAB △ ≌△ ， CE BD = ， EAC DAB S S = △ △ ， 分别过点A 作AM CE ⊥ 于点M，AN BD ⊥ 于点N， 1 1 2 2 CE AM BD AN = ， 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AM AN = ， 又∵AM CE ⊥ ，AN BD ⊥ ， ACF ACB = ， 即 ACF 与 ACB 的数量关系不变. 【分析】此题考查了等腰三角形的定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识． （1）证明 (SAS) EAC DAB △ ≌△ 即可得到结论； （2）①分别过点A 作AM EC ⊥ 于点M，AN DB ⊥ 于点N，由全等的性质得到 EAC DAB S S = △ △ ，CE BD = ， 由等积法求出AM AN = ，由角平分线的判定定理即可证明结论；②仿照①的证明过程解答即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略
